Nội Dung
Hướng dẫn giải Bài §3. Hình thang cân sgk Toán 8 tập 1 bộ Cánh Diều. Nội dung bài Giải bài 1 2 3 4 5 trang 103 104 sgk Toán 8 tập 1 Cánh Diều bao gồm đầy đủ phần lí thuyết kèm bài giải các câu hỏi, hoạt động, luyện tập vận dụng và bài tập, giúp các bạn học sinh học tốt môn toán 8.
§3. HÌNH THANG CÂN
Câu hỏi khởi động trang 101 Toán 8 tập 1 CD
Ở lớp 6, phần Hình học trực quan, chúng ta đã được làm quen với hình thang cân và những vật thể có dạng hình thang cân, chẳng hạn, khung cửa sổ có dạng hình thang cân (Hình 21).
Hình thang cân có những tính chất gì? Có những dấu hiệu nào để nhận biết một tứ giác là hình thang cân?
Trả lời:
‒ Hình thang cân có những tính chất sau:
+ Hai cạnh đáy song song với nhau;
+ Hai cạnh bên bằng nhau;
+ Hai đường chéo bằng nhau.
‒ Dấu hiệu nhận biết một tứ giác là hình thang cân:
+ Tứ giác có hai cạnh đối song song và có hai góc kề một đáy bằng nhau;
+ Tứ giác có hai cạnh đối song song và có hai đường chéo bằng nhau.
I. ĐỊNH NGHĨA
Hoạt động 1 trang 101 Toán 8 tập 1 CD
Cho biết hai cạnh $AB$ và $CD$ của tứ giác $ABCD$ ở Hình 22 có song song với nhau hay không?
Trả lời:
Hai cạnh $AB$ và $CD$ của tứ giác $ABCD$ ở Hình 22 có song song với nhau.
Hoạt động 2 trang 101 Toán 8 tập 1 CD
Hai góc $C$ và $D$ cùng kề với đáy $CD$ của hình thang $ABCD$ ở Hình 23. Cho biết hai góc $C$ và $D$ có bằng nhau hay không.
Trả lời:
Hai góc $C$ và $D$ cùng kề với đáy $CD$ của hình thang $ABCD$ ở Hình 23 có bằng nhau.
II. TÍNH CHẤT
Hoạt động 3 trang 102 Toán 8 tập 1 CD
Cho hình thang cân $ABCD$ có $AB // CD, AB < CD, E$ là giao điểm của $AD$ và $BC$ (Hình 25).
a) So sánh các cặp góc: \(\widehat {E{\rm{D}}C}\) và \(\widehat {EC{\rm{D}}}\); \(\widehat {E{\rm{A}}B}\) và \(\widehat {EBA}\).
b) So sánh các cặp đoạn thẳng: $EA $và $EB, ED$ và $EC$. Từ đó, hãy so sánh $AD$ và $BC$.
c) Hai tam giác $ADC$ và $BCD$ có bằng nhau hay không? Từ đó, hãy so sánh $AC$ và $BD$.
Trả lời:
a) Do ABCD là hình thang cân nên.
\(\widehat {ADC} = \widehat {BCD}\) hay \(\widehat {EDC} = \widehat {ECD}\)
Do $ABCD$ là hình thang cân nên $\widehat {BAD} = \widehat {ABC}$
Mà:
$\widehat {BAD} + \widehat {EAB} = {180^0}$
$\widehat {ABC} + \widehat {EBA} = {180^0}$
Suy ra:
$\widehat {BAD} + \widehat {EAB} = \widehat {ABC} + \widehat {EBC}$
$⇒ \widehat {EAB} = \widehat {EBA}$
b) Do \(\widehat {EAB} = \widehat {EBA}\) suy ra \(\Delta EAB\) cân tại $E$ nên $EA = EB$.
Do \(\widehat {EDC} = \widehat {ECD}\) suy ra \(\Delta ECD\) cân tại $E$ nên $ED = EC$.
