Nội Dung
Hướng dẫn giải Bài §8. Cộng, trừ đa thức một biến, chương IV – Biểu thức đại số, sách giáo khoa toán 7 tập hai. Nội dung bài giải bài 44 45 46 47 48 trang 45 46 sgk toán 7 tập 2 bao gồm tổng hợp công thức, lý thuyết, phương pháp giải bài tập phần đại số có trong SGK toán để giúp các em học sinh học tốt môn toán lớp 7.
Lý thuyết
1. Cộng, trừ các đa thức một biến
Để cộng hoặc trừ các đa thức một biến, ta có thể theo một trong hai cách sau:
Cách 1: Tương tự như cộng trừ đa thức đã học ở bài §6. Cộng, trừ đa thức
Cách 2: Sắp xếp chúng cùng theo luỹ vừa giảm (hoặc tăng) của biến và đặt phép tính như trường hợp cộng và trừ các số (chú ý đặt các đơn thức đồng dạng ở trong cùng một cột).
2. Ví dụ minh họa
Trước khi đi vào giải bài 44 45 46 47 48 trang 45 46 sgk toán 7 tập 2, chúng ta hãy tìm hiểu các ví dụ điển hình sau đây:
Ví dụ 1:
Cho các đa thức:
\(\begin{array}{l}f(x) = 3{x^2} – 7 + 5x – 6{x^2} – 4{x^3} + 8 – 5{x^5} – {x^3}\\g(x) = – {x^4} + 2x – 1 + 2{x^4} + 3{x^3} + 2 – x\end{array}\)
a. Thu gọn các đa thức trên rồi sắp xếp chúng theo luỹ thừa giảm của biến.
b. Xác định bậc của mỗi đa thức.
c. Cho biết hệ số cao nhất và hệ số tự do của mỗi đa thức.
d. Tính f(x) + g(x) và f(x) – g(x).
Bài giải:
a. \(\begin{array}{l}f(x) = – 5{x^5} – 5{x^3} – 3x{}^2 + 5x + 1\\g(x) = {x^4} + 3{x^3} + x + 1\end{array}\).
b. Đa thức f(x) có bậc 5, đa thức g(x) có bậc 4.
c. Đa thức f(x) có hệ số cao nhất là -5, hệ số tự do là 1
Đa thức g(x) có hệ số cao nhất là 1, hệ số tự do là 1.
d.
\(\frac{\begin{array}{l}f(x) = – 5{x^5}\,\,\, – 5{x^3} – 3x{}^2 + 5x + 1\\g(x) = \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{x^4} + 3{x^3}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + x + 1\end{array}}{{f(x) + g(x) = – 5{x^5} + {x^4} – 2{x^3}\, – 3x{}^2 + 6x + 2}}\)
\(\frac{\begin{array}{l}f(x) = – 5{x^5}\,\,\, – 5{x^3} – 3x{}^2 + 5x + 1\\ – \\g(x) = \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{x^4} + 3{x^3}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + x + 1\end{array}}{{f(x) – g(x) = – 5{x^5} – {x^4} – 8{x^3}\, – 3x{}^2 + 4}}\).
Ví dụ 2:
Tìm đa thức h(x) sao cho f(x) – h(x) = g(x) biết:
a. \(f(x) = {x^2} + x + 1\)
\(g(x) = 7{x^5} + {x^4} – 2{x^3} + 4\)
b. \(f(x) = {x^4} + 6{x^3} – 4{x^2} + 2x – 1\)
\(g(x) = x + 3\)
Bài giải:
a. \(h(x) = f(x) – g(x) = {x^2} + x + 1 – 7{x^5} – {x^4} + 2{x^3} – 4 = – 7{x^5} – {x^4} + 2{x^3} + {x^2} + x – 3\).
b. \(h(x) = {x^4} + 6{x^3} – 4{x^2} + 2x – 1 – x – 3 = {x^4} + 6{x^3} – 4{x^2} + x – 4\).
