Giải bài 1 2 3 trang 59 60 sgk Hình học 11

Hướng dẫn giải Bài §2. Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song, Chương II. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song, sách giáo khoa Hình học 11. Nội dung bài giải bài 1 2 3 trang 59 60 sgk Hình học 11 bao gồm tổng hợp công thức, lý thuyết, phương pháp giải bài tập hình học có trong SGK để giúp các em học sinh học tốt môn toán lớp 11.


Lý thuyết

1. Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian

Cho hai đường thẳng \(a\) và \(b\) trong không gian. Có các trường hợp sau đây xảy ra đối với \(a\) và \(b\):

♦ Trường hợp 1: Có một mặt phẳng chứa cả \(a\) và \(b,\) khi đó theo kết quả trong hình học phẳng ta có ba khả năng sau:

\(a\) và \(b\) cắt nhau tại điểm \(M\), ta kí hiệu \(a \cap b = M.\)

\(a\) và \(b\) song song với nhau, ta kí hiệu \(a//b\).

\(a\) và \(b\) trùng nhau, ta kí hiệu \(a \equiv b\).

♦ Trường hợp 2: Không có mặt phẳng nào chứa cả \(a\) và \(b\), khi đó ta nói \(a\) và \(b\) là hai đường thẳng chéo nhau.

2. Các định lí và tính chất

Trong không gian, qua một điểm cho trước không nằm trên đường thẳng \(a\) có một và chỉ một đường thẳng song song với \(a\).

Nếu ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến thì ba giao tuyến đó hoặc đồng qui hoặc đôi một song song.

Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.

Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì chúng song song.

Dưới đây là phần trả lời các câu hỏi và bài tập trong mục hoạt động của học sinh trên lớp sgk Hình học 11.


Câu hỏi

1. Trả lời câu hỏi 1 trang 55 sgk Hình học 11

Quan sát các cạnh tường trong lớp học và xem cạnh tường là hình ảnh của đường thẳng. Hãy chỉ ra một số cặp đường thẳng không thể cùng thuộc một mặt phẳng.

Trả lời:

Các em tự quan sát trong lớp học của mình nhé!


2. Trả lời câu hỏi 2 trang 56 sgk Hình học 11

Cho tứ diện $ABCD$, chứng minh hai đường thẳng $AB$ và $CD$ chéo nhau. Chỉ ra cặp đường thẳng chéo nhau khác của tứ diện này (h.2.29).

Trả lời:

Không tìm được mặt phẳng nào chứa $AB$ và $CD ⇒ AB$ và $CD$ chéo nhau.

Các cặp đường thẳng chéo nhau khác của tứ diện này: $AC$ và $BD, BC$ và $AD$.


3. Trả lời câu hỏi 3 trang 57 sgk Hình học 11

Cho hai mặt phẳng $α$ và $β$. Một mặt phẳng $λ$ cắt $α$ và $β$ lần lượt theo các giao tuyến $a$ và $b$. Chứng minh rằng khi $a$ và $b$ cắt nhau tại $I$ thì $I$ là điểm chung của $α$ và $β$. (h.2.32).

Trả lời:

$a$ và $b$ cắt nhau tại $I$:

$I ∈ a ∈ α$ (vì $a$ là giao tuyến của $α$ và $λ$)

$I ∈ b ∈ β$ (vì $b$ là giao tuyến của $β$ và $λ$)

Nên $I$ là điểm chung của $α$ và $β$

Dưới đây là phần Hướng dẫn giải bài 1 2 3 trang 59 60 sgk Hình học 11. Các bạn hãy đọc kỹ đầu bài trước khi giải nhé!


Bài tập

Giaibaisgk.com giới thiệu với các bạn đầy đủ phương pháp giải bài tập hình học 11 kèm bài giải chi tiết bài 1 2 3 trang 59 60 sgk Hình học 11 của Bài §2. Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song trong Chương II. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song cho các bạn tham khảo. Nội dung chi tiết bài giải từng bài tập các bạn xem dưới đây:

Giải bài 1 2 3 trang 59 60 sgk Hình học 11
Giải bài 1 2 3 trang 59 60 sgk Hình học 11

1. Giải bài 1 trang 59 sgk Hình học 11

Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $P, Q, R, S$ là bốn điểm lần lượt lấy trên bốn cạnh $AB, BC, CD, DA$. Chứng minh rằng nếu bốn điểm $P, Q, R, S$ đồng phẳng thì

a) Ba đường thẳng $PQ, SR, AC$ hoặc song song hoặc đồng quy;

b) Ba đường thẳng $PS, RQ, BD$ hoặc song song hặc đồng quy.

