Toán lớp 9

Giải bài 10 11 12 13 14 trang 71 72 sgk Toán 9 tập 2

Hướng dẫn giải Bài §2. Liên hệ giữa cung và dây, Chương III – Góc với đường tròn, sách giáo khoa toán 9 tập hai. Nội dung bài giải bài 1 2 3 4 5 trang 6 7 sgk toán 9 tập 2 bao gồm tổng hợp công thức, lý thuyết, phương pháp giải bài tập phần hình học có trong SGK toán để giúp các em học sinh học tốt môn toán lớp 9.

Lý thuyết

1. Định lí 1

Với hai cung nhỏ trong cùng một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau:

a) Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau

b) Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau

\(\stackrel\frown{AB}=\stackrel\frown{CD}\Rightarrow AB=CD\)

\(AB=CD\Rightarrow\stackrel\frown{AB}=\stackrel\frown{CD}\)

2. Định lí 2

Với hai cung nhỏ trong cùng một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau:

a) Cung lớn hơn căng dây lớn hơn

b) Dây lớn hơn căng cung lớn hơn

\(\stackrel\frown{AB}>\stackrel\frown{CD}\Rightarrow AB>CD\)

\(AB>CD\Rightarrow\stackrel\frown{AB}>\stackrel\frown{CD}\)

Dưới đây là phần Hướng dẫn trả lời các câu hỏi có trong bài học cho các bạn tham khảo. Các bạn hãy đọc kỹ câu hỏi trước khi trả lời nhé!

Câu hỏi

1. Trả lời câu hỏi 1 trang 71 sgk Toán 9 tập 2

Hãy chứng minh định lí trên.

Trả lời:

a) Chứng minh: Cung AB = cung CD \( \Rightarrow \) AB = CD

Từ cung AB = cung CD \( \Rightarrow \widehat {AOB} = \widehat {COD}\)

Xét \(\Delta OAB\) và \(\Delta OCD\) có:

\(\eqalign{& OA = OC = R \cr & \widehat {AOB} = \widehat {COD} \cr & OB = OD = R \cr & \Rightarrow \Delta OAB = \Delta OCD\,\,\left( {c.g.c} \right) \cr & \Rightarrow AB = CD \cr} \)

b) Chứng minh: AB = CD \( \Rightarrow \) cung AB = cung CD

Xét \(\Delta OAB\) và \(\Delta OCD\) có:

\(\eqalign{& OA = OC = R \cr & AB = CD\,\,\left( {gt} \right) \cr & OB = OD = R \cr & \Rightarrow \Delta OAB = \Delta OCD\,\,\left( {c.c.c} \right) \cr & \Rightarrow \widehat {AOB} = \widehat {COD} \cr} \)

\( \Rightarrow \) cung AB = cung CD

2. Trả lời câu hỏi 2 trang 71 sgk Toán 9 tập 2

Xem hình 11.

Hãy viết giả thiết và kết luận của định lí 2

Trả lời:

Giả thiết: Cho \(\left( O \right)\) có hai dây \(AB\) và \(CD\)

Kết luận:

a) Nếu cung \(AB\) \( > \) cung \(CD\) thì \(AB > CD\)

b) Nếu \(AB > CD\) thì cung \(AB\) \( > \) cung \(CD\)

Dưới đây là Hướng dẫn giải bài 10 11 12 13 14 trang 71 72 sgk toán 9 tập 2. Các bạn hãy đọc kỹ đầu bài trước khi giải nhé!

Bài tập

Giaibaisgk.com giới thiệu với các bạn đầy đủ phương pháp giải bài tập phần hình học 9 kèm bài giải chi tiết bài 10 11 12 13 14 trang 71 72 sgk toán 9 tập 2 của Bài §2. Liên hệ giữa cung và dây trong Chương III – Góc với đường tròn cho các bạn tham khảo. Nội dung chi tiết bài giải từng bài tập các bạn xem dưới đây:

Giải bài 10 11 12 13 14 trang 71 72 sgk toán 9 tập 2
Giải bài 10 11 12 13 14 trang 71 72 sgk toán 9 tập 2

1. Giải bài 10 trang 71 sgk Toán 9 tập 2

a) Vẽ đường tròn tâm \(O\) bán kính \(R = 2\) cm. Nêu cách vẽ cung \(\overparen{AB}\) có số đo bằng \(60^0\). Hỏi dây \(AB\) dài bao nhiêu xentimet?

b) Làm thế nào để chia được đường tròn thành sáu cung bằng nhau như trên hình 12.

Bài giải:

a) Vẽ đường tròn \((O; R)\). Vẽ góc ở tâm có số đo \(60^0\). Góc này là góc ở tâm chắn \(\overparen{AB}\) có số đo \(60^0\) (hình a).

Tam giác \(AOB\) cân có \(\widehat{O}=60^0\) nên AOB là tam giác đều, suy ra \(AB = R\).

b) Theo câu a), ta có góc ở tâm bằng \(sđ\overparen{AB}=60^0\). Số đo góc ở tâm vẽ được theo cách này là \(360^0:60^0= 6\). Suy ra được \(6\) cung tròn bằng nhau trên đường tròn.

