Hướng dẫn Giải bài 1 2 3 trang 15 sgk Hình học 11

Nội Dung

Hướng dẫn giải Bài §4. Phép đối xứng tâm, Chương I. Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng, sách giáo khoa Hình học 11. Nội dung bài giải bài 1 2 3 trang 15 sgk Hình học 11 bao gồm tổng hợp công thức, lý thuyết, phương pháp giải bài tập hình học có trong SGK để giúp các em học sinh học tốt môn toán lớp 11.

Lý thuyết

1. Định nghĩa

Cho điểm $I$. Phép biến hình biến điểm $I$ thành chính nó, biến mỗi điểm $M$ khác $I$ thành $M’$ sao cho $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $MM’$ được gọi là phép đối xứng tâm $I$.

Ký hiệu: Đ_I

– $I$ gọi là tâm đối xứng.

– Nếu Đ_I(H) $= H’$ thì ta gọi $H$ đối xứng với $H’$ qua tâm $I$ hay $H$ và $H’$ đối xứng nhau qua tâm $I$.

– Ta có: Đ_I(M)=M’$ \Leftrightarrow \overrightarrow {IM’} = – \overrightarrow {IM} $

Biểu diễn ảnh qua phép đối xứng tâm:

Ví dụ: Cho tam giác ABC và điểm I. Hãy biểu diễn ảnh A’B’C’ của ABC qua phép đối xứng tâm I.

Đ_I(ABC) = A’B’C’.

Chú ý:

Ta có: Đ_I(M)=M’$ \Leftrightarrow $Đ_I(M’)=M.

Chứng minh: Đ_I(M)=M’$ \Leftrightarrow \overrightarrow {IM’} = – \overrightarrow {IM} \Leftrightarrow \overrightarrow {IM} = – \overrightarrow {IM’} \Leftrightarrow $Đ_I(M’)=M.

2. Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm

Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua gốc tọa độ:

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho $M(x;y)$, gọi độ $M’(x’;y’)$ là ảnh của $M$ qua phép đối xứng tâm $O$ ta có:

Đ_O(M)=M’ thì: $\left\{ \begin{array}{l}x’ = – x\\y’ = – y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x’ = – x\\y’ = – y\end{array} \right.$

Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm bất kì:

Trong hệ tọa độ Oxy, cho $E(a;b),\,M\left( {{x_0};{y_0}} \right).$ Đ_E(M)=M’(x₀’;y₀’) có biểu thức tọa độ: $\left\{ \begin{array}{l}x{‘_0} = 2a – {x_0}\\y{‘_0} = 2a – {y_0}\end{array} \right..$

3. Tính chất

♦ Tính chất 1:

Nếu Đ_I(M)=M’ và Đ_I(N)=N’ thì: $\left\{ \begin{array}{l}M’N’ = MN\\\overrightarrow {M’N’} = – \overrightarrow {MN} \end{array} \right.$

♦ Tính chất 2:

Phép đối xứng tâm biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

4. Tâm đối xứng của một hình

Điểm $I$ được gọi là tâm đối xứng của hình $H$ nếu phép đối xứng qua $I$ biến $H$ thành chính nó.

$ \Rightarrow $ Ta gọi $H$ là hình có tâm đối xứng.

Dưới đây là phần Hướng dẫn trả lời các câu hỏi và bài tập trong mục hoạt động của học sinh trên lớp sgk Hình học 11.

Câu hỏi

1. Trả lời câu hỏi 1 trang 13 sgk Hình học 11

Chứng minh rằng M’ = Đ_I(M) ⇔ M = Đ_I(M’)

Trả lời:

M’ = Đ_I (M) nghĩa là phép biến hình này biến điểm $I$ thành chính nó hoặc biến mỗi điểm $M$ khác $I$ thành $M’$ sao cho $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $MM’$

$M ≡ I $⇒ M’ = Đ_I(M) ≡ M ≡ I ⇒ M = Đ_I(M’)

$M ≠ I$ ⇒ M’ = Đ_I(M) thì $I$ là trung điểm của $MM’$

⇒ $M’ ≠ I$ và phép biến hình biến mỗi điểm $M’$ thành $M$ sao cho $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $M’M$

⇒ M = Đ_I (M’)

2. Trả lời câu hỏi 2 trang 13 sgk Hình học 11

Cho hình bình hành $ABCD$. Gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo. Đường thẳng kẻ qua $O$ vuông góc với $AB$, cắt $AB$ ở $E$ và cắt $CD$ ở $F$. Hãy chỉ ra các cặp điểm trên hình vẽ đối xứng với nhau qua tâm $O$.

Trả lời:

Hình bình hành $ABCD$ có $O$ là giao điểm của hai đường chéo ⇒ $O$ là trung điểm mỗi đường nên $A$ và $C$ đối xứng nhau qua tâm $O. B$ và $D$ đối xứng nhau qua tâm $O$.

Xét hai tam giác vuông $AEO$ và $CFO$ có:

$OA = OC$ (do $O$ là trung điểm $AC$)

$∠(AOE) = ∠(COF)$ (hai góc đối đỉnh)

$⇒ ΔAEO = ΔCFO$ (cạnh huyền – góc nhọn kề)

$⇒ OE = OF$ (hai cạnh tương ứng)

Nên $O$ là trung điểm $EF$

⇒ $E$ và $F$ đối xứng nhau qua tâm $O$.

