Toán lớp 9

Giải bài 17 18 19 trang 49 sgk Toán 9 tập 2

Hướng dẫn giải Bài §5. Công thức nghiệm thu gọn, Chương IV – Hàm số \(y = ax^2 (a ≠ 0)\). Phương trình bậc hai một ẩn, sách giáo khoa toán 9 tập hai. Nội dung bài giải bài 17 18 19 trang 49 sgk toán 9 tập 2 bao gồm tổng hợp công thức, lý thuyết, phương pháp giải bài tập phần đại số có trong SGK toán để giúp các em học sinh học tốt môn toán lớp 9.

Lý thuyết

1. Công thức nghiệm thu gọn

Đối với phương trình bậc hai \(ax^2+bx+c=0(a\neq 0)\), trong nhiều trường hợp nếu đặt \(b=2b’ (b\vdots 2)\) thì liệu việc tính toán có đơn giản hơn?

\(b=2b’ \Rightarrow \Delta =(2b’)^2-4ac=4b’^2-4ac=4(b’^2-ac)\)

Ta có: \(\Delta ‘=b’^2-ac\)

Từ đó, ta đi đến các kết luận sau đây:

Với các phương trình bậc hai \(ax^2+bx+c=0(a\neq 0)\) và \(b=2b’\), \(\Delta ‘=b’^2-ac\) thì:

Nếu \(\Delta ‘>0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

\(x_{1}=\frac{-b’+\sqrt{\Delta ‘}}{a}; x_{2}=\frac{-b’-\sqrt{\Delta ‘}}{a}\)

Nếu \(\Delta ‘=0\) thì phương trình có nghiệm kép \(x=\frac{-b’}{a}\)

Nếu \(\Delta ‘<0\) thì phương trình vô nghiệm.

2. Áp dụng

Chúng ta sẽ cùng đi vài ví dụ sau:

Ví dụ 1:

Giải phương trình bằng công thức nghiệm thu gọn: \(3x^2+10x+5=0\)

Bài giải:

\(\Delta ‘=5^2-5.3=10>0\Rightarrow \sqrt{\Delta ‘}=\sqrt{10}\)

Vậy \(x_{1}=\frac{-5+\sqrt{10}}{3}; x_{2}=\frac{-5-\sqrt{10}}{3}\)

Ví dụ 2:

Giải phương trình bằng công thức nghiệm thu gọn: \(5x^2-6\sqrt{2}x+1=0\)

Bài giải:

\(\Delta ‘=(3\sqrt{2})^2-5.1=13>0\Rightarrow \sqrt{\Delta ‘}=13\)

Vậy \(x_{1}=\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{13}}{5}; x_{2}=\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{13}}{5}\)

Dưới đây là phần Hướng dẫn trả lời các câu hỏi có trong bài học cho các bạn tham khảo. Các bạn hãy đọc kỹ câu hỏi trước khi trả lời nhé!

Câu hỏi

1. Trả lời câu hỏi 1 trang 48 sgk Toán 9 tập 2

Từ bảng kết luận của bài trước hãy dùng các đẳng thức \(b = 2b’, Δ = 4Δ’ \) để suy ra những kết luận sau:

Trả lời:

Với \(b = 2b’,\) \(\Delta \) = 4\(\Delta ‘\) ta có:

+) Nếu \(\Delta ‘ >0\) thì \(\Delta>0 \) phương trình có hai nghiệm

\(\eqalign{& {x_1} = {{ – b + \sqrt \Delta } \over {2a}} = {{ – 2b’ + \sqrt {4\Delta ‘} } \over {2a}} \cr & = {{2\left( { – b’ + \sqrt {\Delta ‘} } \right)} \over {2a}} = {{ – b’ + \sqrt {\Delta ‘} } \over {a}} \cr & {x_2} = {{ – b – \sqrt \Delta } \over {2a}} = {{ – 2b’ – \sqrt {4\Delta ‘} } \over {2a}} \cr & = {{2\left( { – b’ – \sqrt {\Delta ‘} } \right)} \over {2a}} = {{ – b’ – \sqrt {\Delta ‘} } \over {a}} \cr} \)

+) Nếu \(\Delta ‘ =0\) thì \(\Delta =0\) phương trình có nghiệm kép.

