Nội Dung
Hướng dẫn giải Bài §22. Tính chất cơ bản của phân thức đại số sgk Toán 8 tập 2 bộ Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống. Nội dung bài Giải bài 7 8 9 10 11 12 13 14 trang 11 12 sgk Toán 8 tập 2 Kết Nối Tri Thức bao gồm đầy đủ phần lí thuyết kèm bài giải các câu hỏi, hoạt động, luyện tập vận dụng và bài tập, giúp các bạn học sinh học tốt môn toán 8.
Bài 22 TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
Bài toán mở đầu trang 8 Toán 8 tập 2 KNTT
Liệu phân thức nào đơn giản nhưng bằng phân thức \(\frac{{x – y}}{{{x^3} – {y^3}}}\) không nhỉ?
Trả lời:
Ta có:
\(\frac{{x – y}}{{{x^3} – {y^3}}} = \frac{{x – y}}{{(x – y)({x^2} + xy + {y^2})}} = \frac{1}{{{x^2} + xy + {y^2}}}\)
Vậy có phân thức $\frac{1}{{{x^2} + xy + {y^2}}}$ thỏa mãn bài toán.
1. TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN THỨC
Hoạt động 1 trang 8 Toán 8 tập 2 KNTT
Nếu nhân cả tử và mẫu của phân thức \(\frac{{x + y}}{{x – y}}\) với 2x ta được phân thức mới nào? Giải thích vì sao phân thức mới nhận được bằng phân thức đã cho.
Trả lời:
Nhân cả tử và mẫu của phân thức \(\frac{{x + y}}{{x – y}}\) với $2x$, ta được: \(\frac{{2x(x + y)}}{{2x(x – y)}}\)
Phân thức mới nhận được bằng phân thức đã cho vì cả tử và mẫu của phân thức đều nhân cùng với một số.
Hoạt động 2 trang 8 Toán 8 tập 2 KNTT
Tử và mẫu của phân thức \(\frac{{(x – 1)(x + 1)}}{{(x – 1)({x^2} + x + 1)}}\) có nhân tử chung là $x−1$. Viết phân thức nhận được sau khi chia cả tử và mẫu của phân thức này cho nhân tử chung đó. So sánh phân thức mới nhận được với phân thức đã cho.
Trả lời:
Chia cả tử và mẫu của phân thức này cho nhân tử chung $x−1$, ta được: \(\frac{{x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}\)
⇒ Phân thức mới được rút gọn và mất đi nhân tử chung $x−1$.
Luyện tập 1 trang 9 Toán 8 tập 2 KNTT
Khẳng định sau đúng hay sai? Vì sao?
\(\frac{{30x{y^2}(x – y)}}{{45xy{{(x – y)}^2}}} = \frac{{2y}}{{3(x – y)}}\).
Trả lời:
Ta thấy tử và mẫu thức của phân thức $\frac{{30x{y^2}(x – y)}}{{45xy{{(x – y)}^2}}}$ có nhân tử chung là $15xy(x – y)$.
Chia cả tử và mẫu của phân thức này cho nhân tử chung $15xy(x – y)$, ta được: \(\frac{{2y}}{{3(x – y)}}\).
Vậy \(\frac{{30x{y^2}(x – y)}}{{45xy{{(x – y)}^2}}} = \frac{{2y}}{{3(x – y)}}\) nên khẳng định đã cho là đúng.
Luyện tập 2 trang 9 Toán 8 tập 2 KNTT
Giải thích vì sao \(\frac{{ – x}}{{1 – x}} = \frac{x}{{x – 1}}\).
Trả lời:
Nhân cả tử và mẫu của phân thức \(\frac{x}{{x – 1}}\) với $-1$ ta được phân thức: \(\frac{{ – x}}{{1 – x}}\)
Vậy $\frac{{ – x}}{{1 – x}} = \frac{x}{{x – 1}}$.
2. VẬN DỤNG
Hoạt động 3 trang 9 Toán 8 tập 2 KNTT
Phân tích tử và mẫu của phân thức \(\frac{{2{x^2} + 2x}}{{{x^2} – 1}}\) thành nhân tử và tìm các nhân tử chung của chúng.
