Toán lớp 9

Giải bài 25 26 27 28 trang 52 53 sgk Toán 9 tập 2

Hướng dẫn giải Bài §6. Hệ thức Vi-ét và ứng dụng, Chương IV – Hàm số \(y = ax^2 (a ≠ 0)\). Phương trình bậc hai một ẩn, sách giáo khoa toán 9 tập hai. Nội dung bài giải bài 25 26 27 28 trang 52 53 sgk toán 9 tập 2 bao gồm tổng hợp công thức, lý thuyết, phương pháp giải bài tập phần đại số có trong SGK toán để giúp các em học sinh học tốt môn toán lớp 9.

Lý thuyết

1. Hệ thức Vi-ét

Nhắc lại bài cũ về phương trình bậc hai \(ax^2+bx+c=0(a\neq 0)\) có 2 nghiệm phân biệt

\(x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}; x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}\)

Ta có: \(x_1+x_2=\frac{-2b+\sqrt{\Delta }-\sqrt{\Delta }}{2a}=-\frac{b}{a}\)

\(x_1.x_2=\frac{b^2-\Delta }{4a^2}=\frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}\)

Định lý Vi-ét:

Nếu \(x_1;x_2\) là hai nghiệm của phương trình \(ax^2+bx+c=0 (a\neq 0)\) thì:

\(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\)

và \(x_1.x_2=\frac{c}{a}\)

Tổng quát:

Nếu phương trình \(ax^2+bx+c=0 (a\neq 0)\) có \(a+b+c=0\) thì phương trình có một nghiệm là \(x_1=1\) và nghiệm kia là \(x_2=\frac{c}{a}\).

Nếu phương trình \(ax^2+bx+c=0 (a\neq 0)\) có \(a-b+c=0\) thì phương trình có một nghiệm là \(x_1=-1\) và nghiệm kia là \(x_2=-\frac{c}{a}\).

2. Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng

Tìm 2 số khi biết tổng của chúng là S và tích của chúng là P. Giả sử 1 số là x thì số còn lại là \(S-x\)

Vì thế, tích của chúng được viết lại là: \(x(S-x)=P\Leftrightarrow x^2-Sx+P=0\)

Đặt \(\Delta =S^2-4P\)

Dưới đây là phần Hướng dẫn trả lời các câu hỏi có trong bài học cho các bạn tham khảo. Các bạn hãy đọc kỹ câu hỏi trước khi trả lời nhé!

Câu hỏi

1. Trả lời câu hỏi 1 trang 50 sgk Toán 9 tập 2

Hãy tính \(x_1+x_2;x_1.x_2\)

\(\displaystyle{x_1} = {{ – b + \sqrt \Delta } \over {2a}};\,{x_2} = {{ – b – \sqrt \Delta } \over {2a}}\)

Trả lời:

Ta có:

\(\eqalign{& {x_1} + {x_2} = {{ – b + \sqrt \Delta } \over {2a}} + {{ – b – \sqrt \Delta } \over {2a}} = {{ – 2b} \over {2a}} = {{ – b} \over a} \cr & {x_1}.{x_2} = \left( {{{ – b + \sqrt \Delta } \over {2a}}} \right).\left( {{{ – b – \sqrt \Delta } \over {2a}}} \right) = {{ {(-b)^2} – \Delta } \over {4{a^2}}} \cr & = {{{b^2} – \left( {{b^2} – 4ac} \right)} \over {4{a^2}}} = {{4ac} \over {4{a^2}}} = {c \over a} \cr} \)

2. Trả lời câu hỏi 2 trang 51 sgk Toán 9 tập 2

Cho phương trình \(2x^2 – 5x + 3 = 0.\)

a) Xác định các hệ số \(a, b, c\) rồi tính \(a + b + c.\)

b) Chứng tỏ rằng \( x_1 = 1\) là một nghiệm của phương trình.

c) Dùng định lý Vi-ét để tìm \(x_2.\)

Trả lời:

a) Phương trình \(2x^2 – 5x + 3 = 0\) có các hệ số \(a = 2; b = -5; c = 3\)

\( \Rightarrow a + b + c = 2 – 5 + 3 = 0\)

b) Thay \(x = 1\) vào phương trình ta được:

\(2.1^2 – 5.1 + 3 = 0 \Leftrightarrow 0=0\) (luôn đúng)

Vậy \(x_1 = 1\) là một nghiệm của phương trình

c) Theo định lí Vi-et ta có:

\(\displaystyle{x_1}.{x_2} = {c \over a} = {3 \over 2} \Rightarrow 1.{x_2} = {3 \over 2} \Rightarrow {x_2} = {3 \over 2}\)

