Hướng dẫn Giải bài 1 2 3 trang 11 sgk Hình học 11

Nội Dung

Hướng dẫn giải Bài §3. Phép đối xứng trục, Chương I. Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng, sách giáo khoa Hình học 11. Nội dung bài giải bài 1 2 3 trang 11 sgk Hình học 11 bao gồm tổng hợp công thức, lý thuyết, phương pháp giải bài tập hình học có trong SGK để giúp các em học sinh học tốt môn toán lớp 11.

Lý thuyết

1. Định nghĩa

Cho đường thẳng $d$. Phép biến mỗi điểm $M$ thuộc $d$ thành chính nó. Biến mỗi điểm $M$ không thuộc $d$ thành điểm $M’$ sao cho $d$ là đường trung trực của $MM’$, được gọi là phép đối xứng qua đường thẳng $d$ (hay là phép đối xứng trục). Đường thẳng $d$ gọi là trục đối xứng.

Phép đối xứng trục $d$ thường được kí hiệu là Đ_d.

Nhận xét:

$Đd(M)=M’ ⇒ Đd(M’) = M$.

$M \in d ⇒ Đd(M) = M$.

2. Biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục

a) Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ sao cho đường thẳng $d$ trùng với trục $Ox$.

Với mỗi điểm $M(x;y)$, gọi $M’(x’;y’)$ là ảnh của $M$ qua phép đối xứng trục $d$ hay M’=Đ_d(M) = $(x’;y’)$ thì:

$\left\{ \begin{array}{l}
x’ = x\\
y’ = – y
\end{array} \right.$

b) Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ sao cho đường thẳng d trùng với trục $Oy$

Với mỗi điểm $M(x;y)$, gọi $M’(x’;y’)$ là ảnh của $M$ qua phép đối xứng trục $d$ hay $M’= $Đ_d(M)$=(x’;y’)$ thì:

$\left\{ \begin{array}{l}
x’ = – x\\
y’ = y
\end{array} \right.$

3. Tính chất

♦ Tính chất 1:

Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.

♦ Tính chất 2:

Phép đối xứng trục biến một đường thẳng thành một đường thẳng, biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng bằng nó, biến một tam giác thành một tam giác bằng nó, biến một đường tròn thành một đường tròn có cùng bán kính.

4. Trục đối xứng của một hình

Đường thẳng $d$ gọi là trục đối xứng của hình $H$ nếu phép dối xứng qua $d$ biến hình $H$ thành chính nó, tức là Đ_d(H) = H.

Dưới đây là phần Hướng dẫn trả lời các câu hỏi và bài tập trong mục hoạt động của học sinh trên lớp sgk Hình học 11.

Câu hỏi

1. Trả lời câu hỏi 1 trang 9 sgk Hình học 11

Cho hình thoi $ABCD$ (h.1.12). Tìm ảnh của các điểm $A, B, C, D$ qua phép đối xứng trục $AC.$

Trả lời:

Qua phép đối xứng trục $AC$ ảnh của $A$ là $A$, ảnh của $B$ là $D$, ảnh của $C$ là $C$, ảnh của $D$ là $B.$

2. Trả lời câu hỏi 2 trang 9 sgk Hình học 11

Chứng minh nhận xét 2.

M’ = Đ_d(M)⇔ M = Đ_d(M’)

Trả lời:

M’= Đ_d(M) nghĩa là phép biến hình này biến mỗi điểm M thuộc d thành chính nó hoặc biến mỗi điểm M không thuộc d thành M’ sao cho d là đường trung trực của đoạn thẳng MM’

$M ∈ d$ ⇒ M’= Đ_d(M) ≡ M ⇒ M = Đ_d(M’)

$M ∉ d$ ⇒ M’= Đ_d(M) thì d là đường trung trực của $MM’$

$⇒ M’∉ d $ và phép biến hình biến mỗi điểm$ M’$ thành $M$ sao cho $d$ là đường trung trực của đoạn thẳng $M’M$

⇒ M = Đ_d(M’)

3. Trả lời câu hỏi 3 trang 9 sgk Hình học 11

Tìm ảnh của các điểm $A(1; 2), B(0; -5)$ qua phép đối xứng trục qua trục $Ox$.

Trả lời:

Gọi $A'(a,b)$ và $B'(c,d)$ lần lượt là ảnh của $A$ và $B$ qua phép đối xứng trục qua trục $Ox.$

$\eqalign{
& \Rightarrow \left\{ \matrix{
a = 1 \hfill \cr
b = – 2 \hfill \cr} \right.;\,\,\left\{ \matrix{
c = 0 \hfill \cr
d = 5 \hfill \cr} \right. \cr
& hay\,\,\,A'(1, – 2);\,\,\,B'(0,5) \cr} $

4. Trả lời câu hỏi 4 trang 10 sgk Hình học 11

Tìm ảnh của các điểm $A(1; 2), B(5; 0)$ qua phép đối xứng trục $Oy.$

Trả lời:

Gọi $A'(a,b)$ và $B'(c,d)$ lần lượt là ảnh của $A$ và $B$ qua phép đối xứng trục qua trục $Oy$.

