Hướng dẫn Giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 trang 91 92 sgk Hình học 11

Nội Dung

Hướng dẫn giải Bài §1. Vectơ trong không gian, Chương III. Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc trong không gian, sách giáo khoa Hình học 11. Nội dung bài giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 trang 91 92 sgk Hình học 11 bao gồm tổng hợp công thức, lý thuyết, phương pháp giải bài tập hình học có trong SGK để giúp các em học sinh học tốt môn toán lớp 11.

Lý thuyết

1. Định nghĩa và các phép toán về vectơ trong không gian

Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng. Kí hiệu $\overrightarrow{AB}$ chỉ vectơ có điểm đầu $A$, điểm cuối $B$. Vectơ còn đc kí hiệu là $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$,…

a) Quy tắc hình bình hành

Nếu $ABCD$ là hình bình hành thì:

$\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD}.$

b) Quy tắc ba điểm đối với phép cộng vectơ

Cho ba điểm $A, B, C$ bất kì thì:

$\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC}$.

Quy tắc ba điểm với phép trừ vectơ:

$\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {OB} – \overrightarrow {OA}.$

c) Quy tắc hình hộp

Cho hình hộp $ABCD. A’B’C’D’$ thì:

$\overrightarrow {AC’} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {{\rm{AA’}}}$.

d. Quy tắc nhận vectơ với một số:

Cho vectơ $\vec a$ và một số thực $k \ne 0$ ta được vectơ $k \vec a$ có các tính chất sau:

$\left| {k.\overrightarrow a } \right| = \left| k \right|.\left| {\overrightarrow a } \right|{\rm{ }}$.

Nếu k > 0 thì $\vec a$ cùng hướng với $k \vec a$.

Nếu k < 0 thì $k \vec a$ ngược hướng với $k \vec a$.

2. Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ

a) Vectơ cùng phương

Điều kiện cần và đủ để hai vectơ $\vec a, \vec b$ cùng phương là có một số thực $k$ để $\overrightarrow a = k.\overrightarrow b.$

b) Vectơ đồng phẳng

Định nghĩa: Trong không gian ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.

Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho $\vec a, \vec b$ là hai vectơ không cùng phương và vectơ $\vec c$. Ba vectơ $\vec a, \vec b$ và $\vec c$ đồng phẳng khi và chỉ khi có hai số thực m, n sao cho: $\overrightarrow c = m.\overrightarrow a + n.\overrightarrow b .$

Dưới đây là phần Hướng dẫn trả lời các câu hỏi và bài tập trong mục hoạt động của học sinh trên lớp sgk Hình học 11.

Câu hỏi

1. Trả lời câu hỏi 1 trang 85 sgk Hình học 11

Cho hình tứ diện $ABCD$. Hãy chỉ ra các vectơ có điểm đầu là $A$ và điểm cuối là các điểm còn lại của hình tứ diện. Các vectơ đó có cùng nằm trong một mặt phẳng không?

Trả lời:

Các vecto có điểm đầu là $A$ và điểm cuối là các điểm còn lại của hình tứ diện là:

$\overrightarrow {AB} ;\,\overrightarrow {AC} ;\,\overrightarrow {AD} $

Các vecto đó không cùng nằm trong một mặt phẳng.

2. Trả lời câu hỏi 2 trang 85 sgk Hình học 11

Cho hình hộp $ABCD.A’B’C’D’$. Hãy kể tên các vectơ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình hộp và bằng vectơ $\overrightarrow {AB} $

Trả lời:

Các vecto có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình hộp và bằng vecto $\overrightarrow {AB} $ là:

$\overrightarrow {DC} ;\,\overrightarrow {A’B’} ;\,\overrightarrow {D’C’} $

3. Trả lời câu hỏi 3 trang 86 sgk Hình học 11

Cho hình hộp $ABCD.EFGH$. Hãy thực hiện các phép toán sau đây (h.3.2):

$\eqalign{
& a)\,\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {{\rm{EF}}} + \overrightarrow {GH} \cr
& b)\,\overrightarrow {BE} – \overrightarrow {CH} \cr} $

