Nội Dung
Hướng dẫn giải Bài §11. Tính chất ba đường phân giác của tam giác sgk Toán 7 tập 2 bộ Cánh Diều. Nội dung bài Giải bài 1 2 3 trang 111 sgk Toán 7 tập 2 Cánh Diều bao gồm đầy đủ phần lí thuyết kèm bài giải các câu hỏi, hoạt động, luyện tập vận dụng và bài tập, giúp các bạn học sinh học tốt môn toán 7.
§11. TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC
Câu hỏi khởi động trang 108 Toán 7 tập 2 CD
Bạn Ngân gấp một miếng bìa hình tam giác để các nếp gấp tạo thành ba tia phân giác của các góc ở đỉnh của tam giác đó (Hình 109).
Ba nếp gấp đó có đặc điểm gì?
Trả lời:
Ba nếp gấp chia ba góc tại ba đỉnh của tam giác thành hai góc bằng nhau tương ứng với mỗi đỉnh. Và chúng cắt nhau tại một điểm.
I. ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC
Hoạt động 1 trang 108 Toán 7 tập 2 CD
Trong tam giác ABC, tia phân giác của góc A cắt cạnh BC tại điểm D (Hình 110). Các đầu mút của đoạn thẳng AD có đặc điểm gì?
Trả lời:
Các đầu mút của đoạn thẳng AD có đặc điểm: đầu mút A là đỉnh của tam giác, đầu mút D thuộc cạnh BC.
Luyện tập vận dụng 1 trang 109 Toán 7 tập 2 CD
Cho tam giác ABC cân tại A. Vẽ đường phân giác AD. Chứng minh AD cũng là đường trung tuyến của tam giác đó.
Trả lời:
Xét hai tam giác ABD và ACD:
$AB = AC$ (tam giác ABC cân tại A);
\(\widehat {BAD} = \widehat {CAD}\) (AD là phân giác của góc A);
$AD$ chung.
Vậy \(\Delta ABD = \Delta ACD\) (c.g.c).
Suy ra: $BD = CD$ (2 cạnh tương ứng) hay D là trung điểm của cạnh BC.
Vậy AD là đường trung tuyến của tam giác ABC.
II. TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC
Hoạt động 2 trang 109 Toán 7 tập 2 CD
Quan sát các đường phân giác AD, BE, CK của tam giác ABC (Hình 114), cho biết ba đường phân giác đó có cùng đi qua một điểm hay không.
Trả lời:
Các đường phân giác AD, BE, CK có cùng đi qua một điểm là điểm I.
Luyện tập vận dụng 2 trang 110 Toán 7 tập 2 CD
Tìm số đo x trong Hình 115.
Trả lời:
I là giao điểm của hai đường phân giác góc B và góc C.
Vậy I cũng là giao điểm của đường phân giác góc A với góc B và góc C.
Hay AI là phân giác của góc A.
Vậy \(x = 30^\circ \).
Hoạt động 3 trang 110 Toán 7 tập 2 CD
Quan sát giao điểm I của ba đường phân giác trong tam giác ABC (Hình 116) và so sánh độ dài ba đoạn thẳng IM, IN, IP.
Trả lời:
Xét ∆AIP vuông tại P và ∆AIN vuông tại N có:
\(\widehat {PAI} = \widehat {NAI}\) (theo giả thiết)
$AI$ chung
Do đó ∆AIP = ∆AIN (cạnh huyền – góc nhọn)
Suy ra $IP = IN$ (2 cạnh tương ứng) (1).
Xét ∆BIP vuông tại P và ∆BIM vuông tại M có:
\(\widehat {PBI} = \widehat {MBI}\) (theo giả thiết)
$BI$ chung
Do đó ∆BIP = ∆BIM (cạnh huyền – góc nhọn)
Suy ra $IP = IM$ (2 cạnh tương ứng) (2).
Từ (1) và (2) ta có $IP = IM = IN$.
Luyện tập vận dụng 3 trang 111 Toán 7 tập 2 CD
Cho tam giác ABC có I là giao điểm của ba đường phân giác. M, N, P lần lượt là hình chiếu của I trên các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng: IA, IB, IC lần lượt là đường trung trực của các đoạn thẳng NP, PM, MN.
Trả lời:
Gọi D là giao điểm của IC và MN; E là giao điểm của IA và PN; F là giao điểm của IB và PM.
Ta có: Trong tam giác ABC, ba đường phân giác cùng đi qua một điểm và điểm đó cách đều ba cạnh của tam giác hay $IM = IN = IP$.
Xét tam giác vuông INC và tam giác vuông IMC:
$IC$ chung;
$IN = IM$.
Vậy \(\Delta INC = \Delta IMC\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
⇒ \(\widehat {MIC} = \widehat {NIC}\) (2 góc tương ứng).
Tương tự:
\(\Delta IPA = \Delta INA\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
⇒ \(\widehat {PIA} = \widehat {NIA}\) (2 góc tương ứng).
\(\Delta IPB = \Delta IMB\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
⇒ \(\widehat {PIB} = \widehat {MIB}\) (2 góc tương ứng).
Xét hai tam giác IDN và IDM có:
$ID$ chung
\(\widehat {NID} = \widehat {MID}\)
$IN = IM$
Vậy \(\Delta IDN = \Delta IDM\) (c.g.c)
\(⇒ DN = DM\) (2 cạnh tương ứng);
\(\widehat {IDN} = \widehat {IDM}\) (2 góc tương ứng)
Mà \(\widehat {IDN} + \widehat {IDM}=180^0\) (2 góc kề bù)
\(⇒ \widehat {IDN} = \widehat {IDM}= 180^0:2=90^0\).
