Nội Dung
Hướng dẫn giải Bài §23. Phép cộng và phép trừ phân thức đại số sgk Toán 8 tập 2 bộ Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống. Nội dung bài Giải bài 20 21 22 23 24 25 trang 19 sgk Toán 8 tập 2 Kết Nối Tri Thức bao gồm đầy đủ phần lí thuyết kèm bài giải các câu hỏi, hoạt động, luyện tập vận dụng và bài tập, giúp các bạn học sinh học tốt môn toán 8.
Bài 23 PHÉP CỘNG VÀ PHÉP TRỪ PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
Bài toán mở đầu trang 15 Toán 8 tập 2 KNTT
Hãy rút gọn biểu thức:
\(P = \frac{x}{x + 1} – [(\frac{1}{x – 1} + \frac{x}{x + 1}) – \frac{1}{x – 1}]\)
Vuông: Không cần tính toán, em thấy ngay kết quả $P = 0$.
Tròn: Làm thế nào mà Vuông thấy ngay được kết quả thế nhỉ?
Trả lời:
Vuông đã nhìn các dấu đứng trước các phân thức, $2$ phân thức giống nhau có dấu trái nhau khi cộng lại sẽ bằng $0$.
1. CỘNG HAI PHÂN THỨC CÙNG MẪU
Hoạt động 1 trang 15 Toán 8 tập 2 KNTT
Hãy thực hiện các yêu cầu sau để làm phép cộng:
\(\frac{2x + y}{x – y} + \frac{- x + 3y}{x – y}\).
Cộng các tử thức của hai phân thức đã cho.
Trả lời:
Cộng các tử thức của hai phân thức, ta được:
$2x + y – x + 3y = x + 4y$.
Hoạt động 2 trang 15 Toán 8 tập 2 KNTT
Viết phân thức có tử là tổng các tử thức và mẫu là mẫu thức chung ta được kết quả của phép cộng đã cho.
Trả lời:
Phân thức tổng là:
\(\frac{2x + y}{x – y} + \frac{- x + 3y}{x – y} = \frac{x + 4y}{x – y}\).
Luyện tập 1 trang 16 Toán 8 tập 2 KNTT
Tính các tổng sau:
a) \(\frac{3x + 1}{xy} + \frac{2x – 1}{xy}\);
b) \(\frac{3x}{x^2 + 1} + \frac{- 3x + 1}{x^2 + 1}\).
Trả lời:
a) Ta có:
\(\frac{3x + 1}{xy} + \frac{2x – 1}{xy} = \frac{3x + 1 + 2x – 1}{xy} = \frac{5x}{xy} = \frac{5}{y}\).
b) Ta có:
\(\frac{3x}{x^2 + 1} + \frac{- 3x + 1}{x^2 + 1} = \frac{3x + (- 3x + 1)}{x^2 + 1} = \frac{1}{x^2 + 1}\).
2. CỘNG HAI PHÂN THỨC KHÁC MẪU
Hoạt động 3 trang 16 Toán 8 tập 2 KNTT
Hãy thực hiện các yêu cầu sau để làm phép cộng \(\frac{1}{x} + \frac{{ – 1}}{y}\).
Quy đồng mẫu hai phân thức đã cho.
Trả lời:
$MTC = xy$
Nhân tử phụ của $x$ là: $y$
Nhân tử phụ của $y$ là: $x$
Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng, ta được:
♦ $\frac{1}{x} = \frac{y}{xy}$.
♦ $\frac{- 1}{y} = \frac{-x}{xy}$.
Hoạt động 4 trang 16 Toán 8 tập 2 KNTT
Cộng hai phân thức có cùng mẫu thức nhận được trong HĐ3 ta được kết quả phép cộng \(\frac{1}{x} + \frac{-1}{y}\).
Trả lời:
Ta có:
\(\frac{y}{xy} + \frac{-x}{xy} = \frac{y – x}{xy}\)
Vậy: \(\frac{1}{x} + \frac{-1}{y} = \frac{y – x}{xy}\).
Luyện tập 2 trang 16 Toán 8 tập 2 KNTT
Tính tổng \(\frac{5}{2x^2(6x + y)} + \frac{3}{5xy(6x + y)}\).