Trả lời:
Ta có:
\(\frac{{2{x^2} + 2x}}{{{x^2} – 1}} = \frac{{2x(x + 1)}}{{(x + 1)(x – 1)}}\)
⇒ Nhân tử chung là $x + 1$.
Hoạt động 4 trang 9 Toán 8 tập 2 KNTT
Chia cả tử và mẫu của phân thức \(\frac{{2{x^2} + 2x}}{{{x^2} – 1}}\) cho các nhân tử chung, ta nhận được một phân thức mới bằng phân thức đã cho nhưng đơn giản hơn.
Trả lời:
Ta có:
\(\frac{{2{x^2} + 2x}}{{{x^2} – 1}} = \frac{{2x(x + 1)}}{{(x + 1)(x – 1)}} = \frac{{2x}}{{x + 1}}\).
Luyện tập 3 trang 10 Toán 8 tập 2 KNTT
Em hãy trả lời câu hỏi trong tình huống mở đầu.
Trả lời:
Ta có:
\(\frac{{x – y}}{{{x^3} – {y^3}}} = \frac{{x – y}}{{(x – y)({x^2} + xy + {y^2})}} = \frac{1}{{{x^2} + xy + {y^2}}}\) (Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung $x – y$).
Tranh luận trang 10 Toán 8 tập 2 KNTT
Tròn thực hiện rút gọn như hình bên. Hỏi bạn tròn làm đúng hay sai? Vì sao?
Trả lời:
Bạn tròn làm thế là sai. Vì bạn bỏ hai số hạng giống nhau của cả tử và mẫu là $2x$ chứ không phải chia cho nhân tử chung của cả tử và mẫu.
Hoặc:
Phân tích tử và mẫu thức thành nhân tử và rút gọn nhân tử chung ta có:
\(\frac{x^2 + 2x}{3x^3 + 2x} = \frac{x(x + 2)}{x(3x^2 + 2)} = \frac{x + 2}{3x^2 + 2}\)
Vậy bạn Tròn đã làm sai.
Thử thách nhỏ trang 10 Toán 8 tập 2 KNTT
Tìm $a$ sao cho hai phân thức sau bằng nhau: \(\frac{{{\rm{ – a}}{x^2}{\rm{ – ax}}}}{{{x^2} – 1}}\) và \(\frac{{3x}}{{x – 1}}\).
Trả lời:
Ta có:
\(\frac{{{\rm{ – a}}{x^2}{\rm{ – ax}}}}{{{x^2} – 1}} = \frac{{ – a({x^2} + x)}}{{(x – 1)(x + 1)}} = \frac{{ – ax(x + 1)}}{{(x – 1)(x + 1)}} = \frac{{{\rm{ – ax}}}}{{x – 1}}\)
Để hai phân thức sau bằng nhau: \(\frac{{{\rm{ – a}}{x^2}{\rm{ – ax}}}}{{{x^2} – 1}}\) và \(\frac{{3x}}{{x – 1}}\) khi và chỉ khi $a = -3$.
Hoạt động 5 trang 10 Toán 8 tập 2 KNTT
Cho hai phân thức: \(\frac{1}{{2{x^2} + 2x}}\) và \(\frac{1}{{3{x^2} – 6x}}\).
Phân tích các mẫu thức của hai phân thức đã cho thành nhân tử.
Trả lời:
Ta có:
♦ \(\frac{1}{{2{x^2} + 2x}} = \frac{1}{{2x(x + 1)}}\)
♦ \(\frac{1}{{3{x^2} – 6x}} = \frac{1}{{3x(x – 2)}}\)
Hoạt động 6 trang 10 Toán 8 tập 2 KNTT
Cho hai phân thức: \(\frac{1}{{2{x^2} + 2x}}\) và \(\frac{1}{{3{x^2} – 6x}}\).
