Nội Dung
Luyện tập Bài §3. Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế, Chương III – Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn, sách giáo khoa toán 9 tập hai. Nội dung bài giải bài 15 16 17 18 19 trang 15 16 sgk toán 9 tập 2 bao gồm tổng hợp công thức, lý thuyết, phương pháp giải bài tập phần đại số có trong SGK toán để giúp các em học sinh học tốt môn toán lớp 9.
Lý thuyết
1. Quy tắc thế
Quy tắc thế dùng để biến đổi một hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương. Quy tắc thế gồm hai bước sau:
– Bước 1: Từ một phương trình của hệ đã cho (coi là phương trình thứ nhất), ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình thứ hai để được một phương trình mới (chỉ còn một ẩn).
– Bước 2: Dùng phương trình mới để thay thế cho một trong hai phương trình của hệ, ta được một hệ phương trình mới tương đương với hệ ban đầu.
2. Dùng quy tắc thế để giải hệ phương trình
– Bước 1: Dùng quy tắc thế biến đổi hệ phương trình đã cho để được một hệ phương trình mới tương đương, trong đó có một phương trình một ẩn.
– Bước 2: Giải phương trình một ẩn đó, từ đó tìm ẩn còn lại, rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.
Dưới đây là Hướng dẫn giải bài 15 16 17 18 19 trang 15 16 sgk toán 9 tập 2. Các bạn hãy đọc kỹ đầu bài trước khi giải nhé!
Luyện tập
Giaibaisgk.com giới thiệu với các bạn đầy đủ phương pháp giải bài tập phần đại số 9 kèm bài giải chi tiết bài 15 16 17 18 19 trang 15 16 sgk toán 9 tập 2 của Bài §3. Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế trong Chương III – Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn cho các bạn tham khảo. Nội dung chi tiết bài giải từng bài tập các bạn xem dưới đây:
1. Giải bài 15 trang 15 sgk Toán 9 tập 2
Giải hệ phương trình \(\left\{\begin{matrix} x + 3y = 1 & & \\ (a^{2} + 1)x + 6y = 2a & & \end{matrix}\right.\) trong mỗi trường hợp sau:
a) \(a = -1\); b) \(a = 0\); c) \(a = 1\).
Bài giải:
a) Thay \(a = -1\) vào hệ, ta được:
\(\left\{\begin{matrix} x + 3y = 1 & & \\ {\left((-1)^2+1 \right)}x+ 6y = 2.(-1) & & \end{matrix}\right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x + 3y = 1 & & \\ 2x+ 6y = -2 & & \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x + 3y = 1 & & \\ x+ 3y = -1 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x = 1 -3y & & \\ (1-3y)+ 3y = -1 & & \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x = 1 -3y & & \\ 1 = -1 (vô \ lý )& & \end{matrix}\right.\)
Vậy hệ phương trình trên vô nghiệm.
b) Thay \(a = 0\) vào hệ, ta được:
\(\left\{ \matrix{
x + 3y = 1 \hfill \cr
\left( {0 + 1} \right)x + 6y = 2.0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x + 3y = 1 \hfill \cr
x + 6y = 0 \hfill \cr} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x + 3y = 1 \hfill \cr
x = – 6y \hfill \cr} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
– 6y + 3y = 1 \hfill \cr
x = – 6y \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
– 3y = 1 \hfill \cr
x = – 6y \hfill \cr} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
y = \dfrac{ – 1}{3} \hfill \cr
x = – 6y \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
y = \dfrac{ – 1}{3} \hfill \cr
x = – 6. \dfrac{ – 1}{3} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
y = \dfrac{ – 1}{3} \hfill \cr
x = 2 \hfill \cr} \right.\)
Hệ phương trình có nghiệm \( {\left(2; -\dfrac{1}{3} \right)} \).