Trả lời:

Ta có:

$\eqalign{
& a)\,\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {{\rm{EF}}} + \overrightarrow {GH} \cr
& = \overrightarrow {AB} – \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {{\rm{EF}}} – \overrightarrow {{\rm{EF}}} = \overrightarrow 0 – \overrightarrow 0 = \overrightarrow 0 \cr
& AB = CD \Rightarrow \overrightarrow {CD} = – \overrightarrow {AB} \cr
& {\rm{EF}}\,{\rm{ = }}\,{\rm{GH}} \Rightarrow \,\overrightarrow {GH} = – \overrightarrow {{\rm{EF}}} \cr} $

$b)\,\overrightarrow {BE} – \overrightarrow {CH} = \overrightarrow 0 \,\,\,(BE = CH)$

4. Trả lời câu hỏi 4 trang 87 sgk Hình học 11

Trong không gian cho hai vecto $\overrightarrow a ;\,\overrightarrow b $ đều khác vecto – không.

Hãy xác định các vecto $\overrightarrow m = 2\overrightarrow a ;\,\overrightarrow n = – 3\overrightarrow b ;\,\overrightarrow p = \overrightarrow m + \overrightarrow n $

Trả lời:

Ta có các vectơ như sau:

5. Trả lời câu hỏi 5 trang 89 sgk Hình học 11

Cho hình hộp $ABCD.EFGH$. Gọi $I$ và $K $ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB$ và $BC$. Chứng minh rằng các đường thẳng $IK$ và $ED$ song song với mặt phẳng $(AFC)$. Từ đó suy ra ba vecto $\overrightarrow {{\rm{AF}}} ;\,\overrightarrow {IK} ;\,\overrightarrow {ED} $ đồng phẳng.

Trả lời:

$I$ và $K$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB$ và $BC$ $⇒ IK$ là đường trung bình của $∆ABC$ nên $IK//AC \subset \left( {ACF} \right) \Rightarrow IK//\left( {ACF} \right)$

Hình hộp $ABCD.EFGH$ nên $(ADHE) // (BCGF)$

$⇒ FC // ED$ (là đường chéo trong các hình bình hành $BCGF$ và $ADHE)$

Nên $ED // (AFC)$.

Ngoài ra $AF \subset \left( {ACF} \right)$

⇒ Ba vecto $\overrightarrow {{\rm{AF}}} ;\overrightarrow {IK} ;\overrightarrow {ED} $ đồng phẳng (vì giá của chúng song song với một mặt phẳng, có thể chọn một mặt phẳng bất kì song song với $(ACF)$)

6. Trả lời câu hỏi 6 trang 89 sgk Hình học 11

Cho hai vecto $\overrightarrow a ;\,\overrightarrow b $ đều khác vecto $\overrightarrow 0 $ . Hãy xác định vecto $\overrightarrow c = 2\overrightarrow a – \overrightarrow b $ và giải thích tại sao ba vecto $\overrightarrow a ;\,\overrightarrow b ;\,\overrightarrow c $ đồng phẳng.

Trả lời:

Ta có:

$\overrightarrow a ;\,\overrightarrow b ;\,\overrightarrow c $ đồng phẳng vì $\overrightarrow a ;\,\overrightarrow b $ không cùng phương và có cặp số (2; -1) sao cho : $\overrightarrow c = 2\overrightarrow a – \overrightarrow b $

7. Trả lời câu hỏi 7 trang 89 sgk Hình học 11

Cho ba vecto $\overrightarrow a ;\,\overrightarrow b ;\,\overrightarrow c $ trong không gian. Chứng minh rằng nếu $m\overrightarrow a + n\overrightarrow b + p\overrightarrow c = \overrightarrow 0 $ và một trong ba số $m, n, p$ khác không thì ba vecto $\overrightarrow a ;\,\overrightarrow b ;\,\overrightarrow c $ đồng phẳng.