\(\displaystyle x = {{ – b} \over {2a}} = {{ – 2b’} \over {2a}} = {{ – b’} \over a}\)

+) Nếu \(\Delta ‘<0\) thì \(\Delta <0\) do đó phương trình vô nghiệm.

2. Trả lời câu hỏi 2 trang 48 sgk Toán 9 tập 2

Giải phương trình \(5{x^2} + 4x – 1 = 0\) bằng cách điền vào những chỗ trống:

\(a = …;\,b’ = …;c = …\); \(\Delta ‘ = …;\,\sqrt {\Delta ‘} = …\)

Nghiệm của phương trình \({x_1} = …;\,{x_2} = …\)

Trả lời:

\(a = 5;\,b’ = 2;c = – 1\);

\(\Delta ‘ = {(b’)^2} – ac = {2^2} – 5.\left( { – 1} \right) = 9;\,\sqrt {\Delta ‘} = 3\)

Nghiệm của phương trình \({x_1} = \dfrac{{ – b’ + \sqrt {\Delta ‘} }}{a} = \dfrac{{ – 2 + 3}}{5} = \dfrac{1}{5};\\{x_2}= \dfrac{{ – b’ – \sqrt {\Delta ‘} }}{a} = \dfrac{{ – 2 – 3}}{5} = – 1.\)

3. Trả lời câu hỏi 3 trang 49 sgk Toán 9 tập 2

Xác định \(a, b’, c\) rồi dùng công thức nghiệm thu gọn giải các phương trình:

a) \(3x^2 + 8x + 4 = 0\)

b) \(7{x^2} – 6\sqrt 2 x + 4 = 0\)

Trả lời:

a) Xét phương trình \(3x^2 + 8x + 4 = 0\) có \(a = 3; b’ = 4; c = 4\)

\(\Delta ‘ = {\left( {b’} \right)^2} – ac = {4^2} – 3.4 = 4 >0\Rightarrow \sqrt {\Delta ‘} = 2\)

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

\(\displaystyle {x_1} = {{ – 4 + 2} \over 3} = {{ – 2} \over 3};\,\,{x_2} = {{ – 4 – 2} \over 3} = – 2\)

b) Xét phương trình \(7{x^2} – 6\sqrt 2 x + 4 = 0\) có \(a = 7;\,\,b’ = – 3\sqrt 2 ;\,\,c = 2\)

\(\Delta ‘ = {\left( {b’} \right)^2} – ac = {\left( { – 3\sqrt 2 } \right)^2} – 7.4 = -10<0 \)

Do đó, phương trình vô nghiệm.

Dưới đây là Hướng dẫn giải bài 17 18 19 trang 49 sgk toán 9 tập 2. Các bạn hãy đọc kỹ đầu bài trước khi giải nhé!

Bài tập

Giaibaisgk.com giới thiệu với các bạn đầy đủ phương pháp giải bài tập phần đại số 9 kèm bài giải chi tiết bài 17 18 19 trang 49 sgk toán 9 tập 2 của Bài §5. Công thức nghiệm thu gọn trong Chương IV – Hàm số \(y = ax^2 (a ≠ 0)\). Phương trình bậc hai một ẩn cho các bạn tham khảo. Nội dung chi tiết bài giải từng bài tập các bạn xem dưới đây:

Giải bài 17 18 19 trang 49 sgk toán 9 tập 2
Giải bài 17 18 19 trang 49 sgk toán 9 tập 2

1. Giải bài 17 trang 49 sgk Toán 9 tập 2

Xác định \(a, b’, c\) rồi dùng công thức nghiệm thu gọn giải các phương trình:

a) \(4{x^2} + 4x + 1 = 0\);

b) \(13852{x^2} – 14x + 1 = 0\);

c) \(5{x^2} – 6x + 1 = 0\);

d) \( – 3{x^2} + 4\sqrt 6 x + 4 = 0\).

