Nội Dung
Hướng dẫn giải Bài Ôn tập chương II – Đường tròn, sách giáo khoa toán 9 tập một. Nội dung bài giải bài 41 42 43 trang 128 sgk toán 9 tập 1 bao gồm tổng hợp công thức, lý thuyết, phương pháp giải bài tập phần hình học có trong SGK toán để giúp các em học sinh học tốt môn toán lớp 9.
Lý thuyết
Các định nghĩa
1. Đường tròn tâm O bán kính R (với R > 0) là hình gồm các điểm cách điểm O một khoảng bằng R.
2. Tiếp tuyến của đường tròn là đường thẳng chỉ có một điểm chung với đường tròn đó.
Các định lí
1. a) Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền.
b) Nếu một tam giác có một cạnh là đường kính của đường tròn ngoại tiếp thì tam giác đó là tam giác vuông.
2. a) Đường tròn là hình có tâm đối xứng. Tâm của đường tròn là tâm đối xứng của đường tròn đó.
b) Đường tròn là hình có trục đối xứng. Bất kì đường kính nào cũng là trục đối xứng của đường tròn.
3. Trong các dây của một đường tròn, dây lớn nhất là đường kính.
4. Trong một đường tròn:
a) Đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.
b) Đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy.
5. Trong một đường tròn:
a) Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm, hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.
b) Dây lớn hơn thì gần tâm hơn, dây gần tâm hơn thì lớn hơn.
6. a) Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.
b) Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn.
7. Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại 1 điểm thì:
a) Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.
b) Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.
c) Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm.
8. Nếu hai đường tròn cắt nhau thì đường nối tâm là đường trung trực của dây chung.
Dưới đây là Hướng dẫn giải bài 41 42 43 trang 128 sgk toán 9 tập 1. Các bạn hãy đọc kỹ đầu bài trước khi giải nhé!
Bài tập
Giaibaisgk.com giới thiệu với các bạn đầy đủ phương pháp giải bài tập phần hình học 9 kèm bài giải chi tiết bài 41 42 43 trang 128 sgk toán 9 tập 1 của bài Ôn tập chương II – Đường tròn cho các bạn tham khảo. Nội dung chi tiết bài giải từng bài tập các bạn xem dưới đây:
1. Giải bài 41 trang 128 sgk Toán 9 tập 1
Cho đường tròn $(O)$ có đường kính $BC$, dây $AD$ vuông góc với $BC$ tại $H$. Gọi $E, F$ theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ $H$ đến $AB, AC$. Gọi $(I), (K)$ theo thứ tự là các đường tròn ngoại tiếp tam giác $HBE, HCF.$
a) Hãy xác định vị trí tương đối của các đường tròn: $(I)$ và $(O), (K)$ và $(O), (I)$ và $(K)$.
b) Tứ giác $AEHF$ là hình gì? Vì sao?
c) Chứng minh đẳng thức $AE.AB = AF.AC$
d) Chứng minh rằng $EF$ là tiếp tuyến chung của hai đường tròn $(I)$ và $(K)$.
e) Xác định vị trí của điểm H để $EF$ có độ dài lớn nhất.
Bài giải:
a) Ta có: $BI + IO = BO$
$⇒ IO = BO – BI$ Nên $(I)$ tiếp xúc trong với $(O)$
Ta có: $OK + KC = OC$
$⇒ OK = OC – KC$ Nên $(K)$ tiếp xúc trong với $(O)$
Ta có: $IK = IH + HK$ Nên $(I)$ tiếp xúc ngoài với $(K)$
b) Xét tam giác $ABC$ có $AO = BO = CO = \frac{1}{2}BC$
⇒ tam giác $ABC$ vuông (vì có trung tuyến $AO$ nửa cạnh huyền $BC$)
Do đó $\widehat{A} = 90^0$
Ta lại có $\widehat{E} = \widehat{F} = 90^0$ (gt)
Như vậy tứ giác $AEHF$ có ba góc vuông nên $AEHF$ là hình chữ nhật.
c) Tam giác $AHB$ vuông tại $H$ có $HE \perp AB (gt)$
$⇒ AH^2 = AE.AB (1)$ (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
Tương tự tam giác vuông $AHC$ có $HF \perp AC (gt)$
$⇒ AH^2 = AF.AC (2)$
Từ (1) và (2) suy ra $AE.AB = AF.AC (đpcm)$
d) Muốn chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn, ta cần chứng minh đường thẳng đó đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó. Ở đây ta đã có $E \in (I)$, giờ chỉ còn chứng minh $EF \perp EI$.