$\eqalign{
& \Rightarrow \left\{ \matrix{
a = – 1 \hfill \cr
b = 2 \hfill \cr} \right.;\,\,\,\left\{ \matrix{
c = – 5 \hfill \cr
d = 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Rightarrow A'( – 1,2);\,\,B'( – 5,0) \cr} $

5. Trả lời câu hỏi 5 trang 10 sgk Hình học 11

Chọn hệ tọa độ $Oxy$ sao cho trục $Ox$ trùng với trục đối xứng, rồi dùng biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục $Ox$ để chứng minh tính chất 1.

Trả lời:

Lấy ảnh $A’,B’$ của hai điểm $A(1; 2)$ và $B(2; 3)$ qua phép đối xứng trục $Ox.$

Lấy ảnh $A’,B’$ của hai điểm $A(1; 2)$ và $B(2; 3)$ qua phép đối xứng trục $Ox$.

Dùng biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục $Ox$, ta có:

$A'(1;-2), B'(2;-3)$

$\eqalign{
& AB = \sqrt {{{(2 – 1)}^2} + {{(3 – 2)}^2}} = \sqrt {{1^2} + {1^2}} = \sqrt 2 \cr
& A’B’ = \sqrt {{{(2 – 1)}^2} + {{( – 3 – ( – 2))}^2}} = \sqrt {{1^2} + {{( – 1)}^2}} = \sqrt 2 \cr} $

$⇒ A’B’ = AB$

6. Trả lời câu hỏi 6 trang 11 sgk Hình học 11

a) Trong những chữ cái dưới đây, chữ nào là hình có trục đối xứng?

b) Tìm một số hình tứ giác có trục đối xứng.

Trả lời:

a) Các chữ cái có trục đối xứng là: $H; A; O; N$.

b) Một số hình tứ giác có trục đối xứng là: hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông.

Dưới đây là Hướng dẫn giải bài 1 2 3 trang 11 sgk Hình học 11. Các bạn hãy đọc kỹ đầu bài trước khi giải nhé!

Bài tập

Giaibaisgk.com giới thiệu với các bạn đầy đủ phương pháp giải bài tập hình học 11 kèm bài giải chi tiết bài 1 2 3 trang 11 sgk Hình học 11 của Bài §3. Phép đối xứng trục trong Chương I. Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng cho các bạn tham khảo. Nội dung chi tiết bài giải từng bài tập các bạn xem dưới đây:

1. Giải bài 1 trang 11 sgk Hình học 11

Trong mặt phẳng $Oxy$ cho hai điểm $A(1;-2)$ và $B(3;1)$. Tìm ảnh của $A, B$ và đường thẳng $AB$ qua phép đối xứng trục $Ox$.

Bài giải:

Ta có:

Gọi $A’, B’$ lần lượt là ảnh của $A$ và $B$ qua phép đối xứng trục $Ox$.

Ta có:

$\left\{\begin{matrix} x_{A’}=x_A\\ y_{A’}=y_A \end{matrix}\right.; \left\{\begin{matrix} x_{B’}=x_B\\ y_{B’}=-y_B \end{matrix}\right.$

Do đó $A'(1;2); B'(3;-1)$.

Ta có: $\overrightarrow {A’B’} = (2; – 3) \Rightarrow \overrightarrow n = (3;2)$ là một VTPT của $A’B’$.

Vậy phương trình đường thẳng A’B’ ảnh của đường thẳng AB qua phép đối xứng trục $Ox$ là:

$3(x-1)+2(y-2)=0\Leftrightarrow 3x+2y-7=0$.

2. Giải bài 2 trang 11 sgk Hình học 11

Trong mặt phẳng $Oxy$ cho đường thẳng d có phương trình $3x-y+2=0$. Viết phương trình của đường thẳng $d’$ là ảnh của $d$ qua phép đối xứng trục $Oy.$

Bài giải:

♦ Cách 1:

Lấy hai điểm $A(0;2)$ và $B (-1;-1)$ thuộc $d$.

Gọi $A’$ = ${D_{Oy}}(A)$, $B’$ = ${D_{Oy}} (B)\Rightarrow A’ = (0;2)$, $B’ = (1;-1)$.

Khi đó ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng trục Oy là đường thẳng A’B’ có phương trình:

$ \dfrac{x-0}{1-0}$ = $ \dfrac{y-2}{-1-2}\Leftrightarrow 3x + y -2 =0$

♦ Cách 2:

Gọi $M'(x’, y’)$ là ảnh của $M (x;y)$ qua phép đối xứng trục $Oy$.

Khi đó $\left\{ \begin{array}{l}x’ = – x\\y’ = y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = – x’\\y = y’\end{array} \right.$

Ta có $M$ thuộc $d ⇔ 3x-y+2 =0$ $⇔ -3x’ – y’ + 2=0$ $ ⇔ M’ $ thuộc đường thẳng $d’$ có phương trình $3x + y – 2 = 0$

3. Giải bài 3 trang 11 sgk Hình học 11

Trong các chữ cái sau, chữ nào có trục đối xứng?

Bài giải:

Các chữ $V, I, E, T , A, M, W, O$ là những chữ có trục đối xứng.

Chữ $N$ không có trục đối xứng.

Bài trước:

Giải bài 1 2 3 4 trang 7 8 sgk Hình học 11

Bài tiếp theo:

Giải bài 1 2 3 trang 15 sgk Hình học 11

Xem thêm:

Chúc các bạn làm bài tốt cùng giải bài tập sgk toán lớp 11 với giải bài 1 2 3 trang 11 sgk Hình học 11!

“Bài tập nào khó đã có giaibaisgk.com“