Chọn mẫu thức chung (MTC) của hai mẫu thức trên bàng cách lấy tích của các nhân tử được chọn như sau:
– Nhân tử bằng số của MTC là tích các nhân tử bằng số ở các mẫu thức của các phân thức đã cho (nếu các nhân tử bằng số ở các mẫu thức là những số nguyên dương thì nhân tử bằng số ở MTC là BCNN của chúng);
– Với mỗi lũy thừa của cùng một biểu thức có mặt trong các mẫu thức, ta chọn lũy thừa với số mũ cao nhất.
Trả lời:
Mẫu thức chung của hai phân thức \(\frac{1}{{2{x^2} + 2x}}\) và \(\frac{1}{{3{x^2} – 6x}}\) là $6x(x+1)(x−2)$.
Hoạt động 7 trang 10 Toán 8 tập 2 KNTT
Cho hai phân thức: \(\frac{1}{{2{x^2} + 2x}}\) và \(\frac{1}{{3{x^2} – 6x}}\).
Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức bằng cách lấy MTC chia cho mẫu thức đó.
Trả lời:
Ta có:
– Nhân tử phụ của $2x^2 + 2x$ là:
$6x(x + 1)(x – 2) : 2x(x + 1) = 3(x – 2)$
– Nhân tử phụ của $3x^2 −6x$ là:
$6x(x + 1)(x – 2) : 3x(x – 2) = 2(x + 1)$
Hoạt động 8 trang 10 Toán 8 tập 2 KNTT
Cho hai phân thức: \(\frac{1}{{2{x^2} + 2x}}\) và \(\frac{1}{{3{x^2} – 6x}}\).
Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức đã cho với nhân tử phụ tương ứng, ta được các phân thức có mẫu thức là MTC đã chọn.
Trả lời:
Ta có:
♦ \(\frac{1}{{2{x^2} + 2x}} = \frac{1}{{2x(x + 1)}} = \frac{{3x(x – 2)}}{{6x(x + 1)(x – 2)}}\).
♦ \(\frac{1}{{3{x^2} – 6x}} = \frac{1}{{3x(x – 2)}} = \frac{{2x(x + 1)}}{{6x(x + 1)(x – 2)}}\).
Luyện tập 4 trang 11 Toán 8 tập 2 KNTT
Quy đồng mẫu thức hai phân thức \(\frac{1}{{3{x^2} – 3}}\) và \(\frac{1}{{{x^3} – 1}}\).
Trả lời:
Ta có:
$3x^2 −3=3(x^2−1)=3(x−1)(x+1)$
$x^3 −1=(x−1)(x^2 + x + 1)$
⇒ $MTC = 3(x−1)(x+1)(x^2 + x + 1)$
Nhân tử phụ của $3x^2 − 3$ là $x^2 + x + 1$
Nhân tử phụ của $x^3 − 1$ là $3(x+1)$.
Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng, ta có:
♦ \(\frac{1}{{3{x^2} – 3}} = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{3({x^2} – 1)({x^2} + x + 1)}} = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{3(x – 1)(x + 1)({x^2} + x + 1)}}\)
♦ \(\frac{1}{{{x^3} – 1}} = \frac{{3(x + 1)}}{{3(x – 1)(x + 1)({x^2} + x + 1)}}\)
Tranh luận trang 11 Toán 8 tập 2 KNTT
Tròn nói hai phân thức \(\frac{5}{{x – 1}}\) và \(\frac{x}{{1 – x}}\) có MTC là $x – 1$.
Vuông nói không đúng, MTC là $(x – 1)(1 – x)$
Theo em, bạn nào chọn MTC hợp lí hơn? Vì sao?
Trả lời:
Ta có:
\(\frac{x}{{1 – x}} = \frac{{ – x}}{{x – 1}}\)
Hai phân thức \(\frac{5}{{x – 1}}\) và \(\frac{x}{{1 – x}}\) có MTC là $x – 1$
⇒ Bạn Tròn chọn MTC hợp lí hơn.
