Hướng dẫn Giải bài 4 5 6 trang 11 sgk Toán 9 tập 2

Nội Dung

Hướng dẫn giải Bài §2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn, Chương III – Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn, sách giáo khoa toán 9 tập hai. Nội dung bài giải bài 4 5 6 trang 11 sgk toán 9 tập 2 bao gồm tổng hợp công thức, lý thuyết, phương pháp giải bài tập phần đại số có trong SGK toán để giúp các em học sinh học tốt môn toán lớp 9.

Lý thuyết

1. Khái niệm về hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Cho hai phương trình bậc nhất hai ẩn $ax+by=c$ và $a’x+b’y=c’$. Khi đó ta có hệ phương trình trình bậc nhất hai ẩn $\left\{\begin{matrix} ax+by=c\\ a’x+b’y=c’ \end{matrix}\right. (I)$.

Nếu hai phương trình đã cho có nghiệm chung $(x_o;y_o)$ thì ta nói hệ $(I)$ có nghiệm $(x_o;y_o)$.

Nếu hai phương trình đã cho không có nghiệm chung thì ta nói hệ $(I)$ vô nghiệm.

Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm của nó.

2. Minh họa hình học tập nghiệm của hệ phương trình trình bậc nhất hai ẩn

Cho $(d):ax+by=c$ và $(d’):a’x+b’y=c’$. Khi đó tập nghiệm của hệ $(I)$ được biểu diễn bởi tập hợp các điểm chung của $(d)$ và $(d’)$.

Nếu $(d)$ cắt $(d’)$ thì hệ $(I)$ có một nghiệm duy nhất

Nếu $(d)$ song song với $(d’)$ thì hệ $(I)$ vô nghiệm

Nếu $(d)$ trùng với $(d’)$ thì hệ $(I)$ có vô số nghiệm

Với hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $\begin{cases}ax + by = c\, (1)\\a’x + b’y = c’\, (2)\end{cases}$:

– Hệ có nghiệm duy nhất ⇔ $\frac{a}{a’}$ $\neq$ $\frac{b}{b’}$

– Hệ vô nghiệm ⇔ $\frac{a}{a’}$ = $\frac{b}{b’}$ $\neq$ $\frac{c}{c’}$

– Hệ có vô số nghiệm ⇔ $\frac{a}{a’}$ = $\frac{b}{b’}$ = $\frac{c}{c’}$

3. Hệ phương trình tương đương

Hai hệ phương trình tương đương nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm.

Dưới đây là phần Hướng dẫn trả lời các câu hỏi có trong bài học cho các bạn tham khảo. Các bạn hãy đọc kỹ câu hỏi trước khi trả lời nhé!

Câu hỏi

1. Trả lời câu hỏi 1 trang 9 sgk Toán 9 tập 2

Xét hai phương trình bậc nhất hai ẩn $2x+y=3$ và $x-2y=4$.

Kiểm tra rằng cặp số $(x; y) = (2; -1)$ vừa là nghiệm của phương trình thứ nhất, vừa là nghiệm của phương trình thứ hai.

Trả lời:

Thay $x=2;y=-1$ vào phương trình $2x + y = 3$ ta được $ 2.2 + (-1) = 3 \Leftrightarrow 3=3$ (luôn đúng)

$ \Rightarrow $ cặp số $(x; y) = (2; -1)$ là nghiệm của phương trình $2x + y = 3$

Thay $x=2;y=-1$ vào phương trình $x – 2y = 4$ ta được $2 – 2 .(-1) = 4 \Leftrightarrow 4=4$ (luôn đúng)

$ \Rightarrow $ cặp số $(x; y) = (2; -1)$ là nghiệm của phương trình $x – 2y = 4$

Vậy cặp số $(x; y) = (2; -1)$ vừa là nghiệm của phương trình thứ nhất, vừa là nghiệm của phương trình thứ hai.

2. Trả lời câu hỏi 2 trang 9 sgk Toán 9 tập 2

Tìm từ thích hợp để điền vào chỗ trống (…) trong câu sau:

Nếu điểm $M$ thuộc đường thẳng $ax + by = c$ thì tọa độ $\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ của điểm $M$ là một … của phương trình $ax + by = c.$

Trả lời:

Nếu điểm $M$ thuộc đường thẳng $ax + by = c$ thì tọa độ $\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ của điểm $M$ là một nghiệm của phương trình $ax + by = c.$

3. Trả lời câu hỏi 3 trang 10 sgk Toán 9 tập 2

Ví dụ 3: Xét hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}2x – y = 3\\ – 2x + y = – 3\end{array} \right.$

Hệ phương trình trong ví dụ 3 có bao nhiêu nghiệm ? Vì sao ?

