Luyện tập: Giải bài 59 60 61 62 63 64 trang 31 sgk Toán 7 tập 1

Nội Dung

Luyện tập Bài §8. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, chương I – Số hữu tỉ. Số thực, sách giáo khoa toán 7 tập một. Nội dung bài giải bài 59 60 61 62 63 64 trang 31 sgk toán 7 tập 1 bao gồm tổng hợp công thức, lý thuyết, phương pháp giải bài tập phần đại số có trong SGK toán để giúp các em học sinh học tốt môn toán lớp 7.

Lý thuyết

1. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{{a + c}}{{b + d}} = \frac{{a – c}}{{b – d}}\,\,\,(b \ne d\,\,va\,\,b \ne – d)$

Mở rộng: Từ dãy tỉ số bằng nhau: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f}$ ta suy ra:

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = \frac{{a + c + e}}{{b + d + f}} = \frac{{a – c – e}}{{b – d – f}}\,$(giả thiết các tỉ số đều có nghĩa).

2. Chú ý:

Khi các dãy tỉ số: $\frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{5},$ ta nói các số a, b, c tỉ lệ với các số 2, 3, 5.

Ta cũng viết: a : b : c = 2 : 3 : 5.

3. Ví dụ minh họa

Trước khi đi vào giải bài 59 60 61 62 63 64 trang 31 sgk toán 7 tập 1, chúng ta hãy tìm hiểu các ví dụ điển hình sau đây:

Ví dụ 1:

Tìm x, y biết:

a. $\frac{x}{y} = \frac{{17}}{3}$ và $x + y = – 60$.

b. $\frac{x}{{19}} = \frac{y}{{21}}$ và $2x – y = 34$.

c. $\frac{{{x^2}}}{9} = \frac{{{y^2}}}{{16}}$ và ${x^2} + {y^2} = 100$.

Bài giải:

a. $\frac{x}{y} = \frac{{17}}{3}$ và $x + y = – 60$

$ \Rightarrow \frac{x}{7} = \frac{y}{{13}} = \frac{{x + y}}{{7 + 13}} = \frac{{ – 60}}{{20}} = – 3$.

Do đó:

$\begin{array}{l}\frac{x}{7} = – 3 \Rightarrow x = – 21\\\frac{y}{{13}} = – 3 \Rightarrow y = – 39\end{array}$.

b. $\frac{x}{{19}} = \frac{y}{{21}}$ và $2x – y = 34$

$\frac{x}{{19}} = \frac{y}{{21}} \Rightarrow \frac{{2x}}{{38}} = \frac{y}{{21}} = \frac{{2x – y}}{{38 – 21}} = \frac{{34}}{{17}} = 2$.

Do đó: $\frac{x}{9} = 2 \Rightarrow x = 38$.

$\frac{y}{{21}} = 2 \Rightarrow y = 42$.

c. $\frac{{{x^2}}}{9} = \frac{{{y^2}}}{{16}}$ và ${x^2} + {y^2} = 100$.

$\frac{{{x^2}}}{9} = \frac{{{y^2}}}{{16}} = \frac{{{x^2} + {y^2}}}{{19 + 6}} = \frac{{100}}{{25}} = 4$.

Do đó: $\frac{{{x^2}}}{9} = 4 \Rightarrow {x^2} = 36 \Rightarrow x = \pm 6$.

$\frac{{{y^2}}}{{16}} = 4 \Rightarrow {y^2} = 64 \Rightarrow y = \pm 8$.

Ví dụ 2:

Chứng minh rằng nếu $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ thì:

a. $\frac{{5a + 3b}}{{5a – 3b}} = \frac{{5c + 3d}}{{5c – 3d}}$.

b. $\frac{{7{a^2} + 3ab}}{{11{a^2} – 8{b^2}}} = \frac{{7{c^2} + 3cd}}{{11{c^2} – 8{d^2}}}$.

Bài giải:

a. Vì $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ nên $\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$.

Mặt khác $\frac{a}{c} = \frac{b}{d} = \frac{{5a}}{{5c}} = \frac{{3b}}{{3d}} = \frac{{5a + 3b}}{{5c + 3d}} = \frac{{5a – 3d}}{{5c – 3d}}$.

Vậy $\frac{{5a + 3b}}{{5a – 3b}} = \frac{{5a – 3b}}{{5c – 3d}}$.

b. Vì $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ nên $\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$.

Vậy $\frac{a}{c}.\frac{a}{c} = \frac{b}{d} = \frac{b}{d} = \frac{a}{c}.\frac{b}{d}$ hay $\frac{{{a^2}}}{{{c^2}}} = \frac{{{b^2}}}{{{d^2}}} = \frac{{ab}}{{cd}}$.

Mặt khác ta lại có:

$\frac{{7{a^2}}}{{7{c^2}}} = \frac{{11{a^2}}}{{11{c^2}}} = \frac{{8{b^2}}}{{8{d^2}}} = \frac{{3ab}}{{3cd}} = \frac{{7{a^2} + 3ab}}{{7{c^2} + 3cd}} = \frac{{11{a^2} – 8{b^2}}}{{11{c^2} – 8d}}$

Do đó ta có: $\frac{{7{a^2} + 3ab}}{{11{a^2} – 8{b^2}}} = \frac{{7{c^2} + 3cd}}{{11{c^2} – 8{d^2}}}$.