Từ đó suy ra cách vẽ như sau: Chia đường tròn thành 6 cung bằng nhau:

– Vẽ đường tròn tâm O, bán kính R.

– Trên đường tròn tâm O, lấy điểm A.

– Vẽ cung tròn tâm A, bán kính R cắt đường tròn tại B và C.

– Vẽ cung tròn tâm B và C bán kính R cắt đường tròn tâm O tại D và E.

– Vẽ cung tròn tâm E bán kính R cắt đường tròn tại F.

2. Giải bài 11 trang 72 sgk Toán 9 tập 2

Cho hai đường tròn bằng nhau \((O)\) và \((O’)\) cắt nhau tại hai điểm \(A\) và \(B\). Kẻ các đường kính \(AOC, AO’D\). Gọi \(E\) là giao điểm thứ hai của \(AC\) với đường tròn \((O’)\).

a) So sánh các cung nhỏ \(\overparen{BC}, \overparen{BD}\).

b) Chứng minh rằng \(B\) là điểm chính giữa của cung \(\overparen{EBD}\) ( tức điểm \(B\) chia cung \(\overparen{EBD}\) thành hai cung bằng nhau: \(\overparen{BE}\) = \(\overparen{BD}\) ).

Bài giải:


a) Vì \(\left( O \right)\) và \(\left( {O’} \right)\) cắt nhau tại hai điểm \(A\) và \(B\) nên \(OO’ \bot AB\) (định lý)

Xét tam giác \(ADC\) có \(OO’\) là đường trung bình (vì \(O\) là trung điểm \(AC,O’\) là trung điểm \(AD\)) nên \(OO’//CD\) , suy ra \(AB \bot CD\) (quan hệ từ vuông góc đến song song).

Xét tam giác \(ADC\) có \(AC = AD\) (vì hai đường tròn \(\left( O \right)\) và \(\left( {O’} \right)\) có cùng bán kính) nên \(\Delta ACD\) cân tại \(A\) có \(AB\) là đường cao nên \(AB\) cũng là đường trung tuyến, suy ra \(BC = BD\) hay cung BC = cung BD (vì \(\left( O \right)\) và \(\left( {O’} \right)\) là hai đường tròn bằng nhau).

b) Xét đường tròn \(\left( {O’} \right)\) có \(A,E,D\) cùng thuộc đường tròn và \(AD\) là đường kính nên tam giác \(AED\) vuông tại \(E \Rightarrow DE \bot AC \Rightarrow \widehat {DEC} = 90^\circ .\)

Xét tam giác \(DEC\) vuông tại \(E\) có \(B\) là trung điểm \(DC\left( {cmt} \right) \Rightarrow EB = \dfrac{{DC}}{2} = BD = EB\)

Suy ra cung EB=cung BD (định lý), do đó \(B\) là điểm chính giữa cung \(ED.\).

3. Giải bài 12 trang 72 sgk Toán 9 tập 2

Cho tam giác \(ABC\). Trên tia đối của tia \(AB\) lấy một điểm \(D\) sao cho \(AD = AC\). Vẽ đường tròn tâm \(O\) ngoại tiếp tam giác \(DBC\). Từ \(O\) lần lượt hạ các đường vuông góc \(OH\), \(OK\) với \(BC\) và \(BD\) \((H \in BC, K \in BD)\).

a) Chứng minh rằng \(OH > OK\).

b) So sánh hai cung nhỏ \(\overparen{BD}\) và \(\overparen{BC}\).

Bài giải:

a) Trong \(∆ABC\), có \(BC < BA + AC\) (tổng hai cạnh của một tam giác luôn lớn hơn cạnh còn lại).

Mà \(AC = AD\) suy ra \(BC < BA+AD\) hay \(BC<BD\).

Theo định lí về dây cung và khoảng cách từ dây đến tâm, ta có \(OH > OK\).

b) Ta có \(BC < BD\) (cmt)

nên suy ra \(\overparen{BC}\) nhỏ hơn \(\overparen{BD}\) ( liên hệ cung và dây)

4. Giải bài 13 trang 72 sgk Toán 9 tập 2

Chứng minh rằng trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau.

Bài giải:

♦ TH1: Tâm đường tròn nằm trong hai dây song song

Giả sử \(AB\) và \(CD\) là các dây song song của đường tròn \((O)\). Ta chứng minh \(\overparen{AC}\)= \(\overparen{BD}\).

Kẻ \(OI \bot AB\) \((I \in AB)\) và \(OK \bot CD (K\in CD)\).

Do \(AB //CD\) nên \(I,O,K\) thẳng hàng.

Do các tam giác \(OAB, OCD\) là các tam giác cân đỉnh \(O\) nên các đường cao kẻ từ đỉnh đồng thời là phân giác.

