Toán lớp 9

Giải bài 15 16 trang 45 sgk Toán 9 tập 2

Hướng dẫn giải Bài §4. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai, Chương IV – Hàm số \(y = ax^2 (a ≠ 0)\). Phương trình bậc hai một ẩn, sách giáo khoa toán 9 tập hai. Nội dung bài giải bài 15 16 trang 45 sgk toán 9 tập 2 bao gồm tổng hợp công thức, lý thuyết, phương pháp giải bài tập phần đại số có trong SGK toán để giúp các em học sinh học tốt môn toán lớp 9.

Lý thuyết

1. Công thức nghiệm

Ta có phương trình tổng quát: \(ax^2+bx+c=0 (a\neq 0)\)

Chuyển hạng tử c sang vế phải, ta có: \(ax^2+bx=-c\)

Vì \(a\neq 0\) nên chia cả hai vế cho a, ta có: \(x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}\)

Biến đổi để thành hằng đẳng thức: \(x^2+2.\frac{1}{2}\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a}-\frac{b^2}{4a}=-\frac{c}{a}\)

\(\Leftrightarrow \left ( x+\frac{b}{2a} \right )^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}\)

Đặt \(\Delta =b^2-4ac\)

Ta có các kết luận sau đây:

Với phương trình \(ax^2+bx+c=0 (a\neq 0)\) và biệt thức \(\Delta =b^2-4ac\):

\(\Delta>0\) thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

\(x_{1}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}\); \(x_{2}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}\)

\(\Delta=0\) thì phương trình có nghiệm kép \(x=x_{1}=x_{2}=-\frac{b}{2a}\)

\(\Delta<0\) phương trình vô nghiệm.

2. Áp dụng

Chúng ta cùng xét các ví dụ sau:

Ví dụ 1:

Giải phương trình: \(x^2+5x-15=0\)

Bài giải:

Dễ dàng xác định được hệ số của phương trình trên là: \(a=1;b=5;c=-15\)

Tính \(\Delta =b^2-4ac=5^2-4.1.(-15)=85>0\)

Vậy phương trình trên có các nghiệm là: \(x_{1}=\frac{-5+\sqrt{85}}{2}\); \(x_{2}=\frac{-5-\sqrt{85}}{2}\)

Ví dụ 2:

Không giải phương trình, hãy cho biết phương trình sau có bao nhiêu nghiệm: \(9x^2+6x+1=0\)

Bài giải:

Ta có: \(\Delta =6^2-4.9.1=0\)

Vậy phương trình trên có 1 nghiệm duy nhất.

Dưới đây là phần Hướng dẫn trả lời các câu hỏi có trong bài học cho các bạn tham khảo. Các bạn hãy đọc kỹ câu hỏi trước khi trả lời nhé!

Câu hỏi

1. Trả lời câu hỏi 1 trang 44 sgk Toán 9 tập 2

Hãy điền những biểu thức thích hợp vào các ô trống (…) dưới đây:

a) Nếu \(\Delta \) > 0 thì từ phương trình (2) suy ra \(x + \displaystyle{b \over {2a}} = \pm …\)

Do đó, phương trình (1) có hai nghiệm x1 = …, x2 = …

b) Nếu \(\Delta \) = 0 thì từ phương trình (2) suy ra \({\left( {x + \displaystyle{b \over {2a}}} \right)^2} = …\)

Do đó, phương trình (1) có nghiệm kép x = …

Trả lời:

a) Nếu \(\Delta \) > 0 thì từ phương trình (2) suy ra \(x + \displaystyle{b \over {2a}} = \displaystyle \pm {{\sqrt \Delta } \over {2a}}\)

Do đó,phương trình (1) có hai nghiệm \({x_1} = \displaystyle{{ { – b + \sqrt \Delta } } \over {2a}};\,\,\,{x_2} = {{{ – b – \sqrt \Delta }} \over {2a}}\,\)

b) Nếu \(\Delta \) = 0 thì từ phương trình (2) suy ra \({\left( {x + \displaystyle{b \over {2a}}} \right)^2} = 0\)

Do đó, phương trình (1) có nghiệm kép \(x = \displaystyle{{ – b} \over {2a}}\)

2. Trả lời câu hỏi 2 trang 44 sgk Toán 9 tập 2

Hãy giải thích vì sao khi \(\Delta < 0\) thì phương trình vô nghiệm.

