Nội Dung
Hướng dẫn giải Bài §1. Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng, Chương II. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song, sách giáo khoa Hình học 11. Nội dung bài giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 trang 53 54 sgk Hình học 11 bao gồm tổng hợp công thức, lý thuyết, phương pháp giải bài tập hình học có trong SGK để giúp các em học sinh học tốt môn toán lớp 11.
Lý thuyết
1. Mặt phẳng
Trang giấy, mặt bảng đen, mặt hồ lặng gió, mặt bàn… cho ta hình ảnh một phần của măt phẳng.
Một mặt phẳng hoàn toàn xác định khi biết:
Nó đi qua ba điểm không thẳng hàng.
Nó đi qua một điểm và một đường thẳng không đi qua điểm đó.
Nó chứa hai đường thẳng cắt nhau.
Các kí hiệu:
\(\left( {ABC} \right)\) là kí hiệu mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng \(A,B,C\).
\(\left( {M,d} \right)\) là kí hiệu mặt phẳng đi qua \(d\) và điểm \(M \notin d\).
\(\left( {{d_1},{d_2}} \right)\) là kí hiệu mặt phẳng xác định bởi hai đường thẳng cắt nhau \({d_1},{d_2}\).
2. Các tính chất thừa nhận
Tính chất 1: Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt.
Tính chất 2: Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng.
Tính chất 3: Nếu một đường thẳng có hai điểm chung phân biệt với một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng.
Tính chất 4: Tồn tại bốn điểm không cùng nằm trên một mặt phẳng.
Tính chất 5: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng đó.
Tính chất 6: Trên mỗi mặt phẳng, các kết quả đã biết trong hình học phẳng đều đúng.
3. Hình chóp và hình tứ diện
a) Hình chóp
Trong mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) cho đa giác lồi \({A_1}{A_2}…{A_n}\). Lấy điểm \(S\) nằm ngoài \(\left( \alpha \right)\).
Lần lượt nối \(S\) với các đỉnh \({A_1},{A_2},…,{A_n}\) ta được \(n\) tam giác \(S{A_1}{A_2},S{A_2}{A_3},…,S{A_n}{A_1}\). Hình gồm đa giác \({A_1}{A_2}…{A_n}\) và \(n\) tam giác \(S{A_1}{A_2},S{A_2}{A_3},…,S{A_n}{A_1}\)được gọi là hình chóp , kí hiệu là \(S.{A_1}{A_2}…{A_n}\).
Ta gọi \(S\) là đỉnh, đa giác \({A_1}{A_2}…{A_n}\) là đáy , các đoạn \(S{A_1},S{A_2},…,S{A_n}\) là các cạnh bên, \({A_1}{A_2},{A_2}{A_3},…,{A_n}{A_1}\) là các cạnh đáy, các tam giác \(S{A_1}{A_2},S{A_2}{A_3},…,S{A_n}{A_1}\) là các mặt bên…
b) Hình Tứ diện
Cho bốn điểm \(A,B,C,D\) không đồng phẳng. Hình gồm bốn tam giác \(ABC,ABD,\)
\(ACD\) và \(\left( {BCD} \right)\) được gọi là tứ diện \(ABCD\).
Dưới đây là phần Hướng dẫn trả lời các câu hỏi và bài tập trong mục hoạt động của học sinh trên lớp sgk Hình học 11.
Câu hỏi
1. Trả lời câu hỏi 1 trang 45 sgk Hình học 11
Hãy vẽ thêm một vài hình biểu diễn của hình chóp tam giác.
Trả lời:
Ta vẽ hình tham khảo sau đây:
2. Trả lời câu hỏi 2 trang 47 sgk Hình học 11
Tại sao người thợ mộc kiểm tra độ phẳng mặt bàn bằng cách rê thước trên mặt bàn? (h.2.11).
Trả lời:
Theo tính chất $3$, nếu đường thẳng là $1$ cạnh của thước có $2$ điểm phân biệt thuộc mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đó thuộc mặt phẳng bàn
Khi đó, nếu rê thước mà có $1$ điểm thuộc cạnh thước nhưng không thuộc mặt bàn thì bàn đó chưa phẳng và ngược lại.
