Nội Dung
Hướng dẫn giải Bài §3. Phép cộng, phép trừ đa thức một biến sgk Toán 7 tập 2 bộ Cánh Diều. Nội dung bài Giải bài 1 2 3 4 5 trang 59 sgk Toán 7 tập 2 Cánh Diều bao gồm đầy đủ phần lí thuyết kèm bài giải các câu hỏi, hoạt động, luyện tập vận dụng và bài tập, giúp các bạn học sinh học tốt môn toán 7.
§3. PHÉP CỘNG, PHÉP TRỪ ĐA THỨC MỘT BIẾN
Câu hỏi khởi động trang 54 Toán 7 tập 2 CD
Một số tình huống trong cuộc sống dẫn đến việc cộng, trừ hai đa thức một biến, chẳng hạn, ta phải tính tổng diện tích các mặt của hình hộp chữ nhật (Hình 2) có độ dài hai cạnh đáy là x (m), 2x (m) và chiều cao là 2 (m).
Phép cộng, phép trừ hai đa thức một biến được thực hiện như thế nào?
Trả lời:
a) Cộng hai đa thức:
♦ Để cộng hai đa thức một biến (theo cột dọc), ta có thể làm như sau:
– Thu gọn mỗi đa thức và sắp xếp hai đa thức đó cùng theo số mũ giảm dần (hoặc tăng dần) của biến;
– Đặt hai đơn thức có cùng số mũ của biến ở cùng cột;
– Cộng hai đơn thức trong từng cột, ta có tổng cần tìm.
♦ Để cộng hai đa thức một biến (theo hàng ngang), ta có thể làm như sau:
– Thu gọn mỗi đa thức và sắp xếp hai đa thức đó cùng theo số mũ giảm dần (hoặc tăng dần) của biến;
– Viết tổng hai đơn thức theo hàng ngang;
– Nhóm các đơn thức có cùng số mũ của biến với nhau;
– Thực hiện phép tính trong từng nhóm, ta được tổng cần tìm.
b) Trừ hai đa thức:
♦ Để trừ đa thức P(x) cho đa thức Q(x) (theo cột dọc), ta có thể làm như sau:
– Thu gọn mỗi đa thức và sắp xếp hai đa thức đó cùng theo số mũ giảm dần (hoặc tăng dần) của biến;
– Đặt hai đơn thức có cùng số mũ của biến ở cùng cột sao cho đơn thức P(x) ở trên và đơn thức của Q(x) ở dưới;
– Trừ hai đơn thức trong từng cột, ta có hiệu cần tìm.
♦ Để trừ đa thức P(x) cho đa thức Q(x) (theo hàng ngang), ta có thể làm như sau:
– Thu gọn mỗi đa thức và sắp xếp hai đa thức đó cùng theo số mũ giảm dần (hoặc tăng dần) của biến;
– Viết hiệu P(x) – Q(x) theo hàng ngang, trong đó đa thức Q(x) được đặt trong dấu ngoặc;
– Sau khi bỏ dấu ngoặc và đổi dấu mỗi đơn thức trong dạng thu gọn của đa thức Q(x), nhóm các đơn thức có cùng số mũ của biến với nhau;
– Thực hiện phép tính trong từng nhóm, ta được hiệu cần tìm.
I. CỘNG HAI ĐA THỨC MỘT BIẾN
Hoạt động 1 trang 54 Toán 7 tập 2 CD
a) Thực hiện phép cộng trong mỗi trường hợp sau: \(5{x^2} + 7{x^2}\); \(a{x^2} + b{x^2}\) (k \(\in\) N*).
b) Nêu quy tắc cộng hai đơn thức có cùng số mũ của biến.
Trả lời:
a) Ta có:
\(5{x^2} + 7{x^2} = (5 + 7){x^2} = 12{x^2}\);
\(a{x^2} + b{x^2} = (a + b){x^2}\).
b) Muốn cộng hai đơn thức có cùng số mũ của biến, ta giữ nguyên biến và tính tổng của các hệ số có trong đơn thức.
Hoạt động 2 trang 54 Toán 7 tập 2 CD
Cho hai đa thức
\(P(x) = 5{x^2} + 4 + 2x\) và \(Q(x) = 8x + {x^2} + 1\).
a) Sắp xếp các đa thức P(x), Q(x) theo số mũ giảm dần của biến.
b) Tìm đơn thức thích hợp trong dạng thu gọn của P(x) và Q(x) cho ⍰ ở bảng sau rồi cộng hai đơn thức theo từng cột và thể hiện kết quả ở dòng cuối cùng của mỗi cột:
c) Dựa vào kết quả cộng hai đơn thức theo từng cột, xác định đơn thức R(x).
