Nội Dung
Hướng dẫn giải Bài §9. Tính chất ba đường cao của tam giác, chương III – Quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác – Các đường đồng quy của tam giác, sách giáo khoa toán 7 tập hai. Nội dung bài giải bài 58 59 60 61 62 trang 83 sgk toán 7 tập 2 bao gồm tổng hợp công thức, lý thuyết, phương pháp giải bài tập phần hình học có trong SGK toán để giúp các em học sinh học tốt môn toán lớp 7.
Lý thuyết
1. Đường cao của tam giác
Trong một tam giác, đoạn vuông góc kẻ từ một đỉnh đến đường thẳng chứa cạnh đối diện gọi là đường cao của tam giác đó.
Mỗi tam giác có ba đường cao.
2. Tính chất ba đường cao của tam giác
Định lí:
Ba đường cao của tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó gọi là trực tâm của tam giác.
3. Tính chất về đường cao, trung tuyến, trung trực, phân giác của tam giác.
Trong tam giác cân, đường trung trực ứng với cạnh đáy đồng thời là đường cao xuất phát từ đỉnh của tam giác đó.
Trong tam giác đều, các điểm: trọng tâm, trực tâm, điểm cách đều ba đỉnh điểm cách đều ba cạnh là bốn điểm trùng nhau.
Nhận xét: Nếu hai trong bốn loại đường trên trùng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.
Dưới đây là phần Hướng dẫn trả lời các câu hỏi có trong bài học cho các bạn tham khảo. Các bạn hãy đọc kỹ câu hỏi trước khi trả lời nhé!
Câu hỏi
1. Trả lời câu hỏi 1 trang 81 sgk Toán 7 tập 2
Dùng eke vẽ \(3\) đường cao của tam giác \(ABC.\)
Hãy cho biết ba đường cao của tam giác đó có cùng đi qua một điểm hay không.
Trả lời:
Ta vẽ đường ba đường cao của tam giác \(ABC\) như hình vẽ
Ba đường cao đó là: \(AH, BI, CK\)
Dựa vào hình vẽ ta thấy ba đường cao của tam giác cùng đi qua một điểm.
2. Trả lời câu hỏi 2 trang 81 sgk Toán 7 tập 2
Hãy phát biểu và chứng minh các trường hợp còn lại của nhận xét trên (xem như những bài tập).
Trả lời:
♦ Bài tập 1:
Nếu một tam giác có một đường trung trực đồng thời là đường phân giác thì tam giác đó là một tam giác cân.
Xét \(ΔABC\) có \(AI\) vừa là đường trung trực vừa là đường phân giác
\(AI\) là đường trung trực của \(BC\) \( \Rightarrow \) \(AB = AC\) (Tính chất đường trung trực đoạn thẳng)
\( \Rightarrow ΔABC\) cân tại \(A\).
♦ Bài tập 2:
Nếu một tam giác có một đường trung trực đồng thời là đường cao thì tam giác đó là một tam giác cân.
Xét \(ΔABC\) có \(AI\) vừa là đường trung trực vừa là đường cao.
\(AI\) là đường trung trực của \(BC\) \( \Rightarrow \) \(AB = AC\) (Tính chất đường trung trực đoạn thẳng)
\( \Rightarrow ΔABC\) cân tại \(A\).
♦ Bài tập 3:
Nếu một tam giác có một đường phân giác đồng thời là đường cao thì tam giác đó là một tam giác cân.
Xét \(ΔABC\) có \(AI\) vừa là đường phân giác vừa là đường cao
\(AI\) là đường cao \( \Rightarrow AI ⊥ BC\)
Xét hai tam giác vuông \(ΔABI\) và \(ΔACI\) có:
+) \(AI\) chung
+) \(\widehat {BAI} = \widehat {CAI}\) (do \(AI\) là phân giác góc \(BAC\))
\( \Rightarrow ΔABI = ΔACI\) (góc nhọn – cạnh góc vuông)
\( \Rightarrow AB = AC \)(hai cạnh tương ứng)
\( \Rightarrow ΔABC\) cân tại \(A\).
♦ Bài tập 4:
Nếu một tam giác có một đường trung tuyến đồng thời là đường cao thì tam giác đó là một tam giác cân.
Xét \(ΔABC\) có \(AI\) vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao
\(AI\) là đường cao suy ra \(AI ⊥ BC\).
\(AI\) là đường trung tuyến \( \Rightarrow \) \(I\) là trung điểm \(BC\).
Do đó \(AI\) là đường trung trực của \(BC\)
\( \Rightarrow AB = AC\) (Tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)
\( \Rightarrow ΔABC\) cân tại \(A\).
Dưới đây là Hướng dẫn giải bài 58 59 60 61 62 trang 83 sgk toán 7 tập 2. Các bạn hãy đọc kỹ đầu bài trước khi giải nhé!
Luyện tập
Giaibaisgk.com giới thiệu với các bạn đầy đủ phương pháp giải bài tập phần hình học 7 kèm bài giải chi tiết bài 58 59 60 61 62 trang 83 sgk toán 7 tập 2 của 9. Tính chất ba đường cao của tam giác trong chương III – Quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác – Các đường đồng quy của tam giác cho các bạn tham khảo. Nội dung chi tiết bài giải từng bài tập các bạn xem dưới đây:
1. Giải bài 58 trang 83 sgk Toán 7 tập 2
Hãy giải thích tại sao trực tâm của tam giác vuông trùng với đỉnh góc vuông và trực tâm của tam giác tù nằm ở bên ngoài tam giác.