3. Trả lời câu hỏi 3 trang 47 sgk Hình học 11
Cho tam giác $ABC, M$ là điểm thuộc phần kéo dài của đoạn thẳng $BC$ (h.2.12). Hãy cho biết $M$ có thuộc mặt phẳng $(ABC)$ không và đường thẳng $AM$ có nằm trong mặt phẳng $(ABC)$ không?
Trả lời:
$M ∈ BC$ mà $BC ∈ (ABC)$ nên $M ∈ (ABC)$
Vì $A ∈ (ABC)$ nên mọi điểm thuộc $AM$ đều thuộc $(ABC)$ hay $AM ∈ (ABC)$
4. Trả lời câu hỏi 4 trang 48 sgk Hình học 11
Trong mặt phẳng $(P)$, cho hình bình hành $ABCD$. Lấy điểm $S$ nằm ngoài mặt phẳng $(P)$. Hãy chỉ ra một điểm chung của hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$ khác điểm $S$ (h.2.15).
Trả lời:
Một điểm chung của hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$ khác điểm $S$ là điểm $I$
$I ∈ AC ∈ (SAC)$
$I ∈ BD ∈ (SBD)$
5. Trả lời câu hỏi 5 trang 48 sgk Hình học 11
Hình 2.16 đúng hay sai? Tại sao?
Trả lời:
Sai vì theo tính chất $2$, có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng
Theo hình vẽ lại có: ba điểm không thẳng hàng $M, L, K$ vừa thuộc $(ABC)$, vừa thuộc $(P)$ ⇒ vô lý.
6. Trả lời câu hỏi 6 trang 52 sgk Hình học 11
Kể tên các mặt bên, cạnh bên, cạnh đáy của hình chóp ở hình 2.24.
Trả lời:
♦ Hình chóp tam giác:
Các mặt bên: $(SAB), (SBC), (SAC)$
Các cạnh bên: $SA, SB, SC$
Các cạnh đáy: $AB, AC, BC$
♦ Hình chóp tứ giác:
Các mặt bên: $(SAB), (SBC), (SCD), (SAD)$
Các cạnh bên: $SA, SB, SC, SD$
Các cạnh đáy: $AB, BC, CD, DA$
Dưới đây là phần Hướng dẫn giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 trang 53 54 sgk Hình học 11. Các bạn hãy đọc kỹ đầu bài trước khi giải nhé!
Bài tập
Giaibaisgk.com giới thiệu với các bạn đầy đủ phương pháp giải bài tập hình học 11 kèm bài giải chi tiết bài 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 trang 53 54 sgk Hình học 11 của Bài §1. Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng trong Chương II. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song cho các bạn tham khảo. Nội dung chi tiết bài giải từng bài tập các bạn xem dưới đây:
1. Giải bài 1 trang 53 sgk Hình học 11
Cho điểm $A$ không nằm trong mặt phẳng $(α)$ chứa tam giác $BCD$. Lấy $E, F$ là các điểm lần lượt nằm trên các cạnh $AB, AC.$
a) Chứng minh đường thẳng $EF$ nằm trong mặt phẳng $(ABC).$
b) Khi $EF$ và $BC$ cắt nhau tại $I$, chứng minh $I$ là điểm chung của hai mặt phẳng $(BCD)$ và $(DEF).$
Bài giải:
Theo giả thiết ta vẽ được hình như sau:
a) Theo giả thiết, ta có $E ∈ AB$ và $F ∈ AC$
mà $3$ điểm $A,B, C$ tạo thành mặt phẳng $(ABC)$
⇒ $E, F ∈ (ABC) ⇒ EF ⊂ (ABC)$ (đpcm)
b) Do $EF ⊂ (ABC)$ (cmt)
mà $I ∈ EF ⇒ I ∈ (DEF)$ (đpcm)
2. Giải bài 2 trang 53 sgk Hình học 11
Gọi $M$ là giao điểm của đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(α)$. Chứng minh $M$ là điểm chung của $(α)$ với một mặt phẳng bất kì chứa $d$.