Trả lời:

Ta có

$\left\{ \begin{array}{l}2x – y = 3\\ – 2x + y = – 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2x – 3\\y = 2x – 3\end{array} \right.$

Nên hệ phương trình trong ví dụ 3 có vô số nghiệm vì tập nghiệm của hai phương trình trong hệ được biểu diễn bởi cùng một đường thẳng $y = 2x – 3$

Dưới đây là Hướng dẫn giải bài 4 5 6 trang 11 sgk toán 9 tập 2. Các bạn hãy đọc kỹ đầu bài trước khi giải nhé!

Bài tập

Giaibaisgk.com giới thiệu với các bạn đầy đủ phương pháp giải bài tập phần đại số 9 kèm bài giải chi tiết bài 4 5 6 trang 11 sgk toán 9 tập 2 của Bài §2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn trong Chương III – Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn cho các bạn tham khảo. Nội dung chi tiết bài giải từng bài tập các bạn xem dưới đây:

Giải bài 4 5 6 trang 11 sgk toán 9 tập 2

1. Giải bài 4 trang 11 sgk Toán 9 tập 2

Không cần vẽ hình, hãy cho biết số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau đây và giải thích vì sao:

a) $\left\{\begin{matrix} y = 3 – 2x & & \\ y = 3x – 1 & & \end{matrix}\right.$;

b) $\left\{\begin{matrix} y = -\dfrac{1}{2}x+ 3 & & \\ y = -\dfrac{1}{2}x + 1 & & \end{matrix}\right.$;

c) $\left\{\begin{matrix} 2y = -3x & & \\ 3y = 2x & & \end{matrix}\right.$;

d) $\left\{\begin{matrix} 3x – y = 3 & & \\ x – \dfrac{1}{3}y = 1 & & \end{matrix}\right.$

Bài giải:

a) Ta có:

$\left\{\begin{matrix} y = 3 – 2x & & \\ y = 3x – 1 & & \end{matrix}\right.$ ⇔ $\left\{\begin{matrix} y = -2x + 3 \, (d) & & \\ y = 3x – 1 \, (d’) & & \end{matrix}\right.$

Ta có $a = -2, a’ = 3$ nên $a ≠ a’$.

Do đó hai đường thẳng $ (d)$ và $(d’)$ cắt nhau nên hệ phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất.

b) Ta có:

$\left\{\begin{matrix} y = -\dfrac{1}{2}x+ 3 \, (d) & & \\ y = -\dfrac{1}{2}x + 1 \, (d’) & & \end{matrix}\right.$

Ta có $a = -\dfrac{1}{2},b = 3 $ và $a’ = -\dfrac{1}{2}, b’ = 1$ nên $a = a’, b ≠ b’$.

Do đó hai đường thẳng $ (d)$ và $(d’)$ song song nên hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

c) Ta có:

$\left\{\begin{matrix} 2y = -3x & & \\ 3y = 2x & & \end{matrix}\right.$⇔ $\left\{\begin{matrix} y = -\dfrac{3}{2}x \, (d) & & \\ y = \dfrac{2}{3}x\, (d’) & & \end{matrix}\right.$

Ta có $a = -\dfrac{3}{2}, a’ = \dfrac{2}{3}$ nên $a ≠ a’$

Do đó hai đường thẳng $ (d)$ và $(d’)$ cắt nhau nên hệ phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất.

d) Ta có:

$\left\{\begin{matrix} 3x – y = 3 & & \\ x – \dfrac{1}{3}y = 1 & & \end{matrix}\right.$ ⇔$\left\{\begin{matrix} y = 3x – 3 & & \\ \dfrac{1}{3}y = x – 1 & & \end{matrix}\right.$ ⇔ $\left\{\begin{matrix} y = 3x – 3\, (d) & & \\ y = 3x – 3 \, (d’)& & \end{matrix}\right.$

Ta có $a = 3,\ b = -3 $ và $a’ = 3,\ b’ = -3$ nên $a = a’,\ b = b’$.

Do đó hai đường thẳng $ (d)$ và $(d’)$ trùng nhau nên hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm.

2. Giải bài 5 trang 11 sgk Toán 9 tập 2

Đoán nhận số nghiệm của hệ phương trình sau bằng hình học:

a) $ \left\{ \matrix{2{\rm{x}} – y = 1 \hfill \cr x – 2y = – 1 \hfill \cr} \right. $;

b) $ \left\{ \matrix{2{\rm{x + }}y = 4 \hfill \cr – x + y = 1 \hfill \cr} \right. $

Bài giải:

a) Ta có:

$\left\{ \matrix{
2x – y = 1 \hfill \cr
x – 2y = – 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
y = 2x – 1 \ (d)\hfill \cr
y = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{2} \ (d’) \hfill \cr} \right.$

♦ Vẽ $(d)$: $y=2x-1$

Cho $x = 0 \Rightarrow y = -1$, ta được điểm $(0; -1)$.

