Hướng dẫn Giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 trang 97 98 sgk Hình học 11

Nội Dung

Hướng dẫn giải Bài §2. Hai đường thẳng vuông góc, Chương III. Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc trong không gian, sách giáo khoa Hình học 11. Nội dung bài giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 trang 97 98 sgk Hình học 11 bao gồm tổng hợp công thức, lý thuyết, phương pháp giải bài tập hình học có trong SGK để giúp các em học sinh học tốt môn toán lớp 11.

Lý thuyết

1. Góc giữa hai vectơ

Cho $\vec u$ và $\vec v$ là hai vectơ trong không gian. Từ một điểm A bất kì vẽ $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow u ,\overrightarrow {AC} = \overrightarrow v$. Khi đó ta gọi góc $\widehat {BAC}(0 \le \widehat {BAC} \le {180^0})$ là góc giữa hai vecto vectơ $\vec u$ và $\vec v$, kí hiệu là $\left ( \vec u ;\vec v \right )$. Ta có: $\left ( \vec u ;\vec v \right )=\widehat {BAC}$.

2. Tích vô hướng của hai vectơ

a) Định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ

Tích vô hướng của hai vectơ $\vec u$ và $\vec v$ đều khác vectơ-không là một số được kí hiệu là $\vec u .\vec v$ xác dịnh bởi:

$\overrightarrow u .\overrightarrow v = \left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|.c{\rm{os(}}\overrightarrow {\rm{u}} .\overrightarrow v )$

Nếu $\vec u= \vec0$ hoặc $\vec v= \vec0$ thì ta quy ước $\vec u.\vec v=0.$

b) Tính chất tích vô hướng của hai vectơ

Với ba vectơ $\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c$ trong không gian và với mọi số k ta có:

$\overrightarrow a .\overrightarrow b = \overrightarrow b .\overrightarrow a$ (tính chất giao hoán).

$\overrightarrow a (\overrightarrow b + \overrightarrow c ) = \overrightarrow a .\overrightarrow b + \overrightarrow a .\overrightarrow c$ (tính chất phân phối).

$(k.\overrightarrow a ).\overrightarrow b = k.(\overrightarrow a .\overrightarrow b ) = \overrightarrow a .k\overrightarrow b .$

${\overrightarrow a ^2} \ge 0,{\overrightarrow a ^2} = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow a = \overrightarrow 0.$

c) Ứng dụng của tích vô hướng

Xác định góc giữa hai vectơ $\vec u$ và $\vec v$ bằng $c{\rm{os(}}\overrightarrow {\rm{u}} .\overrightarrow v )$ theo công thức: $c{\rm{os(}}\overrightarrow {\rm{u}} .\overrightarrow v ) = \frac{{\overrightarrow u .\overrightarrow v }}{{\left| {\overrightarrow u } \right|\left| {\overrightarrow v } \right|}}$.

3. Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Vectơ $\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0$ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$ nếu giá của vectơ $\overrightarrow a$ song song hoặc trùng với đường thẳng $d$.

Nếu $\overrightarrow a$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng d thì vectơ $k\overrightarrow a$ với $k \ne 0$ cũng là một vectơ chỉ phương của d.

Một đường thẳng d trong không gian hoàn toàn xác định được nếu biết một điểm A thuộc d và một vectơ chỉ phương $\overrightarrow a$ của d.

4. Góc giữa hai đường thẳng

Góc giữa hai đường thẳng $a$ và $b$ trong không gian là góc giữa hai đường thẳng $a’$ và $b’$ cùng đi qua một điểm bất kì lần lượt song song với $a$ và $b$.

5. Hai đường thẳng vuông góc

a) Định nghĩa

Hai đường thẳng $a$ và $b$ gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng $90^0$. Ta kí hiệu là: $b \bot a$ hoặc $a \bot b.$

b) Tính chất

Nếu $\vec u$ và $\vec v$ lần lượt là các vectơ chỉ phương của hai đường thẳng a và b thì: $a \bot b \Leftrightarrow \overrightarrow u .\overrightarrow v = 0.$

Cho hai đường thẳng song song. Nếu một đường thẳng vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.

