Nội Dung
Hướng dẫn giải Bài §4. Tính chất đường phân giác của tam giác sgk Toán 8 tập 2 bộ Cánh Diều. Nội dung bài Giải bài 1 2 3 4 5 6 trang 69 sgk Toán 8 tập 2 Cánh Diều bao gồm đầy đủ phần lí thuyết kèm bài giải các câu hỏi, hoạt động, luyện tập vận dụng và bài tập, giúp các bạn học sinh học tốt môn toán 8.
§4. TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC
Câu hỏi khởi động trang 66 Toán 8 tập 2 CD
Hình 37 minh hoạ một phần sân nhà bạn Duy được lát bởi các viên gạch hình vuông khít nhau, trong đó các điểm $A, B, C, D$ là bốn đỉnh của một viên gạch. Bạn Duy đặt một thước gỗ trên mặt sân sao cho thước gỗ luôn đi qua điểm $C$ và cắt tia $AB$ tại $M$, cắt tia $AD$ tại $N$. Bạn Duy nhận thấy ta luôn có tỉ lệ thức \(\frac{{CM}}{{CN}} = \frac{{AM}}{{AN}}\).
Tại sao ta luôn có tỉ lệ thức \(\frac{{CM}}{{CN}} = \frac{{AM}}{{AN}}\)?
Trả lời:
Do $ABCD$ là hình vuông nên đường chéo $AC$ là đường phân giác của góc $BAD$ hay góc $MAN$.
Xét $∆AMN$ có $AC$ là đường phân giác của góc $MAN$ nên
\(\frac{{CM}}{{CN}} = \frac{{AM}}{{AN}}\) (tính chất đường phân giác).
Hoạt động 1 trang 66 Toán 8 tập 2 CD
Trong Hình 38, tam giác $ABC$ có $AD$ là đường phân giác của góc $BAC$. Giả sử mỗi ô vuông của lưới ô vuông có độ dài cạnh bằng $1 cm$.
a) Tính độ dài các đoạn thẳng $DB, DC$.
b) Tính độ dài các đoạn thẳng $AB, AC$.
c) So sánh các tỉ số \(\frac{{DB}}{{DC}},\,\,\frac{{AB}}{{AC}}\).
Trả lời:
a) Ta thấy mỗi ô vuông có độ dài cạnh bằng $1cm$.
Đoạn thẳng $BD$ có độ dài bằng độ dài cạnh của $2$ ô vuông nên $BD$ dài $2 cm$.
Đoạn thẳng $DC$ có độ dài bằng độ dài cạnh của $3$ ô vuông nên $BD$ dài $3 cm$.
b) Ta thấy $AB$ là bán kính đường tròn tâm $B$.
Mà bán kính đường tròn tâm $B$ có độ dài $4$ ô vuông, tương ứng với $4 cm$ nên $AB$ dài $4 cm$.
Ta thấy $AC$ là bán kính đường tròn tâm $C$.
Mà bán kính đường tròn tâm $C$ có độ dài $6$ ô vuông, tương ứng với $6 cm$ nên $AB$ dài $6 cm$.
c) Ta có:
\(\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{2}{3};\,\,\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\)
Vậy \(\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}}\).
Luyện tập vận dụng 1 trang 67 Toán 8 tập 2 CD
Giải bài toán nêu trong phần mở đầu.
Trả lời:
Ta có $ABCD$ là hình vuông có $AC$ là đường chéo nên góc $DAC$ bằng góc $CAB$.
Hay góc $NAC$ bằng góc $MAC$.
Suy ra: $AC$ là đường phân giác của góc $MAN$.
Theo định lí đường phân giác của tam giác ta có:
\(\frac{CM}{CN} = \frac{AM}{AN}\).
Luyện tập vận dụng 2 trang 67 Toán 8 tập 2 CD
Cho tam giác $ABC$ có \(AB < AC, AD\) là đường phân giác. Chứng minh \(DB < DC\).