Gọi $G$ là giao điểm của $AH$ và $EF$
Xét tam giác $GEH$ có:
$GE = GH$ (theo tính chất hình chữ nhật)
Nên tam giác $GEH$ cân tại $G$
$⇒ \widehat{E_1} = \widehat{H_1} (1)$
Mặt khác tam giác $IEH$ có $IE = IH = r_{(I)}$
Nên tam giác $IEH$ cân tại $I$
$⇒ \widehat{E_2} = \widehat{H_2} (2)$
Cộng (1) và (2) vế theo vế ta được
$\widehat{E_1} + \widehat{E_2} = \widehat{H_1} + \widehat{H_2}$
⇒ $\widehat{E} = \widehat{H} = 90^0$
Hay $EF \perp EI$
⇒ $EF$ là tiếp tuyến của $(I)$
Chứng minh tương tự ta được $EF$ cũng là tiếp tuyến của đường tròn $(K)$
Vậy $EF$ là tiếp tuyến chung của hai đường tròn $(I)$ và $(K)$.
e) Ta có $AH = EF$ (tính chất hai đường chéo hình chữ nhật)
Mặt khác ta có $BC \perp AD (gt)$
$⇒ AH = HD = \frac{AD}{2}$ (định lí đường kính và dây)
Do đó $AH$ lớn nhất khi $AD$ lớn nhất.
Mà dây $AD$ lớn nhất khi $AD$ là đường kính.
Khi đó $H$ sẽ trùng với $O.$
Vậy $EF$ lớn nhất khi $H$ là tâm của đường tròn $(O)$.
2. Giải bài 42 trang 128 sgk Toán 9 tập 1
Cho hai đường tròn $(O)$ và $(O’)$ tiếp xúc ngoài tại $A, BC$ là tiếp tuyến chung ngoài, $B \in (O), C \in (O’)$. Tiếp tuyến chung trong tại $A$ cắt $BC$ ở điểm $M$. Gọi $E$ là giao điểm của $OM$ và $AB, F$ là giao điểm của $O’M$ và $AC$. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác $AEMF$ là hình chữ nhật
b) $ME.MO = MF.MO’$
c) $OO’$ là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là $BC$.
d) $BC$ là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là $OO’$.
Bài giải:
a) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có $MO$ là phân giác $\widehat{BMA}$.
Tương tự ta có $MO’$ là phân giác $\widehat{CMA}$
Mà $\widehat{BMA}$ kề bù với $\widehat{CMA}$
Nên$ MO \perp MO’ ⇒ \widehat{OMO’} = 90^0 (1)$
Mặt khác ta có:
$MB = MA$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
$OB = OA = R$ (bán kính đường tròn $O$)
⇒ $MO$ là đường trung trực của $AB$.
Nghĩa là $MO \perp AB$
Suy ra $\widehat{MEA} = 90^0 (2)$
Chứng minh tương tự ta được $\widehat{MFA} = 90^0$ (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra tứ giác $AEMF$ là hình chữ nhật (có ba góc vuông).
b) Tam giác MAO vuông tại A có: $AE \perp MO$
Nên $MA^2 = ME.MO (3)$ (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
Tương tự tam giác vuông $MAO’$ có $AF \perp MO’$
Nên $MA^2 = MF.MO’ (4)$
Từ (3) và (4) suy ra $ME.MO = MF.MO’$
c) Ta có $MA = MB = MC (cmt)$
Nên $M$ là tâm đường tròn đường kính $BC$ với bán kính $MA$.
