Giải bài 1 2 3 4 5 trang 92 sgk Đại số và Giải tích 11

Hướng dẫn giải Bài §2. Dãy số, Chương III. Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân, sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11. Nội dung bài giải bài 1 2 3 4 5 trang 92 sgk Đại số và Giải tích 11 bao gồm tổng hợp công thức, lý thuyết, phương pháp giải bài tập đại số và giải tích có trong SGK để giúp các em học sinh học tốt môn toán lớp 11.


Lý thuyết

1. Dãy số

Dãy số là tập hợp các giá trị của hàm số \(u:\mathbb{N}* \to \mathbb{R},{\rm{ }}n \to u(n)\)

Được sắp xếp theo thứ tự tăng dần liên tiếp theo đối số tự nhiên \(n\):

\(u(1),u(2),u(3),…,u(n),…\)

\( \bullet {\rm{ }}\)Ta kí hiệu \(u(n)\) bởi \({u_n}\) và gọi là số hạng thứ n hay số hạng tổng quát của dãy số, \({u_1}\) được gọi là số hạng đầu của dãy số.

\( \bullet \) Ta có thể viết dãy số dưới dạng khai triển \({u_1},{u_2},…,{u_n},…\) hoặc dạng rút gọn \(({u_n})\).

2. Cách cho dãy số

Người ta thường cho dãy số theo các cách:

\( \bullet \) Cho số hạng tổng quát, tức là: cho hàm số u xác định dãy số đó

\( \bullet \) Cho bằng công thức truy hồi, tức là:

Cho một vài số hạng đầu của dãy

Cho hệ thức biểu thị số hạng tổng quát qua số hạng (hoặc một vài số hạng) đứng trước nó.

3. Dãy số tăng, dãy số giảm

\( \bullet \) Dãy số \(({u_n})\) gọi là dãy tăng nếu \({u_n} < {u_{n + 1}}{\rm{ }}\forall n \in \mathbb{N}*\)

\( \bullet \) Dãy số \(({u_n})\) gọi là dãy giảm nếu \({u_n} > {u_{n + 1}}{\rm{ }}\forall n \in \mathbb{N}*\)

4. Dãy số bị chặn

\( \bullet \) Dãy số \(({u_n})\) gọi là dãy bị chặn trên nếu có một số thực \(M\) sao cho \({u_n} < M{\rm{ }}\forall n \in \mathbb{N}*\).

\( \bullet \) Dãy số \(({u_n})\) gọi là dãy bị chặn dưới nếu có một số thực \(m\) sao cho \({u_n} > m{\rm{ }}\forall n \in \mathbb{N}*\).

\( \bullet \) Dãy số vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới gọi là dãy bị chặn, tức là tồn tại số thực dương \(M\) sao cho \(\left| {{u_n}} \right| < M{\rm{ }}\forall n \in \mathbb{N}*\).

Dưới đây là phần Hướng dẫn trả lời các câu hỏi và bài tập trong phần hoạt động của học sinh sgk Đại số và Giải tích 11.


Câu hỏi

1. Trả lời câu hỏi 1 trang 85 sgk Đại số và Giải tích 11

Cho hàm số \(\displaystyle f(n) ={1 \over {2n – 1}}\), n ∈ N*. Tính f(1), f(2), f(3), f(4), f(5).

Trả lời:

Ta có:

\(\eqalign{
& f(1) = {1 \over {2.1 – 1}} = {1 \over {2 – 1}} = {1 \over 1} = 1 \cr
& f(2) = {1 \over {2.2 – 1}} = {1 \over {4 – 1}} = {1 \over 3} \cr
& f(3) = {1 \over {2.3 – 1}} = {1 \over {6 – 1}} = {1 \over 5} \cr
& f(4) = {1 \over {4.2 – 1}} = {1 \over {8 – 1}} = {1 \over 7} \cr
& f(5) = {1 \over {5.2 – 1}} = {1 \over {10 – 1}} = {1 \over 9} \cr} \)


2. Trả lời câu hỏi 2 trang 86 sgk Đại số và Giải tích 11

Hãy nêu các phương pháp cho một hàm số và ví dụ minh họa.