Trả lời:
Ta có hình vẽ minh họa sau:
Xét tam giác $ABC$ có $AD$ là đường phân giác nên \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{DB}}{{DC}}\)
Mà \(AB < AC\)\( \Rightarrow \frac{{AB}}{{AC}} < 1 \Rightarrow \frac{{DB}}{{DC}} < 1 \Rightarrow DB < DC\).
Luyện tập vận dụng 3 trang 68 Toán 8 tập 2 CD
Cho tam giác $ABC$ có ba đường phân giác $AD, BE, CF$. Chứng minh \(\frac{{DB}}{{DC}}.\frac{{EC}}{{EA}}.\frac{{FA}}{{FB}} = 1\).
Trả lời:
Ta có hình vẽ minh họa sau:
Xét tam giác $ABC$ với ba đường phân giác $AD, BE, CF$, ta có:
\(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{DB}}{{DC}};\,\,\frac{{BC}}{{BA}} = \frac{{EC}}{{EA}};\,\,\frac{{CA}}{{CB}} = \frac{{FA}}{{FB}}\) (Tính chất đường phân giác)
\(\Rightarrow \frac{{DB}}{{DC}}.\frac{{EC}}{{EA}}.\frac{{FA}}{{FB}} = \frac{{AB}}{{AC}}.\frac{{BC}}{{BA}}.\frac{{CA}}{{CB}} = \frac{{AB.BC.CA}}{{CA.AB.BC}} = 1\) (đpcm).
Luyện tập vận dụng 4 trang 68 Toán 8 tập 2 CD
Cho tam giác $ABC$, điểm $D$ thuộc cạnh $BC$ sao cho \(\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}}\). Chứng minh $AD$ là tia phân giác của góc $BAC$.
Trả lời:
Ta có hình vẽ minh họa sau:
Từ $B$ kẻ đường thẳng song song với $AC$, cắt $AD$ tại $K$.
Vì \(BK//AC\) nên theo hệ quả của định lý Thales, ta có: \(\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{BK}}{{AC}}\)
Mà \(\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}}\) nên \(\frac{{BK}}{{AC}} = \frac{{AB}}{{AC}} \Rightarrow AB = BK\)
Khi đó tam giác $ABK$ cân tại $B$ nên \(\widehat {BAK} = \widehat {BKA}\)
Mà \(BK//AC\) nên \(\widehat {BKA} = \widehat {KAC}\)
\(\Rightarrow \widehat {BAK} = \widehat {KAC}\)
Vậy $AD$ là đường phân giác trong tam giác $ABC$.
GIẢI BÀI TẬP
Sau đây là phần Giải bài 1 2 3 4 5 6 trang 69 sgk Toán 8 tập 2 Cánh Diều. Nội dung chi tiết bài giải từng bài tập các bạn xem dưới đây:
Giải bài 1 trang 69 Toán 8 tập 2 CD
Cho tam giác $ABC$ có ba đường phân giác $AD, BE, CF$. Biết \(AB = 4,\,\,BC = 5,\,\,CA = 6\). Tính $BD, CE, AF$.
Bài giải:
Ta có hình vẽ minh họa sau:
Có $AD$ là đường phân giác trong tam giác $ABC$ nên
\(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{DB}}{{DC}} \Rightarrow \frac{{DB}}{{DC}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \Rightarrow DC = \frac{3}{2}DB\)
Mà \(DB + DC = BD \Rightarrow DB + \frac{3}{2}DB = 5 \Rightarrow DB = 2\)
Có $BE$ là đường phân giác trong tam giác $ABC$ nên
\(\frac{{AE}}{{EC}} = \frac{{AB}}{{CB}} \Rightarrow \frac{{AE}}{{EC}} = \frac{4}{5} \Rightarrow AE = \frac{4}{5}CE\)
Mà \(AE + EC = AC \Rightarrow \frac{4}{5}CE + CE = 6 \Rightarrow CE = \frac{{10}}{3}\)
Có $CF$ là đường phân giác trong tam giác $ABC$ nên
\(\frac{{AF}}{{FB}} = \frac{{CA}}{{CB}} \Rightarrow \frac{{AF}}{{FB}} = \frac{6}{5} \Rightarrow FB = \frac{6}{5}AF\)
Mà \(AF + FB = AB \Rightarrow AF + \frac{5}{6}AF = 4 \Rightarrow AF = \frac{{24}}{{11}}\).
