Nội Dung
Luyện tập Bài §7. Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai (tiếp theo), chương I – Căn bậc hai. Căn bậc ba, sách giáo khoa toán 9 tập một. Nội dung bài giải bài 53 54 55 56 57 trang 30 sgk toán 9 tập 1 bao gồm tổng hợp công thức, lý thuyết, phương pháp giải bài tập phần đại số có trong SGK toán để giúp các em học sinh học tốt môn toán lớp 9.
Lý thuyết
1. Khử mẫu của biểu thức lấy căn
Khi biến đổi biểu thức chứa căn bậc hai, người ta có thể sử dụng phép khử mẫu của biểu thức lấy căn.
Một cách tổng quát: Với các biểu thức A, B mà \(A.B\geq 0 \ và \ B\neq 0, \ ta \ có \ \sqrt{\frac{A}{B}}=\frac{\sqrt{AB}}{|B|}\)
2. Trục căn thức ở mẫu
Một cách tổng quát:
Với các biểu thức A, B mà \(B>0\), ta có: \(\frac{A}{\sqrt{B}}=\frac{A\sqrt{B}}{B}\)
Với các biểu thức A, B, C mà \(A\geq 0 \ và \ A\neq B^2\), ta có \(\frac{C}{\sqrt{A}\pm B}=\frac{C(\sqrt{A}\pm B)}{A-B^2}\)
Với các biểu thức A, B, C mà \(A\geq 0, B\geq 0 \ và \ A\neq B\), ta có \(\frac{C}{\sqrt{A}\pm \sqrt{B}}=\frac{C(\sqrt{A}\pm \sqrt{B})}{A-B}\)
Dưới đây là Hướng dẫn giải bài 53 54 55 56 57 trang 30 sgk toán 9 tập 1. Các bạn hãy đọc kỹ đầu bài trước khi giải nhé!
Luyện tập
Giaibaisgk.com giới thiệu với các bạn đầy đủ phương pháp giải bài tập phần đại số 9 kèm bài giải chi tiết bài 53 54 55 56 57 trang 30 sgk toán 9 tập 1 của bài §7. Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai (tiếp theo) trong chương I – Căn bậc hai. Căn bậc ba cho các bạn tham khảo. Nội dung chi tiết bài giải từng bài tập các bạn xem dưới đây:
1. Giải bài 53 trang 30 sgk Toán 9 tập 1
Rút gọn các biểu thức sau (giả thiết các biểu thức chữ đều có nghĩa):
a) $\sqrt{18(\sqrt{2} – \sqrt{3})^2}$ ;
b) ab.$\sqrt{1 + \frac{1}{a^2b^2}}$;
c) $\sqrt{\frac{a}{b^3} + \frac{a}{b^4}}$ ;
d) $\frac{a + \sqrt{ab}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$
Bài giải:
a) Ta có:
\(\sqrt{18(\sqrt{2}-\sqrt{3})^{2}}=\sqrt {18}.\sqrt{(\sqrt 2 – \sqrt 3)^2}\)
\(=\sqrt{9.2}.|\sqrt{2}-\sqrt{3}|=\sqrt{3^2.2}.|\sqrt{2}-\sqrt{3}|\)
\(=3\sqrt{2}.|\sqrt{2}-\sqrt{3}|=3\sqrt{2}(\sqrt{3}-\sqrt{2})\)
\(=3\sqrt {2.3}- 3(\sqrt 2)^2\)
\(=3\sqrt 6 -3.2=3\sqrt{6}-6\).
