Nội Dung
Hướng dẫn giải Bài §6. Hình thoi sgk Toán 8 tập 1 bộ Cánh Diều. Nội dung bài Giải bài 1 2 3 4 5 trang 115 sgk Toán 8 tập 1 Cánh Diều bao gồm đầy đủ phần lí thuyết kèm bài giải các câu hỏi, hoạt động, luyện tập vận dụng và bài tập, giúp các bạn học sinh học tốt môn toán 8.
§6. HÌNH THOI
Câu hỏi khởi động trang 113 Toán 8 tập 1 CD
Hoạ tiết trên vải ở Hình 55 gợi lên hình ảnh của hình thoi.
Hình thoi có những tính chất gì? Có những dấu hiệu nào để nhận biết một tứ giác là hình thoi?
Trả lời:
‒ Hình thoi có tính chất:
+ Bốn cạnh bằng nhau;
+ Các cạnh đối song song.
+ Các góc đối bằng nhau.
+ Hai đường chéo vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
+ Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc ở đỉnh.
‒ Dấu hiệu nhận biết hình thoi:
+ Hình bình hành có hai cạnh kề nhau là hình thoi.
+ Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi.
+ Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình thoi.
I. ĐỊNH NGHĨA
Hoạt động 1 trang 113 Toán 8 tập 1 CD
So sánh độ dài các cạnh của tứ giác $ABCD$ ở Hình 56.
Trả lời:
Tứ giác $ABCD$ ở Hình 56 có: $AB = BC = CD = DA$.
II. TÍNH CHẤT
Hoạt động 2 trang 113 Toán 8 tập 1 CD
Cho hình thoi $ABCD$ có hai đường chéo là $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $O$ (Hình 58).
a) Hình thoi $ABCD$ có là hình bình hành hay không?
b) Hai đường chéo $AC$ và $BD$ có vuông góc với nhau hay không?
c) Hai tam giác $ABC$ và $ADC$ có bằng nhau hay không? Tia $AC$ có phải là tia phân giác của \(\widehat {BAD}\) hay không?
Trả lời:
a) Hình thoi $ABCD$ có là hình bình hành (vì $AB = BC = CD = DA$)
b) Xét tam giác $ABC$ có $AB = AC$ nên tam giác $ABC$ là tam giác cân tại $A$.
Suy ra đường trung tuyến $AO$ đồng thời là đường cao.
Suy ra $AO$ vuông góc với $BC$
Hay $AD$ vuông góc với $BC$
c) Xét tam giác $ABC$ và tam giác $ADC$ có:
$AD = AB$; $CD = CB$; $AC$ chung
$\Delta ABC = \Delta ADC ⇒ \widehat {DAC} = \widehat {BAC}$
Mà $AC$ nằm giữa 2 tia $AB$ và $AD$
Suy ra $AC$ là tia phân giác của góc $BAD$.
Luyện tập vận dụng 1 trang 114 Toán 8 tập 1 CD
Cho hình thoi $ABCD$ có \(\widehat {ABC} = {120^o}\). Chứng minh tam giác $ABD$ là tam giác đều.
Trả lời:
Ta có hình minh họa sau:
Vì $ABCD$ là hình thoi suy ra:
\(\widehat B = \widehat C = {120^o}\)
Mà \(\widehat A = \widehat D\)
Mặt khác:
\(\widehat A + \widehat B + \widehat C + \widehat D = {360^o}\)
Suy ra:
\(\widehat A = \widehat D = \dfrac{{{{360}^o} – \widehat B – \widehat C}}{2} = \dfrac{{{{360}^o} – {{120}^o} – {{120}^o}}}{2} = {60^o}\)
Xét tam giác $ABD$ có $AB = AD$ nên tam giác $ABD$ là tam giác cân tại $A$
Mà \(\widehat A = {60^o}\)
Suy ra tam giác $ABD$ là tam giác đều.
III. DẤU HIỆU NHẬN BIẾT
Hoạt động 3 trang 114 Toán 8 tập 1 CD
a) Cho hình bình hành $ABCD$ có hai cạnh kề $AB$ và $BC$ bằng nhau. $ABCD$ có phải là hình thoi hay không?
b) Cho hình bình hành $ABCD$ có hai đường chéo $AC$ và $BD$ vuông góc với nhau (Hình 60).
• Đường thẳng $AC$ có phải là đường trung trực của đoạn thẳng $BD$ hay không?