Hai đường thẳng vuông góc nhau thì có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.

Dưới đây là phần trả lời các câu hỏi và bài tập trong mục hoạt động của học sinh trên lớp sgk Hình học 11.

Câu hỏi

1. Trả lời câu hỏi 1 trang 93 sgk Hình học 11

Cho tứ diện đều ABCD có H là trung điểm của cạnh AB. Hãy tính góc giữa các cặp vectơ sau đây:

a) $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {BC}$

b) $\overrightarrow {CH}$ và $\overrightarrow {AC}$

Trả lời:

Tứ diện $ABCD$ đều có các mặt là tam giác đều:

a) Góc giữa $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {BC}$ là góc $\alpha $ và $\alpha = {180^0} – {60^0} = {120^0}$

b) Góc giữa $\overrightarrow {CH}$ và $\overrightarrow {AC}$ là góc $\beta $

H là trung điểm cạnh AB của tam giác đều ABC nên CH vừa là trung tuyến vừa là đường cao nên CH ⊥ AB

Xét tam giác vuông ACH tại H có $\widehat {ACH} + \widehat {CAH} = {90^0} $ $\Rightarrow \widehat {ACH} = {90^0} – {60^0} = {30^0}$

Nên $\beta = {180^0} – {30^0} = {150^0}$

2. Trả lời câu hỏi 2 trang 94 sgk Hình học 11

Cho hình lập phương $ABCD.A’B’C’D’$

a) Hãy phân tích các vecto $\overrightarrow {AC’} ;\,\overrightarrow {BD} $ theo ba vecto $\overrightarrow {AB} ;\,\overrightarrow {AD} ;\,\overrightarrow {{\rm{AA}}} {\rm{‘}}$

b) Tính cos ($\overrightarrow {AC’} ;\,\overrightarrow {BD} $) và từ đó suy ra $\overrightarrow {AC’} ;\,\overrightarrow {BD} $ vuông góc với nhau

Trả lời:

Ta có:

\(\eqalign{
& a)\, \cr
& \overrightarrow {AC’} = \overrightarrow {AC} {\rm{ + }}\overrightarrow {{\rm{AA}}} {\rm{‘}}\,{\rm{ = }}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {{\rm{AA}}} {\rm{‘}} \cr
& \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AD} – \overrightarrow {AB} \cr
& b) \cr
& \cos (\overrightarrow {AC’} ,\overrightarrow {BD} ) = {{\overrightarrow {AC’} .\overrightarrow {BD} } \over {|\overrightarrow {AC’} |.|\overrightarrow {BD} |}} \cr
& \overrightarrow {AC’} ,\overrightarrow {BD} = (\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {{\rm{AA’}}} ).(\overrightarrow {AD} – \overrightarrow {AB} ) \cr
& = (\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {{\rm{AA’}}} ).\overrightarrow {AD} – (\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {{\rm{AA’}}} ).\overrightarrow {AB} \cr
& = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {{\rm{AA’}}} .\overrightarrow {AD} – \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AB} – \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB} – \overrightarrow {{\rm{AA’}}} .\overrightarrow {AB} \cr} \)

Hình lập phương$ ABCD.A’B’C’D’$ nên $AB, AD, AA’$ đôi một vuông góc với nhau.