c) Thay \(a = 1\) vào hệ, ta được:
\(\left\{ \matrix{
x + 3y = 1 \hfill \cr
({1^2} + 1)x + 6y = 2.1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x + 3y = 1 \hfill \cr
2x + 6y = 2 \hfill \cr} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x + 3y = 1 \hfill \cr
x + 3y = 1 \hfill \cr} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 – 3y\\1 – 3y + 3y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 – 3y\\1 = 1\left( {luôn\,đúng} \right)\end{array} \right.\)
Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 – 3y\\y \in \mathbb{R}\end{array} \right.\)
2. Giải bài 16 trang 16 sgk Toán 9 tập 2
Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế.
a) \(\left\{\begin{matrix} 3x – y = 5 & & \\ 5x + 2y = 23 & & \end{matrix}\right.\);
b) \(\left\{\begin{matrix} 3x +5y = 1 & & \\ 2x -y =-8 & & \end{matrix}\right.\);
c) \(\left\{\begin{matrix} \dfrac{x}{y} = \dfrac{2}{3}& & \\ x + y – 10 = 0 & & \end{matrix}\right.\)
Bài giải:
a) Ta có:
\(\left\{ \matrix{
3x – y = 5 \hfill \cr
5x + 2y = 23 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
y = 3x – 5 \hfill \cr
5x + 2\left( {3x – 5} \right) = 23 \hfill \cr} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
y = 3x – 5 \hfill \cr
5x + 6x – 10 = 23 \hfill \cr} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
y = 3x – 5 \hfill \cr
11x = 23 + 10 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
y = 3x – 5 \hfill \cr
11x = 33 \hfill \cr} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
y = 3x – 5 \hfill \cr
x = 3 \hfill \cr} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
y = 3.3 – 5 \hfill \cr
x = 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
y = 4 \hfill \cr
x = 3 \hfill \cr} \right.\)
Vậy hệ có nghiệm duy nhất là \((x; y) = (3; 4)\).
b) Ta có:
\(\left\{ \matrix{
3x + 5y = 1 \hfill \cr
2x – y = – 8 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
3x + 5y = 1 \hfill \cr
y = 2x + 8 \hfill \cr} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
3x + 5\left( {2x + 8} \right) = 1 \hfill \cr
y = 2x + 8 \hfill \cr} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
3x + 10x + 40 = 1 \hfill \cr
y = 2x + 8 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
13x = 1 – 40 \hfill \cr
y = 2x + 8 \hfill \cr} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
13x = – 39 \hfill \cr
y = 2x + 8 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = – 3 \hfill \cr
y = 2x + 8 \hfill \cr} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = – 3 \hfill \cr
y = 2.\left( { – 3} \right) + 8 \hfill \cr} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = – 3 \hfill \cr
y = 2 \hfill \cr} \right.\)
Vậy hệ có nghiệm \((x; y) = (-3; 2)\).
c) Ta có:
\(\left\{ \matrix{
\dfrac{x}{y} = \dfrac{2}{3} \hfill \cr
x + y – 10 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = \dfrac{2y}{3} \hfill \cr
\dfrac{2y}{3} + y = 10 \hfill \cr} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = \dfrac{2y}{3} \hfill \cr
{\left( \dfrac{2}{3} + 1 \right)}y = 10 \hfill \cr} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = \dfrac{2y}{3} \hfill \cr
\dfrac{5}{ 3}y = 10 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = \dfrac{2y}{3} \hfill \cr
y = 6 \hfill \cr} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = \dfrac{2.6}{3} \hfill \cr
y = 6 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = 4 \hfill \cr
y = 6 \hfill \cr} \right.\)
Vậy nghiệm của hệ là \((x; y) = (4; 6)\).
3. Giải bài 17 trang 16 sgk Toán 9 tập 2
Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế.