Trả lời:
a) Ta có:
\(P(x) = 5{x^2} + 4 + 2x = 5{x^2} + 2x + 4\);
\(Q(x) = 8x + {x^2} + 1 = {x^2} + 8x + 1\).
b) Hoàn thành bảng:
| Đa thức | Đơn thức có số mũ 2 của biến (Đơn thức chứa \({x^2}\)) | Đơn thức có số mũ 1 của biến (Đơn thức chứa x) | Số hạng tự do (Đơn thức không chứa x) |
| P(x) | \(5{x^2}\) | 2x | 4 |
| Q(x) | \({x^2}\) | 8x | 1 |
| R(x) | \(6{x^2}\) | 10x | 5 |
c) Dựa vào kết quả ở trên ta được:
\(R(x) = 6{x^2} + 10x + 5\).
Luyện tập vận dụng 1 trang 55 Toán 7 tập 2 CD
Để cộng hai đa thức P(x), Q(x), bạn Dũng viết như dưới đây có đúng không? Vì sao? Nếu chưa đúng, em hãy sửa lại cho đúng.
Trả lời:
Cách làm của bạn Dũng chưa đúng.
Lí do:
– Vì các đơn thức 3x và 6 không có cùng số mũ của biến nên chúng không được viết ở cùng cột.
– Vì các đơn thức – 1 và 2x không có cùng số mũ của biến nên chúng không được viết ở cùng cột.
Các đơn thức 3x và 2x sẽ được viết cùng cột (cùng có số mũ của biến là 1); các đơn thức 6 và – 1 sẽ được viết cùng cột (cùng số mũ của biến là 0).
Cách viết đúng là:
Hoạt động 3 trang 56 Toán 7 tập 2 CD
Cho hai đa thức:
\(P(x) = – 2{x^2} + 1 + 3x\) và \(Q(x) = – 5x + 3{x^2} + 4\).
a) Sắp xếp các đa thức P(x) và Q(x) theo số mũ giảm dần của biến.
b) Viết tổng P(x) + Q(x) theo hàng ngang.
c) Nhóm các đơn thức có cùng số mũ của biến với nhau.
d) Tính tổng P(x) + Q(x) bằng cách thực hiện phép tính trong từng nhóm.
Trả lời:
a) Ta có:
\(P(x) = – 2{x^2} + 1 + 3x = – 2{x^2} + 3x + 1\);
\(Q(x) = – 5x + 3{x^2} + 4 = 3{x^2} – 5x + 4\).
b) Ta có:
\(P(x) + Q(x) = ( – 2{x^2} + 3x + 1) + (3{x^2} – 5x + 4)\).
c) Ta có:
$P(x) + Q(x) = ( – 2{x^2} + 3x + 1) + (3{x^2} – 5x + 4)\\ = – 2{x^2} + 3x + 1 + 3{x^2} – 5x + 4\\ = ( – 2{x^2} + 3{x^2}) + (3x – 5x) + (1 + 4)$
d) Ta có:
$P(x) + Q(x) = ( – 2{x^2} + 3{x^2}) + (3x – 5x) + (1 + 4)\\ = ( – 2 + 3){x^2} + (3 – 5)x + (1 + 4)\\ = {x^2} – 2x + 5$.
Luyện tập vận dụng 2 trang 56 Toán 7 tập 2 CD
Tính tổng của hai đa thức sau bằng hai cách:
\(P(x) = 2{x^3} + \dfrac{3}{2}{x^2} + 5x – 2\);
\(Q(x) = – 8{x^3} + 4{x^2} + 6 + 3x\).
Trả lời:
♦ Theo cột dọc:
♦ Theo hàng ngang:
$P(x) + Q(x) = 2{x^3} + \dfrac{3}{2}{x^2} + 5x – 2 + ( – 8){x^3} + 4{x^2} + 3x + 6\\ = (2 – 8){x^3} + (\dfrac{3}{2} + 4){x^2} + (5 + 3)x + ( – 2 + 6)\\ = – 6{x^3} + \dfrac{{11}}{2}{x^2} + 8x + 4$
II. TRỪ HAI ĐA THỨC MỘT BIẾN
Hoạt động 4 trang 57 Toán 7 tập 2 CD
a) Thực hiện phép trừ trong mỗi trường hợp sau: \(2{x^2} – 6{x^2}\); \(a{x^k} – b{x^k}\) (k \(\in\) N*).
b) Nêu quy tắc trừ hai đơn thức có cùng số mũ của biến.