GIẢI BÀI TẬP
Sau đây là phần Giải bài 7 8 9 10 11 12 13 14 trang 11 12 sgk Toán 8 tập 2 Kết Nối Tri Thức. Nội dung chi tiết bài giải từng bài tập các bạn xem dưới đây:
Giải bài 6.7 trang 11 Toán 8 tập 2 KNTT
Dùng tính chất cơ bản của phân thức, giải thích vì sao các kết luận sau đúng.
a) \(\frac{{{{(x – 2)}^3}}}{{{x^2} – 2}} = \frac{{{{(x – 2)}^2}}}{2}\);
b) \(\frac{{1 – x}}{{ – 5x – 1}} = \frac{{x – 1}}{{5x – 1}}\).
Bài giải:
a) Nhân cả tử và mẫu của phân thức \(\frac{{{{(x – 2)}^2}}}{x}\) với $x – 2$ ta được:
$\frac{{{{(x – 2)}^2}}}{x} = \frac{{(x – 2){{(x – 2)}^2}}}{{x(x – 2)}}$
$= \frac{{{x^3} – 6{x^2} + 12x – 8}}{{x(x – 2)}} = \frac{{{{(x – 2)}^3}}}{{{x^2} – 2}}$
b) Nhân cả tử và mẫu của phân thức \(\frac{{1 – x}}{{ – 5x + 1}}\) với $-1$ ta được:
\(\frac{{1 – x}}{{ – 5x + 1}} = \frac{{x – 1}}{{5x – 1}}\)
Giải bài 6.8 trang 12 Toán 8 tập 2 KNTT
Tìm đa thức thích hợp thay cho dấu“?”.
\(\frac{{y – x}}{{4 – x}} = \frac{?}{{x – 4}}\).
Bài giải:
Ta có:
\(\frac{{y – x}}{{4 – x}} = \frac{{(y – x).( – 1)}}{{(4 – x).( – 1)}} = \frac{{x – y}}{{x – 4}}\)
Vậy $? = x – y$. Hay đa thức cần tìm là $x – y$.
Giải bài 6.9 trang 12 Toán 8 tập 2 KNTT
Rút gọn các phân thức sau:
a) \(\frac{{5x + 10}}{{25{x^2} + 50}}\);
b) \(\frac{{45x(3 – x)}}{{15x{{(x – 3)}^3}}}\);
c) \(\frac{{{{({x^2} – 1)}^2}}}{{(x + 1)({x^3} + 1)}}\).
Bài giải:
a) Ta có:
\(\frac{{5x + 10}}{{25{x^2} + 50}} = \frac{{5(x + 2)}}{{25({x^2} + 2)}} = \frac{{x + 2}}{{5({x^2} + 2)}}\)
b) Ta có:
$\frac{{45x(3 – x)}}{{15x{{(x – 3)}^3}}} = \frac{{3(3 – x)}}{{{{(x – 3)}^3}}}$
$=\frac{-3(x-3)}{(x-3)^3}=\frac{-3}{(x-3)^2}$
c) Ta có:
$\frac{{{{({x^2} – 1)}^2}}}{{(x + 1)({x^3} + 1)}} = \frac{{({x^2} – 1)({x^2} – 1)}}{{(x + 1)(x + 1)({x^2} – x + 1)}}$
$= \frac{{(x + 1)(x – 1)(x + 1)(x – 1)}}{{(x + 1)(x + 1)({x^2} – x + 1)}}$
$= \frac{{{{(x – 1)}^2}}}{{{x^2} – x + 1}}$.
Giải bài 6.10 trang 12 Toán 8 tập 2 KNTT
Cho phân thức \(P = \frac{{x + 1}}{{{x^2} – 1}}\).
a) Rút gọn phân thức đã cho, kí hiệu $Q$ là phân thức nhận được.
b) Tính giá trị của $P$ và $Q$ tại $x = 11$. So sánh haii kết quả đó.