Trả lời:

Giả sử $p ≠ 0$ ta có:

$\eqalign{
& m\overrightarrow a + n\overrightarrow b + p\overrightarrow c = \overrightarrow 0 \cr
& \Rightarrow m\overrightarrow a + n\overrightarrow b = – p\overrightarrow c \cr
& \overrightarrow c = {{ – m} \over p}\overrightarrow a + {{ – n} \over p}\overrightarrow b \cr} $

Do đó, ba vecto $\overrightarrow a ;\,\overrightarrow b ;\,\overrightarrow c $ đồng phẳng theo định lí $1$.

Dưới đây là phần Hướng dẫn giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 trang 91 92 sgk Hình học 11. Các bạn hãy đọc kỹ đầu bài trước khi giải nhé!

Bài tập

Giaibaisgk.com giới thiệu với các bạn đầy đủ phương pháp giải bài tập hình học 11 kèm bài giải chi tiết bài 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 trang 91 92 sgk Hình học 11 của Bài §1. Vectơ trong không gian trong Chương III. Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc trong không gian trong mặt phẳng cho các bạn tham khảo. Nội dung chi tiết bài giải từng bài tập các bạn xem dưới đây:

Giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 trang 91 92 sgk Hình học 11

1. Giải bài 1 trang 91 sgk Hình học 11

Cho hình lăng trụ tứ giác: $ABCD.A’B’C’D’$. Mặt phẳng $(P)$ cắt các cạnh bên $AA’, BB’, CC’, DD’$ lần lượt tại $I, K, L, M$. Xét các vectơ có các điểm đầu là các điểm $I, K, L, M$ và có các điểm cuối là các đỉnh của hình lăng trụ. Hãy chỉ ra các vectơ:

a) Các vectơ cùng phương với $\overrightarrow{IA}$;

b) Các vectơ cùng hướng với $\overrightarrow{IA}$;

c) Các vectơ ngược hướng với $\overrightarrow{IA}$.

Bài giải:

a) Các vectơ cùng phương với $\overrightarrow{IA}$ là:

$\overrightarrow{IA’}$, $\overrightarrow{KB}$, $\overrightarrow{KB’}$, $\overrightarrow{LC}$, $\overrightarrow{LC’}$, $\overrightarrow{MD}$, $\overrightarrow{MD’}$.

b) Các vectơ cùng hướng với $\overrightarrow{IA}$ là:

$\overrightarrow{KB}$, $\overrightarrow{LC}$, $\overrightarrow{MD}$.

c) Các vectơ ngược hướng với $\overrightarrow{IA}$ là:

$\overrightarrow{IA’}$, $\overrightarrow{KB’}$, $\overrightarrow{LC’}$, $\overrightarrow{MD’}$.

2. Giải bài 2 trang 91 sgk Hình học 11

Cho hình hộp $ABCD.A’B’C’D’$. Chứng minh rằng:

a) $\overrightarrow{AB}$ + $\overrightarrow{B’C’}$ + $\overrightarrow{DD’}$ = $\overrightarrow{AC’}$;

b) $\overrightarrow{BD}$ – $\overrightarrow{D’D}$ – $\overrightarrow{B’D’}$ = $\overrightarrow{BB’}$;

c) $\overrightarrow{AC}$ + $\overrightarrow{BA’}$ + $\overrightarrow{DB}$ + $\overrightarrow{C’D}$ = $\overrightarrow{0}$.

Bài giải:

a) Ta có:

$\overrightarrow{B’C’}\ =\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{DD’}\ =\overrightarrow{CC’}$

⇒ $\overrightarrow{AB}$ + $\overrightarrow{B’C’}$ + $\overrightarrow{DD’}$ = $\overrightarrow{AB}$ + $\overrightarrow{BC}$ + $\overrightarrow{CC’}$ = $\overrightarrow{AC’}$

b) Ta có:

$\overrightarrow{DD’}\ =-\overrightarrow{D’D}$, $\overrightarrow{B’D’}\ =-\overrightarrow{D’B’}$

⇒ $\overrightarrow{BD}$ – $\overrightarrow{D’D}$ – $\overrightarrow{B’D’}$ = $\overrightarrow{BD}$ + $\overrightarrow{DD’}$ + $\overrightarrow{D’B’}$ = $\overrightarrow{BB’}$

c) Ta có:

