Hướng dẫn Giải bài 1 2 3 4 5 6 7 trang 28 29 sgk Đại số và Giải tích 11

Nội Dung

Hướng dẫn giải Bài §2. Phương trình lượng giác cơ bản, Chương I. Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác, sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11. Nội dung bài giải bài 1 2 3 4 5 6 7 trang 28 29 sgk Đại số và Giải tích 11 bao gồm tổng hợp công thức, lý thuyết, phương pháp giải bài tập đại số và giải tích có trong SGK để giúp các em học sinh học tốt môn toán lớp 11.

Lý thuyết

1. Phương trình $sinx = a$

Nếu $|a|>1$: Phương trình vô nghiệm.

Nếu $|a|\leq 1$:

$\sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \alpha + k2\pi \\ x = \pi – \alpha + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

$\sin x = \sin {\beta ^0} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = {\beta ^0} + k{360^0}\\ x = {180^0} – {\beta ^0} + k{360^0} \end{array} \right.\left( {k \in\mathbb{Z} } \right)$

$\sin x = a \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = arc\sin a + k2\pi \\ x = \pi – arc\sin a + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Tổng quát:

$\sin f\left( x \right) = \sin g\left( x \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} f\left( x \right) = g\left( x \right) + k2\pi \\ f\left( x \right) = \pi – g\left( x \right) + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in\mathbb{Z} } \right)$

Các trường hợp đặc biệt:

$\begin{array}{l} \oplus \,\,\,\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\ \oplus \,\,\,\sin x = – 1 \Leftrightarrow x = – \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\,\left( {k \in\mathbb{Z} } \right)\\ \oplus \,\,\,\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi \,\,\,\left( {k \in\mathbb{Z} } \right) \end{array}$

2. Phương trình $cosx = a$

Nếu $|a|>1$: Phương trình vô nghiệm.

Nếu $|a|\leq 1$:

$\cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow x = \pm \alpha + k2\pi \left( {k \in\mathbb{Z} } \right)$

$\cos x = \cos {\beta ^0} \Leftrightarrow x = \pm {\beta ^0} + k{360^0}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

$\cos x = a \Leftrightarrow x = \pm \,arcc{\rm{os}}a + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Tổng quát:

$\cos f\left( x \right) =\cos g\left( x \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = \pm g\left( x \right) + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Các trường hợp đặc biệt:

$\begin{array}{l} \oplus \,\,\,\cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi \,\,\,\left( {k \in\mathbb{Z} } \right)\\ \oplus \,\,\,\cos x = – 1 \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi \,\,\,\left( {k \in\mathbb{Z} } \right)\\ \oplus \,\,\,\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \end{array}$

3. Phương trình $tanx = a$

$\begin{array}{l} \oplus \tan x = {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{an}}\alpha \Leftrightarrow \,x\,{\rm{ = }}\,\alpha + k\pi \,\,\,\,\left( {k \in\mathbb{Z} } \right)\\ \oplus \tan x = {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{an}}{\beta ^0} \Leftrightarrow \,x{\rm{ = }}{\beta ^0} + k{\rm{18}}{{\rm{0}}^0}\,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\ \oplus \tan x = a \Leftrightarrow x{\rm{ = }}\arctan a\, + k\pi \,\,\,\,\left( {k \in\mathbb{Z} } \right) \end{array}$

Tổng quát:

$\tan f\left( x \right) = \tan g\left( x \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right) + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

4. Phương trình $cotx = a$

$\begin{array}{l} \oplus \cot x = \cot \alpha \Leftrightarrow {\rm{x}}\,\,{\rm{ = }}\,\alpha \,{\rm{ + }}\,{\rm{k}}\pi \,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\ \oplus \cot x = \cot {\beta ^0} \Leftrightarrow {\rm{x}}\,\,{\rm{ = }}\,{\beta ^0}{\rm{ + }}\,{\rm{k18}}{{\rm{0}}^0}\,\,\,\,\left( {k \in\mathbb{Z} } \right)\\ \oplus \cot x = a \Leftrightarrow {\rm{x}}\,\,{\rm{ = }}{\mathop{\rm arc}\nolimits} \cot \,a\,{\rm{ + }}\,{\rm{k}}\pi \,\,\,\,\left( {k \in\mathbb{Z} } \right) \end{array}$

Tổng quát:

$\cot f\left( x \right) = \cot g\left( x \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right) + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Dưới đây là phần Hướng dẫn trả lời các câu hỏi và bài tập trong phần hoạt động của học sinh sgk Đại số và Giải tích 11.