3. Trả lời câu hỏi 3 trang 51 sgk Toán 9 tập 2

Cho phương trình \(3x^2 +7x + 4 = 0.\)

a) Xác định các hệ số \(a, b, c\) rồi tính \(a – b + c.\)

b) Chứng tỏ rằng \( x_1 = -1\) là một nghiệm của phương trình.

c) Dùng định lý Vi-ét để tìm \(x_2.\)

Trả lời:

a) Phương trình \(3x^2 +7x + 4 = 0\) có các hệ số \(a = 3; b = 7; c = 4\)

\( \Rightarrow a – b + c = 3 – 7 + 4 = 0\)

b) Thay \(x = -1\) vào phương trình ta được:

\(3.(-1)^2 +7.(-1) + 4 = 0 \Leftrightarrow 0=0\) (luôn đúng)

Vậy \(x_1 = -1\) là một nghiệm của phương trình

c) Theo định lí Vi-et ta có:

\(\displaystyle{x_1}.{x_2} = {c \over a} = {4 \over 3} \Rightarrow (-1).{x_2} = {4 \over 3} \Rightarrow {x_2} = {-4 \over 3}\)

4. Trả lời câu hỏi 4 trang 52 sgk Toán 9 tập 2

Tính nhẩm nghiệm của các phương trình:

a) \(-5x^2+3x+2=0\)

b) \(2004x^2+2005x+1=0\)

Trả lời:

a) Xét phương trình \(-5x^2+3x+2=0\) có \(a=-5;b=3;c=2\)

Nên \(a+b+c=-5+3+2=0\), do đó phương trình có hai nghiệm \(x_1=1;x_2=\dfrac{c}{a}=-\dfrac{2}{5}\)

b) Xét phương trình \(2004x^2+2005x+1=0\) có \(a=2004;b=2005;c=1\)

Nên \(a-b+c=2004-2005+1=0\), do đó phương trình có hai nghiệm \(x_1=-1;x_2=-\dfrac{c}{a}=-\dfrac{1}{2004}\)

5. Trả lời câu hỏi 5 trang 52 sgk Toán 9 tập 2

Tìm hai số biết tổng của chúng bằng \(1\) và tích của chúng bằng \(5.\)

Trả lời:

Hai số cần tìm là hai nghiệm của phương trình \(x^2-x+5=0\) (*)

Ta có \( \Delta=(-1)^2-4.1.5=-19<0\) nên phương trình (*) vô nghiệm.

Do đó không có hai số thỏa mãn điều kiện đề bài.

Dưới đây là Hướng dẫn giải bài 25 26 27 28 trang 52 53 sgk toán 9 tập 2. Các bạn hãy đọc kỹ đầu bài trước khi giải nhé!

Bài tập

Giaibaisgk.com giới thiệu với các bạn đầy đủ phương pháp giải bài tập phần đại số 9 kèm bài giải chi tiết bài 25 26 27 28 trang 52 53 sgk toán 9 tập 2 của Bài §6. Hệ thức Vi-ét và ứng dụng trong Chương IV – Hàm số \(y = ax^2 (a ≠ 0)\). Phương trình bậc hai một ẩn cho các bạn tham khảo. Nội dung chi tiết bài giải từng bài tập các bạn xem dưới đây:

Giải bài 25 26 27 28 trang 52 53 sgk toán 9 tập 2
Giải bài 25 26 27 28 trang 52 53 sgk toán 9 tập 2

1. Giải bài 25 trang 52 sgk Toán 9 tập 2

Đối với phương trình sau, kí hiệu x1 và x2 là hai nghiệm (nếu có). Không giải phương trình, hãy điền vào những chố trống (..):

a) \(2{x^2}-{\rm{ }}17x{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)

\({\rm{ }}{\rm{ }}\Delta {\rm{ }} = {\rm{ }} \ldots ,{\rm{ }}{x_1} + {\rm{ }}{x_2} = {\rm{ }} \ldots ,{\rm{ }}{x_1}{x_2} = {\rm{ }} \ldots \);

b) \(5{x^2}-{\rm{ }}x{\rm{ }} – {\rm{ }}35{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)

\({\rm{ }}{\rm{ }}{\rm{ }}\Delta {\rm{ }} = {\rm{ }} \ldots ,{\rm{ }}{x_1} + {\rm{ }}{x_2} = {\rm{ }} \ldots ,{\rm{ }}{x_1}{x_2} = {\rm{ }} \ldots \);

c) \(8{x^2}-{\rm{ }}x{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)

\(\Delta = {\rm{ }} \ldots ,{\rm{ }}{x_1} + {\rm{ }}{x_2} = {\rm{ }} \ldots ,{\rm{ }}{x_1}{x_2} = {\rm{ }} \ldots \);

d) \(25{x^2} + {\rm{ }}10x{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)

\({\rm{ }}\Delta {\rm{ }} = {\rm{ }} \ldots ,{\rm{ }}{x_1} + {\rm{ }}{x_2} = {\rm{ }} \ldots ,{\rm{ }}{x_1}{x_2} = {\rm{ }} \ldots \).