Mà: $EA = EC$
Suy ra $EA + AD = EB + BC$
Suy ra $AD = BC$ (do $EA = EB$)
c) Xét \(\Delta ADC\) và \(\Delta BCD\) có:
$AD = BC$
\(\widehat {ADC} = \widehat {BCD}\)
$DC$ chung
Suy ra: \(\Delta ADC = \Delta BCD (c.g.c) ⇒ AC = BD\)
Luyện tập vận dụng 1 trang 102 Toán 8 tập 1 CD
Cho hình thang cân $ABCD$ có $AB //CD$. Chứng minh \(\widehat {A{\rm{DB}}} = \widehat {BCA}\).
Trả lời:
Do tứ giác $ABCD$ là hình thang cân nên:
$AD = BC$
$AC = BD$
Xét \(\Delta ADB\) và \(\Delta BCA\) có:
$AB$ chung, $AD = BC, AC = BD$
\(⇒ \Delta ADB = \Delta BCA\) (c.c.c)
III. DẤU HIỆU NHẬN BIẾT
Hoạt động 4 trang 102 Toán 8 tập 1 CD
Quan sát hình thang $ABCD (AB //CD, AB < CD)$ có hai đường chéo $AC$ và $BD$ bằng nhau. Kẻ $BE$ song song với $AC$ ($E$ thuộc đường thẳng $CD$) (Hình 27).
a) Hai tam giác $ABC$ và $ECB$ có bằng nhau hay không?
b) So sánh các cặp góc: \(\widehat {BE{\rm{D}}}\) và \(\widehat {B{\rm{D}}E}; \,\,\widehat {AC{\rm{D}}}\) và \(\widehat {BE{\rm{D}}}\).
c) Hai tam giác $ACD$ và $BDC$ có bằng nhau không? Từ đó, hãy so sánh \(\widehat {A{\rm{D}}C}\) và \(\widehat {BC{\rm{D}}}\).
d) ABCD có phải là hình thang cân hay không?
Trả lời:
Do $ABCD$ là hình thang nên $AB//CD$.
Kẻ $BE//AC$, \(E \in CD\) nên $CE//AB$.
\( ⇒ \widehat {BCE} = \widehat {BAC}\)(hai góc so le trong).
a) Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta ECB\) có:
\(\widehat {BCE} = \widehat {BAC}\)
$BC$ chung
\(\widehat {EBC} = \widehat {ACB}\) (do $BC//AC$)
\(⇒ \Delta ABC = \Delta ECB\) (g.c.g)
b) ♦ Ta có:
$BE = AC = BD$
\(⇒ \Delta BDE\) cân tại $B$
\(⇒ \widehat {BDE} = \widehat {BED}\)
♦ Do \(\Delta ABC = \Delta ECB\)
\(⇒ \widehat {BEC} = \widehat {BAC}\) (2 góc tương ứng) hay \(\widehat {BED} = \widehat {BAC}\) (1)
Mà: \(\widehat {BAC} = \widehat {ACD}\) (do $AB//CD$) (2)
Từ (1), (2) suy ra: \(\widehat {BED} = \widehat {ACD}\)
Theo trên ta có:
$\widehat {BED} = \widehat {BDE}$
$\widehat {ACD} = \widehat {BED}$
Suy ra: \(\widehat {ACD} = \widehat {BDE}\) hay \(\widehat {ACD} = \widehat {BDC}\)
c) Xét \(\Delta ACD\) và \(\Delta BDC\) có:
$CD$ chung; \(\widehat {ACD} = \widehat {BDC}\); $AC = BD$ (gt)
\(⇒ \Delta ACD = \Delta BDC\) (c.g.c)
\(⇒ \widehat {ADC} = \widehat {BCD}\) (2 góc tương ứng)
d) Hình thang $ABCD (AB//CD)$ có \(\widehat {ADC} = \widehat {BCD}\) nên hình thang $ABCD$ là hình thang cân.