Trả lời:
a) Ta có:
\(2{x^2} – 6{x^2} = (2 – 6){x^2} = – 4{x^2}\);
\(a{x^k} – b{x^k} = (a – b){x^k}\).
b) Muốn trừ hai đơn thức có cùng số mũ của biến, ta giữ nguyên biến và tính hiệu của các hệ số có trong đơn thức.
Hoạt động 5 trang 57 Toán 7 tập 2 CD
Cho hai đa thức:
\(P(x) = 4{x^2} + 1 + 3x\) và \(Q(x) = 5x + 2{x^2} + 3\).
a) Sắp xếp các đa thức P(x), Q(x) theo số mũ giảm dần của biến.
b) Tìm đơn thức thích hợp trong dạng thu gọn của P(x) và Q(x) cho ⍰ ở bảng sau rồi trừ hai đơn thức theo từng cột và thể hiện kết quả ở dòng cuối cùng của mỗi cột:
c) Dựa vào kết quả trừ hai đơn thức theo từng cột, xác định đơn thức S(x).
Trả lời:
a) Ta có:
\(P(x) = 4{x^2} + 1 + 3x = 4{x^2} + 3x + 1\)
\(Q(x) = 5x + 2{x^2} + 3 = 2{x^2} + 5x + 3\)
b) Hoàn thành bảng:
| Đa thức | Đơn thức có số mũ 2 của biến (Đơn thức chứa \({x^2}\)) | Đơn thức có số mũ 1 của biến (Đơn thức chứa x) | Số hạng tự do (Đơn thức không chứa x) |
| P(x) | \(4{x^2}\) | 3x | 1 |
| Q(x) | \(2{x^2}\) | 5x | 3 |
| S(x) | \(2{x^2}\) | – 2x | – 2 |
c) Dựa vào kết quả ở trên ta được:
\(S(x) = 2{x^2} – 2x – 2\).
Luyện tập vận dụng 3 trang 58 Toán 7 tập 2 CD
Cho hai đa thức:
\(P(x) = 2{x^2} – 5x – \dfrac{1}{3}\) và \(Q(x) = – 6{x^4} + 5{x^2} + \dfrac{2}{3} + 3x\).
Tính hiệu P(x) – Q(x).
Trả lời:
Ta đặt tính như sau:
Hoạt động 6 trang 58 Toán 7 tập 2 CD
Cho hai đa thức:
\(P(x) = – 3{x^2} + 2 + 7x\) và \(Q(x) = – 4x + 5{x^2} + 1\).
a) Sắp xếp các đa thức P(x) và Q(x) theo số mũ giảm dần của biến.
b) Viết hiệu P(x) – Q(x) theo hàng ngang, trong đó đa thức Q(x) được đặt trong dấu ngoặc.
c) Sau khi bỏ dấu ngoặc và đổi dấu mỗi đơn thức của đa thức Q(x), nhóm các đơn thức có cùng số mũ của biến với nhau.
d) Tính hiệu P(x) – Q(x) bằng cách thực hiện phép tính trong từng nhóm.
Trả lời:
a) Ta có:
\(P(x) = – 3{x^2} + 2 + 7x = – 3{x^2} + 7x + 2\)
\(Q(x) = – 4x + 5{x^2} + 1 = 5{x^2} – 4x + 1\)
b) Ta có:
\(P(x) – Q(x) = – 3{x^2} + 7x + 2 – (5{x^2} – 4x + 1)\)
c) Ta có:
$P(x) – Q(x) = – 3{x^2} + 7x + 2 – (5{x^2} – 4x + 1)\\ = – 3{x^2} + 7x + 2 – 5{x^2} + 4x – 1\\ = ( – 3{x^2} – 5{x^2}) + (7x + 4x) + (2 – 1)$
d) Ta có:
$P(x) – Q(x) = ( – 3{x^2} – 5{x^2}) + (7x + 4x) + (2 – 1)\\ = – 8{x^2} + 11x + 1$.