Trả lời:
Ta có:
$MTC = 10x^2y(6x + y)$
Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng, ta được:
$\frac{5}{2x^2(6x + y)} + \frac{3}{5xy(6x + y)} = \frac{25y}{10x^2y(6x + y)} + \frac{6x}{10x^2y(6x + y)}$
$= \frac{25y + 6x}{10x^2y(6x + y)}$.
3. TRỪ HAI PHÂN THỨC
Hoạt động 5 trang 16 Toán 8 tập 2 KNTT
Trừ các tử thức và giữ nguyên mẫu thức để tính \(\frac{x – 1}{x + 1} – \frac{2x + 3}{x + 1}\).
Trả lời:
Ta có:
$\frac{x – 1}{x + 1} – \frac{2x + 3}{x + 1} = \frac{x – 1 – (2x + 3)}{x + 1}$
$= \frac{x – 1 – 2x – 3}{x + 1} = \frac{- x- 4}{x + 1}$.
Hoạt động 6 trang 16 Toán 8 tập 2 KNTT
Quy đồng mẫu thức của hai phân thức \(\frac{1}{x + 1}\) và \(\frac{1}{x}\); trừ các tử thức nhận được và giữ nguyên mẫu thức chung để tính \(\frac{1}{x + 1} – \frac{1}{x}\).
Trả lời:
$MTC = x(x + 1)$
Nhân tử phụ của $x+1$ là: $x$
Nhân tử phụ của $x$ là: $x+1$
Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng, ta được:
♦ \(\frac{1}{x + 1} = \frac{x}{x(x + 1)}\)
♦ \(\frac{1}{x} = \frac{x + 1}{x(x + 1)}\)
Trừ các tử thức của hai phân thức, ta được:
$x – x – 1 = -1$
Vậy $\frac{1}{x + 1} – \frac{1}{x} = \frac{- 1}{x(x + 1)}$.
Luyện tập 3 trang 17 Toán 8 tập 2 KNTT
Thực hiện các phép tính sau:
a) \(\frac{3 – 2x}{x – 1} – \frac{2 + 5x}{x – 1}\);
b) \(\frac{1}{4x^2y} – \frac{1}{6xy^2}\).
Trả lời:
a) Ta có:
$\frac{3 – 2x}{x – 1} – \frac{2 + 5x}{x – 1} = \frac{3 – 2x – (2 + 5x)}{x – 1}$
$= \frac{3 – 2x – 2 – 5x}{x – 1} = \frac{1 – 7x}{x – 1}$.
b) Ta có:
$\frac{1}{4x^2y} – \frac{1}{6xy^2} = \frac{3y}{12x^2y^2} – \frac{2x}{12x^2y^2}$
$= \frac{3y – 2x}{12x^2y^2}$.
4. CỘNG TRỪ NHIỀU PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
Luyện tập 4 trang 18 Toán 8 tập 2 KNTT
Rút gọn biểu thức \(P = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} – \frac{1}{x} – \frac{1}{y}\).
Trả lời:
Ta có thể rút gọn như sau:
$P = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} – \frac{1}{x} – \frac{1}{y}$
$= (\frac{1}{x} – \frac{1}{x}) + (\frac{1}{y} – \frac{1}{y}) + \frac{1}{z}$
$= 0 + 0 + \frac{1}{z}$
$= \frac{1}{z}$
Vậy $P= \frac{1}{z}$.
Luyện tập 5 trang 18 Toán 8 tập 2 KNTT
Em hãy giải thích cách làm của Vuông trong tình huống mở đầu.
Trả lời:
Vì vuông đã sử dụng phép cộng, phép trừ phân thức đại số.
Ta thực hiện như sau:
$P = \frac{x}{x + 1} – [(\frac{1}{x – 1} + \frac{x}{x + 1}) – \frac{1}{x – 1}]$
$= \frac{x}{x + 1} – [\frac{1}{x – 1} + \frac{x}{x + 1} – \frac{1}{x – 1}]$
$= \frac{x}{x + 1} – \frac{x}{x + 1} = 0$
Vận dụng trang 19 Toán 8 tập 2 KNTT
Chú Đức lái ô tô từ Hà Nội về quê. Từ nhà chú đến đường cao tốc dài khoảng $20$ km, xe chạy trong thành phố với vận tốc $x$ (km/h) ($x>0$). Trên $50$ km đường cao tốc, xe tăng vận tốc thêm $55$ km/h. Ra khỏi cao tốc, xe còn phải chạy thêm $15$ phút thì về đến quê.
a) Viết các phân thức biểu thị thời gian xe chạy trong thành phố và thời gian xe chạy trên đường cao tốc.
b) Viết phân thức biểu thị tổng thời gian chú Đức đi từ Hà Nội về quê.