Luyện tập vận dụng 2 trang 103 Toán 8 tập 1 CD
Một ô cửa sổ có dạng hình chữ nhật với chiều dài là $120 cm$ và chiều rộng là $80 cm$. Người ta mở rộng ô cửa sổ đó bằng cách tăng độ dài cạnh dưới về hai bên, mỗi bên $20 cm$ (mô tả ở Hình 29). Sau khi mở rộng thì ô của sổ đó có dạng hình gì? Tính diện tích của ô của sổ đó sau khi mở rộng.
Trả lời:
Sau khi mở rộng thì ô cửa sổ đó có dạng hình thang cân với:
Độ dài đáy lớn là:
$20 + 80 + 20 = 120 (cm)$
Độ dài đáy bé là: $80 cm$
Chiều cao của hình thang là: $120 cm$.
Diện tích ô cửa sau khi mở rộng là:
\(S = \dfrac{1}{2}.(120 + 80).120 = 12 \,000 \,(cm^2)\)
GIẢI BÀI TẬP
Sau đây là phần Giải bài 1 2 3 4 5 trang 103 104 sgk Toán 8 tập 1 Cánh Diều. Nội dung chi tiết bài giải từng bài tập các bạn xem dưới đây:
Giải bài 1 trang 103 Toán 8 tập 1 CD
Cho hình thang cân $ABCD$ có $AB // CD, AB < CD$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của cạnh $AB, CD$ và $T$ là giao điểm của $AC$ và $BD$ (Hình 30).
Chứng minh:
a) \(\widehat {TA{\rm{D}}} = \widehat {TBC}, \widehat {T{\rm{D}}A} = \widehat {TCB}\).
b) \(TA = TB, \,T{\rm{D}} = TC\).
c) $MN$ là đường trung trực của cả hai đoạn thẳng $AB$ và $CD$.
Bài giải:
a) ♦ Xét \(\Delta ADC\) và \(\Delta BDC\) có:
$DC$ là cạnh chung.
\(\widehat {ADC} = \widehat {BCD}\) (do $ABCD$ là hình thang cân)
$AD = BC$
\(⇒ \Delta ADC = \Delta BDC(c.g.c)\)
\(⇒ \widehat {CAD} = \widehat {DBC}\) (2 góc tương ứng) hay \(\widehat {TAD} = \widehat {DTBC}\)
♦ Xét \(\Delta BAD\) và \(\Delta ACB\) có:
$AB$ chung; $AD = BC$; $AC = BD$
\(⇒ \Delta BDA = \Delta ACB\) (c.c.c)
\(⇒ \widehat {BDA} = \widehat {ACB}\) (2 góc tương ứng) hay \(\widehat {TDA} = \widehat {TCB}\)
b) Xét \(\Delta TAD\) và \(\Delta TBC\) có:
\(\widehat {TAD} = \widehat {TBC}\) (theo câu a)
$AD = BC$ ($ABCD$ là hình thang cân)
\(\widehat {TDA} = \widehat {TCB}\) (theo câu a)
\(⇒ \Delta TAD = \Delta TBC ⇒ TA = TB,TC = TD\)
c) Vì:
\(TA = TB ⇒ \Delta ATB\) cân tại $T$. Suy ra $TM$ là trung trực của $AB$
\(TC = TD ⇒ \Delta DTC\) cân tại $T$. Suy ra $TN$ là trung trực của $CD$
Mà: $M, T, N$ thẳng hàng nên $MN$ là đường trung trực của cả 2 đường thẳng $AB$ và $CD$.
Giải bài 2 trang 104 Toán 8 tập 1 CD
Người ta ghép ba hình tam giác đều với độ dài cạnh là $a$ với vị trí như Hình 31.
a) Chứng minh ba điểm $A, B, C$ thẳng hàng.
b) Chứng minh tứ giác $ACDE$ là hình thang cân.
c) Tính diện tích của tứ giác $ACDE$ theo $a$.