a) \(\left\{\begin{matrix} x\sqrt{2}- y \sqrt{3}=1 & & \\ x + y\sqrt{3} = \sqrt{2}& & \end{matrix}\right.\);
b) \(\left\{\begin{matrix} x – 2\sqrt{2} y = \sqrt{5}& & \\ x\sqrt{2} + y = 1 – \sqrt{10}& & \end{matrix}\right.\)
c) \(\left\{\begin{matrix} (\sqrt{2}- 1)x – y = \sqrt{2}& & \\ x + (\sqrt{2}+ 1)y = 1& & \end{matrix}\right.\)
Bài giải:
a) Ta có:
\(\left\{ \matrix{
x\sqrt 2 – y\sqrt 3 = 1 \hfill \cr
x + y\sqrt 3 = \sqrt 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x\sqrt 2 – y\sqrt 3 = 1 \hfill \cr
x = \sqrt 2 – y\sqrt 3 \hfill \cr} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\left( {\sqrt 2-y\sqrt 3 } \right)\sqrt 2 – y\sqrt 3 = 1 \ (1) \hfill \cr
x = \sqrt 2 – y\sqrt 3 \ (2) \hfill \cr} \right.\)
Giải phương trình \((1)\), ta được:
\(( \sqrt 2 – y\sqrt 3)\sqrt 2 – y\sqrt 3 = 1\)
\( \Leftrightarrow (\sqrt 2)^2 – y\sqrt 3 . \sqrt 2 – y\sqrt 3 = 1 \)
\( \Leftrightarrow 2 – y\sqrt 3 . \sqrt 2 – y\sqrt 3 = 1 \)
\( \Leftrightarrow -y\sqrt 3. \sqrt 2 – y\sqrt 3 = 1 – 2\)
\( \Leftrightarrow -y\sqrt 3 (\sqrt 2 +1) = -1 \)
\( \Leftrightarrow y=\dfrac{1}{\sqrt 3(\sqrt 2 +1)}=\dfrac{\sqrt 3 (\sqrt 2 -1)}{(\sqrt 3)^2(\sqrt 2 +1)(\sqrt 2 -1)}\)
\( \Leftrightarrow y= \dfrac{\sqrt 3 (\sqrt 2 -1)}{3}\)
Thay \(y\) tìm được vào phương trình \((2)\), ta được:
\(x = \sqrt 2 – \dfrac{\sqrt 3 (\sqrt 2 -1)}{3}.\sqrt 3\)
\( \Leftrightarrow x=\sqrt 2 – \dfrac{\sqrt 3 .\sqrt 3(\sqrt 2 -1)}{3} \)
\(\Leftrightarrow x=\sqrt 2 – \dfrac{ 3(\sqrt 2 -1)}{3} =\sqrt 2 – (\sqrt 2 -1) \)
\(\Leftrightarrow x=\sqrt 2 -\sqrt 2 +1=1.\)
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là: \( {\left( 1;\dfrac{\sqrt 3 (\sqrt 2 -1)}{3} \right)}\)
b) Ta có:
\(\left\{ \matrix{
x – 2\sqrt 2 y = \sqrt 5 \hfill \cr
x\sqrt 2 + y = 1 – \sqrt {10} \hfill \cr} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = 2\sqrt 2 y + \sqrt 5 \ (1) \hfill \cr
\left( {2\sqrt 2 y + \sqrt 5 } \right).\sqrt 2 + y = 1 – \sqrt {10}\ (2) \hfill \cr} \right.\)
Giải phương trình \((2)\), ta được:
\(\left( {2\sqrt 2 y + \sqrt 5 } \right).\sqrt 2 + y = 1 – \sqrt {10}\)
\(\Leftrightarrow 2(\sqrt 2 .\sqrt 2)y + \sqrt 5 .\sqrt 2 + y = 1 – \sqrt {10}\)
\(\Leftrightarrow 4y + \sqrt{10}+y=1- \sqrt{10}\)
\(\Leftrightarrow 4y +y=1- \sqrt{10}- \sqrt{10} \)
\(\Leftrightarrow 5y=1-2 \sqrt{10}\) \(\Leftrightarrow y=\dfrac{1-2 \sqrt{10}}{5}\)
Thay \(y=\dfrac{1-2 \sqrt{10}}{5}\) vào \((1)\), ta được:
\(x = 2\sqrt 2 .\dfrac{1-2 \sqrt{10}}{5} + \sqrt 5= \dfrac{2\sqrt 2 -4 \sqrt{20}}{5} + \sqrt 5\)
\(\Leftrightarrow x=\dfrac{2\sqrt 2 -4 .2\sqrt{5}}{5} + \sqrt 5=\dfrac{2\sqrt 2 -8\sqrt{5}+ 5\sqrt 5}{5}\)