Trả lời:
Đổi $15$ phút = $\frac{1}{4}$ (giờ)
a) Phân thức biểu thị thời gian xe chạy trong thành phố:
\(t_1 = \frac{20}{x}\) (giờ)
Phân thức biểu thị thời gian xe chạy trên đường cao tốc:
\(t_2 = \frac{50}{x + 55}\) (giờ)
b) Phân thức biểu thị tổng thời gian chú Đức đi từ Hà Nội về quê:
$ t = t_1 + t_2 + \frac{1}{4}$
$= \frac{20}{x} + \frac{50}{x + 55} + \frac{1}{4}$
$= \frac{80(x + 55) + 200x + x(x + 55)}{4x(x + 55)}$
$= \frac{x^2 + 335x + 4400}{4x(x + 55)}$ (giờ).
GIẢI BÀI TẬP
Sau đây là phần Giải bài 20 21 22 23 24 25 trang 19 sgk Toán 8 tập 2 Kết Nối Tri Thức. Nội dung chi tiết bài giải từng bài tập các bạn xem dưới đây:
Giải bài 6.20 trang 19 Toán 8 tập 2 KNTT
Thực hiện các phép tính sau:
a) \(\frac{{{x^2} – 3{x} + 1}}{{2{{x}^2}}} + \frac{{5{x} – 1 – {x^2}}}{{2{{x}^2}}}\);
b) \(\frac{y}{{x – y}} + \frac{x}{{x + y}}\);
c) \(\frac{x}{{2{x} – 6}} + \frac{y}{{2{x}(3 – x)}}\).
Bài giải:
a) Ta có:
$\frac{{{x^2} – 3{x} + 1}}{{2{{x}^2}}} + \frac{{5{x} – 1 – {x^2}}}{{2{{x}^2}}}$
$= \frac{{{x^2} – 3{x} + 1 + 5{x} – 1 – {x^2}}}{{2{{x}^2}}} = \frac{{2{x}}}{{2{{x}^2}}}$.
b) Ta có:
$\frac{y}{{x – y}} + \frac{x}{{x + y}} = \frac{{y(x + y) + x(x – y)}}{{(x – y)(x + y)}}$
$= \frac{{xy + {y^2} + {x^2} – xy}}{{{x^2} – {y^2}}} = \frac{{{x^2} + {y^2}}}{{{x^2} – {y^2}}}$.
c) Ta có:
$\frac{x}{{2{x} – 6}} + \frac{9}{{2{x}(3 – x)}} = \frac{x}{{2(x – 3)}} – \frac{9}{{2{x}(x – 3)}}$
$= \frac{{{x^2}}}{{2{x}(x – 3)}} – \frac{9}{{2{x}(x – 3)}} = \frac{{{x^2} – 9}}{{2{x}(x – 3)}}$
$= \frac{{(x – 3)(x + 3)}}{{2{x}(x – 3)}} = \frac{{x + 3}}{{2{x}}}$.
Giải bài 6.21 trang 19 Toán 8 tập 2 KNTT
Thực hiện các phép tính sau:
a) \(\frac{{5 – 3{x}}}{{x + 1}} – \frac{{ – 2 + 5{x}}}{{x + 1}}\);
b) \(\frac{x}{{x – y}} – \frac{y}{{x + y}}\);
c) \(\frac{3}{{x + 1}} – \frac{{2 + 3{x}}}{{{x^3} + 1}}\).
Bài giải:
a) Ta có:
$\frac{{5 – 3{x}}}{{x + 1}} – \frac{{ – 2 + 5{x}}}{{x + 1}} = \frac{{5 – 3{\rm{x – }}( – 2 + 5{x})}}{{x + 1}}$
$= \frac{{5 – 3{x} + 2 – 5{x}}}{{x + 1}} = \frac{{7 – 8{x}}}{{x + 1}}$.