Ví dụ 3:
Tính hiệu f(x) – g(x) biết:
a. \(f(x) = {x^5} – 4{x^4} – 2{x^2} – 7\)
\(g(x) = – 2{x^5} + 6{x^4} – 2x{{\kern 1pt} ^2} + 6\).
b. \(f(x) = 5{x^4} + 7{x^3} – 6{x^2} + 3x – 7\)
\(g(x) = – 4{x^4} + 2{x^3} – 5{x^2} + 4x + 5\).
Bài giải:
a. \(\begin{array}{l}f(x) – g(x) = ({x^5} – 4{x^4} – 2{x^2} – 7) – ( – 2{x^5} + 6{x^4} – 2{x^2} + 6)\\ = ({x^5} + 2{x^5}) + ( – 4{x^4} – 6{x^4}) + ( – 2{x^2} + 2{x^2}) + ( – 7 – 6)\\ = 3{x^5} – 10{x^4} – 13\end{array}\).
b. \(\begin{array}{l}f(x) + g(x) = (5{x^4} + 7{x^3} – 6{x^2} + 3x – 7) – ( – 4{x^4} + 2{x^3} – 5{x^2} + 4x + 5)\\ = 5{x^4} + 7{x^3} – 6{x^2} + 3x – 7 + 4{x^4} – 2{x^3} + 5{x^2} – 4x – 5\\ = (5{x^4} + 4{x^4}) + (7{x^3} – 2{x^3}) + ( – 6{x^2} + 5{x^2}) + (3x – 4x) + ( – 7 – 5)\\ = 9{x^4} + 5{x^3} – {x^2} – x – 12\end{array}\).
Ví dụ 4:
Cho đa thức :
\(P(x) = – 9{x^3} + 5{x^4} + 8{x^2} – 15{x^3} – 4{x^2} – {x^4} + 15 – 7{x^3}\)
Tính P(1), P(0), P(-1).
Bài giải:
Trước hết ta thu gọn đa thức:
\(\begin{array}{l}P(x) = – 9{x^3} + 5{x^4} + 8{x^2} – 15{x^3} – 4{x^2} – {x^4} + 15 – 7{x^3}\\\,\,\,\,= \,( – 9{x^3} – 7{x^3} – 15{x^3}) + (5{x^4} – {x^4}) + (8{x^2} – 4{x^2}) + 15\\\,\,\, = \, – 31{x^3} + 4{x^4} + 4{x^2} + 15\\\,\,\,\, = 4{x^4} – 31{x^3} + 4{x^2} + 15\end{array}\)
Nên ta có:
\(P(1) = {4.1^4} – {31.1^3} + {4.1^2} + 15 = 4 – 31 + 4 + 15 = – 8\)
\(P(0) = 4.0 – 31.0 + 4.0 + 15 = 15\)
\(\begin{array}{l}P( – 1) = 4.{( – 1)^4} – 31.{( – 1)^3} + 4.{( – 1)^2} + 15\\\,\,\,\,\,\, = 4.1 – 31.( – 1) + 4.1 + 15\\\,\,\,\,\,\, = \,4 + 31 + 4 + 15 = 54\end{array}\)
Ví dụ 5:
Cho đa thức: \(f(x) = 3{x^4} – 2{x^3} + 5{x^2} – 7x + 2\)
Hãy tìm đa thức g(x) là đa thức đối của đa thức f(x).
Bài giải:
Đa thức g(x) là đa thức đối của đa thức f(x) nên ta có g(x) = -f(x). Do đó:
\(\begin{array}{l}g(x) = – (3{x^4} – 2{x^3} + 5{x^2} – 7x + 2)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \, – 3{x^4} + 2{x^3} – 5{x^2} + 7x – 2\end{array}\)
Ví dụ 6:
Cho các đa thức:
\(\begin{array}{l}A = – 3{x^3} + 4{x^2} – 5x + 6\\B = 3{x^3} – 6{x^2} + 5x – 4\end{array}\)
a. Tính C=A+B, D=A-B, E=C-D.
b. Tính giá trị của các đa thức A, B, C, D tại x= -1.
Bài giải:
a.
