Nội Dung
Hướng dẫn giải Bài 35. Sự đồng quy của ba đường trung trực, ba đường cao trong một tam giác sgk Toán 7 tập 2 bộ Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống. Nội dung bài Giải bài 26 27 28 29 30 trang 81 sgk Toán 7 tập 2 Kết Nối Tri Thức bao gồm đầy đủ phần lí thuyết kèm bài giải các câu hỏi, hoạt động, luyện tập, vận dụng và bài tập, giúp các bạn học sinh học tốt môn toán 7.
BÀI 35. SỰ ĐỒNG QUY CỦA BA ĐƯỜNG TRUNG TRỰC, BA ĐƯỜNG CAO TRONG MỘT TAM GIÁC
Bài toán mở đầu trang 77 Toán 7 tập 2 KNTT
Có thể coi ba ngôi nhà của ba anh em trong một khu vườn là ba đỉnh của một tam giác (không tù). Họ muốn khoan một giếng chung trong vườn cách đều ba ngôi nhà (H.9.36). Em có thể giúp họ chọn địa điểm để khoan giếng không?
Trả lời:
Coi ba ngôi nhà của ba anh em là ba đỉnh của tam giác.
Khi đó đường thẳng nối $2$ trong $3$ nhà với nhau là cạnh của tam giác.
Giếng cách đều $3$ ngôi nhà tức giếng cách đều $3$ đỉnh của tam giác.
Khi đó giếng là giao điểm ba đường trung trực của tam giác.
1. SỰ ĐỒNG QUY CỦA BA ĐƯỜNG TRUNG TRỰC TRONG MỘT TAM GIÁC
Câu hỏi trang 77 Toán 7 tập 2 KNTT
Mỗi tam giác có mấy đường trung trực
Trả lời:
Mỗi tam giác có $3$ đường trung trực.
Hoạt động 1 trang 78 Toán 7 tập 2 KNTT
Vẽ tam giác $ABC$ (không tù) và ba đường trung trực của các đoạn thẳng $BC, CA, AB$. Quan sát hình và cho biết ba đường trung trực đó có cùng đi qua một điểm không.
Trả lời:
Ta thấy ba đường trung trực của tam giác cùng đi qua một điểm.
Hoạt động 2 trang 78 Toán 7 tập 2 KNTT
Dùng tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng, hãy lập luận để suy ra tính chất nói ở HĐ1 bằng cách trả lời các câu hỏi sau:
Cho $O$ là giao điểm các đường trung trực của hai cạnh $BC$ và $CA$ (H.9.38).
a) Tại sao $OB = OC, OC = OA$?
b) Điểm $O$ có nằm trên đường trung trực của cạnh $AB$ không?
Trả lời:
a) Do $O$ nằm trên đường trung trực của cạnh $BC$ nên $OB = OC$.
Do $O$ nằm trên đường trung trực của cạnh $CA$ nên $OC = OA$.
b) Do $OB = OC$ và $OC = OA$ nên $OA = OB$.
Do đó $O$ nằm trên đường trung trực của cạnh $AB$.
Luyện tập 1 trang 79 Toán 7 tập 2 KNTT
Chứng minh rằng trong tam giác đều $ABC$, trọng tâm $G$ cách đều $3$ đỉnh của tam giác đó.
Trả lời:
Ta vẽ hình minh họa như sau:
Tam giác $ABC$ đều nên $AB = BC = CA$
Tam giác $ABC$ cân tại $B$ có $BN$ là đường trung tuyến
\(\Rightarrow BN\) là đường trung trực của đoạn thẳng $AC$
Tam giác $BAC$ cân tại $A$ có $AP$ là đường trung tuyến
\(\Rightarrow AP\) là đường trung trực của đoạn thẳng $BC$
Mà \(BN \cap AP = G\)
\(\Rightarrow G\) là giao điểm ba đường trung trực của tam giác $ABC$
\(\Rightarrow GA = GB = GC\).
Vận dụng 1 trang 79 Toán 7 tập 2 KNTT
Em hãy trả lời câu hỏi trong tình huống mở đầu.
Trả lời:
$3$ ngôi nhà không thẳng hàng nên tạo thành $1$ tam giác, ta gọi là tam giác $ABC$.
Điểm khoan giếng cách đều $3$ ngôi nhà khi và chỉ khi điểm khoan giếng là giao điểm của $3$ đường trung trực của tam giác $ABC$.
Vậy, ta cần vẽ $2$ đường trung trực của tam giác $ABC$, chúng cắt nhau tại đâu thì đó là điểm cần khoan giếng.
Thử thách nhỏ trang 79 Toán 7 tập 2 KNTT
Sử dụng tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng, hãy giải thích nếu điểm $Q$ cách đều ba đỉnh của tam giác $ABC$ thì $Q$ phải là giao điểm ba đường trung trực của tam giác $ABC$.
Trả lời:
$Q$ cách đều $3$ đỉnh của tam giác $ABC$ nên $QA = QB = QC$.