b) Ta có:
$\frac{x}{{x – y}} – \frac{y}{{x + y}} = \frac{{x(x + y) – y(x – y)}}{{(x – y)(x + y)}}$
$= \frac{{{x^2} + xy – xy + {y^2}}}{{(x – y)(x + y)}} = \frac{{{x^2} + {y^2}}}{{(x – y)(x + y)}}$
c) Ta có:
$\frac{3}{{x + 1}} – \frac{{2 + 3{x}}}{{{x^3} + 1}}= \frac{3}{{x + 1}} – \frac{{2 + 3{x}}}{{(x + 1)({x^2} – x + 1)}}$
$= \frac{3(x^2 – x + 1) – 2 – 3x}{(x + 1)(x^2 – x + 1)} = \frac{3x^2 – 3x + 3 – 2 – 3x}{(x + 1)(x^2 – x + 1)}$
$= \frac{{3{{x}^2} – 6{x} + 1}}{{(x + 1)({x^2} – x + 1)}}$.
Giải bài 6.22 trang 19 Toán 8 tập 2 KNTT
Thực hiện các phép tính sau:
a) \(\frac{1}{x} + \frac{2}{{x + 1}} + \frac{3}{{x + 2}} – \frac{1}{x} – \frac{2}{{x + 1}} – \frac{3}{{x + 2}}\);
b) \(\frac{{2{x} – 1}}{x} + \frac{{1 – x}}{{2{x} + 1}} + \frac{3}{{{x^2} – 9}} + \frac{{1 – 2{x}}}{x} + \frac{{x – 1}}{{2{x} + 1}} – \frac{3}{{x + 3}}\).
Bài giải:
a) Ta có:
$\frac{1}{x} + \frac{2}{{x + 1}} + \frac{3}{{x + 2}} – \frac{1}{x} – \frac{2}{{x – 1}} – \frac{3}{{x + 2}}$
$= (\frac{1}{x} – \frac{1}{x}) + (\frac{2}{{x + 1}} – \frac{2}{{x – 1}}) + (\frac{3}{{x + 2}} – \frac{3}{{x + 2}})$
$= 0 + \frac{2}{{x + 1}} – \frac{2}{{x – 1}} + 0$
$= \frac{{2(x – 1) – 2(x + 1)}}{{(x + 1)(x – 1)}}$
$= \frac{{2{x} – 2 – 2{x} – 2}}{{(x + 1)(x – 1)}}$
$= \frac{{ – 4}}{{(x + 1)(x – 1)}}$.
b) Ta có:
$\frac{{2{x} – 1}}{x} + \frac{{1 – x}}{{2{x} + 1}} + \frac{3}{{{x^2} – 9}} + \frac{{1 – 2{x}}}{x} + \frac{{x – 1}}{{2{x} + 1}} – \frac{3}{{x + 3}}$
$= (\frac{{2{x} – 1}}{x} + \frac{{1 – 2{x}}}{x}) + (\frac{{1 – x}}{{2{x} + 1}} + \frac{{x – 1}}{{2{x} + 1}}) + (\frac{3}{{{x^2} – 9}} – \frac{3}{{x + 3}})$
$= 0 + 0 + \frac{3}{{(x + 3)(x – 3)}} – \frac{3}{{x + 3}}$
$= \frac{{3 – 3(x – 3)}}{{(x + 3)(x – 3)}}$
$= \frac{{12 – 3{x}}}{{(x + 3)(x – 3)}}$.
Giải bài 6.23 trang 19 Toán 8 tập 2 KNTT
Thực hiện các phép tính sau;
a) \(\frac{{{x^2} + 4{x} + 4}}{{{x^2} – 4}} + \frac{x}{{2 – x}} + \frac{{4 – x}}{{5{x} – 10}}\);
b) \(\frac{x}{{{x^2} + 1}} – (\frac{3}{{x + 6}} + \frac{{x – 2}}{{x + 4}}) + \left[ {\frac{3}{{x + 6}} – (\frac{1}{{{x^2} + 1}} – \frac{{x – 2}}{{x + 4}})} \right]\).