Bài giải:
♦ Trường hợp tam giác vuông:
Xét tam giác ABC vuông tại A thì BA ⊥ CA hay A là giao điểm của hai đường vuông góc trong tam giác ⇒ A trực tâm của tam giác.
Vậy trong tam giác vuông thì trực tâm trùng với đỉnh góc vuông.
♦ Trường hợp tam giác tù:
Giả sử tam giác ABC có góc A tù ⇒ BC là cạnh lớn nhất hay BC > BA.
Từ B kẻ đường thẳng BK vuông góc với CA. Ta có: KA, KC lần lượt là hình chiếu của BA, BC.
Vì BC > BA nên KC > KA hay K phải nằm ngoài đoạn thẳng AC. Do đó ta có đường cao BK như hình vẽ.
Tương tự với đường cao CP.
Gọi H là giao điểm của BK và CP ⇒ H chính là trực tâm của tam giác. Ta thấy H ở bên ngoài tam giác.
Vậy trực tâm của tam giác tù nằm ở bên ngoài tam giác đó.
2. Giải bài 59 trang 83 sgk Toán 7 tập 2
Cho hình 57.
a) Chứng minh $NS ⊥ LM$
b) Khi góc $LNP = 50^0$, hãy tính góc $MSP$ và góc $PSQ$.
Bài giải:
a) Trong $ΔNML$ có:
$LP ⊥ MN$ nên $LP$ là đường cao.
$MQ ⊥ NL$ nên $MQ$ là đường cao.
mà $PL ∩ MQ = {S}$
Suy ra $S$ là trực tâm của tam giác nên đường thẳng $SN$ chứa đường cao từ $N$ hay $SN ⊥ ML$.
b) $∆NMQ$ vuông tại $Q$ có \(\widehat{LNP} =50^0\) nên \(\widehat{QMN} =40^0\)
$∆MPS$ vuông tại $Q$ có \(\widehat{QMP}=40^0\) nên \(\widehat{MSP}=50^0\)
Suy ra \(\widehat{PSQ}=130^0\)
3. Giải bài 60 trang 83 sgk Toán 7 tập 2
Trên đường thẳng d, lấy ba điểm phân biệt I, J, K (J ở giữa I và K).
Kẻ đường thẳng l vuông góc với d tại J. Trên l lấy điểm M khác với điểm J. Đường thẳng qua I vuông góc với MK cắt l tại N.
Chứng minh KN ⊥ IM.
Bài giải:
Nối M với I ta được ΔMIK.
Trong ΔMIK có: MJ ⊥ IK (do l ⊥ d) và IN ⊥ MK
Do đó N là trực tâm của ΔMIK.
Suy ra KN là đường cao thứ ba của ΔMIK hay NK ⊥ IM (đpcm).
4. Giải bài 61 trang 83 sgk Toán 7 tập 2
Cho tam giác ABC không vuông. Gọi H là trực tâm của nó.
a) Hãy chỉ ra các đường cao của tam giác HBC. Từ đó hãy chỉ ra trực tâm của tam giác đó.
b) Tương tự, hãy lần lượt chỉ ra trực tâm của các tam giác HAB và HAC.
Bài giải:
Các đường thẳng HA, HB, HC lần lượt cắt cạnh đối BC, Ac, AB tại N, M, E.
a) ΔHBC có :
HN ⊥ BC nên HN là đường cao
BE ⊥ HC nên BE là đường cao
CM ⊥ BH nên CM là đường cao
Vậy A là trực tâm của ΔHBC.
b) Tương tự, trực tâm của ΔAHB là C; ΔAHC là B.
5. Giải bài 62 trang 83 sgk Toán 7 tập 2
Chứng minh rằng một tam giác có hai đường cao (xuất phát từ các đỉnh của hai góc nhọn) bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân. Từ đó suy ra một tam giác có ba đường cao bằng nhau thì tam giác đó là tam giác đều.
Bài giải:
♦ Hai đường cao bằng nhau:
Vẽ $BH ⊥ AC $và $CK ⊥ AB$
Xét hai tam giác vuông KBC và HCB có:
Cạnh BC chung
$BH = CK (gt)$
$\Rightarrow \Delta KBC = \Delta HCB$
$\Rightarrow \widehat{KBC}=\widehat{HCB}$
Xét tam giác ABC, có:
$\widehat{KBC}=\widehat{HCB}$ hay $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$
Vậy tam giác ABC cân tại A (đpcm)
♦ Ba đường cao bằng nhau:
Từ câu trên ta có:
Nếu BH = CK thì ΔABC cân tại A ⇒ AB = AC (1)
Nếu AI = BH thì ΔABC cân tại C ⇒ CA = CB (2)
Từ (1) và (2) ta có: AB = BC = AC
Vậy ΔABC là tam giác đều.
Bài trước:
Bài tiếp theo:
Xem thêm:
- Các bài toán 7 khác
- Để học tốt môn Vật lí lớp 7
- Để học tốt môn Sinh học lớp 7
- Để học tốt môn Ngữ văn lớp 7
- Để học tốt môn Lịch sử lớp 7
- Để học tốt môn Địa lí lớp 7
- Để học tốt môn Tiếng Anh lớp 7
- Để học tốt môn Tiếng Anh lớp 7 thí điểm
- Để học tốt môn Tin học lớp 7
- Để học tốt môn GDCD lớp 7
Chúc các bạn làm bài tốt cùng giải bài tập sgk toán lớp 7 với giải bài 58 59 60 61 62 trang 83 sgk toán 7 tập 2!
“Bài tập nào khó đã có giaibaisgk.com“