3. Trả lời câu hỏi 3 trang 13 sgk Hình học 11

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho điểm $A(- 4; 3)$. Tìm ảnh của $A$ qua phép đối xứng tâm $O$.

Trả lời:

$A'(a,b)$ là ảnh của $A’$ qua phép đối xứng tâm $O ⇒ a = 4$ và $b = -3$

4. Trả lời câu hỏi 4 trang 14 sgk Hình học 11

Chọn hệ tọa độ $Oxy$, rồi dùng biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm $O$ chứng minh lại tính chất 1.

Nếu Đ_I(M)=M’ và Đ_I(N)=N’ thì: $\left\{ \begin{array}{l}M’N’ = MN\\\overrightarrow {M’N’} = – \overrightarrow {MN} \end{array} \right.$

Trả lời:

(Ta thay điểm $I$ bằng điểm $O$ trong chứng minh trên)

5. Trả lời câu hỏi 5 trang 15 sgk Hình học 11

Trong các chữ sau, chữ nào là hình có tâm đối xứng?

Trả lời:

Các chữ có tâm đối xứng là: $H, N, O, I$

6. Trả lời câu hỏi 6 trang 15 sgk Hình học 11

Tìm một số hình tứ giác có tâm đối xứng.

Trả lời:

Các tứ giác có tâm đối xứng là: hình vuông, hình bình hành, hình thang cân.

Dưới đây là phần Hướng dẫn giải bài 1 2 3 trang 15 sgk Hình học 11. Các bạn hãy đọc kỹ đầu bài trước khi giải nhé!

Bài tập

Giaibaisgk.com giới thiệu với các bạn đầy đủ phương pháp giải bài tập hình học 11 kèm bài giải chi tiết bài 1 2 3 trang 15 sgk Hình học 11 của Bài §4. Phép đối xứng tâm trong Chương I. Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng cho các bạn tham khảo. Nội dung chi tiết bài giải từng bài tập các bạn xem dưới đây:

1. Giải bài 1 trang 15 sgk Hình học 11

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho điểm $A(-1;3)$ và đường thẳng $d$ có phương trình $x-2y + 3 = 0$. Tìm ảnh của $A$ và $d$ qua phép đối xứng tâm $O$.

Bài giải:

Gọi $A’$ là ảnh của $A$ qua phép đối xứng tâm $O$, khi đó $O$ là trung điểm của $AA’$.

$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{A’}} = 2{x_O} – {x_A}=1 \\{y_{A’}} = 2{y_O} – {y_A}=-3\end{array} \right.$$ \Rightarrow A’\left( {1; – 3} \right)$

Để tìm ảnh của đường thẳng $d$ ta có thể dùng các cách sau:

♦ Cách 1:

Đường thẳng $d$ đi qua $B(-3;0)$ và $C (-1;1)$.

Ta có: $B’ = {D_{O}}(B) = (3;0)$ và $C’ = {D_{O}}(C) = (1;-1)$.

Khi đó ảnh của $d$ qua phép đối xứng tâm $O$ là đường thẳng $B’C’$ có phương trình:

$d’$ : $ \frac{x-3}{1-3}$ = $ \frac{y}{-1}\Leftrightarrow x – 2y – 3= 0$

♦ Cách 2:

Đường thẳng $d$ đi qua $B(-3;0)$, $d’$ là ảnh của d qua phép đối xứng tâm $O$ nên nó song song với $d$. Do đó $d’$ có phương trình $x- 2y +C =0$ $\left( {C \ne 3} \right)$.

Gọi $B’$ là ảnh của $B$ qua phép đối xứng tâm $O$ ta có: $B’ =( 3;0)$

Vì $B’ \in (d’) \Rightarrow 3+C=0 \Rightarrow C = -3$ ™.

Vậy ảnh của $d$ qua phép đối xứng tâm $O$ là đường thẳng $d’$ có phương trình: $x-2y-3=0$

2. Giải bài 2 trang 15 sgk Hình học 11

Trong các hình tam giác đều, hình bình hành, ngũ giác đều, lục giác đều, hình nào có tâm đối xứng?

Bài giải:

Trong các hình trên thì hình bình hành và lục giác đều có tâm đối xứng.

3. Giải bài 3 trang 15 sgk Hình học 11

Tìm một hình có vô số tâm đối xứng?

Bài giải:

– Đường thẳng là hình có vô số tâm đối xứng vì với mọi điểm $I$ thuộc đường thẳng $d$ thì Đ₁(d) $= d.$

– Tương tự như vậy hình gồm hai đường thẳng song song cũng là hình có tâm đối xứng.

Thật vậy cho $a // b$, gọi $d$ là đường thẳng cách đều hai đường thẳng $a, b$.

Với $I$ là điểm bất kì trên $d$ thì Đ₁(a) = b, Đ₁(b) $= a$ hay với $I$ thuộc $d$ thì Đ_I biến hình gồm hai đường thẳng song song thành chính nó.

Vậy hình gồm hai đường thẳng song song có vô số tâm đối xứng.

Bài trước:

Giải bài 1 2 3 trang 11 sgk Hình học 11

Bài tiếp theo:

Giải bài 1 2 trang 19 sgk Hình học 11

Xem thêm:

Chúc các bạn làm bài tốt cùng giải bài tập sgk toán lớp 11 với giải bài 1 2 3 trang 15 sgk Hình học 11!

“Bài tập nào khó đã có giaibaisgk.com“