$\overrightarrow{BA’}\ =\overrightarrow{CD’}$, $\overrightarrow{DB}\ =\overrightarrow{D’B’}$, $\overrightarrow{C’D}\ =\overrightarrow{B’A}$

⇒ $\overrightarrow{AC}$ + $\overrightarrow{BA’}$ + $\overrightarrow{DB}$ + $\overrightarrow{C’D}$ = $\overrightarrow{AC}$ + $\overrightarrow{CD’}$ + $\overrightarrow{D’B’}$ + $\overrightarrow{B’A}$ = $\overrightarrow{0}$.

3. Giải bài 3 trang 91 sgk Hình học 11

Cho hình bình hành $ABCD$. Gọi $S$ là một điểm nằm ngoài mặt phẳng chứa hình bình hành. Chứng minh rằng: $\overrightarrow{SA}$ + $\overrightarrow{SC}$ = $\overrightarrow{SB}$ + $\overrightarrow{SD}$.

Bài giải:

Gọi $O$ là tâm của hình bình hành $ABCD$. Khi đó: $O$ là trung điểm của $AC,BD$

$SO$ là trung tuyến của tam giác $SAC$

⇒ $\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SC} = 2\overrightarrow{SO}$ (quy tắc trung tuyến)

$SO$ là trung tuyến của tam giác $SBD$

⇒ $\overrightarrow{SB} +\overrightarrow{SD}= 2\overrightarrow{SO}$ (quy tắc trung tuyến)

⇒ $\left.\begin{matrix}\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SC} = 2\overrightarrow{SO}\\ \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SD} = 2\overrightarrow{SO} \end{matrix}\right\}\Leftrightarrow \overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SD}.$

4. Giải bài 4 trang 92 sgk Hình học 11

Cho hình tứ diện $ABCD$. Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$. Chứng minh rằng:

a) $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\left ( \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC} \right )$

b) $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\left ( \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD} \right )$

Bài giải:

a) Ta có:

$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DN}.$

$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CN}.$

Cộng từng vế ta được:

$2.\overrightarrow{MN} =(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB})+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}+(\overrightarrow{DN}+\overrightarrow{CN})$

$M$ là trung điểm $AB$ nên: $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB} =0$

$N$ là trung điểm $CD$ nên: $\overrightarrow{DN}+\overrightarrow{CN} =0$

⇒ $2.\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}$

⇒ $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\left ( \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC} \right )$

b) Ta có:

$\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CN}$

$\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {DN}$

Cộng từng vế ta được:

$2.\overrightarrow{MN} =(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB})+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}+(\overrightarrow{DN}+\overrightarrow{CN})$

$M$ là trung điểm $AB$ nên: $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB} =0$

$N$ là trung điểm $CD$ nên: $\overrightarrow{DN}+\overrightarrow{CN} =0$

⇒ $2.\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}$

⇒ $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\left ( \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD} \right ).$

5. Giải bài 5 trang 92 sgk Hình học 11

Cho hình tứ diện $ABCD$. Hãy xác định hai điểm $E, F$ sao cho:

a) $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD};$

b) $\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}.$

Bài giải:

a) Gọi $G$ là đỉnh của hình bình hành $ABGC$

⇒ $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AG}$ (quy tắc hình bình hành)

Lại có: $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}$ (gt)

⇒ $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{AD}$

⇒ $\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GE}=\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{AD}$

⇒ $\overrightarrow{GE}=\overrightarrow{AD}$

⇒ $\overrightarrow{GE};\overrightarrow{AD}$ cùng hướng và có độ lớn bằng nhau.

Xác định điểm $E$:

Từ G kẻ hình bình hành $ADGE$. Vậy $E$ là 1 đỉnh của hình bình hành $ADEG$.

b) Ta có $\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}.$ (gt)

⇒ $\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AG}-\overrightarrow{AD}$

Hay $\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{DA}$

⇒ $\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GF}=\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{DA}$

⇒ $\overrightarrow{GF}=\overrightarrow{DA}$

⇒ $\overrightarrow{GF};\overrightarrow{DA}$ cùng hướng và cùng độ lớn.

