Toán lớp 9

Luyện tập: Giải bài 45 46 47 48 49 50 51 52 53 trang 59 60 sgk Toán 9 tập 2

Luyện tập Bài §8. Giải bài toán bằng cách lập phương trình, Chương IV – Hàm số \(y = ax^2 (a ≠ 0)\). Phương trình bậc hai một ẩn, sách giáo khoa toán 9 tập hai. Nội dung bài giải bài 45 46 47 48 49 50 51 52 53 trang 59 60 sgk toán 9 tập 2 bao gồm tổng hợp công thức, lý thuyết, phương pháp giải bài tập phần đại số có trong SGK toán để giúp các em học sinh học tốt môn toán lớp 9.

Lý thuyết

1. Phương pháp giải

Để giải bài toán bằng cách lập phương trình, chúng ta làm theo các bước sau:

– Bước 1: Lập phương trình.

+ Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn.

+ Biểu đạt các đại lượng khác nhau theo ẩn.

+ Dựa vào đề bài toán, lập phương trình theo dạng đã học.

– Bước 2: Giải phương trình.

– Bước 3: So sánh kết quả tìm được và chọn nghiệm thích hợp.

2. Các dạng toán cơ bản

– Dạng toán chuyển động.

– Dạng toán kết hợp các đại lượng hình học.

– Dạng toán làm việc chung 1 tập thể, làm việc cá nhân.

– Dạng toán nước chảy.

– Dạng toán tìm số.

– Dạng toán kết hợp vật lý, hóa học.

Dưới đây là Hướng dẫn giải bài 45 46 47 48 49 50 51 52 53 trang 59 60 sgk toán 9 tập 2. Các bạn hãy đọc kỹ đầu bài trước khi giải nhé!

Luyện tập

Giaibaisgk.com giới thiệu với các bạn đầy đủ phương pháp giải bài tập phần đại số 9 kèm bài giải chi tiết bài 45 46 47 48 49 50 51 52 53 trang 59 60 sgk toán 9 tập 2 của Bài §8. Giải bài toán bằng cách lập phương trình trong Chương IV – Hàm số \(y = ax^2 (a ≠ 0)\). Phương trình bậc hai một ẩn cho các bạn tham khảo. Nội dung chi tiết bài giải từng bài tập các bạn xem dưới đây:

Giải bài 45 46 47 48 49 50 51 52 53 trang 59 60 sgk toán 9 tập 2
Giải bài 45 46 47 48 49 50 51 52 53 trang 59 60 sgk toán 9 tập 2

1. Giải bài 45 trang 59 sgk Toán 9 tập 2

Tích của hai số tự nhiên liên tiếp lớn hơn tổng của chúng là 109. Tìm hai số đó.

Bài giải:

Gọi số bé là \(x\), \(x ∈ N, x > 0\),

số tự nhiên liền sau của \(x\) là \(x + 1\).

Tích của hai số này là \(x(x + 1)\) hay \(x^2+ x\).

Tổng của hai số này là: \(x+x + 1=2x+1\)

Theo đầu bài ta tích của hai số lớn hơn tổng của chúng là 109 nên ta có phương trình:

\(x^2 + x – (2x + 1) = 109\) hay \(x^2- x – 110 = 0\)

Giải phương trình: \(\Delta = 1 + 440 = 441\), \(\sqrt{\Delta} = 21\)

\({x_1} = 11, {x_2} = -10\)

Vì \(x > 0\) nên \({x_2} = -10\) không thỏa mãn điều kiện của ẩn.

Vậy hai số phải tìm là: $11$ và $12$

2. Giải bài 46 trang 59 sgk Toán 9 tập 2

Một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích \(240\) m2. Nếu tăng chiều rộng \(3\) m và giảm chiều dài \(4\) m thì diện tích mảnh đất không đổi. Tính kích thước của mảnh đất.

Bài giải:

Gọi chiều rộng của mảnh đất là \(x\) (m), \(x > 0\).

Vì diện tích của mảnh đất bằng \(240\) m2 nên chiều dài là: \(\dfrac{240}{x}\) (m)

Nếu tăng chiều rộng \(3\)m và giảm chiều dài \(4\)m thì mảnh đất mới có chiều rộng là \(x + 3\) (m), chiều dài là (\(\dfrac{240}{x}- 4)\) (m) và diện tích là: \((x + 3)(\dfrac{240}{x}-4)\) \((m^2) \)

Theo đầu bài ta có phương trình:

\(\begin{array}{l}
240 – 4x + \dfrac{{720}}{x} – 12 = 240\\
\Rightarrow – 4{x^2} + 720 – 12x = 0\\
\Leftrightarrow {x^2} + 3x – 180 = 0
\end{array}\)

Giải phương trình: \(\Delta = 3^2 + 720 = 729\), \(\sqrt{\Delta} = 27\)

Suy ra \({x_1} = 12, {x_2} = -15\)

Vì \(x > 0\) nên \({x_2} = -15\) không thỏa mãn điều kiện của ẩn. Do đó chiều rộng là \(12\)m, chiều dài là: \(240 : 12 = 20\) (m)

Vậy mảnh đất có chiều rộng là \(12\)m, chiều dài là \(20\)m.

