Nội Dung
Hướng dẫn giải Bài 7. Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác sgk Toán 7 tập 2 bộ Chân Trời Sáng Tạo. Nội dung bài Giải bài 1 2 3 4 5 6 trang 75 76 sgk Toán 7 tập 2 Chân Trời Sáng Tạo bao gồm đầy đủ phần lí thuyết kèm bài giải các câu hỏi, hoạt động khởi động, khám phá, thực hành, vận dụng và bài tập, giúp các bạn học sinh học tốt môn toán 7.
BÀI 7. TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN CỦA TAM GIÁC
Hoạt động khởi động trang 73 Toán 7 tập 2 CTST
Đặt đầu bút chì ở điểm nào của tam giác thì ta có thể giữ tấm bìa thăng bằng?
Trả lời:
Đặt đầu bút chì ở trọng tâm của tam giác thì ta có thể giữ tấm bìa thăng bằng.
1. ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN CỦA TAM GIÁC
Hoạt động khám phá 1 trang 73 Toán 7 tập 2 CTST
Vẽ tam giác ABC, xác định trung điểm D của cạnh BC và vẽ đoạn thẳng nối hai điểm A và D.
Trả lời:
Ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1. Vẽ tam giác ABC.
Bước 2. Xác định trung điểm D của BC và vẽ đoạn thẳng nối A và D.
Ta có hình vẽ sau:
Thực hành 1 trang 73 Toán 7 tập 2 CTST
Em hãy viết tiếp các đường trung tuyến còn lại của tam giác ABC (Hình 1).
Trả lời:
Xác định trung điểm E của AC và trung điểm F của AB.
Nối BE và CF ta được hai đường trung tuyến còn lại của tam giác ABC.
Ta có hình vẽ sau:
Vận dụng 1 trang 73 Toán 7 tập 2 CTST
a) Vẽ đường trung tuyến DH của tam giác DEF (Hình 2).
b) Vẽ đường trung tuyến MK của tam giác MNP (Hình 3).
c) Vẽ tam giác nhọn IJK và tất cả các đường trung tuyến của nó.
Trả lời:
a) Tam giác DEF có đường trung tuyến DH nên H là trung điểm của EF.
Ta có hình vẽ sau:
b) Tam giác vuông MNP có đường trung tuyến MK nên K là trung điểm của NP.
Ta có hình vẽ sau:
c) Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh JK, KI, IJ.
Nối ID, JE, KF ta được ba đường trung tuyến của tam giác MNP.
Ta có hình vẽ sau:
2. TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN CỦA TAM GIÁC
Hoạt động khám phá 2 trang 74 Toán 7 tập 2 CTST
a) Cắt một tam giác bằng giấy. Gấp lại để xác định trung điểm một cạnh của nó. Kẻ đoạn thẳng nối trung điểm này với đỉnh đối diện (Hình 4). Bằng cách tương tự, hãy vẽ tiếp hai đường trung tuyến còn lại.
Quan sát tam giác trên hình, em thấy ba đường trung tuyến vừa vẽ có cùng đi qua một điểm hay không?
b) Em hãy đếm ô rồi vẽ lại tam giác ABC trong Hình 5 vào giấy kẻ ô vuông. Vẽ hai đường trung tuyến BE và CF của tam giác ABC. Hai đường trung tuyến này cắt nhau tại G. Tia AG cắt BC tại D.
Em hãy quan sát vào cho biết:
• AD có phải đường trung tuyến của tam giác ABC hay không?
• Các tỉ số \(\dfrac{BG}{BE}\), \(\dfrac{CG}{CF}\), \(\dfrac{AG}{AD}\) bằng bao nhiêu?
Trả lời:
a) – Ta xác định trung điểm 1 cạnh bằng cách gấp sao cho 2 đỉnh của tam giác trùng nhau, khi đó giao của nét gấp đi qua 1 cạnh của tam giác sẽ là trung điểm của cạnh đó.
– Rồi từ các trung điểm vừa xác định được ta kẻ các đường trung tuyến của tam giác từ các đỉnh.