Suy ra: IC là đường trung trực của cạnh MN.
Tương tự ta có:
IA là đường trung trực của cạnh PN; IB là đường trung trực của cạnh PM.
GIẢI BÀI TẬP
Sau đây là phần Giải bài 1 2 3 trang 111 sgk Toán 7 tập 2 Cánh Diều. Nội dung chi tiết bài giải từng bài tập các bạn xem dưới đây:
Giải bài 1 trang 111 Toán 7 tập 2 CD
Tam giác ABC có ba đường phân giác cắt nhau tại I. Gọi M, N, P lần lượt là hình chiếu của I trên các cạnh BC, CA, AB.
a) Các tam giác IMN, INP, IPM có là tam giác cân không? Vì sao?
b) Các tam giác ANP, BPM, CMN có là tam giác cân không? Vì sao?
Bài giải:
a) Trong tam giác ABC, ba đường phân giác cùng đi qua một điểm và điểm đó cách đều ba cạnh của tam giác hay $IM = IN = IP$.
Vậy các tam giác IMN, INP, IPM có là tam giác cân tại I.
b) Xét tam giác vuông INC và tam giác vuông IMC:
$IC$ chung
$IN = IM$
Vậy \(\Delta INC = \Delta IMC\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông).
Suy ra: $CN = CM$ (2 cạnh tương ứng).
Vậy tam giác CMN có là tam giác cân.
Tương tự, ta có:
$AP = AN; BP = BM$.
Vậy các tam giác ANP, BPM, CMN có là tam giác cân.
Giải bài 2 trang 111 Toán 7 tập 2 CD
Tam giác ABC có ba đường phân giác cắt nhau tại I. Chứng minh:
a) \(\widehat {IAB} + \widehat {IBC} + \widehat {ICA} = 90^\circ \);
b) \(\widehat {BIC} = 90^\circ + \dfrac{1}{2}\widehat {BAC}\).
Bài giải:
a) I là giao điểm của ba đường phân giác tại ba góc A, B, C nên:
\(\widehat {IAB} = \widehat {IAC}; \widehat {IBA} = \widehat {IBC}; \widehat {ICB} = \widehat {ICA}\).
Tổng ba góc trong một tam giác bằng 180° nên:
$\widehat {BAC} + \widehat {ACB} + \widehat {CBA} = 180^\circ \\\widehat {IAB} + \widehat {IAC} + \widehat {IBA} + \widehat {IBC} + \widehat {ICB} + \widehat {ICA} = 180^\circ \\2\widehat {IAB} + 2\widehat {IBC} + 2\widehat {ICA} = 180^\circ $
Vậy \(\widehat {IAB} + \widehat {IBC} + \widehat {ICA} = 90^\circ \).
b) Tổng ba góc trong một tam giác bằng 180°. Xét tam giác BIC:
$\widehat {BIC} + \widehat {IBC} + \widehat {ICB} = 180^\circ \\\widehat {BIC} = 180^\circ – (\widehat {IBC} + \widehat {ICB})$
Mà \(\widehat {IAB} + \widehat {IBC} + \widehat {ICA} = 90^\circ \)
→ \(\widehat {IBC} + \widehat {ICA} = 90^\circ – \widehat {IAB}\).
Do đó:
$\widehat {BIC} = 180^\circ – (\widehat {IBC} + \widehat {ICB})\\\widehat {BIC} = 180^\circ – (90^\circ – \widehat {IAB})\\\widehat {BIC} = 90^\circ + \widehat {IAB}$
Mà \(\widehat {IAB} = \dfrac{1}{2}\widehat {BAC}\) (IA là phân giác của góc BAC).
Vậy \(\widehat {BIC} = 90^\circ + \widehat {IAB} = 90^\circ + \dfrac{1}{2}\widehat {BAC}\).
Giải bài 3 trang 111 Toán 7 tập 2 CD
Tam giác ABC có ba đường phân giác cắt nhau tại I và AB < AC.
a) Chứng minh \(\widehat {CBI} > \widehat {ACI}\);
b) So sánh IB và IC.
Bài giải:
a) Ta có: $AB < AC$ nên \(\widehat {ABC} > \widehat {ACB}\) (góc ABC đối diện với cạnh AC; góc ACB đối diện với cạnh AB).
Mà BI và CI là hai đường phân giác của góc ABC và góc ACB nên: \(\widehat {CBI} > \widehat {ACI}\)
(Vì: \(\widehat {CBI} = \dfrac{1}{2}\widehat {ABC}; \widehat {ACI} = \dfrac{1}{2}\widehat {ACB}\)).
b) Ta có:
\(\widehat {ACI} = \widehat {BCI}\)
Mà \(\widehat {CBI} > \widehat {ACI}\) (câu a)
Do đó \(\widehat {CBI} > \widehat {BCI}\).
Mà IC đối diện với góc CBI; IB đối diện với góc BCI.
Vậy $IC > IB$ (cạnh đối diện với góc lớn hơn thì có số đo độ dài lớn hơn).
Bài trước:
👉 Giải bài 1 2 3 4 5 trang 107 sgk Toán 7 tập 2 Cánh Diều
Bài tiếp theo:
👉 Giải bài 1 2 3 4 5 trang 115 sgk Toán 7 tập 2 Cánh Diều
Trên đây là bài Hướng dẫn Giải bài 1 2 3 trang 111 sgk Toán 7 tập 2 Cánh Diều đầy đủ, ngắn gọn và dễ hiểu nhất. Chúc các bạn làm bài môn toán 7 tốt nhất!
“Bài tập nào khó đã có giaibaisgk.com“