Bài giải:
a) Do $ΔABE, ΔBED, ΔBDC$ là các tam giác đều nên:
\(\widehat {ABE} + \widehat {EBD} + \widehat {DBC} = {180^0}\)
Suy ra 3 điểm $A, B, C$ thẳng hàng
b) Do:
$\widehat {BDE} = \widehat {DBC} = {60^0} ⇒ ED//BC$ (1)
$\widehat {BED} = \widehat {EBA} = {60^0} ⇒ ED//AB$ (2)
Từ (1), (2) suy ra: $ED//AC$ ⇒ Tứ giác $ABCD$ là hình thang.
Mà: \(\widehat {EAC} = \widehat {DCA} = {60^0}\) ⇒ Hình thang $ABCD$ là hình thang cân.
c) Kẻ $BH$ là đường cao của tam giác $BDE$.
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác $BHD$ vuông tại $H$, ta có:
$B{D^2} = B{H^2} + H{D^2}$
$⇒ B{H^2} = B{D^2} – H{D^2}$
$= {a^2} – \frac{{{a^2}}}{4}$
Suy ra $BH = a\frac{\sqrt 3}{2}$
Lại có: $AC = a + a = 2a$
Do đó diện tích của tứ giác $ABCD$ là:
$S_{ACDE} = \frac{1}{2}.(AC+ ED).BH$
$= \frac{1}{2}.(2a + a).a\frac{\sqrt 3}{2} = \frac{3\sqrt 3{a^2}}{4}$ (đvdt)
Giải bài 3 trang 104 Toán 8 tập 1 CD
Cho hình chữ nhật $ABCD$. Trên cạnh $AB$ lấy hai điểm $M, N$ sao cho \(AM = NB < \dfrac{1}{2}AB\). Chứng minh tứ giác $MNCD$ là hình thang cân.
Bài giải:
Ta có hình vẽ minh họa sau:
Vì $ABCD$ là hình chữ nhật suy ra $AD = BC$
Vì $AM = BN$ suy ra $AN = BM$
Áp dụng định lí pythagore vào \(\Delta AND\) vuông tại $A$ có:
\(M,N \in AB\)
Mà: $AB//CD$ ⇒ $MN//CD$
Suy ra $MNCD$ là hình thang
⇒ \(N{D^2} = A{N^2} + A{D^2} = B{M^2} + B{C^2}\) (1)
Áp dụng định lí pythagore vào \(\Delta NBD\) vuông tại $B$ có:
\(M{C^2} = B{M^2} + B{C^2}\) (2)
Từ (1), (2) suy ra: \(M{C^2} = M{D^2} ⇒ MC = MD\)
Vậy hình thang $MNCD$ có 2 đường chéo $MC = MD$ nên $MNCD$ là hình thang cân.
Giải bài 4 trang 104 Toán 8 tập 1 CD
Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ có hai đường phân giác $BE$ và $CK$. Chứng minh tứ giác $BKEC$ là hình thang cân.
Bài giải:
Ta có hình vẽ minh họa sau:
Do:
$BE$ là phân giác của \(\widehat {ABC}\) nên $\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}} = \frac{\widehat {ABC}}{2}$
$CK$ là phân giác của \(\widehat {ACB}\) nên $\widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}} = \frac{\widehat {ACB}}{2}$
Mà: \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB} = \frac{{{{180}^0} – \widehat A}}{2}\) (do \(\Delta ABC\) cân tại A) (1)
\(⇒ \widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}} = \widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}}\)
Xét \(\Delta AEB\) và \(\Delta AKC\) có:
\(\widehat A\) chung, \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{C_1}}, \,AB = AC\)
\(⇒ \Delta AEB = \Delta AKC\) (c.g.c)
\(⇒ AE = AK ⇒ \Delta AEK\) cân tại $A$
⇒ \(\widehat {AEK} = \widehat {AKE} = \frac{{{{180}^0} – \widehat A}}{2}\) (2)
Từ (1), (2) suy ra: \(\widehat {ABC} = \widehat {AKE}\) (2 góc đồng vị)
$⇒ KE//BC$. Suy ra $BKEC$ là hình thang (3)
Từ (1), (3) suy ra $BKEC$ là hình thang cân.