Bài giải:

a) \(4{x^2} + 4x + 1 = 0\)

Ta có: \(a = 4,\ b’ = 2,\ c = 1\)

Suy ra \(\Delta’ = {2^2} – 4.1 = 0\)

Do đó phương trình có nghiệm kép:

\({x_1} = {x_2} = \dfrac{ – 2}{4} = – \dfrac{1 }{ 2}\).

b) \(13852{x^2} – 14x + 1 = 0\)

Ta có: \(a = 13852,\ b’ = – 7,\ c = 1\)

Suy ra \(\Delta’ = {( – 7)^2} – 13852.1 = – 13803 < 0\)

Do đó phương trình vô nghiệm.

c) \(5{x^2} – 6x + 1 = 0\)

Ta có: \(a = 5,\ b’ = – 3,\ c = 1\)

Suy ra \(\Delta ‘ = {( – 3)^2} – 5.1 = 4 > 0\).

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\({x_1} = \dfrac{3 + \sqrt 4}{5}=\dfrac{5}{5} = 1\)

\({x_2} = \dfrac{3 – \sqrt 4}{5}=\dfrac{1}{5}.\)

d) \( – 3{x^2} + 4\sqrt 6 x + 4 = 0\)

Ta có: \(a = – 3,\ b’ = 2\sqrt 6 ,\ c = 4\)

Suy ra \(\Delta ‘ = {(2\sqrt 6 )^2} – ( – 3).4 = 36 > 0\)

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\({x_1} = \dfrac{ – 2\sqrt 6 + 6}{ – 3} = \dfrac{2\sqrt 6 – 6}{3}\)

\({x_2} = \dfrac{ – 2\sqrt 6 – 6}{ – 3} = \dfrac{2\sqrt {6 }+6 }{3}\)

2. Giải bài 18 trang 49 sgk Toán 9 tập 2

Đưa các phương trình sau về dạng \(ax^2 + 2b’x + c = 0\) và giải chúng. Sau đó, dùng bảng số hoặc máy tính để viết gần đúng nghiệm tìm được (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai):

a) \(3{x^2} – 2x = {x^2} + 3\);

b) \({(2x – \sqrt 2 )^2} – 1 = (x + 1)(x – 1)\);

c)\(3{x^2} + 3 = 2(x + 1)\);

d) \(0,5x(x + 1) = {(x – 1)^2}\).

Bài giải:

a) \(3{x^2} – 2x = {x^2} + 3\)

\( \Leftrightarrow 3{x^2} – 2x – {x^2} – 3=0\)

\(\Leftrightarrow 2{x^2} – 2x – 3 = 0\)

Suy ra \(a = 2,\ b’ = – 1,\ c = – 3\)

\(\Rightarrow \Delta ‘ = {( – 1)^2} – 2.( – 3) = 7 > 0\).

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\({x_1} = \dfrac{1 + \sqrt 7 }{2} \approx 1,82\)

\({x_2} = \dfrac{1 – \sqrt 7 }{2} \approx – 0,82\)

b) \({(2x – \sqrt 2 )^2} – 1 = (x + 1)(x – 1)\)

\(\Leftrightarrow 4x^2-4\sqrt 2 x + 2- 1 = x^2 -1\)

\(\Leftrightarrow 4x^2-4\sqrt 2 x + 2 – 1 – x^2 +1=0\)

\(\Leftrightarrow 3{x^2} – 4\sqrt 2 x + 2 = 0\)