Bài giải:
Theo giả thiết ta có hình vẽ sau:
Gọi $(β)$ là mặt phẳng bất kì chứa $d$, ta có :
$M ∈ d$ mà $d ∈ (β) ⇒ M ∈ (β)$
Mặt khác, $M$ là giao điểm đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(α ) ⇒ M ∈ (α )$
Vậy $M$ là điểm chung của $(α)$ và mọi mặt phẳng $(β)$ chứa $d$.
3. Giải bài 3 trang 53 sgk Hình học 11
Cho ba đường thẳng $d_1, d_2, d_3$ không cùng nằm trong một mặt phẳng và cắt nhau từng đôi một. Chứng minh ba đường thẳng trên đồng quy.
Bài giải:
Gọi \({d_{1,}}{d_2},{d_3}\) là ba đường thẳng đã cho. Gọi \(I =d_1\cap d_2\) Ta chứng minh \(I ∈ d_3\)
Gọi $I = d_1 ∩ d_2$
Mặt phẳng là mặt phẳng tạo bởi $d_1$ và $d_3$
Mặt phẳng là mặt phẳng tạo bởi $d_2$ và $d_3$
Ta có:
$I ∈ d_1 ⇒ I ∈ (β)$
$I ∈ d_2⇒ I ∈ (ɣ)$
$⇒ I ∈ d_3$ (đpcm)
4. Giải bài 4 trang 53 sgk Hình học 11
Cho bốn điểm \(A, B, C\) và \(D\) không đồng phẳng. Gọi \({G_{A}}^{}\), \({G_{B}}^{}\), \({G_{C},{G_{D}}^{}}^{}\) lần lượt là trọng tâm của tam giác \(BCD, CDA, ABD, ABC\). Chứng minh rằng, \(A{G_{A},B{G_{B},C{G_{C},D{G_{D}}^{}}^{}}^{}}^{}\) đồng quy.
Bài giải:
Gọi $M$ là trung điểm của $CD$.
Ta có \( G_{A}\in BM, {G_{B}}\subset AM\). Gọi \( I = A{G_{A}}^{}\) \( \cap B{G_{B}}^{}\).
Dễ thấy \( \frac{M{G_{A}}^{}}{MB}\) = \( \frac{M{G_{B}}^{}}{MA} = \frac{1}{3}\)
⇒ \({G_{A}}^{}\) \({G_{B}}^{}\) $// AB$ và \( \frac{IA}{I{G_{A}}^{}}\) = \( \frac{AB}{{G_{A}{G_{B}}^{}}^{}}\) $= 3$
Tương tự, ta có \(C{G_{C}}^{},D{G_{D}}^{}\) cũng cắt \(A{G_{A}}^{}\) tại $I’, I”$
từ đó suy ra $ \frac{I’A}{I'{G_{A}}^{}} = 3, \frac{I”A}{I”{G_{A}}^{}} = 3$
$⇒ I ≡ I’ ≡ I”$
⇒ $G_{A}, G_{B}, G_{C}, G_{D}$ đồng quy (đpcm)
5. Giải bài 5 trang 53 sgk Hình học 11
Cho tứ giác $ABCD$ nằm trong mặt phẳng $(α)$ có hai cạnh $AB$ và $CD$ không song song. Gọi $S$ là điểm nằm ngoài mặt phẳng $(α)$ và $M$ là trung điểm đoạn $SC.$
a) Tìm giao điểm $N$ của đường thẳng $SD$ và mặt phẳng $(MAB)$
b) Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Chứng minh rằng ba đường thẳng $SO, AM, BN$ đồng quy.
Bài giải:
Theo giả thiết ta có hình vẽ sau:
a) Trong mặt phẳng $(α)$ vì $AB$ và $CD$ không song song nên $AB ∩ DC = E$
Trong $(SDC)$ đường thẳng $ME$ cắt $SD$ tại $N$
$⇒ N ∈ ME$ mà $ME ⊂ (MAB) ⇒ N ∈ ( MAB).$
Mặt khác $N ∈ SD ⇒ N = SD ∩ (MAB)$
b) $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$ ⇒ $O ∈( SAC), O ∈ (SBD)$
Mặt khác $S$ cũng là điểm chung của $(SAC)$ và $(SBD)$ ⇒ $(SAC) ∩ (SBD) = SO$
Trong mặt phẳng $(AEN)$ gọi $I = AM ∩ BN$ ⇒ $I ∈ AM$ và $I ∈ BN$
Mà $AM ⊂ (SAC) ⇒ I ∈ (SAC)$, $BN ⊂ ( SBD) ⇒ I ∈ (SBD).$
⇒ $I$ là điểm chung của $(SAC)$ và $(SBD)$
$⇒ I ∈ SO ⇒ S, I, O$ thẳng hàng hay $SO, AM, BN$ đồng quy. (đpcm)
6. Giải bài 6 trang 54 sgk Hình học 11
Cho bốn điểm $A, B, C$ và $D$ không đồng phẳng. Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng $AC$ và $BC$. Trên đoạn $BD$ lấy điểm $P$ sao cho $BP = 2PD$.