Trả lời:

– Hàm số cho bằng bảng:

Ví dụ:

x 0 1 2 3 4
y 1 3 5 7 9

– Hàm số cho bằng công thức:

Ví dụ:

\(\displaystyle y = {{5x + 1} \over x}\)


3. Trả lời câu hỏi 3 trang 86 sgk Đại số và Giải tích 11

Viết năm số hạng đầu và số hạng tổng quát của các dãy số sau:

a) Dãy nghịch đảo của các số tự nhiên lẻ;

b) Dãy các số tự nhiên chia cho $3$ dư $1$.

Trả lời:

a) Năm số hạng đầu:

\(\displaystyle {1 \over 1};\,{1 \over 3};\,{1 \over 5};\,{1 \over 7};\,{1 \over 9}\)

số hạng tổng quát của dãy số: \(\displaystyle{1 \over {2n + 1}}\) (n∈N)

b) Năm số hạng đầu: $1; 4; 7; 10; 13$

số hạng tổng quát của dãy số: $3n + 1(n ∈ N)$


4. Trả lời câu hỏi 4 trang 87 sgk Đại số và Giải tích 11

Viết mười số hạng đầu của dãy Phi-bô-na-xi.

Trả lời:

Mười số hạng đầu của dãy Phi-bô-na-xi:

$1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55.$


5. Trả lời câu hỏi 5 trang 89 sgk Đại số và Giải tích 11

Cho các dãy số (un) và (vn) với un = 1 + \({1 \over n}\); vn = 5n – 1.

a) Tính un+1, vn+1.

b) Chứng minh un+1 < un và vn+1 > vn, với mọi n ∈ N*.

Trả lời:

a) un = 1 + \({1 \over {n+1}}\); vn+1= 5(n + 1) – 1 = 5n + 4

b) Ta có:

\({u_{n + 1}} – {u_n} = (1 + {1 \over {n + 1}}) – (1 + {1 \over n}) = {1 \over {n + 1}} – {1 \over n} = {{ – 1} \over {n(n + 1)}}\)

⇒ un+1 < un , ∀n ∈ N*

\({v_{n + 1}} – {v_n} = (5n + 4) – (5n – 1) = 5 > 0\)

⇒ vn+1 > vn ,∀n ∈ N*


6. Trả lời câu hỏi 6 trang 90 sgk Đại số và Giải tích 11

Chứng minh các bất đẳng thức \(\displaystyle{n \over {{n^2} + 1}} \le {1 \over 2};\,\,\,{{{n^2} + 1} \over {2n}} \ge 1\) với mọi n∈N*

Trả lời:

Ta có:

\(\eqalign{
& {{{n^2}} \over {{n^2} + 1}} – {1 \over 2} = {{2n – ({n^2} + 1)} \over {2({n^2} + 1)}} = {{ – {{(n – 1)}^2}} \over {2({n^2} + 1)}} \le 0;\,\,\forall n \in {N^*} \cr
& \Rightarrow {n \over {{n^2} + 1}} < {1 \over 2};\,\,\forall n \in {N^*} \cr
& {{{n^2} + 1} \over {2n}} – 1 = {{{n^2} + 1 – 2n} \over {2n}} = {{{{(n – 1)}^2}} \over {2n}} \ge 0;\,\,\forall n \in N* \cr
& \Rightarrow {{{n^2} + 1} \over {2n}} \ge 1;\,\,\forall n \in {N^*} \cr} \)

Dưới đây là phần Hướng dẫn giải bài 1 2 3 4 5 trang 92 sgk Đại số và Giải tích 11. Các bạn hãy đọc kỹ đầu bài trước khi giải nhé!