\(\begin{array}{l}C = A + B\\\,\, = ( – 3{x^3} + 4{x^2} – 5x + 6) + (3{x^3} – 6{x^2} + 5x – 4)\\\,\,= ( – 3{x^3} + 3{x^3}) + (4{x^2} – 6{x^2}) + ( – 5x + 5x) + (6 – 4)\\\,\,= – 2{x^2} + 2\\D = A – B\\\,\,\,\,\,\, = ( – 3{x^3} + 4{x^2} – 5x + 6) – (3{x^3} – 6{x^2} + 5x – 4)\\\,\,\,= ( – 3{x^3} – 3{x^3}) + (4{x^2} – 6{x^2}) + ( – 5x + 5x) + (6 + 4)\\\,\,= – 6{x^3} + 10{x^2} – 10x + 10\end{array}\)
\(\begin{array}{l}E = C – D\\\,\,\,\,\, = \,( – 2{x^2} + 2) – ( – 6{x^3} + 10{x^2} – 10x + 10)\\\,\,\,\,\, = – 2{x^2} + 2 + 6{x^3} – 10{x^2} + 10x – 10\\\,\,\,\,\, = \, – 12{x^2} – 8 + 6{x^3} + 10x\\\,\,\,\, = 6{x^3} – 12{x^2} + 10x – 8\end{array}\)
b. Tính giá trị của các đa thức tại x=-1
\(\begin{array}{l}A = – 3{x^3} + 4{x^2} – 5x + 6\\\,\,\,\,\, = – 3.{( – 1)^3} + 4.{( – 1)^2} – 5.( – 1) + 6\\\,\,\,\,\, = – 3.( – 1) + 4.1 – 5.( – 1) + 6\\\,\,\,\,\, = \,3 + 4 + 5 + 6 = 18\\B = 3{x^3} – 6{x^2} + 5x – 4\\\,\,\,\,\, = 3.{( – 1)^3} – 6.{( – 1)^2} + 5.( – 1) – 4\\\,\,\,\,\, = 3.\,( – 1) – 6.1 + 5.( – 1) – 4\\\,\,\,\,\, = – 3 – 6 – 5 – 4 = – 18\\C = – 2.{( – 1)^2} + 2 = – 2.1 + 2 = 0\\D = – 6.{( – 1)^3} + 10.{( – 1)^2} – 10.( – 1) + 10\\\,\,\,\,\, = – 6.( – 1) + 10.1 – 10.( – 1) + 10\\\,\,\,\,\, = 6 + 10 + 10 + 10 = 36\\E = 6.{( – 1)^3} – 12.{( – 1)^2} + 10.( – 1) – 8\\\,\,\,\, = 6.( – 1) – 12.1 + 10.( – 1) – 8\\\,\,\,\, = – 6 – 12 – 10 – 8 = – 36\end{array}\)
Chú ý: Ta có thể tính ngay giá trị của đa thức C,D,E khi biết các giá trị của đa thức A, B (khỏi phải thay x=-1 vào các đa thức C, D,E) như sau:
Cùng tại x = -1 ta có A = 18, B = -18.
Nên C = A + B= 18 + (-18) = 0.
D = A – N = 18 – (-18) = 36.
E = C – D = 0 – 36 = -36.
Dưới đây là phần Hướng dẫn trả lời các câu hỏi có trong bài học cho các bạn tham khảo. Các bạn hãy đọc kỹ câu hỏi trước khi trả lời nhé!
Câu hỏi
Trả lời câu hỏi trang 45 sgk Toán 7 tập 2
Cho hai đa thức
\(M\left( x \right) = {x^4} + 5{x^3} – {x^2} + x – 0,5\)
\(N\left( x \right) = 3{x^4} – 5{x^2} – x – 2,5\)
Hãy tính \(M(x) + N(x)\) và \(M(x) – N(x)\).
Trả lời:
Ta có:
Vậy tổng của hai đa thức \(M(x) + N(x)\) là đa thức \(4{x^4} + 5{x^3} – 6{x^2} – 3\)
Vậy hiệu của hai đa thức \(M(x)\) và \(N(x)\) là đa thức \(- 2{x^4} + 5{x^3} + 4{x^2} + 2x + 2\)
Dưới đây là Hướng dẫn giải bài 44 45 46 47 48 trang 45 46 sgk toán 7 tập 2. Các bạn hãy đọc kỹ đầu bài trước khi giải nhé!