Bài giải:
a) Ta có:
\(P = \frac{{x + 1}}{{{x^2} – 1}} = \frac{{x + 1}}{{(x – 1)(x + 1)}} = \frac{1}{{x – 1}}\)
Suy ra: \(Q = \frac{1}{{x – 1}}\)
b) Thay $x = 11$ vào $P$ ta được:
\(P = \frac{{11 + 1}}{{{{11}^2} – 1}} = \frac{1}{{10}}\)
Thay $x = 11$ vào $Q$ ta được:
\(Q = \frac{1}{{11 – 1}} = \frac{1}{{10}}\)
⇒ Hai kết quả $P = Q$ tại $x = 11$.
Giải bài 6.11 trang 12 Toán 8 tập 2 KNTT
Tìm $a$ sao cho hai phân thức sau bằng nhau:
\(\frac{{5x}}{{x + 1}}\) và \(\frac{{ax(x – 1)}}{{(1 – x)(x + 1)}}\).
Bài giải:
Nhân cả tử và mẫu của phân thức \(\frac{{5x}}{{x + 1}}\) với $1 – x$, ta có:
\(\frac{{5x(1 – x)}}{{(1 – x)(x + 1)}} = \frac{{ – 5x(x – 1)}}{{(1 – x)(x + 1)}}\)
Vậy $a = -5$.
Giải bài 6.12 trang 12 Toán 8 tập 2 KNTT
Quy đồng mẫu thức các phân thức sau:
a) \(\frac{1}{{{x^3} – 8}}\) và \(\frac{3}{{4 – 2x}}\);
b) \(\frac{x}{{{x^2} – 1}}\) và \(\frac{1}{{{x^2} + 2x + 1}}\).
Bài giải:
a) Ta có:
♦ \({x^3} – 8 = (x – 2)({x^2} + 2x + 4)\)
♦ \(4 – 2x = 2(2 – x) = – 2(x – 2)\)
Mẫu thức chung là: \( – 2(x – 2)({x^2} + 2x + 4)\)
Nhân tử phụ của \({x^3} – 8\) là $-2$
Nhân tử phụ của $4 – 2x$ là \({x^2} + 2x + 4\)
Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng, ta có:
♦ $\frac{1}{{{x^3} – 8}} = \frac{{ – 2}}{{ – 2({x^3} – 8)}}$
$\frac{3}{{4 – 2x}} = \frac{{3({x^2} + 2x + 4)}}{{(4 – 2x)({x^2} + 2x + 4)}} = \frac{{3({x^2} + 2x + 4)}}{{ – 2({x^3} – 8)}}$
b) Ta có:
♦ ${x^2} – 1 = (x – 1)(x + 1)$
♦ ${x^2} + 2x + 1 = {(x + 1)^2}$
Mẫu thức chung là: \({(x + 1)^2}(x – 1)\)
Nhân tử phụ của \(\frac{x}{{{x^2} – 1}}\) là: $x + 1$
Nhân tử phụ của \(\frac{1}{{{x^2} + 2x + 1}}\) là $x – 1$
Khi đó:
♦ \(\frac{x}{{{x^2} – 1}} = \frac{{x(x + 1)}}{{{{(x + 1)}^2}(x – 1)}}\)
♦ \(\frac{1}{{{x^2} + 2x + 1}} = \frac{{x – 1}}{{{{(x + 1)}^2}(x – 1)}}\)
Giải bài 6.13 trang 12 Toán 8 tập 2 KNTT
Quy đồng mẫu thức các phân thức sau:
a) \(\frac{1}{{x + 2}};\frac{{x + 1}}{{{x^2} – 4x + 4}};\frac{5}{{2 – x}}\);
b) \(\frac{1}{{3x + 3y}};\frac{{2x}}{{{x^2} – {y^2}}};\frac{{{x^2} – xy + {y^2}}}{{{x^2} – 2xy + {y^2}}}\).