Trả lời:

Xét phương trình \(\left( 2 \right)\)

\({\left( {x + \dfrac{b}{{2a}}} \right)^2} = \dfrac{{{b^2} – 4ac}}{{4{a^2}}}\) (Trang 44 SGK)

Hay \({\left( {x + \dfrac{b}{{2a}}} \right)^2} = \dfrac{\Delta }{{4{a^2}}}\) (vì \(\Delta=b^2-4ac\))

Nếu \(\Delta < 0\) thì \(\dfrac{\Delta }{{4{a^2}}} < 0\) mà \({\left( {x + \dfrac{b}{{2a}}} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x\) nên phương trình \({\left( {x + \dfrac{b}{{2a}}} \right)^2} = \dfrac{\Delta }{{4{a^2}}}\)vô nghiệm

Suy ra phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\) đã cho vô nghiệm.

3. Trả lời câu hỏi 3 trang 45 sgk Toán 9 tập 2

Áp dụng công thức nghiệm để giải các phương trình:

a) \(5x^2 – x +2 = 0\)

b) \(4x^2 – 4x + 1 = 0\)

c) \(-3x^2+ x + 5 = 0\)

Trả lời:

a) Xét phương trình \(5x^2 – x +2 = 0\) có \(a = 5; b = -1; c = 2\)

\(\Delta = {b^2} – 4ac = {\left( { – 1} \right)^2} – 4.5.2 = 1 – 40 = – 39 < 0\)

Vậy phương trình trên vô nghiệm.

b) Xét phương trình \(4x^2 – 4x + 1 = 0\) có \(a = 4; b = -4; c = 1\)

\(\Delta = {b^2} – 4ac = {\left( { – 4} \right)^2} – 4.4.1 = 16 – 16 = 0\)

\( \Rightarrow \) phương trình có nghiệm kép

\(\displaystyle x = {{ – b} \over {2a}} = {{ – \left( { – 4} \right)} \over {2.4}} = {1 \over 2}\)

Vậy phương trình có nghiệm \(\displaystyle x = {1 \over 2}\)

c) Xét phương trình \(-3x^2 + x + 5 = 0\) có \(a = -3; b = 1; c = 5\)

\(\Delta = {b^2} – 4ac = {1^2} – 4.\left( { – 3} \right).5 = 1 + 60 =61> 0\)

Do đó \(\Delta \) > 0 nên áp dụng công thức nghiệm, phương trình có 2 nghiệm phân biệt

\(\displaystyle{x_1} = {{1 – \sqrt {61} } \over 6};\,\,{x_2} = {{1 + \sqrt {61} } \over 6}\)

Dưới đây là Hướng dẫn giải bài 15 16 trang 45 sgk toán 9 tập 2. Các bạn hãy đọc kỹ đầu bài trước khi giải nhé!

Bài tập

Giaibaisgk.com giới thiệu với các bạn đầy đủ phương pháp giải bài tập phần đại số 9 kèm bài giải chi tiết bài 15 16 trang 45 sgk toán 9 tập 2 của Bài §4. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai trong Chương IV – Hàm số \(y = ax^2 (a ≠ 0)\). Phương trình bậc hai một ẩn cho các bạn tham khảo. Nội dung chi tiết bài giải từng bài tập các bạn xem dưới đây:

Giải bài 15 16 trang 45 sgk toán 9 tập 2
Giải bài 15 16 trang 45 sgk toán 9 tập 2

1. Giải bài 15 trang 45 sgk Toán 9 tập 2

Không giải phương trinh, hãy xác định các hệ số \(a, b, c\), tính biệt thức \(∆\) và xác định số nghiệm của mỗi phương trình sau:

a) \(7{x^2} – 2x + 3 = 0\)

b) \(5{x^2} + 2\sqrt {10} x + 2 = 0\);

c) \(\dfrac{1 }{2}{x^2} + 7x + \dfrac{2 }{3} = 0\)

d) \(1,7{x^2} – 1,2x – 2,1=0\).

Bài giải:

a) \(7{x^2} – 2x + 3 = 0\)

Ta có: \(a = 7,\ b = – 2,\ c = 3\).

Suy ra \(\Delta = b^2-4ac={( – 2)^2} – 4.7.3 = – 80 < 0\).

Do đó phương trình đã cho vô nghiệm.

b) \(5{x^2} + 2\sqrt {10} x + 2 = 0\)

Ta có: \(a = 5,\ b = 2\sqrt {10} ,\ c = 2\).