Câu hỏi

1. Trả lời câu hỏi 1 trang 18 sgk Đại số và Giải tích 11

Tìm một giá trị của $x$ sao cho $2sinx – 1 = 0.$

Trả lời:

Ta có: $2sinx – 1 = 0 ⇒ sin x =$ ${1 \over 2}$

⇒ một giá trị của $x$ sao cho $2sinx – 1 = 0$ là $x =$ ${\pi \over 6}$

2. Trả lời câu hỏi 2 trang 19 sgk Đại số và Giải tích 11

Có giá trị nào của $x$ thỏa mãn phương trình $sinx = -2$ không?

Trả lời:

Không có giá trị nào của $x$ thỏa mãn phương trình $sinx = -2$

3. Trả lời câu hỏi 3 trang 21 sgk Đại số và Giải tích 11

Giải các phương trình sau:

$\eqalign{
& a)\,{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} = {1 \over 3} \cr
& b)\,\sin (x + {45^0}) = {{ – \sqrt 2 } \over 2} \cr} $

Trả lời:

a) Ta có:

$sin⁡x =$ ${1 \over 3}$ khi x = arcsin ${1 \over 3}$

Vậy phương trình $sin⁡x =$ ${1 \over 3}$ có các nghiệm là:

$x = arcsin$ ${1 \over 3}$ $+ k2π, k ∈ Z$ và $x = π – arcsin$ ${1 \over 3}$ $+ k2π, k ∈ Z$

b) Ta có: ${{ – \sqrt 2 } \over 2}$ = sin⁡(-45^o) nên:

sin⁡(x + 45^o ) = ${{ – \sqrt 2 } \over 2}$ ⇔ sin⁡(x+45^o) = sin⁡(-45^o)

Khi đó x + 45^o = -45^o + k360^o, $k ∈ Z ⇒ x =$ -45^o – 45^o + k360^o, $k ∈ Z$

và x + 45^o = 180^o – (-45^o ) + k360^o, $k ∈ Z ⇒ x =$ 180^o – (-45^o ) – 45^o + k360^o, $k ∈ Z$

Vậy: $x =$ -90^o + k360^o, $k ∈ Z$ và $x =$ 180^o + k360^o, $k ∈ Z$

4. Trả lời câu hỏi 4 trang 23 sgk Đại số và Giải tích 11

Giải các phương trình sau:

$\eqalign{
& a)\,\cos x = {{ – 1} \over 2} \cr
& b)\,\cos x = {2 \over 3} \cr
& c)\,\cos (x + {30^0}) = {{\sqrt 3 } \over 2} \cr} $

Trả lời:

a) Ta có:

${{ – 1} \over 2}$ = cos ${{2\pi } \over 3}$ nên cos ⁡x = ${{ – 1} \over 2}$ ⇔ cos ⁡x = cos ${{2\pi } \over 3}$

$⇒ x = ± {{2\pi } \over 3} + k2π, k ∈ Z$

b) Ta có:

$cos ⁡x = {2 \over 3}$

$⇒ x = ± arccos {2 \over 3} + k2π, k ∈ Z$

c) Ta có:

${{\sqrt 3 } \over 2}$ = cos30^o nên cos⁡(x + 30^o )= ${{\sqrt 3 } \over 2}$

$⇔ cos⁡(x +$ 30^o ) =$ cos$ 30^o

⇔ x + 30^o = ±30^o + k360^o, $k ∈ Z$

⇔ x = k360^o, k ∈ Z và x = -60^o + k360^o, k ∈ Z

5. Trả lời câu hỏi 5 trang 24 sgk Đại số và Giải tích 11

Giải các phương trình sau:

a) $tanx = 1$;

b) $tanx = -1$;

c) $tanx = 0$.

Trả lời:

Ta có:

a) $tan⁡ x = 1 ⇔ tan⁡ x = tan⁡ {\pi \over 4}$

$⇔ x = {\pi \over 4} + kπ, k ∈ Z$

b) $tan⁡ x = -1 ⇔ tan⁡ x = tan⁡ – {\pi \over 4} $

$⇔ x = – {\pi \over 4} + kπ, k ∈ Z$

c) $tan⁡ x = 0 ⇔ tan⁡ x = tan⁡ 0$

$⇔ x = kπ, k ∈ Z$

6. Trả lời câu hỏi 6 trang 26 sgk Đại số và Giải tích 11

Giải các phương trình sau:

a) $cotx = 1$;

b) $cotx = -1$;

c) $cotx = 0$.

