Hướng dẫn Giải bài 1 2 3 4 5 trang 97 98 sgk Đại số và Giải tích 11

Nội Dung

Hướng dẫn giải Bài §3. Cấp số cộng, Chương III. Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân, sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11. Nội dung bài giải bài 1 2 3 4 5 trang 97 98 sgk Đại số và Giải tích 11 bao gồm tổng hợp công thức, lý thuyết, phương pháp giải bài tập đại số và giải tích có trong SGK để giúp các em học sinh học tốt môn toán lớp 11.

Lý thuyết

1. Định nghĩa

Dãy số (u_n) được xác định bởi $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} = a}\\{{u_{n + 1}} = {u_n} + d}\end{array}} \right.,{\rm{ }}n \in {N^*}$ gọi là cấp số cộng; $d$ gọi là công sai.

2. Các tính chất

$ \bullet $ Số hạng thứ n được cho bởi công thức: ${u_n} = {u_1} + (n – 1)d$.

$ \bullet $ Ba số hạng ${u_k},{u_{k + 1}},{u_{k + 2}}$ là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng khi và chỉ khi ${u_{k + 1}} = \frac{1}{2}\left( {{u_k} + {u_{k + 2}}} \right)$.

$ \bullet $ Tổng $n$ số hạng đầu tiên ${S_n}$ được xác định bởi công thức :

${S_n} = {u_1} + {u_2} + … + {u_n} = \frac{n}{2}\left( {{u_1} + {u_n}} \right) = \frac{n}{2}\left[ {2{u_1} + \left( {n – 1} \right)d} \right]$.

Dưới đây là phần Hướng dẫn trả lời các câu hỏi và bài tập trong phần hoạt động của học sinh sgk Đại số và Giải tích 11.

Câu hỏi

1. Trả lời câu hỏi 1 trang 93 sgk Đại số và Giải tích 11

Biết bốn số hạng đầu của một dãy số là $-1, 3, 7, 11$.

Từ đó hãy chỉ ra một quy luật rồi viết tiếp năm số hạng của dãy theo quy luật đó.

Trả lời:

Quy luật: Kể từ số thứ $2$, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với $4$.

Năm số hạng tiếp của dãy theo quy luật đó: $15; 19; 23; 27; 31$.

2. Trả lời câu hỏi 2 trang 93 sgk Đại số và Giải tích 11

Cho $(u_n)$ là một cấp số cộng có sáu số hạng với $\displaystyle u_1 ={{ – 1} \over 3},d = 3$. Viết dạng khai triển của nó.

Trả lời:

Dạng khai triển của cấp số cộng đó là: $\displaystyle{{ – 1} \over 3};\,{8 \over 3};\,{{17} \over 3};\,{{26} \over 3};\,{{35} \over 3}$

3. Trả lời câu hỏi 3 trang 94 sgk Đại số và Giải tích 11

Mai và Hùng chơi trò xếp các que diêm thành hình tháp trên mặt sân. Cách xếp được thể hiện trên Hình 42.

Hỏi: Nếu tháp có $100$ tầng thì cần bao nhiêu que diêm để xếp tầng đế của tháp?

Trả lời:

Xây $1$ tầng cần $2$ que diêm để xếp tầng đế

Xây $2$ tầng cần $4$ que diêm để xếp tầng đế $(4 = 2 + 1.2)$

Xây $3$ tầng cần $6$ que diêm để xếp tầng đế $(6 = 2 + 2.2)$

Xây $100$ tầng cần $200$ que diêm để xếp tầng đế $(200 = 2 + 99.2)$

4. Trả lời câu hỏi 4 trang 96 sgk Đại số và Giải tích 11

Cấp số cộng gồm tám số hạng -1, 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27 được viết vào bảng sau:

a) Hãy chép lại bảng trên và viết các số hàn của cấp số đó vào dòng thứ hai theo thứ tự ngược lại. Nêu nhận xét về tổng của các số hạng ở mỗi cột.

b) Tính tổng các số hạng của cấp số cộng.

Trả lời:

a) Ta có

-1	3	7	11	15	19	23	27
27	23	19	15	11	7	3	– 1

Nhận xét: Tổng của các số hạng ở mỗi cột bằng nhau và bằng $26$

b) Tổng các số hạng của cấp số cộng là: $\dfrac{{26.8}}{2} = 104$

Dưới đây là phần Hướng dẫn giải bài 1 2 3 4 5 trang 97 98 sgk Đại số và Giải tích 11. Các bạn hãy đọc kỹ đầu bài trước khi giải nhé!

Bài tập

Giaibaisgk.com giới thiệu với các bạn đầy đủ phương pháp giải bài tập đại số và giải tích 11 kèm bài giải chi tiết bài 1 2 3 4 5 trang 97 98 sgk Đại số và Giải tích 11 của Bài §3. Cấp số cộng trong Chương III. Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân cho các bạn tham khảo. Nội dung chi tiết bài giải từng bài tập các bạn xem dưới đây:

Giải bài 1 2 3 4 5 trang 97 98 sgk Đại số và Giải tích 11

1. Giải bài 1 trang 97 sgk Đại số và Giải tích 11

Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là cấp số cộng? Tính số hạng đầu và công sai của nó:

a) $u_n= 5 – 2n$;

b) $u_n= \frac{n}{2}- 1$;

c) $u_n= 3^n$;

d) $u_n= \frac{7-3n}{2}$.