Do $QA = QB$ nên $Q$ nằm trên đường trung trực của $AB$.
Do $QB = QC$ nên $Q$ nằm trên đường trung trực của $BC$.
Do $QC = QA$ nên $Q$ nằm trên đường trung trực của $CA$.
Do đó $Q$ là giao điểm ba đường trung trực của tam giác $ABC$.
2. SỰ ĐỒNG QUY CỦA BA ĐƯỜNG CAO TRONG MỘT TAM GIÁC
Câu hỏi trang 79 Toán 7 tập 2 KNTT
Mỗi tam giác có mấy đường cao?
Trả lời:
Ứng với $1$ cạnh của tam giác, ta có $1$ đường cao.
Vậy mỗi tam giác có 3 đường cao.
Hoạt động 3 trang 79 Toán 7 tập 2 KNTT
Vẽ tam giác $ABC$ và ba đường cao của nó. Quan sát hình và cho biết, ba đường cao đó có cùng đi qua một điểm không.
Trả lời:
Ta vẽ hình minh họa như sau:
Ta thấy ba đường cao của tam giác cùng đi qua một điểm.
Luyện tập 2 trang 81 Toán 7 tập 2 KNTT
a) Chứng minh rằng trong tam giác $ABC$ cân tại $A$, đường trung trực của cạnh $BC$ là đường cao và cũng là đường phân giác xuất phát từ đỉnh $A$ của tam giác đó.
b) Chứng minh rằng trong tam giác đều, điểm cách đều ba đỉnh cũng cách đều ba cạnh của tam giác.
Trả lời:
a) Kẻ đường trung trực của đoạn thẳng $BC$, cắt $BC$ tại $D$.
Ta có: Tam giác $ABC$ cân nên $AB = AC$
\(\Rightarrow A\) thuộc đường trung trực của cạnh $BC$ (tính chất)
\(\Rightarrow AD\) là đường trung trực của $BC$.
Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta ACD\) có:
• $AB = AC$ (gt)
• $BD = CD$ (gt)
• cạnh $AD$ chung
$\Rightarrow \Delta ABD = \Delta ACD$ (c – c – c)
\(\Rightarrow \widehat {BAD} = \widehat {CAD}\)
\(\Rightarrow AD\) là tia phân giác góc $BAC$.
Vậy tam giác $ABC$ cân tại $A$, đường trung trực của cạnh $BC$ là đường cao và cũng là đường phân giác xuất phát từ đỉnh $A$ của tam giác đó.
b) Ta vẽ minh họa như sau
Ta có: Điểm cách đều ba đỉnh của tam giác là giao điểm ba đường trung trực của tam giác đó.
Tam giác $ABC$ đều nên $AB = BC = CA$
Tam giác $ABC$ cân tại $A$ có $AN$ là đường trung tuyến
\(\Rightarrow AN\) là đường phân giác xuất phát từ đỉnh $A$ (chứng minh ở ý a)
Tương tự: $BP, CM$ lần lượt là đường phân giác xuất phát từ $B$ và $C$ của tam giác $ABC$
Mà $AN$ cắt $BP$ tại $G$
\(\Rightarrow G\) là giao điểm ba đường phân giác của tam giác $ABC$
\(\Rightarrow G\) cách đều ba cạnh của tam giác $ABC$ (tính chất)
GIẢI BÀI TẬP
Sau đây là phần Giải bài 26 27 28 29 30 trang 81 sgk Toán 7 tập 2 Kết Nối Tri Thức. Nội dung chi tiết bài giải từng bài tập các bạn xem dưới đây:
Giải bài 9.26 trang 81 Toán 7 tập 2 KNTT
Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$ không vuông. Tìm trực tâm của các tam giác $HBC, HCA, HAB$.
Bài giải:
a) Ta vẽ hình minh họa như sau:
Trong $ΔABC$ ta có $H$ là trực tâm nên:
$AH ⊥ BC$ tại $N$, $BH ⊥ AC$ tại $P$, $CH ⊥ AB$ tại $M$.
Trong $ΔAHB$, ta có:
• $HM ⊥ AB$
• $BN ⊥ AH$
Mà $MH$ cắt $BN$ tại $C$
⇒ $C$ là trực tâm của tam giác $AHB$.
Trong $ΔHAC$, ta có:
• $HP ⊥ AC$
• $CN ⊥ AH$
Mà $HP$ cắt $CN$ tại $B$
⇒ $B$ là trực tâm của $ΔHAC$.
Trong $ΔHBC$, ta có:
• $HN ⊥ BC$
• $BM ⊥ HC$
Mà $HN$ cắt $BM$ tại $A$
⇒ $A$ là trực tâm của tam giác $HBC$
Giải bài 9.27 trang 81 Toán 7 tập 2 KNTT
Cho tam giác $ABC$ có \(\widehat A = {100^0}\) và trực tâm $H$. Tìm góc $BHC$.