Trả lời:

Ta có:

a) $cot⁡ x = 1 ⇔ cot⁡ x = cot⁡ {\pi \over 4}$

$⇔ x = {\pi \over 4} + kπ, k ∈ Z$

b) $cot⁡ x = -1 ⇔ cot⁡ x = cot⁡ – {\pi \over 4}$

$⇔ x = – {\pi \over 4} + kπ,k ∈ Z$

c) $cot⁡ x = 0 ⇔ cot⁡ x = cot⁡ {\pi \over 2}$

$⇔ x = {\pi \over 2} + kπ, k ∈ Z$

Dưới đây là phần Hướng dẫn giải bài 1 2 3 4 5 6 7 trang 28 29 sgk Đại số và Giải tích 11. Các bạn hãy đọc kỹ đầu bài trước khi giải nhé!

Bài tập

Giaibaisgk.com giới thiệu với các bạn đầy đủ phương pháp giải bài tập đại số và giải tích 11 kèm bài giải chi tiết bài 1 2 3 4 5 6 7 trang 28 29 sgk Đại số và Giải tích 11 của Bài §2. Phương trình lượng giác cơ bản trong Chương I. Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác cho các bạn tham khảo. Nội dung chi tiết bài giải từng bài tập các bạn xem dưới đây:

Giải bài 1 2 3 4 5 6 7 trang 28 29 sgk Đại số và Giải tích 11

1. Giải bài 1 trang 28 sgk Đại số và Giải tích 11

Giải các phương trình sau:

a) $\small sin (x + 2) =\frac{1}{3}$

b) $\small sin 3x = 1$

c) $\small sin (\frac{2x}{3} -\frac{\pi}{3}) =0$

d) $\small sin (2x + 20^0) =-\frac{\sqrt{3}}{2}$

Bài giải:

a) $sin (x + 2) =\frac{1}{3}\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} x+2=arcsin \frac{1}{3}+k2 \pi, k \in \mathbb{Z}\\ \\ x+2=\pi -arcsin \frac{1}{3}+k2 \pi, k \in \mathbb{Z} \end{matrix}$

$\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} x=arcsin \frac{1}{3}-2+k2 \pi, k\in \mathbb{Z}\\ \\ x=\pi – arcsin \frac{1}{3}-2+k2 \pi, k\in \mathbb{Z} \end{matrix}$

Vậy nghiệm của phương trình là: $x=arcsin \frac{1}{3}-2+k2 \pi (k\in \mathbb{Z})$ và $x=\pi – arcsin \frac{1}{3}-2+k2 \pi (k\in \mathbb{Z})$

b) $sin 3x = 1 \Leftrightarrow sin3x=sin\frac{\pi }{2}$

$\Leftrightarrow 3x=\frac{\pi }{2}+k2 \pi ,k\in \mathbb{Z}$

$\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{6}+\frac{k2 \pi}{3},(k\in \mathbb{Z})$

Vậy nghiệm của phương trình là: $x=\frac{\pi }{6}+\frac{k2 \pi}{3},(k\in \mathbb{Z})$

c) $sin\left ( \frac{2x}{3}-\frac{\pi }{3} \right )=0 \Leftrightarrow \frac{2x}{3}-\frac{\pi }{3}= k\pi, k\in \mathbb{Z}$

$\Leftrightarrow \frac{2\pi }{3}=\frac{\pi }{3}+k \pi,k\in \mathbb{Z}$

$\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{2}+\frac{3k\pi }{2}, k\in Z$

Vậy nghiệm của phương trình là: $x=\frac{\pi }{2}+k.\frac{3\pi }{2}, k\in Z$

d) $sin(2x+20^0)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow sin (2x +20^0) = sin(-60^0)$

$\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} 2x+20^0=-60^0+k360^0, k\in \mathbb{Z}\\ \\ 2x+20^0=204^0+k360^0, k\in \mathbb{Z} \end{matrix}$

$\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} x=-40^0+k180^0, k\in \mathbb{Z}\\ \\ x=110^0+k180^0, k\in \mathbb{Z} \end{matrix}$

Vậy nghiệm của phương trình là: $x=-40^0+k180^0, (k\in \mathbb{Z}); x=110^0+k180^0, (k\in \mathbb{Z})$

2. Giải bài 2 trang 28 sgk Đại số và Giải tích 11

Với những giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số $y = sin 3x$ và $y = sin x$ bằng nhau?