Bài tập

Giaibaisgk.com giới thiệu với các bạn đầy đủ phương pháp giải bài tập đại số và giải tích 11 kèm bài giải chi tiết bài 1 2 3 4 5 trang 92 sgk Đại số và Giải tích 11 của Bài §2. Dãy số trong Chương III. Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân cho các bạn tham khảo. Nội dung chi tiết bài giải từng bài tập các bạn xem dưới đây:

Giải bài 1 2 3 4 5 trang 92 sgk Đại số và Giải tích 11
Giải bài 1 2 3 4 5 trang 92 sgk Đại số và Giải tích 11

1. Giải bài 1 trang 92 sgk Đại số và Giải tích 11

Viết năm số hạng đầu của các dãy số có số hạng tổng quát un cho bởi công thức:

a) un = \( \frac{n}{2^{n}-1}\);

b) un = \( \frac{2^{n}-1}{2^{n}+1}\) ;

c) un = \( (1+\frac{1}{n})^{n}\);

d) un = \( \frac{n}{\sqrt{n^{2}+1}}\).

Bài giải:

Với $n = 1, n = 2, n = 3, n = 4, n = 5$ ta tìm được $5$ số hạng đầu của các dãy số

a) un = \( \frac{n}{2^{n}-1}\);

u1 = 1; u2 = \( \frac{2}{3}\), \( u_{3}=\frac{3}{7}; u_{4}=\frac{4}{15};u_{5}=\frac{5}{31}\)

b) un = \( \frac{2^{n}-1}{2^{n}+1}\)

\( u_{1}=\frac{1}{3},u_{2}=\frac{3}{5};u_{3}=\frac{7}{9};u_{4}=\frac{15}{17};u_{5}=\frac{31}{33}\)

c) un = \( (1+\frac{1}{n})^{n}\);

u1 = 2; \( u_{2}=\frac{9}{4};u_{3}=\frac{64}{27};u_{4}=\frac{625}{256};u_{5}=\frac{7776}{3125}\)

d) un = \( \frac{n}{\sqrt{n^{2}+1}}\)

\( u_{1}=\frac{1}{\sqrt{2}};u_{2}=\frac{2}{\sqrt{5}};u_{3}=\frac{3}{\sqrt{10}};u_{4}=\frac{4}{\sqrt{17}};u_{5}=\frac{5}{\sqrt{26}}\)


2. Giải bài 2 trang 92 sgk Đại số và Giải tích 11

Cho dãy số Un , biết: u1 = -1; un+1 = un +3 với $n ≥ 1$.

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số;

b) Chứng minh bằng phương pháp quy nạp: un = 3n -4.

Bài giải:

a) Từ u1 = -1 ta tìm được u2 = 2, lần lượt như vậy ta tìm được u3, u4, u5 có giá trị là $5, 8, 11$.

b) Ta thấy, với n =1 thì u1 =$ 3.1 – 4 = -1.$

Giả sử hệ thức đúng với n = k ≥ 1 ⇒ uk $= 3k -4.$

Xét với $n = k +1$ ta có:

uk+1 = uk + 3 = $3k – 4 + 3$ = $3(k + 1) – 4 = 3n – 4$ (đpcm)

Vậy hệ thức đúng với mọi n ε N*


3. Giải bài 3 trang 92 sgk Đại số và Giải tích 11

Dãy số un cho bởi: u1 = 3; un+1 = \( \sqrt{1+u^{2}_{n}}\), $n ≥ 1.$

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số;

b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát và chứng minh côngt hức đó bằng phương pháp quy nạp.

Bài giải:

a) Từ u1 = 3 ta tìm được u2 = $\sqrt{10}$, lần lượt như vậy ta tìm được u3, u4, u5 có giá trị là $\sqrt{11}$ , $\sqrt{12}$ , $\sqrt{13}$.

b) Từ các kết quả của câu a ta dự đoạn công thức của dãy số như sau:

$u_n = \sqrt{n + 8}$ (*)

Chứng minh:

Ta thấy, với $n = 1$ thì công thức (*) đúng.

Giả sử đúng với $n = k ≥ 1$, thì $u_k = \sqrt{k + 8}$

Xét với $n = k + 1$, ta có:

uk+1 = \( \sqrt{1+u^{2}_{k}}=\sqrt{1+(\sqrt{k+8})^{2}}=\sqrt{(k+1)+8}\) $= \sqrt{n + 8}$ (đpcm)

Như vậy công thức (1) đúng với $n = k + 1$.