• $ABCD$ có phải là hình thoi hay không?
Trả lời:
a) Hình bình hành$ ABCD$ có $AB = BC$
Suy ra: $AB = BC = CD = DA$
Nên hình bình hành $ABCD$ là hình thoi.
b) $AC$ giao điểm với $BD$ tại $O$
Ta có: $O$ là trung điểm của $BD$ (do $ABCD$ là hình bình hành)
$AO$ vuông góc với $BD$
Suy ra $AO$ là đường trung trực của đoạn thẳng $BD$
Suy ra tam giác $ABD$ cân tại $A$
Suy ra: $AB = AD$
Suy ra $AB = DC = AD = BC$
Hình bình hành $ABCD$ là hình thoi
Luyện tập vận dụng 2 trang 115 Toán 8 tập 1 CD
Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ có $M$ là trung điểm $BC$. Trên tia đối của tia $MA$ lấy điểm $N$ sao cho $MN = MA$. Chứng minh tứ giác $ABNC$ là hình thoi.
Trả lời:
Ta có hình vẽ minh họa sau:
Tứ giác $ABNC$ có: $M$ là giao điểm của $AN$ và $BC$
$MN = MA$
$MB = MC$ (do $M$ là trung điểm của $BC$)
Suy ra: tứ giác $ABNC$ là hình bình hành (Tứ giác có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường)
Mà: $AB = AC$ (do tam giác $ABC$ cân tại $A$)
Suy ra: hình bình hành $ABNC$ là hình thoi (Hình bình hành có 2 cạnh kề bằng nhau).
Hoặc:
Do $MN = MA$ nên $M$ là trung điểm của $AN$.
Xét tứ giác $ABNC$ có hai đường chéo $AN$ và $BC$ cắt nhau tại trung điểm $M$ của mỗi đường
Do đó $ABNC$ là hình bình hành.
Mặt khác, $ΔABC$ cân tại $A$ có $AM$ là đường trung tuyến đồng thời là đường cao
Do đó $AM ⊥ BC$ hay $AN ⊥ BC$.
Suy ra hình bình hành $ABNC$ có hai đường chéo vuông góc với nhau nên là hình thoi.
GIẢI BÀI TẬP
Sau đây là phần Giải bài 1 2 3 4 5 trang 115 sgk Toán 8 tập 1 Cánh Diều. Nội dung chi tiết bài giải từng bài tập các bạn xem dưới đây:
Giải bài 1 trang 115 Toán 8 tập 1 CD
Cho hình bình hành $ABCD$ có tia $AC$ là tia phân giác của góc $DAB$. Chứng minh $ABCD$ là hình thoi.
Bài giải:
Ta có hình vẽ minh họa sau đây:
Vì $ABCD$ là hình bình hành nên 2 đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại trung điểm $I$ của mỗi đường.
Xét tam giác $ABD$ có đường trung tuyến $AI$ đồng thời là đường phân giác nên tam giác $ABD$ cân tại $A$.
Suy ra $AD = AB$.
Do đó $ABCD$ là hình thoi (Hình bình hành có 2 cạnh kề bằng nhau).
Giải bài 2 trang 115 Toán 8 tập 1 CD
Cho hình thoi $ABCD$ có hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $O$. Chứng minh:
\(A{C^2} + B{{\rm{D}}^2} = 4\left( {O{A^2} + O{B^2}} \right) = 4{\rm{A}}{B^2}\).
Bài giải:
Ta có hình vẽ minh họa sau đây:
Xét \(\Delta OAB\) vuông tại $A$ có:
\(O{A^2} + O{B^2} = A{B^2}\)
Vì ABCD là hình thoi nên $OA = OC; OB = OP$
Ta có:
$A{C^2} + B{D^2}$
$= {(OA + OC)^2} + {(OB + OD)^2}$
$= {(OA + OA)^2} + {(OB + OB)^2}$
$= {(2OA)^2} + {(2OB)^2}$
$= 4.O{A^2} + 4.O{B^2}$
$= 4{(OA + OB)^2} = 4.A{B^2}$
Vậy \(A{C^2} + B{{\rm{D}}^2} = 4\left( {O{A^2} + O{B^2}} \right) = 4{\rm{A}}{B^2}\).
