Hướng dẫn Giải bài 12 13 14 trang 15 sgk Toán 9 tập 2

Nội Dung

Bài §3. Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế, Chương III – Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn, sách giáo khoa toán 9 tập hai. Nội dung bài giải bài 12 13 14 trang 15 sgk toán 9 tập 2 bao gồm tổng hợp công thức, lý thuyết, phương pháp giải bài tập phần đại số có trong SGK toán để giúp các em học sinh học tốt môn toán lớp 9.

Lý thuyết

1. Quy tắc thế

Quy tắc thế dùng để biến đổi một hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương. Quy tắc thế gồm hai bước sau:

– Bước 1: Từ một phương trình của hệ đã cho (coi là phương trình thứ nhất), ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình thứ hai để được một phương trình mới (chỉ còn một ẩn).

– Bước 2: Dùng phương trình mới để thay thế cho một trong hai phương trình của hệ, ta được một hệ phương trình mới tương đương với hệ ban đầu.

2. Dùng quy tắc thế để giải hệ phương trình

– Bước 1: Dùng quy tắc thế biến đổi hệ phương trình đã cho để được một hệ phương trình mới tương đương, trong đó có một phương trình một ẩn.

– Bước 2: Giải phương trình một ẩn đó, từ đó tìm ẩn còn lại, rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.

Dưới đây là phần Hướng dẫn trả lời các câu hỏi có trong bài học cho các bạn tham khảo. Các bạn hãy đọc kỹ câu hỏi trước khi trả lời nhé!

Câu hỏi

1. Trả lời câu hỏi 1 trang 14 sgk Toán 9 tập 2

Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế (biểu diễn y theo x từ phương trình thứ hai của hệ)

$\left\{ \matrix{4x – 5y = 3 \hfill \cr 3x – y = 16 \hfill \cr} \right.$

Trả lời:

Ta có

$\left\{ \begin{array}{l}4x – 5y = 3\\3x – y = 16\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x – 5y = 3\\y = 3x – 16\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 3x – 16\\4x – 5\left( {3x – 16} \right) = 3\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 3x – 16\\4x – 15x + 80 = 3\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 3x – 16\\ – 11x = – 77\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 7\\y = 3.7 – 16\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 7\\y = 5\end{array} \right.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x;y)=(7;5)$

2. Trả lời câu hỏi 2 trang 15 sgk Toán 9 tập 2

Bằng minh họa hình học, hãy giải thích tại sao hệ (III) có vô số nghiệm.

$\left( {III} \right)\left\{ \matrix{4x – 2y = – 6 \hfill \cr – 2x + y = 3 \hfill \cr} \right.$

Trả lời:

Ta có:

$\left( {III} \right)\left\{ \matrix{4x – 2y = – 6 \hfill \cr – 2x + y = 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{2y = 4x + 6 \hfill \cr y = 2x + 3 \hfill \cr} \right.$

Hai đường thẳng trên trùng nhau nên hệ phương trình (III) có vô số nghiệm.

3. Trả lời câu hỏi 3 trang 15 sgk Toán 9 tập 2

Cho hệ phương trình

$\left( {IV} \right)\left\{ \matrix{4x + y = 2 \hfill \cr 8x + 2y = 1 \hfill \cr} \right.$

Bằng minh họa hình học và phương pháp thế, chứng tỏ rằng hệ (IV) vô nghiệm.

Trả lời:

♦ Phương pháp minh họa hình học:

Ta có:

$\left( {IV} \right)\left\{ \matrix{4x + y = 2 \hfill \cr 8x + 2y = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{y = -4x + 2 \hfill \cr y = -4x + \frac{1}{2} \hfill \cr} \right.$

Hai đường thẳng trên song song nên chúng không có điểm chung hay hệ phương trình (IV) vô nghiệm.

♦ Phương pháp thế:

$\left( {IV} \right)\left\{ \matrix{4x + y = 2 \hfill \cr 8x + 2y = 1 \hfill \cr} \right.$

Từ phương trình thứ nhất: $y = 2 – 4x$

Thế $y$ vào phương trình thứ hai, ta có:

$8x + 2(2 – 4x) =1 ⇔ 4 = 1$ (vô lí)

Vậy hệ phương trình $(IV)$ vô nghiệm.

Dưới đây là Hướng dẫn giải bài 12 13 14 trang 15 sgk toán 9 tập 2. Các bạn hãy đọc kỹ đầu bài trước khi giải nhé!

Bài tập

Giaibaisgk.com giới thiệu với các bạn đầy đủ phương pháp giải bài tập phần đại số 9 kèm bài giải chi tiết bài 12 13 14 trang 15 sgk toán 9 tập 2 của Bài §3. Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế trong Chương III – Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn cho các bạn tham khảo. Nội dung chi tiết bài giải từng bài tập các bạn xem dưới đây:

Giải bài 12 13 14 trang 15 sgk toán 9 tập 2

1. Giải bài 12 trang 15 sgk Toán 9 tập 2

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:

a) $\left\{\begin{matrix} x – y =3 & & \\ 3x-4y=2 & & \end{matrix}\right.$;

b) $\left\{\begin{matrix} 7x – 3y =5 & & \\ 4x+y=2 & & \end{matrix}\right.$;

c) $\left\{\begin{matrix} x +3y =-2 & & \\ 5x-4y=11 & & \end{matrix}\right.$.