Mà $OO’ \perp MA$ tại $A$
$⇒ OO’$ là tiếp tuyến của đường tròn $(M ; BC)$.
d) Gọi $I$ là trung điểm của $OO’$. Để chứng minh $BC$ là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là $OO’$, ta chứng minh $M \in (I)$ và $MI \perp BC.$
Ta có tam giác $OMO’$ vuông tại $M$ có $MI$ là trung tuyến ứng với cạnh huyền $OO’$.
Nên $MI = \frac{OO’}{2}$.
Do đó $M \in (I) (5)$
Ta có $\left.\begin{matrix} OB \perp BC \\ O’C \perp BC\end{matrix}\right\}$
$⇒ OB // O’C$
Do đó tứ giác $OBCO’$ là hình thang.
Hình thang $OBCO’$ có $\left.\begin{matrix} MB = MC \\ IO = IO’\end{matrix}\right\}$
⇒ $MI$ là đường trung bình của hình thang $OBCO’$.
Do đó $MI // OB$
Mà $OB \perp BC ⇒ MI \perp BC (6)$
Từ (5) và (6) suy ra $BC$ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính $OO’$.
3. Giải bài 43 trang 128 sgk Toán 9 tập 1
Cho hai đường tròn $(O ; R)$ và $(O’ ; r)$ cắt nhau tại $A$ và $B (R > r)$.
Gọi $I$ là trung điểm của $OO’$. Kẻ đường thẳng vuông góc với $IA$ tại $A$, đường thẳng này cắt các đường tròn $(O ; R)$ và $(O’ ; r)$ theo thứ tự tại $C$ và $D$ (khác $A$).
a) Chứng minh rằng $AC = AD$.
b) Gọi $K$ là điểm đối xứng với điểm $A$ qua điểm $I$. Chứng minh rằng $KB$ vuông góc với $AB$.
Bài giải:
a) Để chứng minh $AC = AD$, trước hết ta kẻ $OM \perp AC, O’N \perp AD$. Sau đó chứng minh $IA$ là đường trung bình của hình thang $OMNO’$.
Ta có $\left.\begin{matrix} OM \perp AC \\ O’N \perp AD\end{matrix}\right\}$
$⇒ OM // IA // O’N ⇒ OMNO’$ là hình thang.
Xét hinh thang $OMNO’$ có:
$IO = IO’ (gt)$
$OM // IA // O’N (cmt)$
Do đó $IA$ là đường trung bình của hình thang.
$⇒AM = AN (1)$
Ta lại có $OM \perp AC$.
Nên $AM = MC = \frac{AC}{2} (2)$ (định lí đường kính và dây)
Chứng minh tương tự ta được $AN = ND = \frac{AD}{2} (3)$
Từ (1), (2), (3) suy ra $AC = AD (đpcm)$
b) Ta có $(O)$ và $(O’)$ cắt nhau tại $A$ và $B$.
Theo tính chất đường nối tâm ta có:
$AB \perp OO’$ tại $H$ (4)
và $HA = HB$.
Xét tam giác $AKB$ có:
$AH = HB (cmt)$
$AI = IK (gt)$
Do đó $IH$ là đường trung bình của tam giác $AKB$.
$⇒ IH // KB$ hay $OO’ // KB$ (5)
Từ (4) và (5) suy ra $KB \perp AB. (đpcm)$
Bài trước:
Xem thêm:
- Các bài toán 9 khác
- Để học tốt môn Vật lí lớp 9
- Để học tốt môn Sinh học lớp 9
- Để học tốt môn Ngữ văn lớp 9
- Để học tốt môn Lịch sử lớp 9
- Để học tốt môn Địa lí lớp 9
- Để học tốt môn Tiếng Anh lớp 9
- Để học tốt môn Tiếng Anh lớp 9 thí điểm
- Để học tốt môn Tin học lớp 9
- Để học tốt môn GDCD lớp 9
Chúc các bạn làm bài tốt cùng giải bài tập sgk toán lớp 9 với giải bài 41 42 43 trang 128 sgk toán 9 tập 1!
“Bài tập nào khó đã có giaibaisgk.com“