Nhận xét: Ta thấy 3 đường trung tuyến trong tam giác này đều sẽ đi qua 1 điểm.
b) Ta có hình vẽ sau:
• Ta nối dài đoạn AG sao cho AG cắt BC tại 1 điểm.
Ta thấy điểm giao nhau giữa AG và BC chính là trung điểm của BC.
Nên AG là trung tuyến của tam giác ABC.
• Ta sẽ sử dụng số đo dựa trên các ô để xét tỉ số giữa các đoạn thẳng.
\(\dfrac{BG}{BE} = \dfrac{2}{3}; \dfrac{CG}{CF} = \dfrac{4}{6}; \dfrac{AG}{AD} = \dfrac{4.4}{6.6}\)
Sau khi rút gọn các tỉ số ta có:
\(\dfrac{BG}{BE} = \dfrac{CG}{CF} = \dfrac{AG}{AD} = \dfrac{2}{3}\).
Thực hành 2 trang 75 Toán 7 tập 2 CTST
Trong Hình 7, G là trọng tâm của tam giác AEF với đường trung tuyến AM.
Hãy tính các tỉ số:
a) \(\dfrac{{GM}}{{AM}}\);
b) \(\dfrac{{GM}}{{AG}}\);
c) \(\dfrac{{AG}}{{GM}}\).
Trả lời:
a) Vì G là trọng tâm của tam giác AEF với đường trung tuyến AM nên theo định lí 3 đường trung tuyến cắt nhau tại trọng tâm ta có:
\(\dfrac{AG}{AM} = \dfrac{2}{3}\) \(⇒ \dfrac{GM}{AM} = 1 – \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{3}\)
b) Vì \(\dfrac{AG}{AM} = \dfrac{2}{3}\) và \(\dfrac{GM}{AM} = \dfrac{1}{3}\) (chứng minh trên)
\(⇒ \dfrac{GM}{AG} = \dfrac{1}{2}\)
c) Vì \(\dfrac{GM}{AG} = \dfrac{1}{2}\) (chứng minh trên)
\(⇒ \dfrac{AG}{GM} = 2\).
Vận dụng 2 trang 75 Toán 7 tập 2 CTST
Cho tam giác ABC có O là trung điểm của BC, trên tia đối của tia OA, lấy điểm D sao cho $OA = OD$. Gọi I và J lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC và BCD. Chứng minh rằng $AI = IJ = JD$.
Trả lời:
Vì I là trọng tâm tam giác ABC theo giả thiết nên ta có:
\(AI = \dfrac{2}{3}AO = 2IO\) (định lí về trọng tâm trong tam giác)
Tương tự J là trọng tâm tam giác BCD nên ta có:
\(DJ = \dfrac{2}{3}OD = 2OJ\) (định lí về trọng tâm trong tam giác)
Mà $OA = OD$ (giả thiết)
\(⇒ AI = DJ = \dfrac{2}{3}OA = \dfrac{2}{3}OD = 2OI = 2OJ\)
Mà $OI = OJ$ do cùng \( = \dfrac{1}{3}OA = \dfrac{1}{3}OD\) (tính chất trọng tâm trong tam giác)
\(⇒ 2OI = 2OJ = 2\dfrac{1}{3}AO = 2\dfrac{1}{3}OD = IJ\)
\(⇒ AI = DJ = IJ = \dfrac{2}{3}OA = \dfrac{2}{3}OD\) (điều phải chứng minh).
GIẢI BÀI TẬP
Sau đây là phần Giải bài 1 2 3 4 5 6 trang 75 76 sgk Toán 7 tập 2 Chân Trời Sáng Tạo. Nội dung chi tiết bài giải từng bài tập các bạn xem dưới đây:
Giải bài 1 trang 75 Toán 7 tập 2 CTST
Quan sát Hình 8. Thay ? bằng số thích hợp.
$EG = ? EM; \,GM = ? EM; \,GM = ? EG$
$FG = ? GN; \,FN = ? GN; \,FN = ?FG$.