Suy ra \(\Delta = b^2-4ac = {(2\sqrt {10} )^2} – 4.5.2 = 0\).

Do đó phương trình có nghiệm kép.

c) \(\dfrac{1 }{2}{x^2} + 7x + \dfrac{2 }{3} = 0\)

Ta có: \(a = \dfrac{1}{2},\ b = 7,\ c = \dfrac{2}{3}\).

Suy ra \(\Delta =b^2-4ac= {7^2} – 4.\dfrac{1 }{2}.\dfrac{2 }{3} = \dfrac{143}{ 3} > 0\).

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt.

d) \(1,7{x^2} – 1,2x – 2,1 = 0\)

Ta có: \(a = 1,7;\ b = – 1,2;\ c = – 2,1\).

Suy ra \(\Delta = b^2-4ac\)

\(={( – 1,2)^2} – 4.1,7.( – 2,1) = 15,72 > 0\).

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt.

2. Giải bài 16 trang 45 sgk Toán 9 tập 2

Dùng công thức nghiệm của phương trình bậc hai để giải các phương trình sau:

a) \(2{x^2} – 7x + 3 = 0\); b) \(6{x^2} + x + 5 = 0\);

c) \(6{x^2} + x – 5 = 0\); d) \(3{x^2} + 5x + 2 = 0\);

e) \({y^2} – 8y + 16 = 0\); f) \(16{z^2} + 24z + 9 = 0\).

Bài giải:

a) \(2{x^2} – 7x + 3 = 0\)

Ta có: \(a = 2,\ b = – 7,\ c = 3.\)

Suy ra \(\Delta =b^2-4ac= {( – 7)^2} – 4.2.3 = 25 > 0\).

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\(x_1=\dfrac{-(-7)-\sqrt{25}}{2.2}=\dfrac{7-5}{4}=\dfrac{1}{2}\)

\({x_2} = \dfrac{-(-7)+\sqrt{25}}{2.2}=\dfrac{7+5}{4}=3\).

b) \(6{x^2} + x + 5 = 0\)

Ta có: \(a = 6,\ b = 1,\ c = 5\)

Suy ra \(\Delta = b^2-4ac={(1)^2} – 4.6.5 = – 119< 0\).

Do đó phương trình vô nghiệm

c) \(6{x^2} + x – 5 = 0\)

Ta có: \(a = 6,\ b = 1,\ c = – 5\)

Suy ra \(\Delta = b^2-4ac={1^2} – 4.6.(-5) = 121 > 0 \)

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\({x_1} = \dfrac{-1+\sqrt{121}}{2.6}=\dfrac{-1+11}{12}= \dfrac{5}{6}\)

\({x_2} = \dfrac{-1-\sqrt{121}}{2.6}=\dfrac{-1-11}{12}= -1\).

d) \(3{x^2} + 5x + 2 = 0\)

Ta có: \(a = 3,\ b = 5,\ c = 2\)

Suy ra \(\Delta = b^2 – 4ac ={5^2} – 4.3.2 = 1 > 0\)

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\({x_1} = \dfrac{-5+\sqrt 1}{2.3}=\dfrac{-4}{6} =-\dfrac{2}{3}\)

\({x_2} = \dfrac{-5-\sqrt 1}{2.3}=\dfrac{-6}{6} =-1\).

e) \({y^2} – 8y + 16 = 0\)

Ta có: \(a = 1,\ b = – 8,\ c = 16\)

Suy ra \(\Delta = b^2-4ac={( – 8)^2} – 4.1.16 = 0\)

Do đó phương trình có nghiệm kép:

\({y_1} = {y_2} = \dfrac{-(-8)}{2.1} = 4\)

f) \(16{z^2} + 24z + 9 = 0\)

Ta có: \(a = 16,\ b = 24,\ c = 9\)

Suy ra \(\Delta =b^2-4ac = {(24)^2} – 4.16.9 = 0\)

Do đó phương trình có hai nghiệm kép:

\({z_1} = {z_2} = – \dfrac{24}{2.16} = \dfrac{-3}{4}\).

Bài trước:

Bài tiếp theo:

Xem thêm:

Chúc các bạn làm bài tốt cùng giải bài tập sgk toán lớp 9 với giải bài 15 16 trang 45 sgk toán 9 tập 2!

“Bài tập nào khó đã có giaibaisgk.com“