Xác định điểm $F$:

Từ $G$ kẻ hình bình hành $ADFG$. Vậy $F$ là $1$ đỉnh của hình bình hành $ADFG$.

6. Giải bài 6 trang 92 sgk Hình học 11

Cho hình tứ diện $ABCD$. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$. Chứng minh rằng:

$\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}=3\overrightarrow{DG}.$

Bài giải:

Theo quy tắc ba điểm ta có:

$\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{DG}+\overrightarrow{GA}$

$\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{DG}+\overrightarrow{GB}$

$\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DG}+\overrightarrow{GC}$

⇒ $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}=3.\overrightarrow{DG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}$

Mà $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ (gt)

⇒ $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$

⇒ $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}=3.\overrightarrow{DG}$ (đpcm)

7. Giải bài 7 trang 92 sgk Hình học 11

Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AC$ và $BD$ của tứ diện $ABCD$. Gọi $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $MN$ và $P$ là một điểm bất kì trong không gian. Chứng minh rằng:

a) $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID}=\overrightarrow{0};$

b) $\overrightarrow{PI}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PD}).$

Bài giải:

a) Ta có:

$\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IC}=2\overrightarrow{IM},$ (quy tắc đường trung truyến trong tam giác IAC)

$\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{ID}=2\overrightarrow{IN}.$ (quy tắc đường trung tuyến trong tam giác IBD)

Cộng từng vế ta được:

$\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID}=2(\overrightarrow{IM}+\overrightarrow{IN})=\overrightarrow{0}.$

(do: $I$ là trung điểm của $MN$ nên $\overrightarrow{IM}+\overrightarrow{IN}=\overrightarrow{0})$

b) Theo quy tắc 3 điểm, ta có:

$\overrightarrow{PI}=\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AI},$

$\overrightarrow{PI}=\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{BI},$

$\overrightarrow{PI}=\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{CI},$

$\overrightarrow{PI}=\overrightarrow{PD}+\overrightarrow{DI}.$

Cộng từng vế ta được:

$4\overrightarrow {PI} = \overrightarrow {PA} + \overrightarrow {PB} + \overrightarrow {PC} + \overrightarrow {PD} + (\overrightarrow {AI} + \overrightarrow {BI} + \overrightarrow {CI} + \overrightarrow {DI} )$ (1)

Từ câu a) ta có:

$\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID}=\overrightarrow{0}.$

⇒ $\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{BI}+\overrightarrow{CI}+\overrightarrow{DI}=\overrightarrow{0}.$

Thay vào (1) có:

$ \Leftrightarrow$${PI}=\frac{1}{4} \overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PD}).$

8. Giải bài 8 trang 92 sgk Hình học 11

Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A’B’C’$ có $\overrightarrow{AA’}$ = $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{AB}$ = $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{AC}$ = $\overrightarrow{c}$. Hãy phân tích (hay biểu thị véctơ $\overrightarrow{B’C}$, $\overrightarrow{BC’}$ qua các véctơ $\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$.

Bài giải:

Theo quy tắc chèn điểm, ta có:

$\overrightarrow{B’C}$ = $\overrightarrow{B’A’}$ + $\overrightarrow{A’A}$ + $\overrightarrow{AC}$

mà $\overrightarrow{A’A}=-\overrightarrow{AA’}=-\overrightarrow{a}$ (gt); $\overrightarrow{B’A’}=-\overrightarrow{A’B’}=-\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{b}$

⇒ $\overrightarrow{B’C}$=$-\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}$.

Tương tự, ta có:

$\overrightarrow{BC’}$ = $\overrightarrow{BA}$ + $\overrightarrow{AA’}$ + $\overrightarrow{A’C’}$

mà: $\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{b};\overrightarrow{A’C’}=\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{c}$

⇒ $\overrightarrow{BC’}$ = $-\overrightarrow{b} + \overrightarrow{a} + \overrightarrow{c}$.

Nhận xét:

Ba vectơ $\overrightarrow{a}$; $\overrightarrow{b}$; $\overrightarrow{c}$ ở trên gọi là bộ ba vectơ cơ sở dùng để phân tích các vectơ khác.