Bài giải:

a) Với mọi $n\in {\mathbb N}^*$ ta có:

${u_{n + 1}} – {u_n} = 5 – 2\left( {n + 1} \right) – \left( {5 – 2n} \right) $

$= 5 – 2n + 2 – 5 + 2n = 2$

Vậy dãy số là cấp số cộng có $u_1= 3$ và công sai $d = -2$.

b) Với mọi $n\in {\mathbb N}^*$ ta có:

$u_{n+1}-u_n= \frac{n+1}{2} – 1 – ( \frac{n}{2}- 1) = \frac{1}{2}$.

Vậy dãy số là cấp số cộng với $u_1= – \frac{1}{2}$ và $d = \frac{1}{2}$.

c) Ta có:

${u_{n + 1}} – {u_n} = {3^{n + 1}} – {3^n} = {3^n}\left( {3 – 1} \right) = {2.3^n}$ không là hằng số (phụ thuộc $n$).

Vậy dãy số không phải là cấp số cộng.

d) Với mọi $n\in {\mathbb N}^*$ ta có:

${u_{n + 1}} – {u_n} = \frac{{7 – 3\left( {n + 1} \right)}}{2} – \frac{{7 – 3n}}{2} = \frac{{7 – 3n – 3 – 7 + 3n}}{2} = – \frac{3}{2}$
Vậy dãy số là cấp số cộng có $u_1 = 2$ và $d = -\frac{3}{2}$.

2. Giải bài 2 trang 97 sgk Đại số và Giải tích 11

Tìm số hạng đầu và công sai của các cấp số cộng sau, biết:

a) $ \left\{\begin{matrix} u_{1}-u_{3}+u_{5}=10\\ u_{1}+u_{6=17} \end{matrix}\right.$;

b) $ \left\{\begin{matrix} u_{7}-u_{3}=8\\ u_{2}.u_{7}=75 \end{matrix}\right.$.

Bài giải:

Sử dụng công thức $u_n= u_1+ (n – 1)d$.

a) Từ hệ thức đã cho ta có:

$u_{3}=u_1+ (3 – 1)d=u_1+ 2d$

$u_{5}=u_1+ (5 – 1)d=u_1+ 4d$

$u_{6}=u_1+ (6 – 1)d=u_1+ 5d$

Ta được hệ sau:

$ \left\{\begin{matrix} u_{1}-u_{1}-2d+u_{1}+4d=10\\ u_{1}+u_{1}+5d =17 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1}+2d=10\\ 2u_{1}+5d = 17 \end{matrix}\right.$

Giải hệ ta được: $u_1= 16, d = -3$.

Vậy số hạng đầu $u_{1}=16$; công sai là $d=-3$

b) Từ hệ đã cho ta có:

$u_{7}=u_1+ (7 – 1)d=u_1+ 6d$

$u_{3}=u_1+ (3 – 1)d=u_1+ 2d$

$u_{2}=u_1+ (2 – 1)d=u_1+ d$

$ \left\{\begin{matrix} u_{1}+6d-u_{1}-2d =8\\ (u_{1}+d)(u_{1}+6d)=75 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2d =4\\ (u_{1}+d)(u_{1}+6d)=75 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} d =2\\ (u_{1}+2)(u_{1}+6.2)=75 \end{matrix}\right.$

Giải hệ ta được: $u_1= 3$ và $d = 2$ hoặc $u_1= -17$ và $d = 2$

Vậy số hạng đầu $u_{1}=3$ hoặc $u_{1}= -17$; công sai là $d = 2$

3. Giải bài 3 trang 97 sgk Đại số và Giải tích 11

Trong các bài toán về cấp số cộng, ta thường gặp năm đại lượng $u_1, n, d, u_n, S_n$.

a) Hãy viết các hệ thức liên hệ giữa các đại lượng để có thể tìm được các đại lượng còn lại?

b) Lập bảng theo mẫu sau và điền vào chỗ trống thích hợp:

Bài giải:

a) Ta có thể sử dụng các công thức sau:

$u_{n}=u_{1}+(n-1)d; d\geq 2$

$S_{n}=\frac{n(u_{1}+u_{n})}{2}$

$\Leftrightarrow S_{n}=n.u_{1}+\frac{n(n-1)}{2}d$

Cần biết ít nhất ba trong năm đại lượng $u_1, n, d, u_n, S_n$ thì có thể tính được hai đại lượng còn lại.

b) Thực chất đây là năm bài tập nhỏ, mỗi bài ứng với các dữ liệu ở một dòng.

Ta giải từng bài tập nhỏ ta sẽ hoàn thành bảng.