a) Tìm giao điểm của đường thẳng $CD$ và mặt phẳng $(MNP).$
b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(MNP)$ và $(ACD).$
Bài giải:
Theo giả thiết ta có hình vẽ sau:
a) Ta có : $\frac{BN}{CD} = \frac{1}{2}\neq \frac{BP}{DB} = \frac{2}{3}$
⇒ $NP$ và $CD$ không song song với nhau.
Gọi $I$ là giao của $NP$ và $CD$
$⇒ I ∈ NP ⇒ I ∈ (MNP)$ mà $I ∈ CD$
Vậy $I ∈ CD ∩ (MNP)$
b) Gọi $J = AD ∩ MI$
$J ∈ AD ⇒ J ∈ (ACD)$
$J ∈ MI ⇒ J ∈ (MNP)$
⇒ $J$ là một điểm chung của hai mặt phẳng $(ACD)$ và $(MNP).$
Mặt khác ta có $M$ là một điểm chung của hai mặt phẳng $(ACD)$ và $(MNP)$.
Vậy MJ = (ACD) ∩ (MNP).
7. Giải bài 7 trang 54 sgk Hình học 11
Cho bốn điểm $A, B, C$ và $D$ không đồng phẳng. Gọi $I, K$ lần lượt là trung điểm của hai đoạn thẳng $AD$ và $BC$
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (IBC) và (KAD)
b) Gọi $M$ và $N$ là hai điểm lần lượt lấy trên hai đoạn thẳng $AB$ và $AC$. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(IBC)$ và $(DMN)$
Bài giải:
Từ giả thiết ta có hình sau:
a) $K ∈ BC ⇒ K ∈ (IBC)$
$I ∈ AD ⇒ I ∈ (KAD)$
mà $K ∈ (KAD)$ và $I ∈ (IBC)$
$⇒ KI = (IBC) ∩ (KAD)$
b) Trong mặt phẳng $(ABD)$ ta có:
$BI ∩ DM = F ⇒ F ∈ (IBC) ∩ (DMN)$
$CI ∩ DN = E ⇒ E ∈ (IBC) ∩ (DMN)$
Vậy $(IBC) ∩ (DMN) = FE$
8. Giải bài 8 trang 54 sgk Hình học 11
Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB$ và $CD$, trên cạnh $AD$ lấy điểm $P$ không trùng với trung điểm của $AD$.
a) Gọi $E$ là giao điểm của đường thẳng $MP$ và đường thẳng $BD$. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(PMN)$ và $(BCD).$
b) Tìm giao điểm của hia mặt phẳng $(PMN)$ và $BC$.
Bài giải:
Từ giả thiết ta có hình sau:
a) Trong mặt phẳng $(ABD)$ ta có $MP ∩ BD = E.$
$E ∈ MP ⇒ E ∈ (PMN)$
$E ∈ BD ⇒ E ∈ (BCD)$
$⇒ E ∈ (PMN) ∩ (BCD)$
Vậy $EN = (PMN) ∩ (BCD)$
b) Trong mặt phẳng (BCD) ta có:
$EN ∩ BC = Q$. Mà $(PMN) ≡ (MEN) ≡ (MEQ)$
$Q ∈ (MEQ) ≡ ( PMN)$
Mặt khác $Q ∈ BC ⇒ Q = BC ∩ (PMN).$
9. Giải bài 9 trang 54 sgk Hình học 11
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành $ABCD$. Trong mặt phẳng đáy vẽ đường thẳng d đi qua $A$ và không song song với các cạnh của hình bình hành, $d$ cắt đoạn $BC$ tại $E$. Gọi $C’$ là một điểm nằm trên cạnh $SC$.