Luyện tập vận dụng 4 trang 59 Toán 7 tập 2 CD
Tính hiệu P(x) – Q(x) bằng hai cách, trong đó:
$P(x) = 6{x^3} + 8{x^2} + 5x – 2$;
$Q(x) = – 9{x^3} + 6{x^2} + 3 + 2x$.
Trả lời:
♦ Theo cột dọc:
♦ Theo hàng ngang:
$P(x) – Q(x) = 6{x^3} + 8{x^2} + 5x – 2 – ( – 9{x^3} + 6{x^2} + 2x + 3)\\ = 6{x^3} + 8{x^2} + 5x – 2 + 9{x^3} – 6{x^2} – 2x – 3\\ = (6 + 9){x^3} + (8 – 6){x^2} + (5 – 2)x + ( – 2 – 3)\\ = 15{x^3} + 2{x^2} + 3x – 5$
GIẢI BÀI TẬP
Sau đây là phần Giải bài 1 2 3 4 5 trang 59 sgk Toán 7 tập 2 Cánh Diều. Nội dung chi tiết bài giải từng bài tập các bạn xem dưới đây:
Giải bài 1 trang 59 Toán 7 tập 2 CD
Cho hai đa thức: \(R(x) = – 8{x^4} + 6{x^3} + 2{x^2} – 5x + 1\) và \(S(x) = {x^4} – 8{x^3} + 2x + 3\). Tính:
a) R(x) + S(x);
b) R(x) – S(x).
Bài giải:
a) Ta có:
$R(x) + S(x) = – 8{x^4} + 6{x^3} + 2{x^2} – 5x + 1 + {x^4} – 8{x^3} + 2x + 3\\ = ( – 8 + 1){x^4} + (6 – 8){x^3} + 2{x^2} + ( – 5 + 2)x + (1 + 3)\\ = – 7{x^4} – 2{x^3} + 2x – 3x + 4$
b) Ta có:
$R(x) – S(x) = – 8{x^4} + 6{x^3} + 2{x^2} – 5x + 1 – ({x^4} – 8{x^3} + 2x + 3)\\ = – 8{x^4} + 6{x^3} + 2{x^2} – 5x + 1 – {x^4} + 8{x^3} – 2x – 3\\ = ( – 8 – 1){x^4} + (6 + 8){x^3} + 2{x^2} + ( – 5 – 2)x + (1 – 3)\\ = – 9{x^4} + 14{x^3} + 2x – 7x – 2$
Giải bài 2 trang 59 Toán 7 tập 2 CD
Xác định bậc của hai đa thức là tổng, hiệu của:
\(A(x) = – 8{x^5} + 6{x^4} + 2{x^2} – 5x + 1\) và \(B(x) = 8{x^5} + 8{x^3} + 2x – 3\).
Bài giải:
♦ Tổng 2 đa thức:
$A(x) + B(x) = – 8{x^5} + 6{x^4} + 2{x^2} – 5x + 1 + 8{x^5} + 8{x^3} + 2x – 3\\ = ( – 8 + 8){x^5} + 6{x^4} + 8{x^3} + 2{x^2} + ( – 5 + 2)x + (1 – 3)\\ = 6{x^4} + 8{x^3} + 2{x^2} – 3x – 2$
Vậy bậc của hai đa thức là tổng là: $4$.
♦ Hiệu 2 đa thức:
$A(x) – B(x) = – 8{x^5} + 6{x^4} + 2{x^2} – 5x + 1 – (8{x^5} + 8{x^3} + 2x – 3)\\ = – 8{x^5} + 6{x^4} + 2{x^2} – 5x + 1 – 8{x^5} – 8{x^3} – 2x + 3\\ = ( – 8 – 8){x^5} + 6{x^4} – 8{x^3} + 2{x^2} + ( – 5 – 2)x + (1 + 3)\\ = – 16{x^5} + 6{x^4} – 8{x^3} + 2{x^2} – 7x + 4$
Vậy bậc của hai đa thức là hiệu là: $5$.
Giải bài 3 trang 59 Toán 7 tập 2 CD
Bác Ngọc gửi ngân hàng thứ nhất 90 triệu đồng với kì hạn 1 năm, lãi suất x%/năm. Bác Ngọc gửi ngân hàng thứ hai 80 triệu đồng với kì hạn 1 năm, lãi suất \((x + 1,5)\)%/năm. Hết kì hạn 1 năm, bác Ngọc có được cả gốc lẫn lãi là bao nhiêu:
a) Ở ngân hàng thứ hai?
b) Ở cả hai ngân hàng?