3. Giải bài 47 trang 59 sgk Toán 9 tập 2

Bác Hiệp và cô Liên đi xe đạp từ làng lên tỉnh trên quãng đường dài \(30\) km, khởi hành cùng một lúc. Vận tốc xe của bác Hiệp lớn hơn vận tốc xe của cô Liên là \(3\) km/h nên bác Hiệp đã đến tỉnh sớm hơn cô Liên nửa giờ. Tính vận tốc xe mỗi người.

Bài giải:

Gọi vận tốc của bác Hiệp là \(x\) (km/h), khi đó vận tốc của cố Liên là \(x – 3\) (km/h), \(x > 3\).

Thời gian bác Hiệp đi từ làng lên tỉnh là \(\dfrac{30}{x}\) (giờ).

Thời gian bác Liên đi từ làng lên tỉnh là: \(\dfrac{30}{x-3}\) (giờ)

Vì bác Hiệp đến trước cô Liên nửa giờ, tức là thời gian đi của bác Hiệp ít hơn thời gian cô Liên nửa giờ nên ta có phương trình:

\(\dfrac{30}{x-3}-\dfrac{30}{x}\) = \(\dfrac{1}{2}\)

Giải phương trình:

\(\begin{array}{l}
30.2x – 30.2\left( {x – 3} \right) = x\left( {x – 3} \right)\\
\Leftrightarrow 60x – 60x + 180 = {x^2} – 3x\\
\Leftrightarrow {x^2} – 3x – 180 = 0\\
\Delta = {\left( { – 3} \right)^2} – 4.1.\left( { – 180} \right) = 729 > 0,\sqrt \Delta = 27
\end{array}\)

\({x_1} = 15, {x_2} = -12\)

Vì \(x > 3 \) nên \({x_2} = -12\) không thỏa mãn điều kiện của ẩn.

Vậy vận tốc của bác Hiệp là $15 km/h$, vận tốc của cô Liên là $12 km/h$

4. Giải bài 48 trang 59 sgk Toán 9 tập 2

Từ một miếng tôn hình chữ nhật người ta cắt ở bốn góc bốn hình vuông có cạnh bằng \(5\) dm để làm thành một cái thùng hình hộp chữ nhật không nắp có dung tích \(1500\) dm3 (h.15). Hãy tính kích thước của miếng tôn lúc đầu, biết rằng chiều dài của nó gấp đôi chiều rộng.

Bài giải:

Gọi chiều rộng của miếng tôn là \(x\) (dm), \(x > 10\).

Chiều dài của nó là \(2x\) (dm)

Khi làm thành một cái thùng hình hộp chữ nhật không nắp thì chiều dài của thùng là \(2x – 10\) (dm), chiều rộng là \(x – 10\) (dm), chiều cao là \(5\) (dm).

Dung tích của thùng là \(5(2x – 10)(x – 10)\) \((dm^3)\)

Theo đầu bài ta có phương trình:

\(\begin{array}{l}
5\left( {2x – 10} \right)\left( {x – 10} \right) = 1500\\
\Leftrightarrow 5\left( {2{x^2} – 20x – 10x + 100} \right) = 1500\\
\Leftrightarrow 2{x^2} – 30x + 100 = 300\\
\Leftrightarrow {x^2} – 15x – 100 = 0
\end{array}\)

Giải phương trình: \(\Delta = 225 + 400 = 625 >0\), \(\sqrt{\Delta} = 25\)

Suy ra \({x_1} = 20, {x_2} = -5\) (loại)

Vậy miếng tôn có chiều rộng bằng $20 (dm)$, chiều dài bằng $40 (dm)$.

5. Giải bài 49 trang 59 sgk Toán 9 tập 2

Hai đội thợ quét sơn một ngôi nhà. Nếu họ cùng làm thì trong 4 ngày xong việc. Nếu họ làm riêng thì đội I hoàn thành công việc nhanh hơn đội II là 6 ngày. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội phải làm trong bao nhiêu ngày để xong việc ?

Bài giải:

Gọi thời gian đội $I$ làm một mình xong việc là \(x\) (ngày), \(x > 0\).

Vì đội II hoàn thành công việc lâu hơn đội $I$ là $6$ ngày nên thời gian một mình đội $II$ làm xong việc là \(x + 6\) (ngày).