Bài giải:

a) Rút $x$ từ phương trình trên rồi thế vào phương trình dưới , ta được:

$\left\{ \matrix{
x – y = 3 \hfill \cr
3x – 4y = 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = 3 + y \hfill \cr
3\left( {3 + y} \right) – 4y = 2 \hfill \cr} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = 3 + y \hfill \cr
9 + 3y – 4y = 2 \hfill \cr} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = 3 + y \hfill \cr
– y = 2 – 9 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = 3 + y \hfill \cr
y = 7 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = 3 + 7 \hfill \cr
y = 7 \hfill \cr} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = 10 \hfill \cr
y = 7 \hfill \cr} \right.$

Vậy hệ đã cho có nghiệm là $(x;y)=(10; 7)$.

b) Rút $y$ từ phương trình dưới rồi thế vào phương trình trên, ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}7x – 3y = 5\\4x + y = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}7x – 3y = 5\\y = 2 – 4x\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2 – 4x\\7x – 3.\left( {2 – 4x} \right) = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2 – 4x\\7x – 6 + 12x = 5\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2 – 4x\\7x + 12x = 5 + 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2 – 4x\\19x = 11\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2 – 4x\\x = \dfrac{{11}}{{19}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{11}}{{19}}\\y = 2 – 4.\dfrac{{11}}{{19}}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{11}}{{19}}\\y = – \dfrac{6}{{19}}\end{array} \right.$

Vậy hệ có nghiệm duy nhất là ${\left(\dfrac{11}{19}; \dfrac{-6}{19} \right)}$

c) Rút $x$ từ phương trình trên rồi thế vào phương trình dưới, ta có:

$\left\{ \matrix{
x + 3y = – 2 \hfill \cr
5x – 4y = 11 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = – 2 – 3y \hfill \cr
5\left( { – 2 – 3y} \right) – 4y = 11 \hfill \cr} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = – 2 – 3y \hfill \cr
– 10 – 15y – 4y = 11 \hfill \cr} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = – 2 – 3y \hfill \cr
– 15y – 4y = 11 + 10 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = – 2 – 3y \hfill \cr
– 19y = 21 \hfill \cr} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = – 2 – 3y \hfill \cr
y = – \dfrac{ 21}{ 19} \hfill \cr} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = – 2 – 3. \dfrac{ – 21}{19} \hfill \cr
y = – \dfrac{21}{19} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = \dfrac{25}{19} \hfill \cr
y = – \dfrac{21}{19} \hfill \cr} \right.$

Vậy hệ có nghiệm duy nhất là ${\left(\dfrac{25}{19}; \dfrac{-21}{19} \right)}$

2. Giải bài 13 trang 15 sgk Toán 9 tập 2

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:

a) $\left\{\begin{matrix} 3x – 2y = 11 & & \\ 4x – 5y = 3& & \end{matrix}\right.$;

b) $\left\{\begin{matrix} \dfrac{x}{2}- \dfrac{y}{3} = 1& & \\ 5x – 8y = 3& & \end{matrix}\right.$

Bài giải:

a) Ta có:

$\left\{ \matrix{
3x – 2y = 11 \hfill \cr
4x – 5y = 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
2y = 3x – 11 \hfill \cr
4x – 5y = 3 \hfill \cr} \right. $

$\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
y = \dfrac{3x – 11}{2}\ (1) \hfill \cr
4x – 5.\dfrac{3x – 11}{ 2} = 3 \ (2) \hfill \cr} \right.$

Giải phương trình $(2)$:

$4x – 5.\dfrac{3x – 11}{ 2} = 3$

$\Leftrightarrow 4x – \dfrac{15x – 55}{ 2} = 3$

$\Leftrightarrow \dfrac{4x.2}{2} – \dfrac{15x – 55}{ 2} = \dfrac{3.2}{2}$

$\Leftrightarrow \dfrac{8x}{2} – \dfrac{15x – 55}{2} = \dfrac{6}{2}$

$\Leftrightarrow \dfrac{8x – 15x + 55}{2} = \dfrac{6}{2}$

$\Leftrightarrow 8x – 15x + 55 = 6$ $\Leftrightarrow – 7x = 6 – 55$

$\Leftrightarrow – 7x = – 49$ $\Leftrightarrow x=7$

Thay $x=7$ vào phương trình $(1)$, ta được:

$y = \dfrac{3.7 – 11}{2}=5$

Vậy hệ có nghiệm duy nhất là $(7; 5)$.

b) Ta có:

$\left\{ \matrix{
\dfrac{x}{2} – \dfrac{y}{3} = 1 \hfill \cr
5x – 8y = 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\dfrac{x }{2} = 1 + \dfrac{y}{3} \hfill \cr
5x – 8y = 3 \hfill \cr} \right. $

$\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = 2 + \dfrac{2y}{3} \ (1) \hfill \cr
5{\left(2 + \dfrac{2y}{3} \right)} – 8y = 3 \ (2) \hfill \cr} \right.$