$\eqalign{
& (1) = \overrightarrow 0 + \overrightarrow {A{D^2}} + \overrightarrow 0 – \overrightarrow {A{B^2}} – \overrightarrow 0 – \overrightarrow 0 = 0\,\,(AB = AD) \cr
& \Rightarrow \cos (\overrightarrow {AC’} ,\overrightarrow {BD} ) = {{\overrightarrow {AC’} .\overrightarrow {BD} } \over {|\overrightarrow {AC’} |.|\overrightarrow {BD} |}} = {{\overrightarrow 0 } \over {\overrightarrow {AC’} ,\overrightarrow {BD} }} = 0 \cr
& \Rightarrow (\overrightarrow {AC’} ,\overrightarrow {BD} ) = {90^0} \cr} $

Vậy hai vecto trên vuông góc với nhau.

3. Trả lời câu hỏi 3 trang 95 sgk Hình học 11

Cho hình lập phương $ABCD.A’B’C’D’$. Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau đây:

a) $AB$ và $B’C’$

b) $AC$ và $B’C’$

c) $A’C’$ và $B’C$

Trả lời:

a) Góc giữa $AB$ và $B’C’ =$ góc giữa $AB$ và $BC$ (vì $B’C’//BC$)

⇒ Góc giữa $AB$ và $B’C’ =$ $\widehat {ABC} = {90^0}$

b) Góc giữa $AC$ và$ B’C’ = $ góc giữa $AC$ và $BC$ (vì $B’C’//BC$)

⇒ Góc giữa $AC$ và $B’C’ =$ $\widehat {ACB} = {45^0}$

c) Góc giữa $A’C$’ và $B’C =$ góc giữa $AC$ và $B’C$ (vì $A’C’//AC$)

$ΔACB’$ đều vì $AC = B’C = AB’$ (đường chéo của các hình vuông bằng nhau)

⇒ Góc giữa $A’C’$ và $B’C =$ $\widehat {ACB’} = {60^0}$

4. Trả lời câu hỏi 4 trang 97 sgk Hình học 11

Cho hình lập phương $ABCD.A’B’C’D’$. Hãy nêu tên các đường thẳng đi qua hai đỉnh của hình lập phương đã cho và vuông góc với:

a) đường thẳng $AB$.

b) đường thẳng $AC$.

Trả lời:

a) Đường thẳng đi qua hai đỉnh của hình lập phương đã cho và vuông góc với đường thẳng $AB$ là:

$AD, A’D’, BC, B’C’, AA’, BB’, CC’, DD’.$

b) Đường thẳng đi qua hai đỉnh của hình lập phương đã cho và vuông góc với đường thẳng $AC$ là:

$BD, B’D’, AA’, BB’, CC’, DD’.$

5. Trả lời câu hỏi 5 trang 97 sgk Hình học 11

Tìm những hình ảnh trong thực tế minh họa cho sự vuông góc của hai đường thẳng trong không gian (trường hợp cắt nhau và trường hợp chéo nhau)

Trả lời:

Trường hợp cắt nhau: hai cạnh liền nhau của bàn, hai cạnh liền nhau của cửa sổ,…

Trường hợp chéo nhau: bóng đèn tuyp trên tường tạo ra 1 đường thẳng vuông góc với cạnh của mặt tường bên cạnh,…

Dưới đây là phần Hướng dẫn giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 trang 97 98 sgk Hình học 11. Các bạn hãy đọc kỹ đầu bài trước khi giải nhé!

Bài tập

Giaibaisgk.com giới thiệu với các bạn đầy đủ phương pháp giải bài tập hình học 11 kèm bài giải chi tiết bài 1 2 3 4 5 6 7 8 trang 97 98 sgk Hình học 11 của Bài §2. Hai đường thẳng vuông góc trong Chương III. Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc trong không gian trong mặt phẳng cho các bạn tham khảo. Nội dung chi tiết bài giải từng bài tập các bạn xem dưới đây:

Giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 trang 97 98 sgk Hình học 11

1. Giải bài 1 trang 97 sgk Hình học 11

Cho hình lập phương $ABCD.EFGH$. Hãy xác định góc giữa các cặp vectơ sau đây:

a) $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{EG};$

b) $\overrightarrow{AF}$ và $\overrightarrow{EG};$

c) $\overrightarrow{EG}$ và $\overrightarrow{DH}.$

Bài giải:

a) Góc giữa $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{EG}$.