Bài giải:
Ta thấy G là giao điểm hai đường trung tuyến của tam giác EFH nên G là trọng tâm của tam giác EFH.
Do đó ta điền được như sau:
$EG = \dfrac{2}{3}EM; \,GM = \dfrac{1}{3}EM; \,GM = \dfrac{1}{2}EG$
$FG = 2GN; \,FN = 3GN; \,FN = \dfrac{3}{2}FG$.
Giải bài 2 trang 75 Toán 7 tập 2 CTST
Quan sát Hình 9.
a) Biết $AM = 15 \,cm$, tính AG.
b) Biết $GN = 6 \,cm$, tính CN.
Bài giải:
a) Theo đề bài ta có $AM = 15 \,cm$
Mà CN và AM là 2 trung tuyến của tam giác ABC, AM cắt CN tại G nên G là trọng tâm tam giác ABC
\(⇒ AG = \dfrac{2}{3}AM\) (định lí về trọng tâm tam giác)
\(⇒ AG = \dfrac{2}{3}\,15 \,cm = 10 \,cm\)
b) Vì $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$
\(⇒ CG = \dfrac{2}{3}CN\) (theo tính chất của trung tuyến đi qua trọng tâm)
Mà \(CG + GN = CN\) nên ta có:
\(GN = CN – CG = CN – \dfrac{2}{3}CN = \dfrac{1}{3}CN\)
Theo giả thiết $GN = 6 \,cm$
Do đó \(⇒ CN = 3GN = 3.6 \,cm = 18 \,cm\)
Giải bài 3 trang 75 Toán 7 tập 2 CTST
Cho tam giác ABC. Hai đường trung tuyến AM và CN cắt nhau tại G. Trên tia đối của tia AM lấy điểm E sao cho $ME = MG$.
a) Chứng minh rằng BG song song với EC.
b) Gọi I là trung điểm của BE, AI cắt BG tại F. Chứng minh rằng $AF = 2FI$.
Bài giải:
a) Xét tam giác BGM và tam giác CEM có:
\(\widehat {GMB} = \widehat {EMC}\) (2 góc đối đỉnh)
$GM = ME$ (do G đối xứng E qua M)
$MB = MC$ (do M là trung điểm của BC)
$⇒ ∆ BGM = ∆ CEM$ (c.g.c)
\(⇒ \widehat {GBM} = \widehat {MCE}\) (2 góc tương ứng bằng nhau)
Mà 2 góc trên ở vị trí so le trong nên $BG⫽CE$
b) Vì I là trung điểm BE nên AI sẽ là trung tuyến của tam giác ABE
Và BG cũng là trung tuyến của tam giác ABE do G là trung điểm AE
Vì BG cắt AI tại F nên F sẽ là trọng tâm của tam giác ABE
\(⇒ AF = \dfrac{2}{3}AI\) (định lí về trọng tâm tam giác)
Mà $AI = AF + FI ⇒ FI = AI – AF$
\(⇒ FI = AI – \dfrac{2}{3}AI = \dfrac{1}{3}AI\)
\(⇒ 2FI = AF = \dfrac{2}{3}AI\)
Vậy $AF = 2FI$.
Giải bài 4 trang 75 Toán 7 tập 2 CTST
Cho tam giác ABC cân tại A có BM và CN là hai đường trung tuyến.
a) Chứng minh rằng $BM = CN$.
b) Gọi I là giao điểm của BM và CN, đường thẳng AI cắt BC tại H. Chứng minh H là trung điểm của BC.
Bài giải:
a) Vì tam giác ABC cân tại A theo giả thiết. BM và CN là 2 đường trung tuyến nên M, N là 2 trung điểm của AC, AB.