Giải phương trình $(2)$, ta được:

$5{\left(2 + \dfrac{2y}{3} \right)} – 8y = 3 $

$ \Leftrightarrow 5.2 + 5. \dfrac{2y}{3}-8y = 3$

$ \Leftrightarrow 10 + \dfrac{10y}{3} -8y =3 $

$ \Leftrightarrow \dfrac{30}{3} +\dfrac{10y}{3} – \dfrac{24y}{3} = \dfrac{9}{3}$

$ \Leftrightarrow 30+ 10y -24y=9$

$ \Leftrightarrow -14y=9-30$

$ \Leftrightarrow -14y=-21$

$ \Leftrightarrow y=\dfrac{21}{14}$ $ \Leftrightarrow y= \dfrac{3}{2}$

Thay $y= \dfrac{3}{2}$ vào $(1)$, ta được:

$x = 2 + \dfrac{2. \dfrac{3}{2}}{3}=2+\dfrac{3}{3}=3.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ${\left(3; \dfrac{3}{2} \right)}.$

3. Giải bài 14 trang 15 sgk Toán 9 tập 2

Giải các hệ phương trình bằng phương pháp thế:

a) $\left\{\begin{matrix} x + y\sqrt{5} = 0& & \\ x\sqrt{5} + 3y = 1 – \sqrt{5}& & \end{matrix}\right.$;

b) $\left\{\begin{matrix} (2 – \sqrt{3})x – 3y = 2 + 5\sqrt{3}& & \\ 4x + y = 4 -2\sqrt{3}& & \end{matrix}\right.$

Bài giải:

a) Ta có:

$\left\{ \matrix{
x + y\sqrt 5 = 0 \hfill \cr
x\sqrt 5 + 3y = 1 – \sqrt 5 \hfill \cr} \right. $

$\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = – y\sqrt 5 \hfill \cr
\left( { – y\sqrt 5 } \right).\sqrt 5 + 3y = 1 – \sqrt 5 \hfill \cr} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = – y\sqrt 5 \hfill \cr
– 5y + 3y = 1 – \sqrt 5 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = – y\sqrt 5 \hfill \cr
– 2y = 1 – \sqrt 5 \hfill \cr} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = – y\sqrt 5 \hfill \cr
y = \dfrac{1 – \sqrt 5 }{ – 2} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = – y\sqrt 5 \hfill \cr
y = \dfrac{\sqrt 5 – 1}{2} \hfill \cr} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = – \dfrac{\sqrt 5 – 1}{ 2}.\sqrt 5 \hfill \cr
y = \dfrac{\sqrt 5 – 1}{2} \hfill \cr} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = – \dfrac{5 – \sqrt 5 }{2} \hfill \cr
y = \dfrac{\sqrt 5 – 1}{2} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = \dfrac{\sqrt 5 – 5}{ 2} \hfill \cr
y = \dfrac{\sqrt 5 – 1}{ 2} \hfill \cr} \right.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $ {\left(\dfrac{\sqrt 5 – 5}{ 2} ; \dfrac{\sqrt 5 – 1}{ 2} \right)}$

b) Ta có:

$\left\{ \matrix{
\left( {2 – \sqrt 3 } \right)x – 3y = 2 + 5\sqrt 3 \hfill \cr
4x + y = 4 – 2\sqrt 3 \hfill \cr} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\left( {2 – \sqrt 3 } \right)x – 3\left( {4 – 2\sqrt 3 – 4x} \right) = 2 + 5\sqrt 3 \ (1) \hfill \cr
y = 4 – 2\sqrt 3 – 4x \ (2) \hfill \cr} \right.$

Giải phương trình $(1)$, ta được:

$( 2 – \sqrt 3 )x – 3(4 – 2\sqrt 3 – 4x) = 2 + 5\sqrt 3$

$\Leftrightarrow 2x -\sqrt 3 x -12 + 6 \sqrt 3 + 12x=2+ 5 \sqrt 3$

$\Leftrightarrow 2x -\sqrt 3 x + 12x=2+ 5 \sqrt 3 +12 -6 \sqrt 3 $

$\Leftrightarrow (2 -\sqrt 3 + 12)x= 2+12 +5\sqrt 3 -6 \sqrt 3 $

$\Leftrightarrow (14- \sqrt 3)x=14-\sqrt 3$ $\Leftrightarrow x=1$

Thay $x=1$, vào $(2)$, ta được:

$y = 4 – 2\sqrt 3 – 4.1=-2 \sqrt 3.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(1; -2 \sqrt 3).$

Bài trước:

Luyện tập: Giải bài 7 8 9 10 11 trang 12 sgk Toán 9 tập 2

Bài tiếp theo:

Luyện tập: Giải bài 15 16 17 18 19 trang 15 16 sgk Toán 9 tập 2

Xem thêm:

Chúc các bạn làm bài tốt cùng giải bài tập sgk toán lớp 9 với giải bài 12 13 14 trang 15 sgk toán 9 tập 2!

“Bài tập nào khó đã có giaibaisgk.com“