Giải bài 3 trang 115 Toán 8 tập 1 CD
Cho hình thoi $ABCD$ có \(\widehat {CDB} = {40^o}\). Tính số đo mỗi góc của hình thoi $ABCD$.
Bài giải:
Ta có hình vẽ minh họa sau đây:
Do $ABCD$ là hình thoi nên $DB$ là tia phân giác của \(\widehat {CDA}\)
Mà:
$\widehat {CDB} = {40^0} ⇒ \widehat {CDA} = {2.40^0} = {80^0}$
$⇒\widehat {CBA} = \widehat {CDA} = {80^0}$
Mặt khác:
$\widehat {BAD} + \widehat {CBA} + \widehat {CDA} + \widehat {BCD} = {360^0}$
$⇔ \widehat {BAD} + {80^0} + {80^0} + \widehat {BCD} = {360^0}$
(do $ABCD$ là hình thoi nên \(\widehat {BAD} = \widehat {BCD}\))
\(⇒\widehat {BAD} = \widehat {BCD} = \frac{{{{360}^0} – {{80}^0} – {{80}^0}}}{2} = {100^0}\)
Vậy hình thoi $ABCD$ có: \(\widehat {CBA} = \widehat {CDA} = {80^0}; \,\widehat {BAD} = \widehat {BCD} = {100^0}\)
Giải bài 4 trang 115 Toán 8 tập 1 CD
Hình 62 mô tả một ô lưới mắt cáo có dạng hình thoi với độ dài của hai đường chéo là $45 mm$ và $90 mm$. Độ dài cạnh của ô lưới mắt đó là bao nhiêu milimét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Bài giải:
Ta có hình vẽ minh họa sau đây:
Giả sử mắt lưới cần tính độ dài cạnh là hình thoi $ABCD$.
Có. $BD = 45 mm$; $AC = 90 mm$.
Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$.
Vì: $ABCD$ là hình thoi nên:
$OA = OC = \dfrac{{AC}}{2} = \dfrac{{90}}{2} = 45(mm)$
$OB = OD = \dfrac{{BD}}{2} = \dfrac{{45}}{2} = 22,5 (mm)$
Xét \(\Delta AOB\) vuông tại $O$ có:
$AO^2 + OB^2 = AB^2$
${(45)^2} + {(22,5)^2} = A{B^2}$
$⇒ A{B^2} = 2.531,25 ⇒ AB \approx 50 (mm)$
Giải bài 5 trang 115 Toán 8 tập 1 CD
Một viên gạch trang trí có dạng hình thoi với độ dài cạnh là $40 cm$ và số đo một góc là \({60^o}\) (Hình 63). Diện tích của viên gạch đó là bao nhiêu centimét vuông (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Bài giải:
Ta có hình vẽ minh họa sau đây:
Giả sử viên gạch dạng hình thoi là hình thoi $ABCD$ có.
$BC = 40 cm$; $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$
Xét \(\Delta BCD\) có:
$BC = CD = 40 cm$; \(⇒ \Delta BCD\) là tam giác đều
⇒ $BD = BC = CD = 40 cm$
\(⇒OB = \dfrac{{BD}}{2} = \dfrac{{40}}{2} = 20 cm\)
Xét \(\Delta AOB\) vuông tại $O$ có:
$O{A^2} + O{B^2} = A{B^2}$
$⇒ O{A^2} = A{B^2} – O{B^2} = {40^2} – {20^2} = 1200$
\(⇒ OA = \sqrt {1200} ⇒ AC = 2\sqrt {1200}\)
Diện tích của hình thoi $ABCD$ là:
\(S = \dfrac{1}{2}.AC.BD = \dfrac{1}{2}.2\sqrt {1200}.40 = 1385,64 \,(cm^2)\)
Vậy diện tích của viên gạch đó là: \(1385,64 \,(cm^2)\)
Bài trước:
👉 Giải bài 1 2 3 4 5 trang 111 sgk Toán 8 tập 1 Cánh Diều
Bài tiếp theo:
👉 Giải bài 1 2 3 4 5 trang 119 sgk Toán 8 tập 1 Cánh Diều
Trên đây là bài Hướng dẫn Giải bài 1 2 3 4 5 trang 115 sgk Toán 8 tập 1 Cánh Diều đầy đủ, ngắn gọn và dễ hiểu nhất. Chúc các bạn làm bài môn toán 8 tốt nhất!
“Bài tập nào khó đã có giaibaisgk.com“