Hướng dẫn Giải bài 12 13 trang 106 sgk Toán 9 tập 1

Nội Dung

Hướng dẫn giải Bài §3. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây, chương II – Đường tròn, sách giáo khoa toán 9 tập một. Nội dung bài giải bài 12 13 trang 106 sgk toán 9 tập 1 bao gồm tổng hợp công thức, lý thuyết, phương pháp giải bài tập phần hình học có trong SGK toán để giúp các em học sinh học tốt môn toán lớp 9.

Lý thuyết

1. Bài toán

Cho $AB$ và $CD$ là 2 dây (khác đường kính) của đường tròn $(O;R)$. Gọi $OH, OK$ theo thứ tự là khoảng cách từ $O$ đến $AB, CD$. CMR: $OH^2+HB^2=OK^2+KD^2$.

Áp dụng định lý pi-ta-go cho 2 tam giác vuông $OHB$ và $OKD$ ta có:

$OH^2+HB^2=OB^2=R^2$ và $OK^2+KD^2=OD^2=R^2$ ta có đpcm

2. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

ĐỊNH LÍ 1: Trong một đường tròn:

a) Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.

b) Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.

ĐỊNH LÍ 2: Trong hai dây của một đường tròn:

a) Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.

b) Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.

Dưới đây là phần Hướng dẫn trả lời các câu hỏi có trong bài học cho các bạn tham khảo. Các bạn hãy đọc kỹ câu hỏi trước khi trả lời nhé!

Câu hỏi

1. Trả lời câu hỏi 1 trang 105 sgk Toán 9 tập 1

Hãy sử dụng kết quả của bài toán ở mục 1 để chứng minh rằng:

a) Nếu $AB = CD$ thì $OH = OK.$

b) Nếu $OH = OK$ thì $AB = CD.$

Trả lời:

Xét đường tròn $(O)$ có

OH là một phần đường kính vuông góc với dây AB.

$ \Rightarrow $ H là trung điểm của $AB \Rightarrow AB{\rm{ }} = {\rm{ }}2HB$

OK là một phần đường kính vuông góc với dây CD.

$ \Rightarrow $ K là trung điểm của $CD \Rightarrow CD{\rm{ }} = {\rm{ }}2KD$

Theo mục 1: $O{H^2} + H{B^2} = O{K^2} + K{D^2}$

a) Nếu $AB{\rm{ }} = {\rm{ }}CD \Rightarrow HB{\rm{ }} = {\rm{ }}KD$

mà $O{H^2} + H{B^2} = O{K^2} + K{D^2}$

$ \Rightarrow O{H^2} = O{K^2} \Rightarrow OH = OK$

b) Nếu $OH = OK \Rightarrow O{H^2} = O{K^2}$

mà $O{H^2} + H{B^2} = O{K^2} + K{D^2}$

$ \Rightarrow HB{\rm{ }} = {\rm{ }}KD \Rightarrow AB{\rm{ }} = {\rm{ }}CD$

2. Trả lời câu hỏi 2 trang 105 sgk Toán 9 tập 1

Hãy sử dụng kết quả bài toán ở mục 1 để so sánh các độ dài:

a) $OH$ và $OK$, nếu biết $AB>CD$

b) $AB$ và $CD$, nếu biết $OH<OK$

Trả lời:

Xét đường tròn $(O)$ có

OH là một phần đường kính vuông góc với dây AB

$ \Rightarrow $ H là trung điểm của $AB \Rightarrow AB{\rm{ }} = {\rm{ }}2HB$

OK là một phần đường kính vuông góc với dây CD

$ \Rightarrow $ K là trung điểm của $CD \Rightarrow CD{\rm{ }} = {\rm{ }}2KD$

Theo mục 1: $O{H^2} + H{B^2} = O{K^2} + K{D^2}$

a) Nếu $AB{\rm{ }} > {\rm{ }}CD \Rightarrow HB{\rm{ }} > {\rm{ }}KD$

mà $O{H^2} + H{B^2} = O{K^2} + K{D^2}$

$ \Rightarrow O{H^2} < O{K^2} \Rightarrow OH < OK$

b) Nếu $OH < OK \Rightarrow O{H^2} < O{K^2}$

mà $O{H^2} + H{B^2} = O{K^2} + K{D^2}$

$ \Rightarrow HB{\rm{ }} > {\rm{ }}KD \Rightarrow AB{\rm{ }} > {\rm{ }}CD$

3. Trả lời câu hỏi 3 trang 105 sgk Toán 9 tập 1

Cho tam giác $ABC, O$ là giao của các đường trung trực của tam giác; $D, E, F$ theo thứ tự là trung điểm của các cạnh $AB, BC, AC.$ Cho biết $OD > OE, OE = OF$ (h.69).