Biết $u_1= -2, u_n= 55, n = 20$. Tìm $d, S_n$

Áp dụng công thức $d = {{{u_n} – {u_1}} \over {n – 1}}=\frac{55-(-2)}{20-1}=3$

${S_n} = {{({u_1} + {u_n}).n} \over 2}=\frac{(-2+55).20}{2}=530$

Đáp số: $d = 3, S_{20}= 530$.

Biết $d = -4, n = 15$, $S_n= 120$

Tìm $u_1,u_n$

Áp dụng công thức $u_{15}= u_1+ (n – 1)d=u_{1}+(15-1).(-4)=u_{1}-56$

$\Leftrightarrow u_{1}-u_{15}=56$(1)

${S_n} = {{({u_1} + {u_n}).n} \over 2}$

$\Rightarrow S_{15} = {{({u_1} + {u_15}).15} \over 2}$

$\Leftrightarrow \frac{({u_1} + u_{15}).15}{2}=120$

$\Leftrightarrow ({u_1} + u_{15}).15=240$

$\Leftrightarrow {u_1} + u_{15}=16$(2)

Từ (1) và (2) ta có hệ sau:

$\left\{ \matrix{{u_1} – {u_{15}} = 56 \hfill \cr {u_1} + {u_{15}} = 16 \hfill \cr} \right.$

Giải hệ trên, ta được $u_1= 36, u_{15}= – 20$.

Áp dụng công thức $u_n= u_1+ (n – 1)d$

Ta có $n-1=\frac{u_{n}-u_{1}}{d}=\frac{7-3}{\frac{4}{27}}=27\Rightarrow n=28$

Áp dụng công thức ${S_n} = \frac{(u_{1}+u_{n}).n}{2}=\frac{(3+7).28}{2}=140$

Đáp số: $n = 28$, $S_n= 140$.

Áp dụng công thức ${S_n} = {{({u_1} + {u_n}).n} \over 2}$

$\Leftrightarrow u_{1}+u_{n}=\frac{S_{n}.2}{n}=\frac{72.2}{12}=12$

$\Rightarrow u_{1}=12-u_{n}=12-17=-5$

Áp dụng công thức

$u_n= u_1+ (n – 1)d\Rightarrow d=\frac{u_{n}-u_{1}}{n-1}=\frac{17-(-5)}{12-1}=2$

Đáp số: $u_1= -5, d= 2$.

Áp dụng công thức ${S_n} = {{\left[ {2{u_1} + (n – 1)d} \right].n} \over 2}$

Thay số vào ta tìm được giá trị của n.

Tiếp theo áp dụng công thức $u_n= u_1+ (n – 1)d$

Ta tìm được giá trị của $u_{n}$

Đáp số: $n = 10, u_n= -43$.

Ta được bảng sau:

4. Giải bài 4 trang 98 sgk Đại số và Giải tích 11

Mặt sàn tầng một của một ngôi nhà cao hơn mặt sân $0,5 m$. Cầu thang đi từ tầng một lên tầng $2$ gồm $21$ bậc, mỗi bậc cao $18 cm$.

a) Hãy viết công thức để tìm độ cao của một bậc tuỳ ý so với mặt sân;

b) Tính độ cao của sàn tầng hai so với mặt sân.

Bài giải:

a) Đổi $18cm=0,18m$

Gọi chiều cao của bậc thứ n so với mặt sân là $h_n$

Ta có: $ h_n= 0,5 + n.0,18(m)$.

b) Vì cầu thang đi từ tầng một lên tầng hai gồm 21 bậc nên ta có chiều cao của sàn tầng hai so với mặt sân là $h_{21}$

Chiều cao mặt sàn tầng hai so với mặt sân là

$h_{21}= 0,5 + 21.0,18 = 4,28 (m)$.

5. Giải bài 5 trang 98 sgk Đại số và Giải tích 11

Từ $0$ giờ đến $12$ giờ trưa, đồng hồ đánh bao nhiêu tiếng, nếu nó chỉ đánh chuông báo giờ và số tiếng chuông bằng số giờ.

Bài giải:

Đồng hồ đánh số tiếng chuông là:

$S = 1 + 2 + 3 +….+ 12$

Đây là tổng của 12 số hạng của cấp số cộng có $u_1= 1, u_{12}= 12$.

Do đó áp dụng công thức tính tổng. Ta có:

$S_{12} = \frac{(1+12).12}{2} = 78$.

Vậy đồng hồ đánh $78$ tiếng chuông.

Bài trước:

Giải bài 1 2 3 4 5 trang 92 sgk Đại số và Giải tích 11

Bài tiếp theo:

Giải bài 1 2 3 4 5 6 trang 103 104 sgk Đại số và Giải tích 11

Xem thêm:

Chúc các bạn làm bài tốt cùng giải bài tập sgk toán lớp 11 với giải bài 1 2 3 4 5 trang 97 98 sgk Đại số và Giải tích 11!

“Bài tập nào khó đã có giaibaisgk.com“