Vậy $BD = 2, CE = \frac{{10}}{3}, AF = \frac{{24}}{{11}}$.
Giải bài 2 trang 69 Toán 8 tập 2 CD
Cho tam giác $ABC$ có đường trung tuyến $AM$. Tia phân giác của góc $ABC$ lần lượt cắt các đoạn thẳng $AM, AC$ tại điểm $D, E$. Chứng minh \(\frac{{EC}}{{EA}} = 2\frac{{DM}}{{DA}}\).
Bài giải:
Ta có hình vẽ minh họa sau:
Tam giác $ABC$ có đường phân giác $BE$ nên ta có: \(\frac{{EC}}{{EA}} = \frac{{BC}}{{BA}}\)
Mà $M$ là trung điểm của $BC$ nên \(BC = 2BM\)
\(\Rightarrow \frac{{EC}}{{EA}} = 2\frac{{BM}}{{BA}}\,\,\left( 1 \right)\)
Tam giác $ABM$ có đường phân giác $BD$ nên ta có:
\(\frac{{DM}}{{DA}} = \frac{{BM}}{{BA}}\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) ta có: \(\frac{{EC}}{{EA}} = 2\frac{{DM}}{{DA}}\).
Giải bài 3 trang 69 Toán 8 tập 2 CD
Quan sát Hình 43 và chứng minh \(\frac{{DB}}{{DC}}:\frac{{EB}}{{EG}} = \frac{{AG}}{{AC}}\).
Bài giải:
Xét tam giác $ABC$ với đường phân giác $AD$ ta có:
\(\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}}\) (Tính chất đường phân giác)
Xét tam giác $ABG$ với đường phân giác $AE$ ta có:
\(\frac{{EB}}{{EG}} = \frac{{AB}}{{AG}}\) (Tính chất đường phân giác)
\(\Rightarrow \frac{{DB}}{{DC}}:\frac{{EB}}{{EG}} = \frac{{AB}}{{AC}}:\frac{{AB}}{{AG}} = \frac{{AG}}{{AC}}\)
Vậy \(\frac{{DB}}{{DC}}:\frac{{EB}}{{EG}} = \frac{{AG}}{{AC}}\).
Giải bài 4 trang 69 Toán 8 tập 2 CD
Cho hình thoi $ABCD$ (Hình 4). Điểm $M$ thuộc cạnh $AB$ thỏa mãn \(AB = 3AM\). Hai đoạn thẳng $AC$ và $DM$ cắt nhau tại $N$. Chứng minh \(ND = 3MN\).
Bài giải:
Gọi giao điểm hai đường chéo của hình thoi là $O$.
Khi đó $AC$ vuông góc với $BD$ tại $O$.
Vì $ABCD$ là hình thoi nên \(AB = AD\) hay tam giác $ABD$ cân tại $A$.
Khi đó $AO$ vừa là đường cao, vừa là phân giác của tam giác $ABD$.
Xét tam giác $AMD$ với $AN$ là đường phân giác, ta có:
\(\frac{{ND}}{{NM}} = \frac{{AD}}{{AM}}\,\,\left( 1 \right)\) (Tính chất đường phân giác)
Mà \(AB = 3AM \Rightarrow \frac{{AB}}{{AM}} = 3 \Rightarrow \frac{{AD}}{{AM}} = 3\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) ta có: \(\frac{{ND}}{{NM}} = 3 \Rightarrow ND = 3NM\).
Giải bài 5 trang 69 Toán 8 tập 2 CD
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 3, AC = 4, AD$ là đường phân giác. Tính:
a) Độ dài các đoạn thẳng $BC, DB, DC$;
b) Khoảng cách từ điểm $D$ đến đường thẳng $AC$;
c) Độ dài đường phân giác $AD$.