Bài giải:

Giá trị của các hàm $y=sin3x$ và $y=sinx$ bằng nhau khi và chỉ khi:

$sin3x=sinx\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} 3x=x+k2\pi, (k\in \mathbb{Z})\\ \\ 3x= \pi-x+k2 \pi, (k\in \mathbb{Z}) \end{matrix}$

$\Leftrightarrow \Bigg \lbrack \begin{matrix} x=k\pi , (k\in \mathbb{Z})\\ \\ x=\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2} , (k\in \mathbb{Z}) \end{matrix}$

Vậy với $x=k\pi , (k\in \mathbb{Z})$ hoặc $x=\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2} , (k\in \mathbb{Z})$ thì sin3x = sinx.

3. Giải bài 3 trang 28 sgk Đại số và Giải tích 11

Giải các phương trình sau:

a) $\small cos (x – 1) =\frac{2}{3}$

b) $\small cos 3x = cos 12^0$

c) $\small cos (\frac{3x}{2}-\frac{\pi}{4})=-\frac{1}{2}$

d) ${\cos ^2}2x = \frac{1}{4}$.

Bài giải:

a) Ta có:

$cos (x – 1) = \frac{2}{3} \Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} x – 1 = arccos \frac{2}{3} + k2\pi\\ \\ x – 1 = – arccos \frac{2}{3} + k2\pi \end{matrix}$

$\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} x = 1 + arccos \frac{2}{3} + k2\pi , (k \in Z) \\ \\ x = 1 – arccos \frac{2}{3} + k2\pi , (k \in Z). \end{matrix}$

Vậy nghiệm phương trình là: $x = 1 + arccos \frac{2}{3} + k2\pi , (k \in Z)$ hoặc $x = 1 – arccos \frac{2}{3} + k2\pi , (k \in Z).$

b) $cos 3x = cos 120^0\Leftrightarrow 3x = \pm 12^0 + k360^0 (k\in \mathbb{Z})$

$\Leftrightarrow x = \pm 4^0 + k120^0 , (k \in Z).$

Vậy nghiệm phương trình là: $x = \pm 4^0 + k120^0 , (k \in Z).$

c) Ta có:

$cos\left ( \frac{3x}{2}-\frac{\pi }{4} \right )=-\frac{1}{2}\Leftrightarrow cos\left ( \frac{3x}{2}-\frac{\pi }{4} \right )=cos\left ( \pi -\frac{\pi }{3} \right )$

$\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} \frac{3x}{2}-\frac{\pi }{4}=\frac{2\pi }{3}+k2 \pi\\ \\ \frac{3x}{2}-\frac{\pi }{4}=-\frac{2\pi }{3}+k2 \pi \end{matrix},(k\in \mathbb{Z})$

$\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} x=\frac{11\pi }{18}+k.\frac{4\pi }{3} \\ \\ x=-\frac{5\pi}{18}+k.\frac{4\pi }{3} \end{matrix},(k\in \mathbb{Z})$

Vậy nghiệm phương trình là: $x=\frac{11\pi }{18}+\frac{4 k\pi }{3}$ và $x=-\frac{5\pi}{18}+\frac{4 k\pi }{3} (k\in \mathbb{Z})$

d) Ta có:

$cos^22x =\frac{1}{4}\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} cos2x=\frac{1}{2}\\ \\ cos2x=-\frac{1}{2} \end{matrix}\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} cos2x=cos \frac{\pi }{3}\\ \\ cos2x= cos\frac{2\pi }{3} \end{matrix}$

$\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} 2x=\pm \frac{\pi }{3} + k2 \pi\\ \\ 2x=\pm \frac{2\pi }{3} + k2 \pi \end{matrix}, k\in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} x= \pm \frac{\pi }{6} +k \pi\\ \\ x= \pm \frac{\pi }{3} +k \pi \end{matrix}, k\in \mathbb{Z}$

Vậy nghiệm phương trình là: $x= \pm \frac{\pi }{6} +k \pi$và $x= \pm \frac{\pi }{3} +k \pi, k\in \mathbb{Z}$.

4. Giải bài 4 trang 29 sgk Đại số và Giải tích 11

Giải phương trình $\small \frac{2cos2x}{1-sin2x}=0$.

