Nội Dung
Hướng dẫn giải Bài §4. Hình bình hành sgk Toán 8 tập 1 bộ Cánh Diều. Nội dung bài Giải bài 1 2 3 4 5 trang 107 108 sgk Toán 8 tập 1 Cánh Diều bao gồm đầy đủ phần lí thuyết kèm bài giải các câu hỏi, hoạt động, luyện tập vận dụng và bài tập, giúp các bạn học sinh học tốt môn toán 8.
§4. HÌNH BÌNH HÀNH
Câu hỏi khởi động trang 105 Toán 8 tập 1 CD
Trong thiết kế tay vịn cầu thang (Hình 34), người ta thường để các cặp thanh sườn song song với nhau, các cặp thanh trụ song song với nhau, tạo nên các hình bình hành?
Hình bình hành có những tính chất gì? Có những dấu hiệu nào để nhận biết một tứ giác là hình bình hành.
Trả lời:
‒ Hình bình hành có các tính chất:
+ Các cạnh đối song song và bằng nhau.
+ Các góc đối bằng nhau.
+ Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
‒ Dấu hiệu nhận biết hình bình hành:
+ Tứ giác có các cặp cạnh đối song song với nhau là hình bình hành.
+ Tứ giác có các cặp cạnh đối bằng nhau là hình bình hành.
+ Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành.
+ Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.
+ Tứ giác có các cặp góc đối bằng nhau là hình bình hành.
I. ĐỊNH NGHĨA
Hoạt động 1 trang 105 Toán 8 tập 1 CD
Cho biết các cặp cạnh đối $AB$ và $CD, AD$ và $BC$ của tứ giác $ABCD$ ở Hình 35 có song song với nhau hay không?
Trả lời:
Tứ giác $ABCD$ ở Hình 35 có các cặp cạnh đối $AB // CD, AD // BC$.
II. TÍNH CHẤT
Hoạt động 2 trang 106 Toán 8 tập 1 CD
Cho hình bình hành ABCD (Hình 37).
a) Hai tam giác $ABD$ và $CDB$ có bằng nhau hay không? Từ đó, hãy so sánh các cặp đoạn thẳng: $AB$ và $CD$; $DA$ và $BC$.
b) So sánh các cặp góc: \(\widehat {DAB}\) và \(\widehat {BCD}\); \(\widehat {ABC}\) và \(\widehat {CDA}\).
c) Hai tam giác $OAB$ và $OCD$ có bằng nhau hay không? Từ đó, hãy so sánh các cặp đoạn thẳng: $OA$ và $OC$; $OB$ và $OD$.
Trả lời:
a) Xét tam giác $ABD$ và tam giác $CDB$ có:
\(\widehat {ABD} = \widehat {CDB}\) (vì $AB//CD$)
$BD$ chung
\(\widehat {ABD} = \widehat {CDB}\) (vì $AD // BC$)
Suy ra: \(\Delta ABD = \Delta CDB\) (c.g.c)
Suy ra: $AB = CD, DA = BC$.
b) Vì \(\Delta AB{\rm{D}} = \Delta C{\rm{D}}B\) (c.g.c) suy ra: \(\widehat {DAB}\) = \(\widehat {BCD}\)
\(⇒ \Delta ABC = \Delta ADC \Rightarrow \widehat {ABC} = \widehat {CDA}\) (2 cạnh tương ứng)
c) Xét tam giác $OAB$ và $OCD$ có:
$\widehat {OAB} = \widehat {OCD}; \,AB chung; \,\widehat {OBA} = \widehat {ODC}$
Suy ra: \(\Delta OAB = \Delta OC{\rm{D}}\) (c.g.c)
Suy ra: $OA = OC; OB = OD$ (các cạnh tương ứng)
Luyện tập vận dụng 1 trang 106 Toán 8 tập 1 CD
Cho hình bình hành $ABCD$ có \(\widehat A = {80^o};AB = 4cm;BC = 5cm\). Tính số đo mỗi góc và độ dài các cạnh còn lại của hình bình hành $ABCD$.
Trả lời:
Do $ABCD$ là hình bình hành nên:
$CD = AB = 4 cm$
$AD = BC = 5 cm$
\(\widehat C = \widehat A = {80^o}\)
Do vậy:
$\widehat B = \widehat D = \dfrac{{{{360}^o} – \widehat A – \widehat C}}{2}$ $= \dfrac{{{{360}^o} – {{80}^o} – {{80}^o}}}{2} = {100^o}$
III. DẤU HIỆU NHẬN BIẾT
Hoạt động 3 trang 106 Toán 8 tập 1 CD
a) Cho tứ giác $ABCD$ có $AB = CD, BC = DA$ (Hình 39).
• Hai tam giác $ABC$ và $CDA$ có bằng nhau hay không?
Từ đó, hãy so sánh các cặp góc: \(\widehat {BAC}\) và \(\widehat {DCA};\widehat {ACB}\) và \(\widehat {C{\rm{D}}A}\).