\(\Leftrightarrow x=\dfrac{2 \sqrt 2 -3 \sqrt 5}{5}\)
Vậy hệ có nghiệm duy nhất là: \((x; y)\) = \({\left(\dfrac{2\sqrt{2} – 3\sqrt{5}}{5};\dfrac{1 – 2\sqrt{10}}{5}\right)}\);
c) Ta có:
\(\left\{ \matrix{
\left( {\sqrt 2 – 1} \right)x – y = \sqrt 2 \hfill \cr
x + \left( {\sqrt 2 + 1} \right)y = 1 \hfill \cr} \right. \)
\(\left\{ \begin{array}{l}y = \left( {\sqrt 2 – 1} \right)x – \sqrt 2 \,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\x + \left( {\sqrt 2 + 1} \right)\left[ {\left( {\sqrt 2 – 1} \right)x – \sqrt 2 } \right] = 1\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
Giải phương trình \((2)\), ta được:
\(x + \left( {\sqrt 2 + 1} \right)\left[ { \left( {\sqrt 2 – 1} \right)x} -\sqrt 2 \right] = 1\)
\(\Leftrightarrow x + (\sqrt 2 + 1) (\sqrt 2 – 1)x -( \sqrt 2 + 1). \sqrt 2 = 1\)
\(\Leftrightarrow x + {\left((\sqrt 2)^2 – 1^2 \right)}x-( 2 + \sqrt 2) = 1\)
\(\Leftrightarrow x + x = 1+( 2 + \sqrt 2)\) \(\Leftrightarrow 2x =3 +\sqrt 2\)
\(\Leftrightarrow x=\dfrac{3+ \sqrt 2}{2}\)
Thay \(x=\dfrac{3+ \sqrt 2}{2}\) vào \((1)\), ta được:
\(y = \left( {\sqrt 2 – 1} \right).\dfrac{3+ \sqrt 2}{2} – \sqrt 2\)
\( \Leftrightarrow y= \dfrac{(\sqrt 2 – 1 )(3+ \sqrt 2)}{2} – \sqrt 2 \)
\( \Leftrightarrow y= \dfrac{3\sqrt 2 -3 +2 -\sqrt 2}{2} – \sqrt 2 \)
\( \Leftrightarrow y= \dfrac{2\sqrt 2 -1}{2} – \sqrt 2 \)
\( \Leftrightarrow y= \dfrac{2\sqrt 2 -1-2\sqrt 2}{2} \) \( \Leftrightarrow y= \dfrac{-1}{2} \)
Vậy hệ có nghiệm \((x; y) = {\left(\dfrac{3 + \sqrt{2}}{2};\dfrac{-1}{2} \right)}\)
4. Giải bài 18 trang 16 sgk Toán 9 tập 2
a) Xác định các hệ số \(a\) và \(b\), biết rằng hệ phương trình
\(\left\{\begin{matrix} 2x + by=-4 & & \\ bx – ay=-5& & \end{matrix}\right.\)
có nghiệm là \((1; -2)\)
b) Cũng hỏi như vậy, nếu hệ phương trình có nghiệm là \((\sqrt{2} – 1; \sqrt{2})\).
Bài giải:
a) Hệ phương trình có nghiệm là \((1; -2)\) khi và chỉ khi \((1; -2)\) thỏa mãn hệ phương trình. Thay \(x=1,\ y=-2\) vào hệ, ta có:
\(\left\{\begin{matrix} 2 – 2b=-4 & & \\ b+2a=-5 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2b=6 & & \\ b+2a=-5 & & \end{matrix}\right. \)
\( \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b=3 & & \\ b+2a=-5 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b=3 & & \\ 3+2a=-5 & & \end{matrix}\right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b=3 & & \\ 2a = -5 – 3& & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b=3 & & \\ 2a = -8& & \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b=3 & & \\ a = -4 & & \end{matrix}\right.\)
Vậy \(a=-4,\ b=3\) thì hệ có nghiệm là \((1; -2)\).