Ta có:

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{EF}$ ⇒ $\left ( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{EG} \right )=\left ( \overrightarrow{EF},\overrightarrow{EG} \right )=\widehat{FEG}$

Vì $EFGH$ là hình vuông, EG là một đường chéo ⇒ $\widehat{FEG}=45^0$

Vậy $\left ( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{EG} \right )=45^0$.

b) Góc giữa $\overrightarrow{AF},\overrightarrow{EG}$.

Ta có:

$\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{GD}$ ⇒ $\left ( \overrightarrow{AF},\overrightarrow{EG} \right )=\left ( \overrightarrow{GD},\overrightarrow{EG} \right )=\widehat{EGD}$

Vì $EFGH,CDHG,AEHD$ là các hình vuông bằng nhau lần lượt có các đường chéo $EG,GD,ED$

⇒ $EG=GD=ED$

⇒ $\Delta EDG$ là tam giác đều

⇒ $\widehat{EGD}=60^0$

Vậy $\overrightarrow{AF},\overrightarrow{EG}=60^0$.

c) Góc giữa $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{DH}$.

Ta có:

$\overrightarrow{DH}=\overrightarrow{AE}$ ⇒ $\left ( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{DH} \right )=\left ( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AE} \right )=\widehat{EAB}$

Mà $\widehat{EAB}=90^0$ (do $AEFB$ là hình vuông)

Vậy $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{DH}=90^0$.

2. Giải bài 2 trang 97 sgk Hình học 11

Cho hình tứ diện $ABCD$.

a) Chứng minh rằng: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC}=0.$

b) Từ đẳng thức trên hãy suy ra rằng nếu tứ diện $ABCD$ có $AB ⊥ CD$ và $AC ⊥ DB$ thì $AD ⊥ BC$.

Bài giải:

a) Ta có:

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}.(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC})$

⇒ $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{AC}.(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD})$

⇒ $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AD}$

$\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}.(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})$

⇒ $\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AB}$

Cộng từng vế ba đẳng thức trên ta được:

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC}=0$

b) Ta có:

$AB ⊥ CD \Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=0,$

$AC ⊥ DB \Rightarrow \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DB}=0$

Từ đẳng thức câu a):

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC}=0$

Ta có:

$\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC}=0\Rightarrow AD ⊥ BC$.

3. Giải bài 3 trang 97 sgk Hình học 11

a) Trong không gian nếu hai đường thẳng $a$ và $b$ cùng vuông góc với đường thẳng $c$ thì $a$ và $b$ có song song với nhau không?

b) Trong không gian nếu đường thẳng $a$ vuông góc với đường thẳng $b$ và đường thẳng $b$ vuông góc với đường thẳng $c$ thì $a$ có vuông góc với $c$ không?

Bài giải:

a) Trong không gian nếu hai đường thẳng $a$ và $b$ cùng vuông góc với đường thẳng $c$ thì chưa chắc $a$ và $b$ song song với nhau. Vì $a$ và $b$ có thể cắt nhau hoặc có thể chéo nhau.

b) Trong không gian nếu $a \perp b$ và $b \perp c$ thì $a$ và $c$ chưa chắc vuông góc với nhau. Vì $a$ và $c$ có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.

4. Giải bài 4 trang 98 sgk Hình học 11

Trong không gian cho hai tam giác đều $ABC$ và $ABC’$ có chung cạnh $AB$ và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi $M, N, P, Q$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AC, CB, B’C, C’A,$ Chứng minh rắng:

a) $AB ⊥ CC’$;

b) Tứ giác $MNPQ$ là hình chữ nhật.