• $ABCD$ có phải là hình bình hành hay không?
b) Cho tứ giác $ABCD$ có hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại trung điểm $O$ của mỗi đường (Hình 40).
• Hai tam giác $ABO$ và $CDO$ có bằng nhau hay không? Từ đó, hãy so sánh các cặp góc: \(\widehat {BAC}\) và \(\widehat {C{\rm{D}}A};\widehat {ACB}\) và \(\widehat {CA{\rm{D}}}\).
• $ABCD$ có phải là hình bình hành hay không?
Trả lời:
a) Xét hai tam giác $ABC$ và $CDA$ có:
$AB = CD; AD = BC; AC$ chung
\(⇒\Delta ABC = \Delta CDA\) (c.c.c)
Suy ra:
\(\widehat {BAC} = \widehat {DCA}; \, \widehat {ACB} = \widehat {CDA}\)
⇒ Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành.
b) Xét hai tam giác $ABO$ và tam giác $CDO$ có:
\(OA = OB; \,\widehat {AOB} = \widehat {COD}; \,OC = OD\)
\(⇒\Delta ABO = \Delta CDO\)
Suy ra:
\(\widehat {BAC} = \widehat {CDA}; \,\widehat {ACB} = \widehat {CAD}\).
⇒ Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành.
Luyện tập vận dụng 2 trang 107 Toán 8 tập 1 CD
Cho tứ giác $ABCD$ có hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $O$ thỏa mãn: $OA = OC$ và \(\widehat {OAD} = \widehat {OCB}\). Chứng minh tứ giác $ABCD$ là hình bình hành.
Trả lời:
Xét tam giác $AOD$ và tam giác $COB$ có:
$OA = OC; \,\widehat {DAO} = \widehat {BCO}(gt); \,\widehat {AOD} = \widehat {BOC}(gt)$
$⇒ \Delta AOD = \Delta COB ⇒ OD = OB$
Tứ giác $ABCD$ có $OA = OC; OB = OD$ nên tứ giác $ABCD$ là hình bình hành.
GIẢI BÀI TẬP
Sau đây là phần Giải bài 1 2 3 4 5 trang 107 108 sgk Toán 8 tập 1 Cánh Diều. Nội dung chi tiết bài giải từng bài tập các bạn xem dưới đây:
Giải bài 1 trang 107 Toán 8 tập 1 CD
Cho tứ giác $ABCD$ có \(\widehat {DAB} = \widehat {BCD}; \,\widehat {ABC} = \widehat {CDA}\). Kẻ tia $Ax$ là tia đối của tia $AB$. Chứng minh:
a) \(\widehat {ABC} + \widehat {DAB} = {180^o}\).
b) \(\widehat {xAD} = \widehat {ABC}; \,AC//BC\).
c) Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành.
Bài giải:
Ta có hình vẽ minh họa sau:
a) Tứ giác ABCD có:
\(\widehat {ABC} + \widehat {BCD} + \widehat {CDA} + \widehat {DAB} = {360^o}\)
Theo đề bài \(\widehat {DAB} = \widehat {BCD}; \,\widehat {ABC} = \widehat {CDA}\))
⇒ \(\widehat {ABC} + \widehat {DAB} + \widehat {ABC} + \widehat {DAB} = {360^o}\)
⇒ $2\widehat {ABC} + 2\widehat {DAB} = {360^o}$
⇒ $\widehat {ABC} + \widehat {DAB} = \dfrac{{{{360}^0}}}{2} = {180^o}$
b) Ta có:
\(\widehat {xAD} + \widehat {DAB} = {180^o}\) (do tia $Ax$ là tia đối của tia $AB$)
Nên:
$\widehat {xAD} + \widehat {DAB} = \widehat {ABC} + \widehat {DAB}$
$⇒ \widehat {xAD} = \widehat {ABC}$
Suy ra $AD//BC$ (hai góc đồng vị bằng nhau)
c) Vì $AD//BC$ \(⇒ \widehat {ADB} = \widehat {DBC}\) (2 góc so le trong)
Xét \(\Delta ADB\) có:
\(\widehat {ABD} = {180^0} – \widehat {ADB} – \widehat {DAB} = {180^0} – \widehat {DBC} – \widehat {BCD}\) (1)
(vì \(\widehat {ADB} = \widehat {DBC}; \,\widehat {DAB} = \widehat {BCD})\)
Xét \(\Delta CDB\) có:
\(\widehat {BDC} = {180^0} – \widehat {DBC} – \widehat {BCD}\) (2)
Từ (1), (2) suy ra \(\widehat {ABD} =\widehat {BDC}\)
Xét \(\Delta ADB\) và \(\Delta BCD\) có:
$DB \,chung; \,\widehat {ABD} = \widehat {BDC}; \,\widehat {ABD} = \widehat {DBC}$
$⇒ \Delta ADB = \Delta CDB ⇒ AD = BC, AB = CB$
Suy ra tứ giác $ABCD$ có cặp cạnh đối bằng nhau nên $ABCD$ là hình bình hành.