9. Giải bài 9 trang 92 sgk Hình học 11

Cho tam giác $ABC$. Lấy điểm $S$ nằm ngoài mặt phẳng $(ABC)$. Trên đoạn $SA$ lấy điểm $M$ sao cho $\overrightarrow{MS}$ = $-2\overrightarrow{MA}$ và trên đoạn $BC$ lấy điểm $N$ sao cho $\overrightarrow{NB}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{NC}.$ Chứng minh rằng ba vectơ $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{MN}$, $\overrightarrow{SC}$ đồng phẳng.

Bài giải:

Theo đề bài: $\overrightarrow{MS}$ = $-2\overrightarrow{MA}$

⇒ $MS = 2.MA ⇒ MS = \frac{2}{3}AS$ và $\overrightarrow{MS}$ cùng hướng với $\overrightarrow{AS}$

⇒ $\overrightarrow{MS} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AS}$

Lại có: $\overrightarrow{NB} =-\frac{1}{2}\overrightarrow{NC}$

⇒ $NC = 2.NB ⇒ CN =\frac{2}{3}CB$ và $\overrightarrow{CN}$ cùng hướng với $\overrightarrow{CB}$

⇒ $\overrightarrow{CN}=\frac{2}{3}\overrightarrow{CB}.$

Theo quy tắc chèn điểm, ta có:

$\overrightarrow{MN}$ = $\overrightarrow{MS}$ + $\overrightarrow{SC}$ + $\overrightarrow{CN}$

= $\frac{2}{3}\overrightarrow{AS}$ + $\overrightarrow{SC}$ + $\frac{2}{3}\overrightarrow{CB}.$ (1)

$\overrightarrow{MN}$ = $\overrightarrow{MA}$ + $\overrightarrow{AB}$ + $\overrightarrow{BN}$

= $-\frac{1}{3}\overrightarrow{AS}$ + $\overrightarrow{AB}$ + $-\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}.$ (2)

Nhân (2) với 2 rồi cộng với (1) ta được:

$3\overrightarrow{MN}$ = $\overrightarrow{SC}$ + $2\overrightarrow{AB}$ $\Leftrightarrow\overrightarrow{MN}= \frac{1}{3}\overrightarrow{SC}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}.$

Vậy $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{MN}$, $\overrightarrow{SC}$ đồng phẳng.

10. Giải bài 10 trang 92 sgk Hình học 11

Cho hình hộp $ABCD.EFGH$. Gọi $K$ là giao điểm của $AH$ và $DE$, $I$ là giao điểm của $BH$ và $DF$. Chứng minh ba véctơ $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{KI}$, $\overrightarrow{FG}$ đồng phẳng.

Bài giải:

$I=BH\cap DF$ là giao điểm của hai đường chéo hình bình hành $BDHF$ do đó $I$ là trung điểm của $BH$.

$K$ là giao điểm của hai đường chéo hình bình hành $ADHE$ do đó $K$ là trung điểm của $AH$.

$\Rightarrow KI$ là đường trung bình của tam giác $ABH$.

$\Rightarrow KI//AB \Rightarrow KI//(ABCD)$ (1)

Ta có: $BCGF$ là hình bình hành

$\Rightarrow FG//BC \Rightarrow FG//(ABCD)$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: các véctơ $\overrightarrow{KI}$, $\overrightarrow{FG}$ song song với mặt phẳng $(ABCD)$ chứa véctơ $\overrightarrow{AC}$

Vậy $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{KI}$, $\overrightarrow{FG}$ đồng phẳng.

Bài trước:

Ôn tập chương II: Trả lời câu hỏi trắc nghiệm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 trang 78 79 80 sgk Hình học 11

Bài tiếp theo:

Giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 trang 97 98 sgk Hình học 11

Xem thêm:

Chúc các bạn làm bài tốt cùng giải bài tập sgk toán lớp 11 với giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 trang 91 92 sgk Hình học 11!

“Bài tập nào khó đã có giaibaisgk.com“