Vì \( 2 < 3 \Leftrightarrow \sqrt 2 < \sqrt 3 \Leftrightarrow \sqrt 2 -\sqrt 3 <0\)
Do đó: \( |\sqrt 2 -\sqrt 3|=-(\sqrt 2 -\sqrt 3)=-\sqrt 2 +\sqrt 3\) \(=\sqrt 3-\sqrt2\).
b) Ta có:
$ab\sqrt{1+\frac{1}{a^{2}b^{2}}}=ab\sqrt{\dfrac{a^2b^2}{a^2b^2}+\dfrac{1}{a^2b^2}}$
$=ab\sqrt{\dfrac{a^2b^2+1}{a^2b^2}}=ab\dfrac{\sqrt{a^2b^2+1}}{\sqrt{a^2b^2}}$
$=ab\dfrac{\sqrt{a^2b^2+1}}{\sqrt{(ab)^2}}=ab\dfrac{\sqrt{a^2b^2+1}}{|ab|}$
Nếu \(ab \ge 0\) thì \(|ab|=ab\)
\( \Rightarrow ab\dfrac{\sqrt{a^2b^2+1}}{|ab|}=ab\dfrac{\sqrt{a^2b^2+1}}{ab}=\sqrt{a^2b^2+1}\).
Nếu \(ab < 0\) thì \(|ab|=-ab \)
\(\Rightarrow ab\dfrac{\sqrt{a^2b^2+1}}{|ab|}=ab\dfrac{\sqrt{a^2b^2+1}}{-ab}=-\sqrt{a^2b^2+1}\).
c) Ta có:
$\sqrt{\dfrac{a}{b^{3}}+\dfrac{a}{b^{4}}}=\sqrt{\dfrac{a.b}{b^{3}.b}+\dfrac{a}{b^{4}}}$
$=\sqrt{\dfrac{ab}{b^4}+\dfrac{a}{b^4}}=\sqrt{\dfrac{ab+a}{b^4}}$
$=\dfrac{\sqrt{ab+a}}{\sqrt{(b^2)^2}}=\dfrac{\sqrt{ab+a}}{|b^2|}=\dfrac{\sqrt{ab+a}}{b^2}$.
Vì \(b^2 > 0\) với mọi \( b \ne 0\) nên \( |b^2|=b^2\).
d) Ta có:
$\dfrac{a+\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\dfrac{(\sqrt a)^2+\sqrt{a}.\sqrt b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$
$=\dfrac{\sqrt a (\sqrt a+\sqrt b)}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\sqrt a$.
Vì theo đề bài các căn thức có nghĩa nên ta có:
\(a > 0,\ b > 0 \Rightarrow \sqrt{ab}=\sqrt a.\sqrt b\).
2. Giải bài 54 trang 30 sgk Toán 9 tập 1
Rút gọn các biểu thức sau (giả thiết các biểu thức chữ đều có nghĩa):
Rút gọn các biểu thức sau (giả thiết các biểu thức chữ đều có nghĩa):
\(\dfrac{2+\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}};\,\,\, \dfrac{\sqrt{15}-\sqrt{5}}{1-\sqrt{3}};\,\,\,\dfrac{2\sqrt{3}-\sqrt{6}}{\sqrt{8}-2}; \)
\(\dfrac{a-\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}};\,\,\, \dfrac{p-2\sqrt{p}}{\sqrt{p}-2}.\)
Bài giải:
+ Ta có:
$\dfrac{2+\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}=\dfrac{(\sqrt 2)^2+ \sqrt 2}{1+ \sqrt 2}$
$=\dfrac{\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)}{1+\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt 2(1+ \sqrt 2)}{\sqrt 2}=\sqrt{2}$.
+ Ta có:
\(\dfrac{\sqrt{15}-\sqrt{5}}{1-\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3.5}-\sqrt{5.1}}{1-\sqrt{3}}\)
$=\dfrac{\sqrt{5}.\sqrt{3}-\sqrt{5}.1}{1-\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{5}(\sqrt{3}-1)}{1-\sqrt{3}}$
$=\dfrac{-\sqrt{5}(1-\sqrt{3})}{1-\sqrt{3}}=-\sqrt{5}$.