Giải bài 2 trang 108 Toán 8 tập 1 CD
Cho tam giác $ABC$ có hai đường trung tuyến $BM$ và $CN$ cắt nhau tại $G$. Gọi $P$ và $Q$ lần lượt là trung điểm của $GB$ và $GC$. Chứng minh tứ giác $PQMN$ là hình bình hành.
Bài giải:
Ta có hình vẽ minh họa sau:
\(\Delta ABC\) có hai đường trung tuyến $BM$ và $CN$ cắt nhau tại $G$.
Suy ra $G$ là trọng tâm của tam giác.
\(⇒BG = \dfrac{2}{3}BM; \,GM = \dfrac{1}{3}BM\) (1)
Mà: \(PG = \dfrac{1}{2}BG = \dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{3}BM = \dfrac{1}{3}BM\) (2)
Từ (1), (2) suy ra $GM = PG$
Chứng minh tương tự ta cũng có $QG = GN$
Tứ giác $PQMN$ có hai đường chéo $QN$ và $BM$ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên tứ giác $PQMN$ là hình bình hành.
Giải bài 3 trang 108 Toán 8 tập 1 CD
Cho hai hình bình hành $ABCD$ và $ABMN$ (Hình 42). Chứng minh:
a) $CD = MN$.
b) \(\widehat {BC{\rm{D}}} + \widehat {BMN} = \widehat {DAN}\).
Bài giải:
a) Do $ABCD$ là hình bình hành nên $AB = CD$
Do $ABMN$ là hình bình hành nên $AB = MN$
Suy ra: $CD = MN = AB$
b) Do $ABCD$ là hình bình hành \(⇒\widehat {BCD} = \widehat {DAB}\)
Do $ABMN$ là hình bình hành \(⇒\widehat {BMN} = \widehat {NAB}\)
Suy ra:
\(\widehat {BCD} + \widehat {BMN} = \widehat {DAB} + \widehat {NAB} = \widehat {DAN}\).
Giải bài 4 trang 108 Toán 8 tập 1 CD
Để đo khoảng cách giữa hai vị trí $A, B$ ở hai phía của một tòa nhà mà không thể đo trực tiếp được, người ta làm như sau: Chọn các vị trí $O, C, D$ sao cho $O$ không thuộc đường thẳng $AB$; khoảng cách $CD$ là đo được; $O$ là trung điểm của cả $AC$ và $BD$ (Hình 43). Người ta đo được $CD = 100 m$. Tính độ dài $AB$.
Bài giải:
Ta có:
$AC$ giao với $BD$ tại $O$.
Mà: $OA = OC; OB = OD$
Nên tứ giác $ABCD$ là hình bình hành
Suy ra $AB = CD = 100 \,m$.
Giải bài 5 trang 108 Toán 8 tập 1 CD
Bạn Hoa vẽ tam giác $ABC$ lên tờ giấy sau đó cắt một phần tam giác ở phái góc (Hình 44). Bạn Hoa đó bạn Hùng: Không vẽ lại tam giác $ABC$, làm thế nào tính được độ dài đoạn thẳng $AC, BC$ và số đo góc $ACB$?
Bạn Hùng làm như sau:
– Qua điểm $A$ kẻ đường thẳng $d$ song song với $BC$; qua điểm $B$ kẻ đường thẳng $d’$ song song với $AC$.
– Gọi $E$ là giao điểm của $d$ và $d’$.
– Đo độ dài các đoạn thẳng $AE, BE$ và đo góc $AEB$. Từ đó, tính được độ dài các đoạn thẳng $AC, BC$ và số đo góc $ACB$ (Hình 45).
Em hãy giải thích cách làm của bạn Hùng.
Bài giải:
Qua $A$ kẻ đường thẳng $d//BC$, qua $B$ kẻ đường thẳng \(d’//AC\)
Mà $E$ là giao điểm của $d$ và \(d’\)
Suy ra $AC//BE; AE//BC$.
Tứ giác $ACBE$ là hình bình hành.
Suy ra $AC = BE; \,BC = AE; \,\widehat {ACB} = \widehat {AEB}$.
Bài trước:
👉 Giải bài 1 2 3 4 5 trang 103 104 sgk Toán 8 tập 1 Cánh Diều
Bài tiếp theo:
👉 Giải bài 1 2 3 4 5 trang 111 sgk Toán 8 tập 1 Cánh Diều
Trên đây là bài Hướng dẫn Giải bài 1 2 3 4 5 trang 107 108 sgk Toán 8 tập 1 Cánh Diều đầy đủ, ngắn gọn và dễ hiểu nhất. Chúc các bạn làm bài môn toán 8 tốt nhất!
“Bài tập nào khó đã có giaibaisgk.com“