Mỗi ngày đội $I$ làm được \(\dfrac{1}{x}\) (công việc).

Mỗi ngày đội $II$ làm được \(\dfrac{1}{x+6}\) (công việc)

Hai đội làm $4$ ngày xong công việc nên mỗi ngày cả hai đội làm được \(\dfrac{1}{4}\) công việc ta có phương trình:

\(\dfrac{1}{x}\) + \(\dfrac{1}{x+6}\) = \(\dfrac{1}{4}\)

\(\begin{array}{l}
\Rightarrow 4\left( {x + 6} \right) + 4.x = x\left( {x + 6} \right)\\
\Leftrightarrow 4x + 24 + 4x = {x^2} + 6x\\
\Leftrightarrow {x^2} – 2x – 24 = 0
\end{array}\)

\(\Delta’ = 1 + 24 = 25 = 5^2\)

\({x_1} = 1 + 5 = 6, {x_2} = 1 – 5 = -4\)

Vì \(x > 0\) nên \({x_2} = -4\) không thỏa mãn điều kiện của ẩn.

Vậy một mình đội $I$ làm trong \(6\) ngày thì xong việc. Một mình đội $II$ làm trong \(12\) ngày thì xong việc.

6. Giải bài 50 trang 59 sgk Toán 9 tập 2

Miếng kim loại thứ nhất nặng \(880\) g, miếng kim loại thứ hai nặng \(858\) g. Thể tích của miếng thứ nhất nhỏ hơn thể tích của miếng thứ hai là \(10\) cm3, nhưng khối lượng riêng của miếng thứ nhất lớn hơn khối lượng riêng của miếng thứ hai là \(1\) g/cm3 . Tìm khối lượng riêng của mỗi miếng kim loại.

Bài giải:

Gọi khối lượng riêng của miếng kim loại thứ nhất là: \(x\) (g/cm3 )

Khối lượng riêng của miếng kim loại thứ hai là: \(x – 1\) (g/cm3 ) điều kiện \(x > 1\)

Thể tích của miếng kim loại thứ nhất là: \(\dfrac{880}{x}\) (cm3 )

Thể tích của miếng kim loại thứ hai là: \(\dfrac{858}{x-1}\) (cm3 )

Theo đầu bài thể tích của miếng thứ nhất nhỏ hơn miếng thứ hai là \(10\) cm3 nên ta có phương trình: \(\dfrac{858}{x-1} – \dfrac{880}{x} = 10\)

\(\begin{array}{l}
\Rightarrow 858x – 880\left( {x – 1} \right) = 10x\left( {x – 1} \right)\\
\Leftrightarrow 858x – 880x + 880 = 10{x^2} – 10x\\
\Leftrightarrow 10{x^2} + 12x – 880 = 0\\
\Leftrightarrow 5{x^2} + 6x – 440 = 0
\end{array}\)

Ta có: \(\Delta’=9 + 2200 = 2209\), \(\sqrt{\Delta’ }= 47\)

Suy ra \({x_1}= 8,8;\, {x_2} = -10\)

Vì \(x > 1\) nên \({x_2} = -10\) (loại)

Vậy khối lượng riêng của miếng kim loại thứ nhất là: \(8,8\) g/cm3

Khối lượng riêng của miếng kim loại thứ hai là: \(7,8\) g/cm3

7. Giải bài 51 trang 59 sgk Toán 9 tập 2

Người ta đổ thêm \(200\) g nước vào một dung dịch chứa \(40\) g muối thì nồng độ của dung dịch giảm đi \(10\) %. Hỏi trước khi đổ thêm nước thì dung dịch chứa bao nhiêu nước ?

Bài giải:

Gọi khối lượng nước trong dung dịch trước khi đổ thêm nước là: \(x\) (g), \(x > 0\)

Nồng độ muối của dung dịch khi đó là: \(\dfrac{40}{x + 40}\)

Nếu đổ thêm \(200\) g nước vào dung dịch thì khối lượng của dung dịch sẽ là: \(x + 40 + 200\) (g)

Nồng độ của dung dịch bây giờ là: \(\dfrac{40}{x + 240}\)

Vì nồng độ muối giảm \(10\)% nên ta có phương trình:

\(\dfrac{40}{x + 40}-\dfrac{40}{x + 240}\) = \(\dfrac{10}{100}\)

Giải phương trình:

\((x + 40)(x + 240) = 400(x + 240 – x – 40)\)

hay \(x^2 + 280x – 70400 = 0\)

\(\Delta’ = 19600 + 70400 = 90000\), \(\sqrt{\Delta’} = 300\)

Suy ra \({x_1} = 160, {x_2} = -440\)

Vì \(x > 0\) nên \({x_2} = -440\) (loại)

Vậy trước khi đổ thêm nước, trong dung dịch có \(160\) g nước.