Hãy so sánh các độ dài:

a) $BC$ và $AC;$

b) $AB$ và $AC.$

Trả lời:

Vì $O$ là giao điểm của 3 đường trung trực của tam giác $ABC$

⇒ $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$

a) Vì $OD > OE$ nên $AB < BC$ (dây nào xa tâm hơn thì dây đó nhỏ hơn)

b) Vì $OE = OF $ suy ra $AC=BC$ (hai dây cách đều tâm thì bằng nhau) mà $AB<BC$ (câu a)) nên $AB<AC.$

Dưới đây là Hướng dẫn giải bài 12 13 trang 106 sgk toán 9 tập 1. Các bạn hãy đọc kỹ đầu bài trước khi giải nhé!

Bài tập

Giaibaisgk.com giới thiệu với các bạn đầy đủ phương pháp giải bài tập phần hình học 9 kèm bài giải chi tiết bài 12 13 trang 106 sgk toán 9 tập 1 của bài §3. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây trong chương II – Đường tròn cho các bạn tham khảo. Nội dung chi tiết bài giải từng bài tập các bạn xem dưới đây:

Giải bài 12 13 trang 106 sgk toán 9 tập 1

1. Giải bài 12 trang 106 sgk Toán 9 tập 1

Cho đường tròn tâm $O$ bán kính $5cm$, dây $AB$ bằng $8cm.$

a) Tính khoảng cách từ tâm $O$ đến dây $AB$.

b) Gọi $I$ là điểm thuộc dây $AB$ sao cho $AI = 1cm.$ Kẻ dây $CD$ đi qua I và vuông góc với $AB$. Chứng minh rằng $CD = AB.$

Bài giải:

a) Kẻ $OK \perp AB$. Khi đó ta có $KA = KB = 4cm$ và $OK$ chính là khoảng cách từ tâm $O$ đến dây $AB$

Trong tam giác $AKO$ vuông tại $K$, ta có:

$OA^2 = OK^2 + KA^2$

$⇒ OK^2 = OA^2 – KA^2 = 5^2 – 4^2 = 9$

$⇒ OK = 3$

Vậy khoảng cách từ tâm $O$ đến dây $AB$ là $3cm.$

b) Kẻ $OH \perp CD.$

Khi đó tứ giác $IHOK$ có ba góc vuông nên $IHOK$ là hình chữ nhật.

Suy ra $OH = KI$

Mà $KI = KA – AI = 4 – 1 = 3$

Nên $OH = 3$

Ta có $\left.\begin{matrix} OK = 3\\ OH = 3\end{matrix}\right\}$

⇒ Hai dây $AB$ và $CD$ cách đều tâm.

Nên $AB = CD (đpcm)$

2. Giải bài 13 trang 106 sgk Toán 9 tập 1

Cho đường tròn $(O)$ có các dây $AB$ và $CD$ bằng nhau, các tia $AB$ và $CD$ cắt nhau tại điểm $E$ nằm bên ngoài đường tròn. Gọi $H$ và $K$ theo thứ tự là trung điểm của $AB$ và $CD$. Chứng minh rằng:

a) $EH = EK$

b) $EA = EC$

Bài giải:

a) Ta có: $AB = CD$

Nên $OH = OK$ (hai dây bằng nhau thì cách đều tâm)

Ta có $HA = HB$ (H là trung điểm AB)

Suy ra $OH \perp AB$

Ta có: $KC = KD$ (K là trung điểm CD)

Suy ra $OK \perp CD$

Hai tam giác vuông $OHE$ và $OKE$ có:

$\left.\begin{matrix} OH = OK\\ OE\, chung\end{matrix}\right\}$

⇒ $\Delta OHE = \Delta OKE$

Suy ra $EH = EK (đpcm) (1)$

b) Ta có:

$HA = HB = \frac{AB}{2}$

$KC = KD = \frac{CD}{2}$

Mà $AB = CD$ nên $HA = KC (2)$

Từ (1) và (2) ta có:

$EH + HA = EK + KC$

⇒ $EA = EC (đpcm)$

Bài trước:

Giải bài 10 11 trang 104 sgk Toán 9 tập 1

Bài tiếp theo:

Luyện tập: Giải bài 14 15 16 trang 106 sgk Toán 9 tập 1

Xem thêm:

Chúc các bạn làm bài tốt cùng giải bài tập sgk toán lớp 9 với giải bài 12 13 trang 106 sgk toán 9 tập 1!

“Bài tập nào khó đã có giaibaisgk.com“