b) Thay \(x=\sqrt 2 – 1;\ y= \sqrt 2\) vào hệ phương trình đã cho, ta có:
\(\left\{\begin{matrix} 2(\sqrt{2}-1)+b\sqrt{2}= -4 & & \\ (\sqrt{2}-1)b – a\sqrt{2}= -5& & \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2\sqrt{2}-2+b\sqrt{2}= -4 & & \\ (\sqrt{2}-1)b – a\sqrt{2}= -5& & \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2\sqrt{2}-2+b\sqrt{2}= -4 & & \\ (\sqrt{2}-1)b – a\sqrt{2}= -5& & \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b\sqrt{2}= -2 – 2\sqrt{2} & & \\ (\sqrt{2}-1)b – a\sqrt{2}= -5& & \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b= -(2 + \sqrt{2}) & & \\ a\sqrt{2}= -(2 + \sqrt{2})(\sqrt{2}-1)+5& & \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b= -(2 + \sqrt{2}) & & \\ a\sqrt{2}= -\sqrt{2}+5& & \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a = \dfrac{-2+5\sqrt{2}}{2} & & \\ b = -(2+ \sqrt{2})& & \end{matrix}\right.\)
Vậy \(a = \dfrac{-2+5\sqrt{2}}{2},\ b=-(2+ \sqrt{2})\) thì hệ trên có nghiệm là \((\sqrt 2 -1; \sqrt 2)\).
5. Giải bài 19 trang 16 sgk Toán 9 tập 2
Biết rằng: Đa thức \(P(x)\) chia hết cho đa thức \(x – a\) khi và chỉ khi \(P(a) = 0\).
Hãy tìm các giá trị của \(m\) và \(n\) sao cho đa thức sau đồng thời chia hết cho \(x + 1\) và \(x – 3\):
\(P(x) = m{x^3} + (m – 2){x^2} – (3n – 5)x – 4n\)
Bài giải:
Ta có: \(P(x)\) chia hết cho \(x + 1 \Leftrightarrow P(-1)=0\)
\(\Leftrightarrow m.(-1)^3 + (m – 2).(-1)^2 – (3n – 5).(-1)\) \(- 4n=0 \)
\( \Leftrightarrow -m + m – 2 + 3n – 5 – 4n = 0\)
\(\Leftrightarrow -n-7=0\) \( \Leftrightarrow n+7=0\) (1)
Lại có: \(P(x)\) chia hết cho \(x – 3 \Leftrightarrow P(3)=0\)
\(\Leftrightarrow m.3^3 + (m – 2).3^2 – (3n – 5).3 – 4n=0 \)
\(\Leftrightarrow 27m + 9(m – 2) – 3(3n – 5) – 4n = 0\)
\(\Leftrightarrow 27m + 9m – 18 – 9n + 15 – 4n = 0\)
\(\Leftrightarrow 36m-13n=3\) (2)
Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình ẩn \(m\) và \(n\).
\(\left\{\begin{matrix} n+7 = 0 & & \\ 36m – 13n = 3 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} n = -7 & & \\ 36m -13.(-7)= 3 & & \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} n = -7 & & \\ 36m = -88 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} n = -7& & \\ m = \dfrac{-22}{9}& & \end{matrix}\right.\)
Vậy \(m=\dfrac{-22}{9},\ n=-7\).
Bài trước:
Bài tiếp theo:
Xem thêm:
- Các bài toán 9 khác
- Để học tốt môn Vật lí lớp 9
- Để học tốt môn Sinh học lớp 9
- Để học tốt môn Ngữ văn lớp 9
- Để học tốt môn Lịch sử lớp 9
- Để học tốt môn Địa lí lớp 9
- Để học tốt môn Tiếng Anh lớp 9
- Để học tốt môn Tiếng Anh lớp 9 thí điểm
- Để học tốt môn Tin học lớp 9
- Để học tốt môn GDCD lớp 9
Chúc các bạn làm bài tốt cùng giải bài tập sgk toán lớp 9 với giải bài 15 16 17 18 19 trang 15 16 sgk toán 9 tập 2!
“Bài tập nào khó đã có giaibaisgk.com“