Bài giải:

Điều kiện $sin2x\neq 1\Leftrightarrow 2x\neq \frac{\pi }{2}+k2 \pi\Leftrightarrow x\neq \frac{\pi }{4}+k \pi(k\in \mathbb{Z})$

$\frac{2cos2x}{1-sin2x}=0\Leftrightarrow 2cos2x=0$

Phương trình đã cho tương đương với:

$cos2x=0 \Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} 2x=\frac{\pi }{2}+k2\pi\\ \\ 2x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \end{matrix} \Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} x=\frac{\pi }{4}+k\pi \ \ (loai)\\ \\ x=-\frac{\pi }{4}+k\pi (k\in \mathbb{Z}) \end{matrix}$

Vậy nghiệm phương trình là: $x=-\frac{\pi }{4}+k\pi (k\in \mathbb{Z})$.

5. Giải bài 5 trang 29 sgk Đại số và Giải tích 11

Giải các phương trình sau:

a) $\small tan (x – 150) = \frac{\sqrt{3}}{3}$;

b) $\small cot (3x – 1) = -\sqrt{3}$;

c) $\small cos 2x . tan x = 0$;

d) $\small sin 3x . cot x = 0$.

Bài giải:

a) Điều kiện $x – 15^0\neq 90^0+k180^0$ hay $x\neq 105^0+k.180^0.$

$tan (x – 15^0) = \frac{\sqrt{3}}{3}\Leftrightarrow tan(x-15^0)=tan30^0$, với điều kiện:

Ta có phương trình $tan (x – 15^0) = tan30^0$

$\Leftrightarrow x – 15^0 = 30^0 + k180^0 , (k \in \mathbb{Z}).$

$\Leftrightarrow x = 45^0 + k180^0 , (k \in \mathbb{Z}).$ (thoả điều kiện)

Vậy nghiệm của phương trình là: $x = 45^0 + k180^0 , (k \in \mathbb{Z}).$

b) $cot (3x – 1) = -\sqrt{3}$, với điều kiện $3x-1\neq k\pi (k\in \mathbb{Z})$ hay $x\neq \frac{1+k \pi}{3}(k\in \mathbb{Z})$

Ta có phương trình $cot (3x – 1) = cot(-\frac{\pi }{6})$

$\Leftrightarrow 3x-1=-\frac{5\pi }{6}+k \pi, k\in \mathbb{Z}$

$\Leftrightarrow x=\frac{1}{3}-\frac{\pi }{18}+k.\frac{\pi }{3},(k\in \mathbb{Z})$ (thoả điều kiện)

Vậy nghiệm phương trình là $x=\frac{1}{3}-\frac{\pi }{18}+k.\frac{\pi }{3},(k\in \mathbb{Z})$

c) $cos2x.tanx=0 \Leftrightarrow \cos 2x.\frac{{\sin x}}{{\cos x}} = 0$, với điều kiện $cosx\neq 0$

$\Leftrightarrow x\neq \frac{\pi }{2}+k\pi (k\in \mathbb{Z})$, ta có phương trình: $cos2x . sinx = 0$

$\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} cos2x=0\\ sin2x=0 \end{matrix}\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} 2x=\frac{\pi }{2}+k\pi \\ x=k\pi \end{matrix}(k\in \mathbb{Z})$

$\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x=\frac{\pi }{4}+k.\frac{\pi }{2}\\ x=k \pi \end{matrix}(k\in \mathbb{Z})$ (thoả điều kiện)

Vậy nghiệm phương trình là: $x=\frac{\pi }{4}+k.\frac{\pi }{2}(k\in \mathbb{Z})$ hoặc $x=k\pi (k\in \mathbb{Z})$

d) $sin 3x . cot x = 0 \Leftrightarrow \sin 3x.\frac{{\cos x}}{{\sin x}} = 0$, với điều kiện $sinx\neq 0\Leftrightarrow x\neq k.2\pi (k\in \mathbb{Z})$

Ta có phương trình sin3x.cos = 0

$\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} sin3x=0\\ cosx=0 \end{matrix}\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} 3x=k2\pi\\ x=\frac{\pi }{2}+k\pi \end{matrix} (k\in \mathbb{Z})$

$\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} x=\frac{k2 \pi}{3}\\ \\ x=\frac{\pi }{2}+k \pi \end{matrix}(k \in \mathbb{Z})$

So sánh với điều kiện ta thấy khi $k = 3m,m \in \mathbb{Z}$ thì $x = 2m\pi \Rightarrow \sin x = 0$ không thỏa điều kiện.