Bài giải:
a) Ta có:
\(\frac{5}{{2 – x}} = \frac{{ – 5}}{{x – 2}}\)
\({x^2} – 4x + 4 = {(x – 2)^2}\)
\(MTC = (x + 2){(x – 2)^2}\)
Nhân tử phụ của $x+2$ là \({(x – 2)^2}\)
Nhân tử phụ của \({x^2} – 4x + 4\) là \(x + 2\)
Nhân tử phụ của $x – 2$ là $(x+2)(x−2)$
Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng, ta có:
♦ $\frac{1}{{x + 2}} = \frac{{{{(x – 2)}^2}}}{{(x + 2){{(x – 2)}^2}}}$
♦ $\frac{{x + 1}}{{{x^2} – 4{\rm{x + 4}}}} = \frac{{(x + 1)(x + 2)}}{{(x + 2){{(x – 2)}^2}}}$
♦ $\frac{5}{{2 – x}} = \frac{{ – 5(x + 2)(x – 2)}}{{(x + 2){{(x – 2)}^2}}}$
b) Ta có:
$3x+3y=3(x+y)$
\({x^2} – {y^2} = (x – y)(x + y)\)
\({x^2} + 2xy + {y^2} = {(x – y)^2}\)
\(MTC = 3(x + y){(x – y)^2}\)
Nhân tử phụ của $3x+3y$ là: \({(x – y)^2}\)
Nhân tử phụ của \({x^2} – {y^2}\) là: $3(x−y)$
Nhân tử phụ của \({x^2} + 2xy + {y^2}\) là: $3(x+y)$
Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng, ta có:
♦ $\frac{1}{{3x + 3y}} = \frac{{{{(x – y)}^2}}}{{3(x + y){{(x – y)}^2}}}$
♦ $\frac{{2x}}{{{x^2} – {y^2}}} = \frac{{6x(x – y)}}{{3(x + y){{(x – y)}^2}}}$
♦ $\frac{{{x^2} – xy + {y^2}}}{{{x^2} – 2xy + {y^2}}} = \frac{{3({x^2} – xy + {y^2})(x + y)}}{{3(x + y){{(x – y)}^2}}}$
Giải bài 6.14 trang 12 Toán 8 tập 2 KNTT
Cho hai phân thức \(\frac{{9{x^2} + 3x + 1}}{{27{x^3} – 1}}\) và \(\frac{{{x^2} – 4x}}{{16 – {x^2}}}\).
a) Rút gọn hai phân thức đã cho.
b) Quy đồng mẫu thức hai phân thức nhận được ở câu a.
Bài giải:
a) Ta có:
♦ \(\frac{{9{x^2} + 3x + 1}}{{27{x^3} – 1}} = \frac{{9{x^2} + 3x + 1}}{{(3x – 1)(9{x^2} + 3x + 1)}} = \frac{1}{{3x – 1}}\)
♦ \(\frac{{{x^2} – 4x}}{{16 – {x^2}}} = \frac{{x(x – 4)}}{{(4 – x)(4 + x)}} = \frac{{ – x(4 – x)}}{{(4 – x)(4 + x)}} = \frac{{ – x}}{{4 + x}}\)
b) Mẫu thức chung của hai phân thức nhân được ở câu a là: \((3x – 1)(4 + x)\)
Nhân tử phụ của \(\frac{1}{{3x – 1}}\) là: \(4 + x\)
Nhân tử phụ của \(\frac{{ – x}}{{4 + x}}\) là: \(3x – 1\)
Khi đó:
♦ \(\frac{1}{{3x – 1}} = \frac{{4 + x}}{{(3x – 1)(4 + x)}}\)
♦ \(\frac{{ – x}}{{4 + x}} = \frac{{ – x(3x – 1)}}{{(4 + x)(3x – 1)}}\).
Bài trước:
👉 Giải bài 1 2 3 4 5 6 trang 7 sgk Toán 8 tập 2 Kết Nối Tri Thức
Bài tiếp theo:
👉 Giải bài 15 16 17 18 19 trang 14 sgk Toán 8 tập 2 Kết Nối Tri Thức
Trên đây là bài Hướng dẫn Giải bài 7 8 9 10 11 12 13 14 trang 11 12 sgk Toán 8 tập 2 Kết Nối Tri Thức đầy đủ, ngắn gọn và dễ hiểu nhất. Chúc các bạn làm bài môn toán 8 tốt nhất!
“Bài tập nào khó đã có giaibaisgk.com“