Bài giải:
Ta có hình vẽ minh họa sau:
a) Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên ta có:
\(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {{3^2} + {4^2}} = 5\)
Vì $AD$ là đường phân giác của tam giác $ABC$ nên ta có:
\(\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}}\) (Tính chất đường phân giác trong tam giác)
\(\Rightarrow \frac{{DB}}{{DC}} = \frac{3}{4} \Rightarrow DB = \frac{3}{4}DC\)
Mà \(BD + CD = BC \Rightarrow \frac{3}{4}CD + CD = 5 \Rightarrow CD = \frac{{20}}{7}\)
\(\Rightarrow BD = 5 – \frac{{20}}{7} = \frac{{15}}{7}\).
Vậy $BC = 5, DB = \frac{{15}}{7}, DC = \frac{{20}}{7}$.
b) Từ $D$ kẻ đường thẳng vuông góc với $AC$ cắt $AC$ tại $H$. Khi đó $DH$ là khoảng cách từ $D$ đến đường thẳng $AC$.
Ta có:
\(\left. \begin{array}{l}DH \bot AC\\AB \bot AC\end{array} \right\} \Rightarrow DH// AB\)
\(\Rightarrow \frac{{DH}}{{AB}} = \frac{{DC}}{{BC}} \Rightarrow \frac{{DH}}{3} = \frac{{\frac{{20}}{7}}}{5} \Rightarrow DH = \frac{{12}}{7}\) (Tính chất đường phân giác)
c) Xét tam giác $ABC$ có \(DH// AB\) nên \(\frac{{BD}}{{BC}} = \frac{{AH}}{{AC}}\) (Định lý Thales)
\(\Rightarrow \frac{{\frac{{15}}{7}}}{5} = \frac{{AH}}{4} \Rightarrow AH = \frac{{12}}{7}\)
Tam giác $ADH$ vuông tại $H$ nên ta có:
\(AD = \sqrt {A{H^2} + D{H^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{12}}{7}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{12}}{7}} \right)}^2}} = \frac{{12\sqrt 2 }}{7}\)
Vậy độ dài đường phân giác $AD$ là $ \frac{{12\sqrt 2 }}{7}$.
Giải bài 6 trang 69 Toán 8 tập 2 CD
Cho tứ giác $ABCD$ với các tia phân giác của các góc $CAD$ và $CBD$ cùng đi qua điểm $E$ thuộc cạnh $CD$ (Hình 45). Chứng minh \(AD.BC = AC.BD\).
Bài giải:
Xét tam giác $ACD$ với đường phân giác $AE$, ta có:
\(\frac{{ED}}{{EC}} = \frac{{AD}}{{AC}}\,\,\left( 1 \right)\) (Tính chất đường phân giác trong tam giác)
Xét tam giác $BCD$ với đường phân giác $BE$, ta có:
\(\frac{{ED}}{{EC}} = \frac{{BD}}{{BC}}\,\,\left( 2 \right)\) (Tính chất đường phân giác trong tam giác)
Từ (1) và (2) ta có: \(\frac{{AD}}{{AC}} = \frac{{BD}}{{BC}} \Rightarrow AD.BC = AC.BD\)
Vậy $AD.BC = AC.BD$.
Bài trước:
👉 Giải bài 1 2 3 4 5 trang 65 sgk Toán 8 tập 2 Cánh Diều
Bài tiếp theo:
👉 Giải bài 1 2 3 4 5 6 trang 73 sgk Toán 8 tập 2 Cánh Diều
Trên đây là bài Hướng dẫn Giải bài 1 2 3 4 5 6 trang 69 sgk Toán 8 tập 2 Cánh Diều đầy đủ, ngắn gọn và dễ hiểu nhất. Chúc các bạn làm bài môn toán 8 tốt nhất!
“Bài tập nào khó đã có giaibaisgk.com“