4. Giải bài 4 trang 92 sgk Đại số và Giải tích 11

Xét tính tăng, giảm của các dãy số un biết:

a) $u_n = \frac{1}{n} – 2;$

b) $u_n = \frac{n-1}{n+1};$

c) $u_n=(-1)^n(2^n + 1);$

d) $u_n = \frac{2n+1}{5n+2}.$

Bài giải:

a) Ta có un+1 = \( \frac{1}{n+1} – 2\)

Xét hiệu:

un+1 – un = \( \frac{1}{n+1} – 2 – ( \frac{1}{n}\) – 2)\)

\(= \frac{1}{n+1}\) – \( \frac{1}{n}\).

Ta thấy \( \frac{1}{n+1}\) < \( \frac{1}{n}\) nên un+1 – un = \( \frac{1}{n+1}\) – \( \frac{1}{n}\) < 0 với mọi n ε N* .

⇒ dãy số đã cho là dãy số giảm.

b) Ta có un+1 = $\frac{n+1-1}{n+1+1}$

⇒ un+1 – un = \( \frac{n+1-1}{n+1+1}-\frac{n-1}{n+1}=\frac{n}{n+2}-\frac{n-1}{n+1}\)

= \( \frac{n^{2}+n- n^{2}-n+2}{(n+1)(n+2)}=\frac{2}{(n+1)(n+2)}>0\)

⇒ dãy số đã cho là dãy số tăng.

c) Các số hạng ban đầu vì có thừa số (-1)n, nên dãy số dãy số không tăng và cũng không giảm.

d) Ta có $u_{n+1} = \frac{2n+3}{5n+7}$

Ta có \( \frac{u_{n+1}}{u_{n}}\) \( =\frac{2n+3}{5n+7}.\frac{5+2}{2n+1}=\frac{10n^{2}+19n+6}{10n^{2}+19n+7}<1\) với mọi n ε N*

⇒ dãy số đã cho là dãy số giảm dần.


5. Giải bài 5 trang 92 sgk Đại số và Giải tích 11

Trong các dãy số sau, dãy số nào bị chặn dưới, dãy số nào bị chặn trên, dãy số nào bị chặn?

a) un = 2n2 -1;

b) un = \( \frac{1}{n(n+2)}\)

c) un = \( \frac{1}{2n^{2}-1}\);

d) un = sinn + cosn

Bài giải:

a) un = 2n2 -1;

Ta có un = 2n2 -1 ≥ 1 với mọi n ε N*

⇒ Dãy số bị chặn dưới và không tồn tại một số M để un = 2n2 -1 ≤ M, nên dãy số không bị chặn trên.

b) un = \( \frac{1}{n(n+2)}\)

Ta thấy: un > 0 với mọi n ε N*

Ta có: n(n + 2) = n2 + 2n ≥ 3 ⇒ \( \frac{1}{n(n+2)}\) \( \leq \frac{1}{3}\).

⇒ 0 < un \( \leq \frac{1}{3}\) với mọi n ε N* ⇒ dãy số bị chặn.

c) un = \( \frac{1}{2n^{2}-1}\);

Ta có: 2n2 – 1 > 0 ⇒ \( \frac{1}{2n^{2}-1}\) > 0

mà 2n2 – 1≥ 1 ⇒ \( u_{n}=\frac{1}{2n^{2}-1}\) ≤ 1.

⇒ 0 < un ≤ 1, với mọi n ε N*  ⇒ Dãy số bị chặn.

d) un = sinn + cosn

Ta có: $u_n = \sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}sinn + \frac{\sqrt{2}}{2}cosn) = \sqrt{2}sin(n + \frac{\pi }{4})$, với mọi n.

⇒ $-\sqrt{2} ≤ sinn + cosn ≤ \sqrt{2}$ với mọi n ε N*

Vậy $-\sqrt{2} < u_n < \sqrt{2}$, với mọi n ε N*


Bài trước:

Bài tiếp theo:


Xem thêm:

Chúc các bạn làm bài tốt cùng giải bài tập sgk toán lớp 11 với giải bài 1 2 3 4 5 trang 92 sgk Đại số và Giải tích 11!


“Bài tập nào khó đã có giaibaisgk.com