8. Giải bài 52 trang 60 sgk Toán 9 tập 2

Khoảng cách giữa hai bên sông A và B là \(30\) km. Một canô đi từ bến A đến bến B, nghỉ \(40\) phút ở bến B rồi quay lại bến A. Kể từ lúc khởi hành đến khi về tới bến A hết tất cả \(6\) giờ. Hãy tìm vận tốc của canô trong nước yên lặng, biết rằng vận tốc của nước chảy là \(3\) km/h.

Bài giải:

Gọi vận tốc thực của canô (khi nước yên lặng) là \(x\) (km/h) , nên vận tốc khi đi xuôi dòng là: \(x + 3\) (km/h) và vận tốc khi ngược dòng là: \(x – 3\) (km/h), \(x > 3\).

Thời gian xuôi dòng là: \(\dfrac{30}{x + 3}\) (giờ)

Thời gian ngược dòng là: \(\dfrac{30}{x – 3}\) (giờ)

Nghỉ lại \(40\) phút hay \(\dfrac{2}{3}\) giờ ở B.

Theo đầu bài kể từ khi khời hành đến khi về tới bến A hết tất cả \(6\) giờ nên ta có phương trình: \(\dfrac{30}{x+ 3}+ \dfrac{30}{x- 3}+ \dfrac{2}{3} = 6\)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \dfrac{{30}}{{x + 3}} + \dfrac{{30}}{{x – 3}} = \dfrac{{16}}{3}\\
\Rightarrow 30.3\left( {x – 3} \right) + 30.3.\left( {x + 3} \right) = 16.\left( {x – 3} \right)\left( {x + 3} \right)\\
\Leftrightarrow 90x – 270 + 90x + 270 = 16\left( {{x^2} – 9} \right)\\
\Leftrightarrow 16{x^2} – 180x – 144 = 0\\
\Leftrightarrow 4{x^2} – 45x – 36 = 0
\end{array}\)

\(\Delta = 2025 + 576 = 2601 >0, \sqrt{\Delta} = 51\)

Suy ra \({x_1} = 12, {x_2} = -\dfrac{3}{4}\) (loại)

Vậy vận tốc của canô trong nước yên lặng là \(12\) km/h.

9. Giải bài 53 trang 60 sgk Toán 9 tập 2

Tỉ số vàng. Đố em chia được đoan AB cho trước thành hai đoạn sao cho tỉ số giữa đoạn lớn với đoạn AB bằng tỉ số giữa đoạn nhỏ với đoạn lớn (h.16).

Hãy tìm tỉ số ấy.

Đó chính là bài toán mà Ơ-clít đưa ra từ thế kỉ III trước công nguyên. Tỉ số nói trong bài toán được gọi là tỉ số vàng, còn phép chia nói trên được gọi là phép chia vàng hay phép chia hoàng kim.

Hướng dẫn: Giả sử M là điểm chia và AM > MB. Gọi tỉ số cần tìm là \(x\).

Bài giải:

Giả sử \(M\) là điểm chia đoạn \(AB\) sao cho \(AM>MB\) và \(AB\) có độ dài bằng \(a\).

Gọi độ dài của \(AM = x; 0 < x < a\). Khi đó \(MB = a – x\).

Theo đầu bài: \(\displaystyle{{AM} \over {AB}} = {{MB} \over {AM}}\) hay \(\displaystyle {x \over a} = {{a – x} \over x}\)

Giải phương trình: \(x^2 = a(a – x)\) hay \(x^2 + ax – a^2= 0\)

\(\Delta = a^2 + 4a^2= 5a^2 , \sqrt{\Delta}= a\sqrt{5}\)

Suy ra \(\displaystyle {x_1} = {{ – a + a\sqrt 5 } \over 2} = {{a(\sqrt 5 – 1)} \over 2},{x_2} = {{ – a(\sqrt 5 + 1)} \over 2}\)

Vì \(x > 0\) nên \({x_2}\) không thỏa mãn điều kiện của ẩn.

Vậy \(\displaystyle AM={{a(\sqrt 5 – 1)} \over 2}\)

Tỉ số cần tìm là: \(\displaystyle {{AM} \over {AB}} = {{\sqrt 5 – 1} \over 2}\)

Bài trước:

Bài tiếp theo:

Xem thêm:

Chúc các bạn làm bài tốt cùng giải bài tập sgk toán lớp 9 với giải bài 45 46 47 48 49 50 51 52 53 trang 59 60 sgk toán 9 tập 2!

“Bài tập nào khó đã có giaibaisgk.com“