Vì vậy ta có: \(\widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}} \) và \( \widehat {{O_3}} = \widehat {{O_4}}\)

Ta có: \(\widehat {AOC} = {180^0} – \widehat {{O_1}} – \widehat {{O_3}} = {180^0} – \widehat {{O_2}} – \widehat {{O_4}} = \widehat {BOD}\)

Suy ra \(\overparen{AC}\)= \(\overparen{BD}\).

♦ TH2: Tâm đường tròn nằm ngoài hai dây song song

Giả sử đường tròn \(\left( O \right)\) có hai dây song song \(AB//CD.\) Ta chứng minh cung AC = cung BD .

Qua \(O\) kẻ đường kính \(EG//CD \Rightarrow ED//AB\) . Nối \(OA,OC,OB,OD \Rightarrow OA = OB = OC = OD\) (= bán kính)

– Xét tam giác \(OAB\) cân tại \(O\left( {{\rm{do}}\,OA = OB} \right)\) nên \(\widehat {OAB} = \widehat {OBA}\) (1)

Lại có \(EG//AB \Rightarrow \) \(\widehat {OAB} = \widehat {AOE};\,\widehat {OBA} = \widehat {BOG}\) (so le trong) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {EOA} = \widehat {BOG}\) (*)

– Xét tam giác \(OCD\) cân tại \(O\left( {{\rm{do}}\,OC = OD} \right)\) nên \(\widehat {OCD} = \widehat {ODC}\) (3)

Lại có \(EG//CD \Rightarrow \) \(\widehat {OCD} = \widehat {COE};\,\widehat {ODC} = \widehat {DOG}\) (so le trong) (4)

Từ (3) và (4) suy ra \(\widehat {EOC} = \widehat {DOG}\) (**)

Từ (*) và (**) suy ra \(\widehat {EOA} – \widehat {EOC} = \widehat {BOG} – \widehat {DOG} \Leftrightarrow \widehat {AOC} = \widehat {BOD} \) \( \Rightarrow \overparen{AC}\)= \(\overparen{BD}\) (đpcm)

5. Giải bài 14 trang 72 sgk Toán 9 tập 2

a) Chứng minh rằng đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy. Mệnh đề đảo có đúng không? Hãy nêu thêm điều kiện để mệnh đề đảo đúng.

b) Chứng minh rằng đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung ấy và ngược lại

Bài giải:

Giả sử đường tròn \( (O)\) có đường IK và I là điểm chính giữa cung AB.

a) Vì \(I\) là điểm chính giữa của \(\overparen{AB}\), suy ra \(\overparen{IA}\) = \(\overparen{IB}\) \(⇒ IA = IB\)

Ta có: \(OA = OB =\) bán kính. Suy ra đường kính \(IK\) là đường trung trực của dây \(AB\). Vậy \(HA = HB\) (đpcm)

Mệnh đề đảo: Đường kính đi qua trung điểm của một dây thì đi qua điểm chính giữa của cung căng dây đó.

Chứng minh: Vì \(∆ AOB\) cân tại \(O\) và \(HA = HB\) nên \(OH\) là đường phân giác của góc \(\widehat{AOB}\). Suy ra \(\widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}}\)

Từ đó suy ra \(\overparen{IA}\) = \(\overparen{IB}\)

Tuy nhiên khi \(AB\) đi qua tâm thì điều này chưa chắc đúng vì nếu \(AB\) tạo với \(IK\) góc \(\widehat {AOI} = 30^\circ \Rightarrow \widehat {BOI} = 150^\circ \) \(\Rightarrow \overparen{IA}<\overparen{IB}\)

Vậy phải thêm điều kiện để mệnh đề đảo đúng là:

Đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì đi qua điểm chính giữa của cung căng dây đó.

b) Vì \(I\) là điểm chính giữa của \(\overparen{AB}\), suy ra \(\overparen{IA}\) = \(\overparen{IB}\) \(⇒ IA = IB\)

Ta có: \(OA = OB =\) bán kính. Suy ra đường kính \(IK\) là đường trung trực của dây \(AB\)

Nên \(OI\) hay \(IK\) là đường trung trực của dây \(AB\). Suy ra \(IK \bot AB\).

Điều ngược lại: Đường kính vuông góc ở dây khi qua tâm thì đi qua hai điểm chính giữa của cung căng dây đó.

Kẻ đường kính \(KOI\) vuông góc với \(AB\).

Ta có \(OA = OB ⇒ ∆OAB\) cân tại \(O\)

Mà \(OH \bot AB\) nên \(OH\) là đường phân giác của \(\widehat{AOB}\) suy ra \(\widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}}\)

Ta có \(∆OAI = ∆OBI\) (c.g.c). Do đó \(AI = IB\). Suy ra \(\overparen{AI}\) = \(\overparen{IB}\).

Vậy \(I\) là điểm chính giữa của \(\overparen{AB}\)

Bài trước:

Bài tiếp theo:

Xem thêm:

Chúc các bạn làm bài tốt cùng giải bài tập sgk toán lớp 9 với giải bài 10 11 12 13 14 trang 71 72 sgk toán 9 tập 2!

“Bài tập nào khó đã có giaibaisgk.com“