Vì $AB = AC$ (tính chất tam giác cân)
\(⇒ \dfrac{{AB}}{2} = \dfrac{{AC}}{2} = AN = AM\)
Xét tam giác $AMB$ và tam giác $ANC$ ta có:
$AM = AN$ (cmt)
$AB = AC$
Góc $A$ chung
\(⇒ ∆ AMB =∆ ANC\)
\(⇒ BM = CN\) (2 cạnh tương ứng)
b) Vì BM và CN là các đường trung tuyến, mà I là giao điểm của BM và CN.
⇒ $I$ là trọng tâm của tam giác $ABC$
⇒ $AI$ là đường trung tuyến của tam giác $ABC$ hay $AH$ đường là trung tuyến của tam giác $ABC$
⇒ $H$ là trung điểm của $BC$.
Giải bài 5 trang 76 Toán 7 tập 2 CTST
Cho tam giác ABC có đường trung tuyến BM bằng đường trung tuyến CN. Chứng minh rằng tam giác ABC cân.
Bài giải:
Gọi I là giao điểm của CN và BM
⇒ I là trọng tâm tam giác ABC
\(⇒ CI = \dfrac{2}{3}CN = BI = \dfrac{2}{3}BM\) (do BM = CN)
⇒ Tam giác $IBC$ cân tại $I$
⇒ \(\widehat {IBC} = \widehat {ICB}\) (2 góc đáy trong tam giác cân) (1)
Xét \(∆ NIB\) và \(∆ MIC\) có:
$BI = CI$
\(\widehat {NIB} = \widehat {MIC}\) (2 góc đối đỉnh)
$NI = IM$ (do cùng \( = \dfrac{1}{3}CN = \dfrac{1}{3}BM\) (tính chất của trung trực đi qua trọng tâm tam giác)
\(⇒ ∆ NIB = ∆ MIC\) (c.g.c)
\(⇒\widehat {NBI} = \widehat {MCI}\) (2 góc tương ứng) (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
\(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\) do \(\widehat {ABC} = \widehat {NBI} + \widehat {IBC}\) và \(\widehat {ACB} = \widehat {MCI} + \widehat {ICB}\)
\(⇒ ∆ ABC\) cân tại $A$ (do 2 góc bằng nhau)
Giải bài 6 trang 76 Toán 7 tập 2 CTST
Cho tam giác ABC cân tại A có BD và CE là hai đường trung tuyến cắt nhau tại F (Hình 10). Biết BE = 9 cm, tính độ dài đoạn thẳng DF.
Bài giải:
Vì BE, CD là 2 trung tuyến của tam giác ABC nên E, D lần lượt là trung tuyến của AB và AC
\(⇒ AD = AE = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{1}{2}AC\)
Xét tam giác $ADC$ và tam giác $AEB$ có:
$AD = AE$
Góc $A$ chung
$AB = AC$ (tam giác ABC cân tại A theo giả thiết)
\(⇒ ∆ ADC = ∆ AEB\) (c.g.c)
\(⇒ BE = CD\) (cạnh tương ứng)
Vì F là giao 2 trung tuyến nên F là trọng tâm tam giác ABC
\(⇒ CF = BF = \dfrac{2}{3}BE = \dfrac{2}{3}CD\) (định lí về trung tuyến đi qua trọng tâm tam giác)
\(⇒ \dfrac{1}{3}BE = \dfrac{1}{3}CD\)
\(⇒ DF = FE = \dfrac{1}{3}.9 \,cm = 3 \,cm\)
Vậy $DF = 3 \,cm$
Bài trước:
👉 Giải bài 1 2 3 trang 72 sgk Toán 7 tập 2 Chân Trời Sáng Tạo
Bài tiếp theo:
👉 Giải bài 1 2 3 4 trang 78 sgk Toán 7 tập 2 Chân Trời Sáng Tạo
Trên đây là bài Hướng dẫn Giải bài 1 2 3 4 5 6 trang 75 76 sgk Toán 7 tập 2 Chân Trời Sáng Tạo đầy đủ, ngắn gọn và dễ hiểu nhất. Chúc các bạn làm bài môn toán 7 tốt nhất!
“Bài tập nào khó đã có giaibaisgk.com“