Bài giải:

Theo giả thiết ta được hình sau:

a) Ta có:

$PQ = (ABC) ∩ (PQRS)$

$RS = (PQRS) ∩ (ACD)$

$AC = (ABC) ∩ (ACD)$

⇒ B mặt phẳng $(ABC); (PQRS); (ACD)$ đôi một cắt nhau.

⇒ $PQ, RS, AC$ đồng qui hoặc $PQ // RS // AC$.

b) Chứng minh tương tự câu a)

Chứng minh tương tự ta được ba đường thẳng $PS, RQ$, và $BD$ hoặc song song hoặc đồng qui.


2. Giải bài 2 trang 59 sgk Hình học 11

Cho tứ diện $ABCD$ và ba điểm $P, Q, R$ lần lượt trên ba cạnh $AB, CD, BC$. Tìm giao điểm $S$ của $AD$ và mặt phẳng $(PQR)$ trong hai trường hợp sau đây.

a) $PR$ song song với $AC$

b) $PR$ cắt $AC$

Bài giải:

a) Theo giả thiết ta có hình vẽ sau:

Nếu $PR // AC$ thì $( PRQ) ∩ (ACD) = QS // CA ( S ∈ AD)$

b) Theo giả thiết ta có hình vẽ sau:

Nếu $PR ∩ AC = I$ thì trong $(ACD)$ kéo dài $IQ$ cắt $AD$ tại $S$


3. Giải bài 3 trang 60 sgk Hình học 11

Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung đểm của các cạnh $AB, CD$ và $G$ là trung điểm của đoạn $MN$

a) Tìm giao điểm $A’$ của đường thẳng $AG$ và mặt phẳng $(BCD)$

b) Qua $M$ kẻ đường thẳng $Mx$ song song với $AA’$ và $Mx $cắt $(BCD)$ tại $M’$. Chứng minh $B, M’, A’$ thẳng hàng và $BM’ = M’A’ = A’N$

c) Chứng minh $GA = 3 GA’$

Bài giải:

Theo giả thiết ta có hình vẽ sau:

a) Trong mặt phẳng $(ABN)$, gọi $A’ = AG ∩ BN$.

Mà $BN$ lại thuộc mặt phẳng $(BCD)$

⇒ $A’ = AG ∩ (BCD)$

b) Chứng minh $B, M’, A’$ thẳng hàng:

Từ $M$ kẻ đường thẳng $Mx$ song song với $AA’.$

$Mx ⊂ (ABN)$ và $Mx ∩ BN = M’$

⇒ $M’$ thuộc $BN$

⇒ $B, M’,A’$ thẳng hàng (đpcm)

Chứng minh $BM’ = M’A’ = A’N$

MM’ là đường trung bình của tam giác $ABA’$ nên $BM’ = M’A’$ (1)

$GA’$ là đường trung bình của tam giác $MM’N$ nên $M’A’ = A’N$(2)

⇒ $\frac{A’B}{BN} = \frac{2}{3}$

$BN$ là đường trung tuyến và $\frac{A’B}{BN} = \frac{2}{3}$

⇒ $A’$ là trọng tâm tam giác $∆BCD$

$⇒ BM’ = M’A’ = A’N$ (đpcm)

c) Áp dụng chứng minh câu b ta có:

$∆ MM’N$ có $2GA’ = MM’$

$∆ BAA’$ có $2MM’ = AA’$

$⇒ GA = 3GA’.$


Bài trước:

Bài tiếp theo:


Xem thêm:

Chúc các bạn làm bài tốt cùng giải bài tập sgk toán lớp 11 với giải bài 1 2 3 trang 59 60 sgk Hình học 11!


“Bài tập nào khó đã có giaibaisgk.com