Hướng dẫn Giải bài 20 21 trang 19 sgk Toán 9 tập 2

Nội Dung

Bài §4. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số, Chương III – Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn, sách giáo khoa toán 9 tập hai. Nội dung bài giải bài 20 21 trang 19 sgk toán 9 tập 2 bao gồm tổng hợp công thức, lý thuyết, phương pháp giải bài tập phần đại số có trong SGK toán để giúp các em học sinh học tốt môn toán lớp 9.

Lý thuyết

1. Quy tắc cộng đại số

Quy tắc cộng đại số dùng để biến đổi một hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương. Quy tắc cộng đại số gồm hai bước:

– Bước 1: Cộng hay trừ từng vế hai phương trình của hệ phương trình đã cho để được một phương trình mới.

– Bước 2: Dùng phương trình mới ấy thay thế cho một trong hai phương trình của hệ (và giữ nguyên phương trình kia).

2. Tóm tắt cách giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

– Bước 1: Nhân các vế của hai phương trình với số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau.

– Bước 2: Sử dụng quy tắc cộng đại số để được hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình mà hệ số của một trong hai ẩn bằng 0 (tức là phương trình một ẩn).

– Bước 3: Giải phương trình một ẩn vừa thu được rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.

Dưới đây là phần Hướng dẫn trả lời các câu hỏi có trong bài học cho các bạn tham khảo. Các bạn hãy đọc kỹ câu hỏi trước khi trả lời nhé!

Câu hỏi

1. Trả lời câu hỏi 1 trang 17 sgk Toán 9 tập 2

Áp dụng quy tắc cộng đại số để biến đồi hệ (I), nhưng ở bước 1, hãy trừ từng vế hai phương trình của hệ (I) và viết ra các hệ phương trình mới thu được.

$\left( I \right)\left\{ \matrix{2x – y = 1 \hfill \cr x + y = 2 \hfill \cr} \right.$

Trả lời:

Ta có:

$\left( I \right)\left\{ \matrix{2x – y = 1 \hfill \cr x + y = 2 \hfill \cr} \right.$

Trừ từng vế hai phương trình của hệ (I) ta được phương trình:

$(2x – y) – (x + y) = 1 – 2$ hay $x – 2y = -1$

Khi đó, ta thu được hệ phương trình mới:

$\left\{ \matrix{x – 2y = – 1 \hfill \cr x + y = 2 \hfill \cr} \right.$

2. Trả lời câu hỏi 2 trang 17 sgk Toán 9 tập 2

Các hệ số của y trong hai phương trình của hệ (II) có đặc điểm gì ?

$\left( II \right)\left\{ \matrix{2x + y = 3 \hfill \cr x – y = 6 \hfill \cr} \right.$

Trả lời:

Hệ số của $y$ trong hai phương trình của hệ (II) đối nhau (có tổng bằng $0$)

3. Trả lời câu hỏi 3 trang 18 sgk Toán 9 tập 2

a) Nêu nhận xét về các hệ số của x trong hai phương trình của hệ (III).

b) Áp dụng quy tắc cộng đại số, hãy giải hệ (III) bằng cách trừ từng vế hai phương trình của (III).

Trả lời:

a) Hệ số của x trong hai phương trình của hệ (III) giống nhau (cùng bằng $2$)

b) Ta có

$\left( {III} \right)\left\{ \matrix{2x + 2y = 9 \hfill \cr 2x – 3y = 4 \hfill \cr} \right.$

Lấy phương trình thứ nhất trừ đi phương trình thứ hai theo vế với vế, ta được phương trình: $5y = 5$

Do đó

$\eqalign{& \left( {III} \right)\Leftrightarrow \left\{ \matrix{5y = 5 \hfill \cr 2x – 3y = 4 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{y = 1 \hfill \cr 2x – 3y = 4 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{y = 1 \hfill \cr 2x – 3.1 = 4 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{y = 1 \hfill \cr x = {7 \over 2} \hfill \cr} \right. \cr} $

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( {\dfrac{7}{2};1} \right)$

4. Trả lời câu hỏi 4 trang 18 sgk Toán 9 tập 2

Giải tiếp hệ (IV) bằng phương pháp đã nêu ở trường hợp thứ nhất.

$\left( {IV} \right)\left\{ \matrix{3x + 2y = 7 \hfill \cr 2x + 3y = 3 \hfill \cr} \right.$

Trả lời:

Ta có:

$\left( {IV} \right)\left\{ \matrix{3x + 2y = 7 \hfill \cr 2x + 3y = 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{6x + 4y = 14 \hfill \cr 6x + 9y = 9 \hfill \cr} \right.$

Lấy phương trình thứ nhất trừ đi phương trình thứ hai vế với vế, ta được: $-5y = 5$

Do đó:

$\left( {IV} \right)\left\{ \matrix{3x + 2y = 7 \hfill \cr 2x + 3y = 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{-5y = 5 \hfill \cr 6x + 9y = 9 \hfill \cr} \right.$

$\left( {\Leftrightarrow} \right)\left\{ \matrix{y = -1 \hfill \cr 6x + 9.(-1) = 9 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{y = -1 \hfill \cr x = 3 \hfill \cr} \right.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(3; -1)$

5. Trả lời câu hỏi 5 trang 18 sgk Toán 9 tập 2

Nêu một cách khác để đưa hệ phương trình (IV) về trường hợp thứ nhất?