Bài giải:

a) \(2{x^2}-{\rm{ }}17x{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) có \(a = 2, b = -17, c = 1\)

\(\Delta {\rm{ }} = {\rm{ }}{\left( { – 17} \right)^2}-{\rm{ }}4{\rm{ }}.{\rm{ }}2{\rm{ }}.{\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}289{\rm{ }}-{\rm{ }}8{\rm{ }} = {\rm{ }}281\)

\(\displaystyle{x_1} + {x_2} = – {{ – 17} \over 2} = {{17} \over 2};{x_1}{x_2} = {1 \over 2}\)

b) \(5{x^2}-{\rm{ }}x{\rm{ }} – {\rm{ }}35{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) có \(a = 5, b = -1, c = -35\)

\(\Delta = {\left( { – 1} \right)^2}-{\rm{ }}4{\rm{ }}.{\rm{ }}5{\rm{ }}.{\rm{ }}\left( { – 35} \right) = 1 + 700 = 701\)

\(\displaystyle{x_1} + {x_2} = – {{ – 1} \over 5} = {\rm{ }}{1 \over 5};{x_1}{x_2} = {{ – 35} \over 5} = – 7\)

c) \(8{x^2}-{\rm{ }}x{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) có \(a = 8, b = -1, c = 1\)

\(\Delta {\rm{ }} = {\rm{ }}{\left( { – 1} \right)^2}-{\rm{ }}4{\rm{ }}.{\rm{ }}8{\rm{ }}.{\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}1{\rm{ }} – {\rm{ }}32{\rm{ }} = {\rm{ }} – 31{\rm{ }} < {\rm{ }}0\)

Phương trình vô nghiệm nên không có hệ thức Viet tổng và tích 2 nghiệm.

d) \(25{x^2} + {\rm{ }}10x{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) có \(a = 25, b = 10, c = 1\)

\(\Delta = {\rm{ }}{10^2}-{\rm{ }}4{\rm{ }}.{\rm{ }}25{\rm{ }}.{\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}100{\rm{ }} – {\rm{ }}100{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)

\(\displaystyle{x_1} + {x_2} = – {{10} \over {25}} = – {2 \over 5};{x_1}{x_2} = {1 \over {25}}\)

2. Giải bài 26 trang 53 sgk Toán 9 tập 2

Dùng điều kiện \(a + b + c = 0\) hoặc \(a – b + c = 0\) để tính nhẩm nghiệm của mỗi phương trình sau :

a) \(35{x^2}-{\rm{ }}37x{\rm{ }} + {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)

b) \({\rm{ }}7{x^2} + {\rm{ }}500x{\rm{ }} – {\rm{ }}507{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)

c) \({x^2} – {\rm{ }}49x{\rm{ }} – {\rm{ }}50{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)

d) \(4321{x^2} + {\rm{ }}21x{\rm{ }} – {\rm{ }}4300{\rm{ }} = {\rm{ }}0\).

Bài giải:

a) \(35{x^2}-{\rm{ }}37x{\rm{ }} + {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) có \(a = 35, b = -37, c = 2\)

Do đó: \(a + b + c = 35 + (-37) + 2 = 0\)

nên \(\displaystyle {x_1} = 1;{x_2} = {2 \over {35}}\)

b) \(7{x^2} + {\rm{ }}500x{\rm{ }} – {\rm{ }}507{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) có \(a=7, b = 500, c=-507\)

Do đó: \(a + b + c = 7 + 500 +(- 507)=0\)

nên \(\displaystyle{x_1} = 1;{x_2} = – {{507} \over 7}\)

c) \({x^2} – {\rm{ }}49x{\rm{ }} – {\rm{ }}50{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) có \(a = 1, b = -49, c = -50\)

Do đó \(a – b + c = 1 – (-49) +(- 50) = 0\)

nên \(\displaystyle{x_1} = – 1;{x_2} = – {{ – 50} \over 1} = 50\)

d) \(4321{x^2} + {\rm{ }}21x{\rm{ }} – {\rm{ }}4300{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) có \(a = 4321, b = 21, c = -4300\)

Do đó \(a – b + c = 4321 – 21 + (-4300) = 0\)

nên \(\displaystyle{x_1} = – 1;{x_2} = – {{ – 4300} \over {4321}} = {{4300} \over {4321}}\).