Suy ra \(a = 3,\ b’ = – 2\sqrt 2 ,\ c = 2\)

\(\Rightarrow \Delta ‘ = {( – 2\sqrt 2 )^2} – 3.2 = 2 > 0\)

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\({x_1} = \dfrac{2\sqrt 2 + \sqrt 2 }{3} = \sqrt 2 \approx 1,41\)

\({x_2} = \dfrac{2\sqrt 2 – \sqrt 2 }{3} = \dfrac{\sqrt 2 }{3} \approx 0,47\)

c) \(3{x^2} + 3 = 2(x + 1) \)

\(\Leftrightarrow 3{x^2} +3- 2x -2 = 0\)

\(\Leftrightarrow 3{x^2} – 2x +1 = 0\)

Suy ra \(a = 3,\ b’ = – 1,\ c = 1\)

\(\Rightarrow \Delta ‘ = {( – 1)^2} – 3.1 = – 2 < 0\)

Do đó phương trình vô nghiệm.

d) \(0,5x(x + 1) = {(x – 1)^2} \)

\(\Leftrightarrow 0,5x^2 + 0,5x = x^2-2x+1 \)

\(\Leftrightarrow 0,5x^2 + 0,5x -x^2+2x-1=0 \)

\(\Leftrightarrow -0,5 x^2 +2,5 x -1 = 0\)

\(\Leftrightarrow x^2 -5 x +2 = 0\)

Suy ra \(a = 1;\ b’ = – 2,5;\ c = 2\)

\(\Rightarrow \Delta ‘ = {( – 2,5)^2} – 1.2 = 4,25 > 0\)

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\({x_1} = 2,5 + \sqrt {4,25} \approx 4,56\)

\({x_2} = 2,5 – \sqrt {4,25} \approx 0,44\)

(Rõ ràng trong trường hợp này dùng công thức nghiệm thu gọn cũng không đơn giản hơn)

3. Giải bài 19 trang 49 sgk Toán 9 tập 2

Đố em biết vì sao khi \(a > 0\) và phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\) vô nghiệm thì\(a{x^2} + bx + c > 0\) với mọi giá trị của \(x \)?

Bài giải:

Khi \(a > 0\) và phương trình vô nghiệm thì \(\Delta = b{^2} – 4ac<0\).

Do đó: \(-\dfrac{b^{2}-4ac}{4a} > 0\)

Lại có:

\(\begin{array}{l}a{x^2} + bx + c = a\left( {{x^2} + \dfrac{b}{a}x} \right) + c\\ = a\left( {{x^2} + 2.\dfrac{b}{{2a}}.x + \dfrac{{{b^2}}}{{4{a^2}}}} \right) – \dfrac{{{b^2}}}{{4a}} + c\\ = a{\left( {x + \dfrac{b}{{2a}}} \right)^2} – \dfrac{{{b^2} – 4ac}}{{4a}}\end{array}\)

\(=a\left ( x + \dfrac{b}{2a} \right )^{2}+ {\left(-\dfrac{b^{2}-4ac}{4a}\right)}\)

Vì \(a\left ( x + \dfrac{b}{2a} \right )^{2} \ge 0\) với mọi \(x \in R\), mọi \(a>0\).

Lại có \(-\dfrac{b^{2}-4ac}{4a} > 0\) (cmt)

Vì tổng của số không âm và số dương là một số dương do đó

\(a\left ( x + \dfrac{b}{2a} \right )^{2}+ {\left(\dfrac{b^{2}-4ac}{4a}\right)} >0\) với mọi \(x\).

Hay \(a{x^2} + bx + c >0\) với mọi \(x\).

Bài trước:

Bài tiếp theo:

Xem thêm:

Chúc các bạn làm bài tốt cùng giải bài tập sgk toán lớp 9 với giải bài 17 18 19 trang 49 sgk toán 9 tập 2!

“Bài tập nào khó đã có giaibaisgk.com“