+ Ta có:
\(\dfrac{2\sqrt{3}-\sqrt{6}}{\sqrt{8}-2}=\dfrac{(\sqrt 2)^2.\sqrt 3-\sqrt 6}{\sqrt{4.2}- 2}\)
\(=\dfrac{\sqrt 2.(\sqrt 2.\sqrt 3)-\sqrt 6}{2\sqrt 2 -2}\)\(=\dfrac{2\sqrt{6}-\sqrt 6}{2(\sqrt{2}-1)}\)
\(=\dfrac{\sqrt{6}(\sqrt{2}-1)}{2(\sqrt{2}-1)}=\dfrac{\sqrt{6}}{2}\).
+ Ta có:
$\dfrac{a-\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}}=\dfrac{(\sqrt a)^2-\sqrt a .1}{1-\sqrt a}$
$=\dfrac{\sqrt{a}(\sqrt{a}-1)}{1-\sqrt{a}}=\dfrac{-\sqrt{a}(1-\sqrt{a})}{1-\sqrt{a}}=-\sqrt{a}$.
+ Ta có:
$\dfrac{p-2\sqrt{p}}{\sqrt{p}-2}=\dfrac{(\sqrt p)^2-2.\sqrt{p}}{\sqrt{p}-2}$
$=\dfrac{\sqrt{p}(\sqrt{p}-2)}{\sqrt{p}-2}=\sqrt{p}$.
3. Giải bài 55 trang 30 sgk Toán 9 tập 1
Phân tích thành nhân tử (với \(a,\ b,\ x,\ y\) là các số không âm)
a) \(ab + b\sqrt a + \sqrt a + 1\)
b) \(\sqrt {{x^3}} – \sqrt {{y^3}} + \sqrt {{x^2}y} – \sqrt {x{y^2}} \)
Bài giải:
a) Ta có:
\(ab+b\sqrt{a}+\sqrt{a}+1=(ab+b\sqrt{a})+(\sqrt{a}+1)\)
\(=(ba+b\sqrt{a})+(\sqrt{a}+1)\)
\(=\left[ {b.\left( {\sqrt a .\sqrt a } \right) + b\sqrt a} \right] + \left( {\sqrt a + 1} \right)\)
\(=[(b\sqrt a).\sqrt a+ b\sqrt a.1]+(\sqrt a + 1)\)
\(=b\sqrt{a}(\sqrt{a}+1)+(\sqrt{a}+1)\)
\(=(\sqrt{a}+1)(b\sqrt{a}+1)\).
b) Ta có:
♦ Cách 1: Sử dụng hằng đẳng thức số \(7\):
\(\sqrt{x^{3}}-\sqrt{y^{3}}+\sqrt{x^{2}y}-\sqrt{xy^{2}}\)
\(=[(\sqrt x)^3-(\sqrt y)^3]+ (\sqrt{x.xy}-\sqrt{y.xy})\)
\(=(\sqrt x-\sqrt y).[(\sqrt x)^2 + \sqrt x.\sqrt y+(\sqrt y)^2]\)
\(+ (\sqrt{x}.\sqrt{xy}-\sqrt{y}.\sqrt{xy})\)
\(=(\sqrt x-\sqrt y).[(\sqrt x)^2 + \sqrt x.\sqrt y+(\sqrt y)^2]\)
\(+ \sqrt{xy}.(\sqrt{x}-\sqrt{y})\)
\(=(\sqrt x-\sqrt y).[(\sqrt x)^2 + \sqrt x.\sqrt y+(\sqrt y)^2+\sqrt{xy}]\)
\(=(\sqrt x-\sqrt y).[(\sqrt x)^2 + \sqrt x.\sqrt y+(\sqrt y)^2+\sqrt{x}.\sqrt{y}]\)
\(=(\sqrt x-\sqrt y).[(\sqrt x)^2 + 2\sqrt x.\sqrt y+(\sqrt y)^2]\)
\(=(\sqrt x-\sqrt y).(\sqrt x+\sqrt y)^2\).