a) Tìm giao điểm $M$ của $CD$ và mặt phẳng $(C’AE)$
b) Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng $(C’AE)$
Bài giải:
Từ giả thiết ta có hình sau:
a) Trong mặt phẳng $(ABCD)$ có $d$ cắt $CD$ tại $M$:
$⇒ M ∈ CD$ và $M ∈ d$
mà $d ⊂ (C’AE) ⇒ M ∈ (C’AE)$
Vậy $M$ là giao điểm của $CD$ và mặt phẳng $(C’AE).$
b) Trong mặt phẳng $(SCD), MC’$ cắt $SD$ tại $F.$
$⇒ F ∈ C’M$ mà $C’M ⊂ (C’AE)$
$⇒ F ∈ (C’AE)$
Mặt khác $F ∈ SD$
⇒ Thiết diện của hình chóp $S.ABCD$ cắt bởi $mp(C’AE)$ là tứ giác $AFC’E.$
10. Giải bài 10 trang 54 sgk Hình học 11
Cho hình chóp $S. ABCD$ có $AB$ và $CD$ không song song. Gọi $M$ là một điểm thuộc miền trong của tam giác $SCD$
a) Tìm giao điểm $N$ của đường thẳng $CD$ và mặt phẳng $(SBM)$
b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(SBM)$ và $(SAC)$
c) Tìm giao điểm $I$ của đường thẳng $BM$ và mặt phẳng $(SAC)$
d) Tìm giao điểm$ P$ của $SC$ và mặt phẳng $(ABM)$, từ đó suy ra giao tuyến của hai mặt phẳng $(SCD)$ và $(ABM)$
Bài giải:
Theo giả thiết ta có hình vẽ sau:
a) Gọi $N$ là giao điểm của $SM$ và $CD:$
$⇒ N ∈ SM$ mà $SM ⊂ (SBM) ⇒ N ∈ (SBM)$
Vậy $N = CD ∩ (SBM)$.
b) Trong mặt phẳng $(ABCD), BN$ và $AC$ cắt nhau tại điểm $O.$
$O ∈ BN ⇒ O ∈ (SBM)$
$O ∈ AC ⇒ O ∈ (SAC)$
⇒ $O$ là một điểm chung của mặt phẳng $(SBM)$ và $(SAC).$
Mặt khác ta cũng có $S$ cũng là một điểm chung của $(SBM)$ và $(SAC).$
$⇒ SO = (SBM) ∩ (SAC).$
c) Trong mặt phẳng $(SBM)$ ta có $I = BM ∩ SO$
Ta có: $I ∈ SO ⇒ I ∈ (SAC).$
Vậy $I = BM ∩ (SAC).$
d) Trong mặt phẳng $(SAC), P = AI ∩ SC$,
$⇒ P ∈ SC$ và $P ∈ AI.$
$⇒ P ∈ (ABM)$ hay $P = (ABM) ∩ SC.$
Trong mặt phẳng $(SCD), PM ∩ SD = Q,$
$⇒ Q ∈ SD; Q ∈ PM$ ⇒ $PM ∈ (ABM)$
$⇒ Q ∈ (BM)$ hay $Q = (ABM) ∩ SD.$
Vậy: $(SCD) ∩ (ABM) = PQ.$
Bài trước:
Bài tiếp theo:
Xem thêm:
- Các bài toán 11 khác
- Để học tốt môn Vật lí lớp 11
- Để học tốt môn Sinh học lớp 11
- Để học tốt môn Ngữ văn lớp 11
- Để học tốt môn Lịch sử lớp 11
- Để học tốt môn Địa lí lớp 11
- Để học tốt môn Tiếng Anh lớp 11
- Để học tốt môn Tiếng Anh lớp 11 thí điểm
- Để học tốt môn Tin học lớp 11
- Để học tốt môn GDCD lớp 11
Chúc các bạn làm bài tốt cùng giải bài tập sgk toán lớp 11 với giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 trang 53 54 sgk Hình học 11!
“Bài tập nào khó đã có giaibaisgk.com“