Bài giải:
a) Ta có:
$\frac{{{x^2} + 4{x} + 4}}{{{x^2} – 4}} + \frac{x}{{2 – x}} + \frac{{4 – x}}{{5{x} – 10}}$
$= \frac{{{{(x + 2)}^2}}}{{(x + 2)(x – 2)}} – \frac{x}{{x – 2}} + \frac{{4 – x}}{{5(x – 2)}}$
$= \frac{{x + 2}}{{x – 2}} – \frac{x}{{x – 2}} + \frac{{4 – x}}{{5(x – 2)}}$
$= \frac{{5(x + 2) – 5x + 4 – x}}{{5(x – 2)}}$
$= \frac{{ – x + 14}}{{5(x – 2)}}$.
b) Ta có:
$\frac{x}{{{x^2} + 1}} – (\frac{3}{{x + 6}} + \frac{{x – 2}}{{x + 4}}) + \left[ {\frac{3}{{x + 6}} – (\frac{1}{{{x^2} + 1}} – \frac{{x – 2}}{{x + 4}})} \right]$
$= \frac{x}{{{x^2} + 1}} – \frac{3}{{x + 6}} – \frac{{x – 2}}{{x + 4}} + \frac{3}{{x + 6}} – \frac{1}{{{x^2} + 1}} + \frac{{x – 2}}{{x + 4}}$
$= \frac{x}{{{x^2} + 1}} – \frac{1}{{{x^2} + 1}}$
$= \frac{{x – 1}}{{{x^2} + 1}}$.
Giải bài 6.24 trang 19 Toán 8 tập 2 KNTT
Thực hiện các phép tính sau:
a) \(\frac{{x – y}}{{xy}} + \frac{{y – z}}{{yz}} + \frac{{z – x}}{{z{x}}}\);
b) \(\frac{x}{{{{(x – y)}^2}}} + \frac{y}{{{y^2} – {x^2}}}\).
Bài giải:
a) Ta có:
$\frac{{x – y}}{{xy}} + \frac{{y – z}}{{yz}} + \frac{{z – x}}{{z{x}}}$
$= \frac{{z(x – y) + x(y – z) + y(z – x)}}{{xyz}}$
$= \frac{{z{x} – zy + xy – x{\rm{z}} + yz – {\rm{yx}}}}{{xyz}} = 0$
b) Ta có:
$\frac{x}{{{{(x – y)}^2}}} + \frac{y}{{{y^2} – {x^2}}}$
$= \frac{x}{{{{(x – y)}^2}}} – \frac{y}{{{x^2} – {y^2}}}$
$= \frac{x}{{{{(x – y)}^2}}} – \frac{y}{{(x – y)(x + y)}}$
$= \frac{{x(x + y) – y(x – y)}}{{{{(x – y)}^2}(x + y)}}$
$= \frac{{{x^2} + xy – {\rm{yx}} + {y^2}}}{{{{(x – y)}^2}(x + y)}}$
$= \frac{{{x^2} + {y^2}}}{{{{(x – y)}^2}(x + y)}}$.
Giải bài 6.25 trang 19 Toán 8 tập 2 KNTT
Một tàu du lịch chạy xuôi dòng $15$ km, sau đó quay ngược lại để trở về điểm xuất phát và kết thúc chuyến du lịch. Biết rằng vận tốc của tàu khi nước yên lặng là $10$ km/h và vận tốc của dòng nước là $x$ (km/h).
a) Hãy viết các phân thức biểu thị theo $x$ thời gian xuôi dòng, thời gian ngược dòng và tổng thời gian tàu chạy.
b) Tính tổng thời gian tàu chạy khi vận tốc dòng nước là $2$ km/h.
Bài giải:
a) Thời gian khi tàu xuôi dòng là:
\(t_1 = \frac{15}{10 + x}\)
Thời gian khi tàu ngược dòng là:
\(t_2 = \frac{15}{10 – x}\)
b) Tổng thời gian tàu chạy là:
\(t = t_1 + t_2 = \frac{15}{10 + x} + \frac{15}{10 – x}\)
Thay $x=2$ (km/h), ta được:
$t = \frac{15}{10 + 2} + \frac{15}{10 – 2} = \frac{15}{12} + \frac{15}{8} = \frac{25}{8}$ (giờ).
Bài trước:
👉 Giải bài 15 16 17 18 19 trang 14 sgk Toán 8 tập 2 Kết Nối Tri Thức
Bài tiếp theo:
👉 Giải bài 26 27 28 29 30 trang 22 sgk Toán 8 tập 2 Kết Nối Tri Thức
Trên đây là bài Hướng dẫn Giải bài 20 21 22 23 24 25 trang 19 sgk Toán 8 tập 2 Kết Nối Tri Thức đầy đủ, ngắn gọn và dễ hiểu nhất. Chúc các bạn làm bài môn toán 8 tốt nhất!
“Bài tập nào khó đã có giaibaisgk.com“