Bài giải:
Ta vẽ hình minh họa như sau:
Gọi $E$ là chân đường cao từ $C$ xuống $AB$, $D$ là chân đường cao từ $B$ xuống $AC$
⇒ $HC ⊥ BE$, $HB ⊥ CD$
Ta có:
$\widehat {BAC} + \widehat {BAD} = {180^0}\\ \Rightarrow {100^0} + \widehat {BAD} = {180^0}\\ \Rightarrow \widehat {BAD} = {180^0} – {100^0}\\ \Rightarrow \widehat {BAD} = {80^0}$
$∆ ADB$ là tam giác vuông tại $D$:
$\widehat {BAD} + \widehat {ABD} = {90^0}\\ \Rightarrow {80^0} + \widehat {ABD} = {90^0}\\ \Rightarrow \widehat {ABD} = {10^0}$
$∆ BEH$ là tam giác vuông tại $E$:
$\widehat {EBH} + \widehat {BHE} = {90^0}\\ \Rightarrow {10^0} + \widehat {BHE} = {90^0}\\ \Rightarrow \widehat {BHE} = {80^0}$
Hay \(\widehat {BHC} = {80^0}\)
Giải bài 9.28 trang 81 Toán 7 tập 2 KNTT
Xét điểm $O$ cách đều $3$ đỉnh của tam giác $ABC$. Chứng minh rằng nếu $O$ nằm trên một cạnh của tam giác $ABC$ thì $ABC$ là một tam giác vuông.
Bài giải:
Ta vẽ hình minh họa như sau:
$O$ cách đều $3$ đỉnh của tam giác $ABC$
\(\Rightarrow OA = OB = OC\)
\(\Rightarrow \Delta OAB\) cân tại $O$.
Giả sử $O$ là trung điểm $BC$
\(\Rightarrow \widehat {OAB} = \widehat {OBA}\)
\(\Delta OAC\) cân tại $O$
\(\Rightarrow \widehat {OAC} = \widehat {OCA}\)
Xét tam giác $ABC$ có:
$\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^0}\\ \Rightarrow \widehat A + \widehat {OAB} + \widehat {OAC} = {180^0}\\ \Rightarrow \widehat A + \widehat A = {180^0}\\ \Rightarrow \widehat A = {90^0}$
Vậy nếu $O$ nằm trên một cạnh của tam giác $ABC$ thì $ABC$ là một tam giác vuông.
Giải bài 9.29 trang 81 Toán 7 tập 2 KNTT
a) Có một chi tiết máy (đường viền ngoài là đường tròn) bị gãy (H.9.46). Làm thế nào để xác định được bán kính của đường viền này?
b) Trên bản đồ, ba khu dân cư được quy hoạch tại điểm A, B, C không thẳng hàng. Hãy tìm trên bản đồ một điểm M cách đều A, B, C để quy hoạch một trường học.
Bài giải:
a) – Lấy ba điểm phân biệt $A, B, C$ trên đường viền ngoài chi tiết máy.
– Vẽ đường trung trực cạnh $AB$ và cạnh $BC$. Hai đường trung trực này cắt nhau tại $O$. Khi đó $O$ là tâm cần xác định.
– Bán kính đường tròn cần tìm là độ dài đoạn $OB$ (hoặc $OA$ hoặc $OC$).
b) – Bước 1: Vẽ đường trung trực của các đoạn $AB, AC, BC$
– Bước 2: $3$ đường trung trực này cắt nhau tại M. Khi đó $MA= MB=MC$.
– Bước 3: $M$ là điểm cần xác định.
Giải bài 9.30 trang 81 Toán 7 tập 2 KNTT
Cho hai đường thẳng không vuông góc $b, c$ cắt nhau tại điểm $A$ và cho điểm $H$ không thuộc $b$ và $c$ (H.9.47). Hãy tìm điểm $B$ thuộc $b$, điểm $C$ thuộc $c$ sao cho tam giác $ABC$ nhận $H$ làm trực tâm.
Bài giải:
– Kẻ \(HD \bot \) đường thẳng $c$ tại điểm $D, HE \bot $ đường thẳng $b$ tại điểm $E$
– Nối $A$ với $H$. Kéo dài $DH$ cắt đường thẳng $b$ tại $B$.
Từ $B$ kẻ đường vuông góc với $AH$, đường thẳng đó cắt đường thẳng $c$ tại $1$ điểm. Điểm đó chính là điểm $C$.
⇒ $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$.
Bài trước:
👉 Giải bài 20 21 22 23 24 25 trang 76 sgk Toán 7 tập 2 Kết Nối Tri Thức
Bài tiếp theo:
👉 Giải bài 31 32 33 34 35 trang 83 sgk Toán 7 tập 2 Kết Nối Tri Thức
Trên đây là bài Hướng dẫn Giải bài 26 27 28 29 30 trang 81 sgk Toán 7 tập 2 Kết Nối Tri Thức đầy đủ, ngắn gọn và dễ hiểu nhất. Chúc các bạn làm bài môn toán 7 tốt nhất!
“Bài tập nào khó đã có giaibaisgk.com“