Cho $y = 0 \Rightarrow x = \dfrac{1}{2}$, ta được điểm ${\left(\dfrac{1}{2}; 0 \right)}$.

Tập nghiệm của phương trình là đường thẳng đi qua hai điểm $(0; -1), (\dfrac{1}{2}; 0)$.

♦ Vẽ $(d’)$: $y=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}$

Cho $x = 0 \Rightarrow y = \dfrac{1}{2}$, ta được điểm $ {\left(0; \dfrac{1}{2} \right)}$.

Cho $y = 0 \Rightarrow x = -1$, ta được điểm $(-1; 0)$.

Tập nghiệm của phương trình là đường thẳng đi qua hai điểm $(0; \dfrac{1}{2}), (-1; 0)$.

♦ Quan sát hình vẽ, ta thấy hai đường thẳng cắt nhau tại điểm có tọa độ $A( 1, 1)$.

Thay $x = 1, y = 1$ vào các phương trình của hệ ta được:

$\left\{ \begin{array}{l}2x – y = 1\\x – 2y = – 1\end{array} \right.$

$\Rightarrow\left\{ \begin{array}{l}2.1 – 1 = 1\\1 – 2.1 = – 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 = 1\\ – 1 = – 1\end{array} \right.$ (luôn đúng)

Vậy hệ phương trình có một nghiệm $(x; y) = (1; 1)$.

b) Ta có:

$\left\{ \matrix{
2x + y = 4 \hfill \cr
– x + y = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
y = – 2x + 4 \ (d) \hfill \cr
y = x + 1 \ (d’) \hfill \cr} \right.$

♦ Vẽ $(d)$: $y=-2x+4$

Cho $x = 0 \Rightarrow y = 4$, ta được điểm $(0; 4)$.

Cho $y = 0 \Rightarrow x = 2$, ta được điểm $(2; 0)$.

Tập nghiệm của phương trình là đường thẳng đi qua hai điểm $(0; 4), (2; 0)$.

♦ Vẽ $(d’)$: $y=x+1$

Cho $x = 0 \Rightarrow y = 1$, ta được $(0; 1)$.

Cho $y = 0 \Rightarrow x = -1$, ta được $(-1; 0)$.

Tập nghiệm của phương trình là đường thẳng đi qua hai điểm $(0; 1),(-1; 0)$.

♦ Quan sát hình vẽ, ta thấy hai đường thẳng cắt nhau tại điểm có tọa độ $A(1;2)$.

Thay $x = 1, y = 2$ vào các phương trình của hệ ta được:

$\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 4\\ – x + y = 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2.1 + 2 = 4\\ – 1 + 2 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4 = 4\\1 = 1\end{array} \right.$ (luôn đúng)

Vậy hệ phương trình có một nghiệm $(x; y) = (1; 2)$.

3. Giải bài 6 trang 11 sgk Toán 9 tập 2

Đố: Bạn Nga nhận xét: Hai hệ phương trình bậc nhất hai ẩn vô nghiệm thì luôn tương đương với nhau. Bạn Phương khẳng định: Hai hệ phương trình bậc nhất hai ẩn cùng có vô số nghiệm thì cũng luôn tương đương với nhau.

Theo em, các ý kiến đó đúng hay sai ? Vì sao ? (có thể cho một ví dụ hoặc minh họa bằng đồ thị).

Bài giải:

Bạn Nga đã nhận xét đúng vì hai hệ phương trình cùng vô nghiệm có nghĩa là chúng cùng có tập nghiệm bằng $S=\phi $ (rỗng).

Bạn Phương nhân xét sai. Chẳng hạn, hai hệ phương trình:

$(I)$ $\left\{\begin{matrix} y = x & & \\ y = x & & \end{matrix}\right.$ và $(II)$ $\left\{\begin{matrix} y = -x & & \\ y = -x & & \end{matrix}\right.$

Hệ (I) và hệ (II) đều có vô số nghiệm nhưng tập nghiệm của hệ $(I)$ được biểu diễn bởi đường thẳng $y = x$, còn tập nghiệm của phương trình $(II)$ được biểu diễn bởi đường thẳng $y = -x$. Hai đường thẳng này là khác nhau nên hai hệ đang xét không tương đương (vì không có cùng tập nghiệm).

Bài trước:

Giải bài 1 2 3 trang 7 sgk Toán 9 tập 2

Bài tiếp theo:

Luyện tập: Giải bài 7 8 9 10 11 trang 12 sgk Toán 9 tập 2

Xem thêm:

Chúc các bạn làm bài tốt cùng giải bài tập sgk toán lớp 9 với giải bài 4 5 6 trang 11 sgk toán 9 tập 2!

“Bài tập nào khó đã có giaibaisgk.com“