♦ Cách 2: Nhóm các hạng tử:
\(\sqrt{x^{3}}-\sqrt{y^{3}}+\sqrt{x^{2}y}-\sqrt{xy^{2}}\)
\(=x\sqrt{x}-y\sqrt{y}+x\sqrt{y}-y\sqrt{x}\)
\(=(x\sqrt{x}+x\sqrt{y})-(y\sqrt{x}+y\sqrt{y})\)
\(=x(\sqrt{x}+\sqrt{y})-y(\sqrt{y}+\sqrt{x})\)
\(=(\sqrt{x}+\sqrt{y})(x-y)\)
\(=(\sqrt{x}+\sqrt{y})(\sqrt x+\sqrt y)(\sqrt x -\sqrt y)\)
\(=(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2(\sqrt{x}-\sqrt{y})\).
4. Giải bài 56 trang 30 sgk Toán 9 tập 1
Sắp xếp theo thứ tự tăng dần:
a) 3$\sqrt{5}$; 2$\sqrt{6}$; $\sqrt{29}$; 4$\sqrt{2}$
b) 6$\sqrt{2}$; $\sqrt{38}$; 3$\sqrt{7}$; 2$\sqrt{14}$
Bài giải:
a) Ta có:
\(\left\{ \matrix{
3\sqrt 5 = \sqrt {{3^2}.5} = \sqrt {9.5} = \sqrt {45} \hfill \cr
2\sqrt 6 = \sqrt {{2^2}.6} = \sqrt {4.6} = \sqrt {24} \hfill \cr
4\sqrt 2 = \sqrt {{4^2}.2} = \sqrt {16.2} = \sqrt {32} \hfill \cr} \right.\)
Vì: \(24 < 29 < 32 < 45 \Leftrightarrow \sqrt{24}<\sqrt{29}<\sqrt{32}<\sqrt{45}\)
\(\Leftrightarrow 2\sqrt{6}<\sqrt{29}< 4\sqrt{2}< 3\sqrt{5}\)
b) Ta có:
\(\left\{ \matrix{
6\sqrt 2 = \sqrt {{6^2}.2} = \sqrt {36.2} = \sqrt {72} \hfill \cr
3\sqrt 7 = \sqrt {{3^2}.7} = \sqrt {9.7} = \sqrt {63} \hfill \cr
2\sqrt {14} = \sqrt {{2^2}.14} = \sqrt {4.14} = \sqrt {56} \hfill \cr} \right.\)
Vì: \(38 < 56 < 63 < 72\Leftrightarrow \sqrt{38}<\sqrt{56}<\sqrt{63}<\sqrt{72}\)
5. Giải bài 57 trang 30 sgk Toán 9 tập 1
\(\sqrt {25x} – \sqrt {16x} = 9\) khi \(x\) bằng
(A) \(1\); (B) \(3\); (C) \(9\); (D) \(81\).
Hãy chọn câu trả lời đúng.
Bài giải:
Ta có:
\(\sqrt{25x}-\sqrt{16x}=9\)
\(\sqrt{5^2.x}-\sqrt{4^2.x}=9\)
\(\Leftrightarrow 5\sqrt{x}-4\sqrt{x}=9\)
\(\Leftrightarrow (5-4)\sqrt{x}=9\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{x}=9\)
\(\Leftrightarrow (\sqrt{x})^2=9^2\)
\(\Leftrightarrow x=81\)
Chọn đáp án D. \(81\)
Bài trước:
Bài tiếp theo:
Xem thêm:
- Các bài toán 9 khác
- Để học tốt môn Vật lí lớp 9
- Để học tốt môn Sinh học lớp 9
- Để học tốt môn Ngữ văn lớp 9
- Để học tốt môn Lịch sử lớp 9
- Để học tốt môn Địa lí lớp 9
- Để học tốt môn Tiếng Anh lớp 9
- Để học tốt môn Tiếng Anh lớp 9 thí điểm
- Để học tốt môn Tin học lớp 9
- Để học tốt môn GDCD lớp 9
Chúc các bạn làm bài tốt cùng giải bài tập sgk toán lớp 9 với giải bài 53 54 55 56 57 trang 30 sgk toán 9 tập 1!
“Bài tập nào khó đã có giaibaisgk.com“