Vậy phương trình có nghiệm là: $x=\frac{k2 \pi}{3}$ và $x=\frac{\pi }{2}+k \pi (k \neq 3m, m\in \mathbb{Z})$

6. Giải bài 6 trang 29 sgk Đại số và Giải tích 11

Với những giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số $\small y = tan ( \frac{\pi}{4}- x)$ và $\small y = tan2x$ bằng nhau?

Bài giải:

Giá trị của các hàm số: $tan\left ( \frac{\pi }{4}-x \right )$ và $y=tan 2x$ bằng nhau khi và chỉ khi:

$\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,\tan \left( {\frac{\pi }{4} – x} \right) = \tan 2x\\
DK:\,\,\left\{ \begin{array}{l}
\frac{\pi }{4} – x \ne \frac{\pi }{2} + m\pi \\
2x \ne \frac{\pi }{2} + m\pi
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x \ne – \frac{\pi }{4} + m\pi \\
x \ne \frac{\pi }{4} + \frac{{m\pi }}{2}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{4} + \frac{{m\pi }}{2}\,\,\left( {m \in Z} \right)
\end{array}$

Khi đó phương trình tương đương với:

$\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,\,\,2x = \frac{\pi }{4} – x + k\pi \\
\Leftrightarrow 3x = \frac{\pi }{4} + k\pi \\
\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{{12}} + \frac{{k\pi }}{3}\,\,\,\left( {k \in Z} \right)
\end{array}$

Kết hợp điều kiện ta có:

$\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,\,\frac{\pi }{{12}} + \frac{{k\pi }}{3} \ne \frac{\pi }{4} + \frac{{m\pi }}{2}\\
\Leftrightarrow \frac{{k\pi }}{3} \ne \frac{{m\pi }}{2} + \frac{\pi }{6}\\
\Leftrightarrow k \ne \frac{{3m + 1}}{2}\,\,\,\left( {k,m \in Z} \right)
\end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm: $x = \frac{\pi }{{12}} + \frac{{k\pi }}{3}\,\,\,\left( {k \ne \frac{{3m + 1}}{2}\,\,\,\left( {k,m \in Z} \right)} \right)$

7. Giải bài 7 trang 29 sgk Đại số và Giải tích 11

Giải các phương trình sau:

a) $sin 3x – cos 5x = 0$;

b) $\small tan 3x . tan x = 1$.

Bài giải:

a) $sin 3x – cos 5x = 0 \Leftrightarrow cos 5x = sin 3x$

$\Leftrightarrow cos 5x = cos (\frac{\pi }{2} – 3x)$

$\Rightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} 5x= \frac{\pi }{2}-3x+k2 \pi \\ \\ 5x =- \frac{\pi }{2}+3x +k2 \pi \end{matrix} (k\in \mathbb{Z})$

$\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} x=\frac{\pi }{16}+\frac{k\pi }{4} \\ \\ x=-\frac{\pi }{4} +k\pi \end{matrix}, (k\in Z)$

Vậy nghiệm phương trình là: $x=\frac{\pi }{16}+\frac{k\pi }{4} (k\in Z)$ và $x=-\frac{\pi }{4} +k\pi, (k\in \mathbb{Z})$

b) $tan 3x . tan x = 1$

Điều kiện: $\left\{\begin{matrix} cos3x \neq 0\\ \\ cosx \neq 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\neq \frac{\pi }{6}+k.\frac{\pi }{3}\\ \\ x\neq \frac{\pi }{2} +k.\pi \end{matrix}\right. (k\in \mathbb{Z})$

$tan3x.tanx=1\Rightarrow tan3x=\frac{1}{tanx}\Rightarrow tan3x=cotx$

$\Rightarrow tan3x=tan\left ( \frac{\pi }{2}-x \right )$

$\Rightarrow 3x=\frac{\pi }{2}-x+k \pi(k\in \mathbb{Z})$

$\Rightarrow x=\frac{\pi }{8}+\frac{k \pi }{4}, k \in \mathbb{Z}$ (thoả điều kiện)

Vậy nghiệm phương trình là $x=\frac{\pi }{8}+\frac{k \pi }{4}, k \in \mathbb{Z}$.

Bài trước:

Giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 trang 17 18 sgk Đại số và Giải tích 11

Bài tiếp theo:

Giải bài 1 2 3 4 5 6 trang 36 37 sgk Đại số và Giải tích 11

Xem thêm:

Chúc các bạn làm bài tốt cùng giải bài tập sgk toán lớp 11 với giải bài 1 2 3 4 5 6 7 trang 28 29 sgk Đại số và Giải tích 11!

“Bài tập nào khó đã có giaibaisgk.com“