Bài giải:
a) Số tiền lãi bác Ngọc có được sau kì hạn 1 năm ở ngân hàng thứ hai là:
\(\dfrac{80.(x + 1,5)}{100} = 0,8.(x + 1,5) = 0,8x + 1,2\) (triệu đồng)
Vậy sau kì hạn 1 năm, số tiền bác Ngọc có được cả gốc lẫn lãi ở ngân hàng thứ hai là:
\(80 + (0,8x + 1,2) = 0,8x + 81,2\) (triệu đồng)
b) Số tiền lãi bác Ngọc có được sau kì hạn 1 năm ở ngân hàng thứ nhất là:
\(\dfrac{90.x}{100} = 0,9.x\) (triệu đồng)
Vậy sau kì hạn 1 năm, số tiền bác Ngọc có được cả gốc lẫn lãi ở ngân hàng thứ nhất là:
\(90 + 0,9x\) (triệu đồng)
Vậy sau kì hạn 1 năm, số tiền bác Ngọc có được cả gốc lẫn lãi ở cả hai ngân hàng là:
\(90 + 0,9x + 0,8x + 81,2 = (0,9 + 0,8)x + (90 + 81,2) = 1,7x + 171,2\) (triệu đồng)
Giải bài 4 trang 59 Toán 7 tập 2 CD
Người ta rót nước từ một can đựng 10 lít sang một bể rỗng có dạng hình lập phương với độ dài cạnh 20 cm. Khi mực nước trong bể cao h (cm) thì thể tích nước trong can còn lại là bao nhiêu? Biết rằng 1 lít = 1 \(d{m^3}\).
Bài giải:
Đổi 20 cm = 2 dm; h cm = \(\dfrac{h}{10}\) dm.
Thể tích của chiếc bể tính đến độ cao h là:
\(2.2.\dfrac{h}{10} = 0,4.h(d{m^3})=0,4.h\) (lít)
Vậy khi mực nước trong bể cao h (cm) thì thể tích nước trong can còn lại là:
\(10 – 0,4.h\) (lít).
Giải bài 5 trang 59 Toán 7 tập 2 CD
Bạn Minh cho rằng “Tổng của hai đa thức bậc bốn luôn luôn là đa thức bậc bốn”. Bạn Quân cho rằng “Hiệu của hai đa thức bậc bốn luôn luôn là đa thức bậc bốn”. Hai bạn Minh và Quân nói như vậy có đúng không? Giải thích vì sao.
Bài giải:
♦ Giả sử, cho hai đa thức biết:
– Trong đa thức thứ nhất: hệ số a của đơn thức \(a{x^4}\) .
– Trong đa thức thứ hai: hệ số \( – a\) của đơn thức \( – a{x^4}\).
Như vậy, bậc của tổng của hai đa thức sẽ là bậc 3. (Vì khi cộng hai đa thức với nhau, ta có \(a + ( – a) = 0\) nên biến với số mũ là 4 sẽ không còn).
Vậy bạn Minh nói như vậy là không đúng.
♦ Giả sử, cho hai đa thức biết:
– Trong đa thức thứ nhất: hệ số a của đơn thức \(a{x^4}\) .
– Trong đa thức thứ hai: hệ số \(a\)của đơn thức \(a{x^4}\).
Như vậy, bậc của hiệu của hai đa thức sẽ là bậc 3. (Vì khi trừ hai đa thức với nhau, ta có \(a – a = 0\) nên biến với số mũ là 4 sẽ không còn).
Vậy bạn Quân nói như vậy là không đúng.
Bài trước:
👉 Giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 trang 52 53 sgk Toán 7 tập 2 Cánh Diều
Bài tiếp theo:
👉 Giải bài 1 2 3 4 5 trang 63 sgk Toán 7 tập 2 Cánh Diều
Trên đây là bài Hướng dẫn Giải bài 1 2 3 4 5 trang 59 sgk Toán 7 tập 2 Cánh Diều đầy đủ, ngắn gọn và dễ hiểu nhất. Chúc các bạn làm bài môn toán 7 tốt nhất!
“Bài tập nào khó đã có giaibaisgk.com“