Giải bài 5 trang 104 Toán 8 tập 1 CD
Hình 33a là mặt cắt đứng phần chứa nước của một con mương (Hình 32) khi đầy nước có dạng hình thang cân. Người ta mô tả lại bằng hình học mặt cắt đứng của con mương đó ở Hình 33b với $BD // AE$ ($B$ thuộc $AC$), $H$ là hình chiếu của $D$ trên đường thẳng $AC$.
a) Chứng minh rằng các tam giác $BCD, BDE, ABE$ là các tam giác đều.
b) Tính độ dài của $DH, AC$.
c) Tính diện tích mặt cắt đứng phần chứa nước của con mương đó khi đầy nước.
Bài giải:
a, Do $ACDE$ là hình thang cân nên $AC//DE$ suy ra $AB//ED$
$⇒\widehat {B_1} = \widehat {E_3}$; $ \widehat {A_1} = \widehat {E_1} = {60^o}$; $\widehat {C_1} = \widehat {D_1} = {60^o}$
Mà: $AE//BD ⇒ \widehat {B_2} = \widehat {E_2}$
Xét \(\Delta ABE\) và \(\Delta B{\rm{D}}E\) có:
$\widehat {B_1} = \widehat {E_3}$; $BE$ chung; $\widehat {B_2} = \widehat {E_2}$
$⇒ \Delta ABE = \Delta B{\rm{D}}E$
$⇒ A{\rm{E}} = B{\rm{D}} = 2 \,m; \,AB = E{\rm{D}} = 2 \,m$
♦ Xét \(\Delta BC{\rm{D}}\) có:
$\widehat {C_1} = {60^o}; \,B{\rm{D}} = C{\rm{D}} = 2 \,m$ ⇒ $\Delta BC{\rm{D}}$ đều.
♦ Xét \(\Delta A{\rm{E}}B\) có:
$\widehat {A_1} = {60^o}; \,AB = A{\rm{E}} = 2 \,m$ ⇒ $\Delta A{\rm{E}}B$ đều.
♦ Vì \(\Delta A{\rm{E}}B\) đều ⇒ $BE = 2 \,m$.
Xét \(\Delta BE{\rm{D}}\) có:
$BD = BE = ED = 2 \,m$ ⇒ $\Delta BE{\rm{D}}$ đều.
b) Vì \(\Delta ABE, \Delta BC{\rm{D}}\) là các tam giác đều nên $AB = BC = 2 \,m$.
Suy ra $AC = AB + BC = 4 \,m$.
Do \(\Delta B{\rm{D}}C\) đều nên $H$ là trung điểm của $BC$.
Suy ra $HC = HB =\dfrac{{BC}}{2} = 1$
Xét \(\Delta DHC\) vuông tại $H$ ta có:
\(D{C^2} = D{H^2} + H{C^2}\) (theo định lý pythagore)
$ ⇒ D{H^2} = D{C^2} – H{C^2} = {2^2} – {1^2} = 3$
$⇒ DH = \sqrt 3 $
c) Diện tích hình thang cân $AEDC$ là:
\({S_{A{\rm{ED}}C}} = \dfrac{1}{2}DH.(AC + E{\rm{D}})\\ = \dfrac{1}{2}\sqrt 3 (2 + 4) = 3\sqrt 3 (m^2)\)
Vậy diện tích mặt cắt đứng phần chứa nước của con mương đó khi đầy nước là \(3\sqrt 3 m^2\).
Bài trước:
👉 Giải bài 1 2 3 trang 100 sgk Toán 8 tập 1 Cánh Diều
Bài tiếp theo:
👉 Giải bài 1 2 3 4 5 trang 107 108 sgk Toán 8 tập 1 Cánh Diều
Trên đây là bài Hướng dẫn Giải bài 1 2 3 4 5 trang 103 104 sgk Toán 8 tập 1 Cánh Diều đầy đủ, ngắn gọn và dễ hiểu nhất. Chúc các bạn làm bài môn toán 8 tốt nhất!
“Bài tập nào khó đã có giaibaisgk.com“