Bài tập
Giaibaisgk.com giới thiệu với các bạn đầy đủ phương pháp giải bài tập phần đại số 7 kèm bài giải chi tiết bài 44 45 46 47 48 trang 45 46 sgk toán 7 tập 2 của Bài §8. Cộng, trừ đa thức một biến trong chương IV – Biểu thức đại số cho các bạn tham khảo. Nội dung chi tiết bài giải từng bài tập các bạn xem dưới đây:
1. Giải bài 44 trang 45 sgk Toán 7 tập 2
Cho hai đa thức: P(x) = -5$x^3$ – $\frac{1}{3}$ + 8$x^4$ + $x^2$ và Q(x) = $x^2$ – 5x – 2$x^3$ + $x^4$ – $\frac{2}{3}$
Hãy tính P(x) + Q(x) và P(x) – Q(x)
Bài giải:
Ta có:
P(x) = 8$x^4$ – 5$x^3$ + $x^2$ – $\frac{1}{3}$
+
Q(x) = $x^4$ – 2$x^3$ + $x^2$ – 5x – $\frac{2}{3}$
—————————————————–
P(x) + Q(x) = 9$x^4$ – 7$x^3$ + 2$x^2$ – 5x – 1
Vậy: P(x) + Q(x) = 9$x^4$ – 7$x^3$ + 2$x^2$ – 5x – 1
Ta có:
P(x) = 8$x^4$ – 5$x^3$ + $x^2$ – $\frac{1}{3}$
–
Q(x) = $x^4$ – 2$x^3$ + $x^2$ – 5x – $\frac{2}{3}$
——————————————————
P(x) – Q(x) = 7$x^4$ – 3$x^3$ + 5x + $\frac{1}{3}$
Vậy: P(x) – Q(x) = 7$x^4$ – 3$x^3$ + 5x + $\frac{1}{3}$
2. Giải bài 45 trang 45 sgk Toán 7 tập 2
Cho đa thức P(x) = $x^4$ – 3$x^2$ + $\frac{1}{2}$ – x
Tìm đa thức Q(x), R(x) sao cho:
a) P(x) + Q(x) = $x^5$ – 2$x^2$ + 1
b) P(x) – R(x) = $x^3$
Bài giải:
a) Ta có P(x) + Q(x) = $x^5$ – 2$x^2$ + 1
Suy ra Q(x) = $x^5$ – 2$x^2$ + 1 – P(x) = $x^5$ – 2$x^2$ + 1 – ($x^4$ – 3$x^2$ + $\frac{1}{2}$ – x)
= $x^5$ – 2$x^2$ + 1 – $x^4$ + 3$x^2$ – $\frac{1}{2}$ + x = $x^5$ – $x^4$ + $x^2$ + x + $\frac{1}{2}$
b) Ta có P(x) – R(x) = $x^3$
Suy ra R(x) = P(x) – $x^3$ = $x^4$ – 3$x^2$ + $\frac{1}{2}$ – x – $x^3$ = $x^4$ – $x^3$ – 3$x^2$ – x + $\frac{1}{2}$
3. Giải bài 46 trang 45 sgk Toán 7 tập 2
Viết đa thức P(x) = 5$x^3$ – 4$x^2$ + 7x – 2 dưới dạng:
a) Tổng của hai đa thức một biến
b) Hiệu của hai đa thức một biến
Bạn Vinh nêu nhận xét: “Ta có thể viết đa thức đã cho thành tổng của hai đa thức bậc 4”. Đúng hay sai? Vì sao?