Bài giải:

Đặt $AB=a$

a) Ta có:

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CC’}=\overrightarrow{AB}.(\overrightarrow{AC’}-\overrightarrow{AC})=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC’}-\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC})$

mà: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC’}=AB.AC’.cos\widehat{BAC’}=a.a.cos60^0$

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB.AC.cos\widehat{BAC}=a.a.cos60^0$

⇒ $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CC’}=a.a.cos60^0-a.a.cos60^0=0$

$\Rightarrow AB ⊥ CC’$.

b) Theo giả thiết $Q,P$ là trung điểm của $AC’,BC’$ do đó $QP$ là đường trung bình của tam giác $ABC’$

Suy ra: $QP//AB,QP={1\over 2}AB$ (1)

Chứng minh tương tự ta có:

$PN//CC’,PN={1\over 2}CC’$

$MN//AB,MN={1\over 2}AB$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $MN//QP,MN=QP$. Do đó $MNPQ$ là hình bình hành.

Ta có: $MN//AB$, $PN//CC’$ mà $AB\bot CC’$ do đó $MN\bot NP$

Hình bình hành $MNPQ$ có một góc vuông nên $MNPQ$ là hình chữ nhật.

5. Giải bài 5 trang 98 sgk Hình học 11

Cho hình chóp tam giác $S.ABC$ có $SA = SB = SC$ và có $\widehat{ABC}= \widehat{BSC}=\widehat{CSA}.$ Chứng minh rằng $SA ⊥ BC, SB ⊥ AC, SC ⊥ AB$.

Bài giải:

Đặt $SA=SB=SC=a$, $\widehat{ABC}= \widehat{BSC}=\widehat{CSA}=\alpha $

Ta có:

$\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{SA}.(\overrightarrow{SC}-\overrightarrow{SB})$

$=\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SC}-\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SB}$

$= SA.SC.\cos\widehat{ASC} – SA.SB.\cos\widehat{ASB} = a.a.cos\alpha -a.a.cos\alpha =0$.

Vậy $SA ⊥ BC$.

Ta có:

$\overrightarrow{SB}.\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{SB}.(\overrightarrow{SC}-\overrightarrow{SA})$

$=\overrightarrow{SB}.\overrightarrow{SC}-\overrightarrow{SB}.\overrightarrow{SA}$

$= SB.SC.\cos\widehat{BSC} – SB.SA.\cos\widehat{ASB} = a.a.cos\alpha -a.a.cos\alpha =0$.

Vậy $SB ⊥ AC$.

Ta có:

$\overrightarrow{SC}.\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{SC}.(\overrightarrow{SB}-\overrightarrow{SA})$

$=\overrightarrow{SC}.\overrightarrow{SB}-\overrightarrow{SC}.\overrightarrow{SA}$

$= SC.SB.\cos\widehat{BSC} – SC.SA.\cos\widehat{ASC} = a.a.cos\alpha -a.a.cos\alpha =0$.

Vậy $SC ⊥ AB$.

6. Giải bài 6 trang 98 sgk Hình học 11

Trong không gian cho hai hình vuông $ABCD$ và $ABC’D’$ có chung cạnh $AB$ và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau, lần lượt có tâm $O$ và $O’$. Chứng minh rằng $AB ⊥ OO’$ và tứ giác $CDD’C’$ là hình chữ nhật.

Bài giải:

Gọi cạnh của hai hình vuông bằng nhau ABCD và ABC’D” là $a$.

Ta có:

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{OO’}=\overrightarrow{AB}.(\overrightarrow{AO’}-\overrightarrow{AO})$

$=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AO’}-\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AO}$

$=AB.AO’.cos\widehat{ABO’}-AB.AO.cos\widehat{ABO}$

$= a.a.\cos45^{0} – a.a.\cos45^{0}$

$= 0$.

Vậy $AB ⊥ OO’$.