Trả lời:

Chia cả 2 vế của phương trình thứ nhất cho 3 và 2 vế của phương trình thứ hai cho 2 ta được:

$\left( {IV} \right)\left\{ \matrix{3x + 2y = 7 \hfill \cr 2x + 3y = 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{x + \frac{2}{3} y = \frac{7}{3} \hfill \cr x + \frac{3}{2} y = \frac{3}{2} \hfill \cr} \right.$

Dưới đây là Hướng dẫn giải bài 20 21 trang 19 sgk toán 9 tập 2. Các bạn hãy đọc kỹ đầu bài trước khi giải nhé!

Bài tập

Giaibaisgk.com giới thiệu với các bạn đầy đủ phương pháp giải bài tập phần đại số 9 kèm bài giải chi tiết bài 20 21 trang 19 sgk toán 9 tập 2 của Bài §4. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số trong Chương III – Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn cho các bạn tham khảo. Nội dung chi tiết bài giải từng bài tập các bạn xem dưới đây:

Giải bài 20 21 trang 19 sgk toán 9 tập 2

1. Giải bài 20 trang 19 sgk Toán 9 tập 2

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số.

a) $\left\{\begin{matrix} 3x + y =3 & & \\ 2x – y = 7 & & \end{matrix}\right.$; b) $\left\{\begin{matrix} 2x + 5y =8 & & \\ 2x – 3y = 0& & \end{matrix}\right.$;

c) $\left\{\begin{matrix} 4x + 3y =6 & & \\ 2x + y = 4& & \end{matrix}\right.$; d) $\left\{\begin{matrix} 2x + 3y =-2 & & \\ 3x -2y = -3& & \end{matrix}\right.$;

e) $\left\{\begin{matrix} 0,3x + 0,5y =3 & & \\ 1,5x -2y = 1,5& & \end{matrix}\right.$

Bài giải:

a) Cộng vế với vế của hai phương trình trong hệ, ta được

$\left\{\begin{matrix} 3x + y =3 & & \\ 2x – y = 7 & & \end{matrix}\right. \\\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3x+y+2x-y =3+7 & & \\ 2x -y = 7& & \end{matrix}\right.\\\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 5x =10 & & \\ 2x -y = 7& & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix} x =2 & & \\ y = 2x-7& & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x =2 & & \\ 2.2 -y = 7& & \end{matrix}\right.\\\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x =2 & & \\ y = -3& & \end{matrix}\right.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là $(2; -3)$.

b) Trừ vế với vế của hai phương trình trong hệ, ta được:

$\left\{\begin{matrix} 2x + 5y =8 & & \\ 2x – 3y = 0& & \end{matrix}\right. \\\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x+5y =8 & & \\ 2x +5y-(2x-3y) = 8-0& & \end{matrix}\right.\\\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x + 5y =8 & & \\ 8y = 8& & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x + 5y =8 & & \\ y = 1& & \end{matrix}\right. \\\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x+5.1 =8 \\ y = 1& & \end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x =\dfrac{3}{2} & & \\ y = 1& & \end{matrix}\right.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là ${\left(\dfrac{3}{2}; 1\right)}$.

c) Nhân hai vế của phương trình thứ hai với $2$, rồi trừ vế với vế của hai phương trình trong hệ, ta được:

$\left\{\begin{matrix} 4x + 3y =6 & & \\ 2x + y = 4& & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 4x + 3y =6 & & \\ 4x + 2y =8& & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 4x+3y =6 & & \\ 4x +3y-(4x+2y) = 6-8& & \end{matrix}\right.\\\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 4x + 3y =6 & & \\ y = -2& & \end{matrix}\right. \\\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 4x+3.(-2) =6 & & \\ y = -2& & \end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 4x =12 & & \\ y = -2& & \end{matrix}\right.\\\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x =3 & & \\ y = -2& & \end{matrix}\right.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là $(3; -2)$.

d) Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với $3$, nhân hai vế của phương trình thứ hai với $2$, rồi trừ vế với vế của hai phương trình trong hệ, ta được

$\left\{\begin{matrix} 2x + 3y =-2 & & \\ 3x -2y = -3& & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 6x + 9y = -6 & & \\ 6x – 4y = -6& & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 6x+9y =-6 & & \\ 6x +9y-(6x-4y) = -6-(-6)& & \end{matrix}\right.\\\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 6x + 9y = -6 & & \\ 13y = 0& & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix} x = -1 & & \\ y = 0 & & \end{matrix}\right.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là $(-1; 0)$.

e) Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với $5$ rồi trừ vế với vế của hai phương trình trong hệ, ta được:

$\left\{\begin{matrix} 0,3x + 0,5y =3 & & \\ 1,5x -2y = 1,5& & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 1,5x + 2,5y=15 & & \\ 1,5x – 2y = 1,5 & & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 1,5x+2,5y =15 & & \\ 1,5x +2,5y-(1,5x-2y) = 15-1,5& & \end{matrix}\right.\\\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 1,5x + 2,5y=15 & & \\ 4,5y = 13,5 & & \end{matrix}\right. $

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 1,5x =15 -2, 5 . 3& & \\ y = 3 & & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 1,5x =7,5& & \\ y = 3 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x =5& & \\ y = 3 & & \end{matrix}\right.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là $(5; 3)$.

2. Giải bài 21 trang 19 sgk Toán 9 tập 2

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số.

a) $\left\{\begin{matrix} x\sqrt{2} – 3y = 1 & & \\ 2x + y\sqrt{2}=-2 & & \end{matrix}\right.$;

b) $\left\{\begin{matrix} 5x\sqrt{3}+ y = 2\sqrt{2}& & \\ x\sqrt{6} – y \sqrt{2} = 2& & \end{matrix}\right.$

Bài giải:

a) Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với $-\sqrt 2$, rồi cộng từng vế hai phương trình, ta được:

$\left\{\begin{matrix} x\sqrt{2} – 3y = 1 & & \\ 2x + y\sqrt{2}=-2 & & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} -2x + 3\sqrt{2}.y = -\sqrt{2}& & \\ 2x + \sqrt{2}y = -2 & & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} -2x + 3\sqrt{2}.y+2x+ \sqrt{2}.y = -\sqrt{2}-2& & \\ 2x + \sqrt{2}y = -2 & & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 4\sqrt{2}.y = -\sqrt{2} – 2& & \\ 2x + y\sqrt{2} = -2& & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y = \dfrac{-\sqrt{2} – 2}{4\sqrt 2}& & \\ 2x + y\sqrt{2} = -2 & & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y = \dfrac{-1-\sqrt{2}}{4}& & \\ 2x = -y\sqrt{2} -2 & & \end{matrix}\right. $

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y = \dfrac{-1-\sqrt{2}}{4}& & \\ 2x =- \dfrac{-1-\sqrt{2}}{4}.\sqrt{2} -2 & & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y = \dfrac{-1-\sqrt{2}}{4}& & \\ 2x =\dfrac{\sqrt 2 -6}{4}& & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x = -\dfrac{3}{4} + \dfrac{\sqrt{2}}{8}& & \\ y = -\dfrac{1}{4} – \dfrac{\sqrt{2}}{4}& & \end{matrix}\right.$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là: ${\left( -\dfrac{3}{4} + \dfrac{\sqrt{2}}{8}; -\dfrac{1}{4} – \dfrac{\sqrt{2}}{4} \right)}$

b) Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với $\sqrt{2}$, rồi cộng từng vế hai phương trình.

Ta có $\left\{\begin{matrix} 5x\sqrt{3}+ y = 2\sqrt{2}& & \\ x\sqrt{6} – y \sqrt{2} = 2& & \end{matrix}\right.$

Suy ra

$\left\{\begin{matrix} 5\sqrt 6 x + y \sqrt 2 = 4 & & \\ x \sqrt 6 – y \sqrt 2=2 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 6 \sqrt 6 x=6 & & \\ x \sqrt 6 -y \sqrt 2 =2 & & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x= \dfrac{\sqrt 6}{6} & &\\ y \sqrt 2 = x \sqrt 6 -2& & \end{matrix} \right. $

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x= \dfrac{\sqrt 6}{6} & &\\ y \sqrt 2 = \dfrac{\sqrt 6}{6}. \sqrt 6 -2& & \end{matrix} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x= \dfrac{\sqrt 6}{6} & &\\ y =- \dfrac{\sqrt 2}{2}& & \end{matrix} \right.$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là $ {\left(\dfrac{\sqrt 6}{6}; -\dfrac{\sqrt 2}{2} \right)}$

Bài trước:

Luyện tập: Giải bài 15 16 17 18 19 trang 15 16 sgk Toán 9 tập 2

Bài tiếp theo:

Luyện tập: Giải bài 22 23 24 25 26 27 trang 19 20 sgk Toán 9 tập 2

Xem thêm:

Chúc các bạn làm bài tốt cùng giải bài tập sgk toán lớp 9 với giải bài 20 21 trang 19 sgk toán 9 tập 2!

“Bài tập nào khó đã có giaibaisgk.com“