Bài giải:
a) Ta có thể viết đa thức P(x) dưới dạng tổng của hai đa thức sau:
Bạn Lan viết P(x) = (5$x^3$ – 4$x^2$) + (7x – 2)
Bạn Hoa viết P(x) = (7x – 4$x^2$) + (5$x^3$ – 2)
Còn bạn Hồng lại viết P(x) = 5$x^3$ + (7x – 4$x^2$ – 2)
Cả ba bạn nắm rất vững kiến thức về đa thức một biến nên đều viết đúng. Các bạn có những cách viết nào khác, hãy chia sẻ ngay nhé!
b) Với hiệu ta cũng dễ dàng liệt kê ra một số cách viết:
P(x) = (5$x^3$ – 4$x^2$) – (2 – 7x )
Hoặc P(x) = (5$x^3$ – 2) – (4$x^2$) – 7x)
Còn nhiều cách nữa, các bạn viết thêm nhé!
Ta có thử phân tích đa thức đã cho 5$x^3$ – 4$x^2$ + 7x – 2 thành:
($x^4$ + 3$x^3$ + 7x – 2) + (2$x^3$ – 4$x^2$ – $x^4$).
Đây là tổng của hai đa thức bậc 4. Như vậy có thể viết đa thức P(x) thành tổng của hai đa thức bậc 4. Do đó bạn Vinh đã nói đúng.
4. Giải bài 47 trang 45 sgk Toán 7 tập 2
Cho đa thức:
P(x) = 2$x^4$ – x – 2$x^3$ + 1
Q(x) = 5$x^2$ – $x^3$ + 4x
H(x) = -2$x^4$ + $x^2$ + 5
Tính P(x) + Q(x) + H(x) và P(x) – Q(x) – H(x)
Bài giải:
Ta có:
P(x) + Q(x) + H(x) = 2$x^4$ – x – 2$x^3$ + 1 + 5$x^2$ – $x^3$ + 4x -2$x^4$ + $x^2$ + 5
= -3$x^3$ + 6$x^2$ + 3x + 6
Vậy: P(x) + Q(x) + H(x) = -3$x^3$ + 6$x^2$ + 3x + 6
Ta có:
P(x) – Q(x) – H(x) = 2$x^4$ – x – 2$x^3$ + 1 – (5$x^2$ – $x^3$ + 4x) – (-2$x^4$ + $x^2$ + 5)
= 2$x^4$ – x – 2$x^3$ + 1 – 5$x^2$ + $x^3$ – 4x + 2$x^4$ – $x^2$ – 5
= 4$x^4$ – $x^3$ – 6$x^2$ – 5x – 4
Vậy: P(x) – Q(x) – H(x) = 4$x^4$ – $x^3$ – 6$x^2$ – 5x – 4
5. Giải bài 48 trang 46 sgk Toán 7 tập 2
Chọn đa thức mà em cho là kết quả đúng:
(2$x^3$ – 2x + 1) – (3$x^2$ + 4x – 1) = ?
| 2$x^3$ + 3$x^2$ – 6x + 2 (1) |
| 2$x^3$ – 3$x^2$ – 6x + 2 (2) |
| 2$x^3$ – 3$x^2$ + 6x + 2 (3) |
| 2$x^3$ – 3$x^2$ – 6x – 2 (4) |
Bài giải:
Ta có (2$x^3$ – 2x + 1) – (3$x^2$ + 4x – 1) = 2$x^3$ – 2x + 1 – 3$x^2$ – 4x + 1 = 2$x^3$ – 3$x^2$ – 6x + 2
Vậy kết quả đúng là đa thức (2)
Bài trước:
Bài tiếp theo:
Xem thêm:
- Các bài toán 7 khác
- Để học tốt môn Vật lí lớp 7
- Để học tốt môn Sinh học lớp 7
- Để học tốt môn Ngữ văn lớp 7
- Để học tốt môn Lịch sử lớp 7
- Để học tốt môn Địa lí lớp 7
- Để học tốt môn Tiếng Anh lớp 7
- Để học tốt môn Tiếng Anh lớp 7 thí điểm
- Để học tốt môn Tin học lớp 7
- Để học tốt môn GDCD lớp 7
Chúc các bạn làm bài tốt cùng giải bài tập sgk toán lớp 7 với giải bài 44 45 46 47 48 trang 45 46 sgk toán 7 tập 2!
“Bài tập nào khó đã có giaibaisgk.com“