Ta có:

$\overrightarrow{CD}.\overrightarrow{CC’}=\overrightarrow{CD}.(\overrightarrow{AC’}-\overrightarrow{AC})$

$=\overrightarrow{CD}.\overrightarrow{AC’}-\overrightarrow{CD}.\overrightarrow{AC}$

$=CD.AC’.cos\widehat{AC’D}-CD.AC.cos\widehat{AC’D’}$

$= a.a.\cos45^{0} – a.a.\cos45^{0}$ $= 0$.

⇒ $CD \perp CC’$ (1)

Mặt khác: $CD$ song song và bằng $C’D’$ (do $ABCD$ và $ABC’D’$ là hai hình vuông bằng nhau)

⇒ $CDD’C’$ là hình bình hành (2)

Từ (1) và (2) ⇒ $CDD’C’$ là hình chữ nhật.

7. Giải bài 7 trang 98 sgk Hình học 11

Cho $S$ là diện tích tam giác $ABC$. Chứng minh rằng:

$S=\frac{1}{2}\sqrt{\overrightarrow{AB}^{2}.\overrightarrow{AC}^{2}-(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC})^{2}}.$

Bài giải:

Ta có:

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB.AC. cos\widehat{A}⇒cos\widehat{A}=\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}{AB.AC}$

Lại có:

$S_{ABC}=\frac{1}{2}AB.AC.sin\widehat{A} =$$\frac{1}{2}AB.AC.\sqrt{1-cos^{2}\widehat{A}}$

$=\frac{1}{2}AB.AC.\sqrt{1-\left ( \frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}{AB.AC} \right )^{2}}$

$=\frac{1}{2}.AB.AC.\frac{\sqrt{\overrightarrow{AB}^{2}.\overrightarrow{AC}^{2}-(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC})^{2}}}{AB.AC}$

$=\frac{1}{2}\sqrt{\overrightarrow{AB}^{2}.\overrightarrow{AC}^{2}-(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC})^{2}}.$ (đpcm)

8. Giải bài 8 trang 98 sgk Hình học 11

Cho tứ diện $ABCD$ có $AB = AC = AD$ và $\widehat{BAC}=\widehat{BAD}=60^{0}.$ Chứng minh rằng:

a) $AB ⊥ CD$;

b) Nếu $M, N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$ thì $MN ⊥ AB$ và $MN ⊥ CD$.

Bài giải:

Đặt $AB = AC = AD=a$

a) Ta có:

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}.(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC})$

$=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$

$=AB.AD.\cos\widehat{BAD}-AB.AC.\cos\widehat{BAC} =a.a.cos60^0-a.a..cos60^0=0$
$\Rightarrow AB ⊥ CD$. (đpcm)

b) Ta có:
$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DN},$ (1)
$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CN}.$ (2)
Cộng (1) với (2) theo vế với vế ta được:

$2.\overrightarrow{MN}=(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB})+(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC})+(\overrightarrow{DN}+\overrightarrow{CN})$

⇒ $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}$ (do M là trung điểm AB nên $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}$, N là trung điểm CD nên $\overrightarrow{DN}+\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{0}$)

⇒ $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}).$

⇒ $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}.\overrightarrow {AB} .(\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AC} – \overrightarrow {AB} )$

$= {1 \over 2}(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}^{2})$

$= {1 \over 2}(AB.AD.\cos\widehat{BAD}+AB.AC.\cos\widehat{BAC}-AB^2)$

$={1 \over 2}(a.a.\cos60^0+a.a.\cos60^0-a^2)$

$={1 \over 2}\left({1 \over 2}a^2+{1 \over 2}a^2-a^2\right)=0$ $\Rightarrow AB ⊥ MN$.

Chứng minh tương tự ta được: $CD ⊥ MN$.

Bài trước:

Giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 trang 91 92 sgk Hình học 11

Bài tiếp theo:

Giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 trang 104 105 sgk Hình học 11

Chúc các bạn làm bài tốt cùng giải bài tập sgk toán lớp 11 với giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 trang 97 98 sgk Hình học 11!

“Bài tập nào khó đã có giaibaisgk.com“