3. Giải bài 27 trang 53 sgk Toán 9 tập 2

Dùng hệ thức Vi-ét để tính nhẩm các nghiệm của phương trình.

a) \({x^2}-{\rm{ }}7x{\rm{ }} + {\rm{ }}12{\rm{ }} = {\rm{ }}0\);

b) \({x^2} + {\rm{ }}7x{\rm{ }} + {\rm{ }}12{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)

Bài giải:

a) \({x^2}-{\rm{ }}7x{\rm{ }} + {\rm{ }}12{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) có \(a = 1, b = -7, c = 12\)

nên \(\displaystyle{x_1} + {x_2} = {\rm{ }} – {{ – 7} \over 1} = 7 = 3 + 4\)

\(\displaystyle{x_1}{x_2} = {\rm{ }}{{12} \over 1} = 12 = 3.4\)

Vậy \({x_1} = {\rm{ }}3,{\rm{ }}{x_2} = {\rm{ }}4\).

b) \({x^2} + {\rm{ }}7x{\rm{ }} + {\rm{ }}12{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) có \(a = 1, b = 7, c = 12\)

nên \(\displaystyle{x_1} + {x_2} = {\rm{ }} – {7 \over 1} = – 7 = – 3 + ( – 4)\)

\(\displaystyle{x_1}{x_2} = {\rm{ }}{{12} \over 1} = 12 = ( – 3).( – 4)\)

Vậy \({x_1} = {\rm{ }} – 3,{\rm{ }}{x_2} = {\rm{ }} – 4\).

4. Giải bài 28 trang 53 sgk Toán 9 tập 2

Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:

a) \(u + v = 32, uv = 231\);

b) \(u + v = -8, uv = -105\);

c) \(u + v = 2, uv = 9\)

Bài giải:

a) Vì \({32^2} – 4.231 = 100 > 0\)

Nên \(u\) và \(v\) là nghiệm của phương trình: \({x^2}-{\rm{ }}32x{\rm{ }} + {\rm{ }}231{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)

\(a = 1; b’ = -16; c = 231.\)

\(\Delta’ {\rm{ }} = {\rm{ ( – }}16{)^2}-{\rm{ }}231.1{\rm{ }} = {\rm{ }}256{\rm{ }}-{\rm{ }}231{\rm{ }} = {\rm{ }}25,{\rm{ }}\sqrt {\Delta ‘} {\rm{ }} = {\rm{ }}5\)

\(\begin{array}{l}
{x_1} = \dfrac{{ – b’ – \sqrt {\Delta ‘} }}{a} = \dfrac{{ – \left( { – 16} \right) – 5}}{1} = 11\\
{x_2} = \dfrac{{ – b’ + \sqrt {\Delta ‘} }}{a} = \dfrac{{ – \left( { – 16} \right) + 5}}{1} = 21
\end{array}\)

Vậy \(u = 21, v = 11\) hoặc \(u = 11, v = 21\)

b) Vì \({\left( { – 8} \right)^2} – 4.\left( { – 105} \right) = 484 > 0\)

Nên \(u\), \(v\) là nghiệm của phương trình:

\({{x^2} + {\rm{ }}8x{\rm{ }}-{\rm{ }}105{\rm{ }} = {\rm{ }}0}\)

\(a = 1; b’ = 4; c = – 105\)

\(\begin{array}{l}
{x_1} = \dfrac{{ – b’ – \sqrt {\Delta ‘} }}{a} = \dfrac{{ – 4 – 11}}{1} = – 15\\
{x_2} = \dfrac{{ – b ‘+ \sqrt {\Delta ‘} }}{a} = \dfrac{{ – 4 + 11}}{1} = 7
\end{array}\)

Vậy \(u = 7, v = -15\) hoặc \(u = -15, v = 7\).

c) Vì \({{2^{2}}-{\rm{ }}4{\rm{ }}.{\rm{ }}9{\rm{ }} < {\rm{ }}0}\) nên không có giá trị nào của \(u\) và \(v\) thỏa mãn điều kiện đã cho.

Bài trước:

Bài tiếp theo:

Xem thêm:

Chúc các bạn làm bài tốt cùng giải bài tập sgk toán lớp 9 với giải bài 25 26 27 28 trang 52 53 sgk toán 9 tập 2!

“Bài tập nào khó đã có giaibaisgk.com“