Ví dụ 3:

Cho bốn số khác 0 là ${a_1},{a_2},{a_3},{a_4}$ thoả mãn ${a_2}^2 = {a_1}a{}_{3,}{a_3}^2 = {a_2}{a_4}$. Chứng minh: $\frac{{a_1^3 + a_2^3 + a_3^3}}{{a_2^3 + a_3^3 + a_4^3}} = \frac{{{a_1}}}{{{a_4}}}$

Bài giải:

Từ giả thiết ta có:

$\begin{array}{l}a_2^2 = {a_1}.{a_3} \Rightarrow \frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \frac{{{a_2}}}{{{a_3}}}\\a_3^2 = {a_2}.{a_4} \Rightarrow \frac{{{a_2}}}{{{a_3}}} = \frac{{{a_3}}}{{{a_4}}}\end{array}$.

Nên $\frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \frac{{{a_2}}}{{{a_3}}} = \frac{{{a_3}}}{{{a_4}}}$.

Suy ra: $\frac{{a_1^3}}{{a_2^3}} = \frac{{a_2^3}}{{a_3^3}} = \frac{{a_3^3}}{{a_4^3}} = \frac{{{a_1}}}{{{a_2}}}.\frac{{{a_2}}}{{{a_3}}}.\frac{{{a_3}}}{{{a_4}}} = \frac{{{a_1}}}{{{a_4}}}$.

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\frac{{a_1^3 + a_2^3 + a_3^3}}{{a_2^3 + a_3^3 + a_4^3}} = \frac{{{a_1}}}{{{a_4}}}$.

Ví dụ 4:

Biết $\frac{{bz – cy}}{a} = \frac{{cx – az}}{b} = \frac{{ay – bx}}{c}$. Chứng minh rằng: $\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c}.$

Bài giải:

Ta có: $\frac{{bz – cy}}{a} = \frac{{cx – az}}{b} = \frac{{ay – bx}}{c} = \frac{{abz – acy}}{{{a^2}}} = \frac{{bcx – abz}}{{{b^2}}} = \frac{{acy – bcx}}{{{c^2}}}$

$ = \frac{{abz – acy + bcx – abz + acy – bcx}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} = 0$

Suy ra:

$\frac{{bz – cy}}{a} = 0$ nên $bz – cy = 0 \Rightarrow bz = cy$ hay $\frac{b}{y} = \frac{c}{z}$ (1).

$\frac{{cx – {\rm{az}}}}{b} = 0$ nên $cx – az = 0 \Rightarrow cx = az$ hay $\frac{c}{z} = \frac{a}{x}$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra: $\frac{a}{x} = \frac{b}{y} = \frac{c}{z}.$

Ví dụ 5:

Ba vòi nước cùng chảy vào một hồ có dung tích $15,8{m^3}$ từ lúc không có nước cho tới khi đầy hồ. Biết rằng thời gian để chảy được $1{m^3}$ nước của vòi thứ nhất là 3 phút, vòi thức hai là 5 phút và vòi thứ ba là 8 phút. Hỏi mỗi vòi chảy được bao nhiêu nước vào hồ?

Bài giải:

Gọi lượng nước các vòi đã chảy vào hồ là x, y, z mét khối nước. Thời gian mà các vòi chảy vào hồ 3x, 5y, 8z. Vì thời gian chảy của các vòi là như nhau nên ta có:

$3x = 5y = 8z \Rightarrow \frac{x}{5} = \frac{y}{3};\,\,\frac{y}{8} = \frac{5}{5} \Rightarrow \frac{{8x}}{{40}},\,\frac{{3y}}{{24}} = \frac{{3z}}{{15}}$

$ \Rightarrow \frac{x}{{40}} = \frac{y}{{24}} = \frac{z}{{15}} = \frac{{x + y + z}}{{40 + 24 + 15}} = \frac{{15,8}}{{79}} = 0,2$

Từ đó ta có: $x = 8{m^3};y = 4,8{m^3};z = 3{m^3}$.

Chú ý: Ta cũng có thể nói rằng: Trong cùng một thời gian, lượng nước chảy được mỗi vòi tỉ lệ với lượng nước mỗi vòi chảy được trong một đơn vị thời gian, nghĩa là: $x:y:z = \frac{1}{3}:\frac{1}{5}:\frac{1}{8}$ tức là: $\frac{x}{{\frac{1}{3}}} = \frac{y}{{\frac{1}{5}}} = \frac{z}{{\frac{1}{8}}}$

Từ đây ta tìm được x, y, z.

Ví dụ 6:

Ba học sinh A, B, C có số điểm mười tỉ lệ với các số 2; 3; 4. Biết rằng tổng số điểm 10 của A và C hơn B là 6 điểm 10. Hỏi mỗi em có bao nhiêu điểm 10?

Bài giải:

Gọi a, b, c là số điểm 10 của ba học sinh A, B, C ta có:

$\frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{4} = \frac{{a + c – b}}{{2 + 4 – 3}} = \frac{6}{3} = 2$.

Do đó: $\frac{a}{2} = 2 \Rightarrow a = 4$

$\begin{array}{l}\frac{b}{3} = 2 \Rightarrow b = 6\\\frac{c}{4} = 2 \Rightarrow c = 8\end{array}$.

Vậy:

Học sinh A có 4 điểm 10.

Học sinh B có 6 điểm 10.

Học sinh C có 8 điểm 10.

Dưới đây là Hướng dẫn giải bài 59 60 61 62 63 64 trang 31 sgk toán 7 tập 1. Các bạn hãy đọc kỹ đầu bài trước khi giải nhé!

Luyện tập

Giaibaisgk.com giới thiệu với các bạn đầy đủ phương pháp giải bài tập phần đại số 7 kèm bài giải chi tiết bài 59 60 61 62 63 64 trang 31 sgk toán 7 tập 1 của bài §8. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau trong chương I – Số hữu tỉ. Số thực cho các bạn tham khảo. Nội dung chi tiết bài giải từng bài tập các bạn xem dưới đây:

Giải bài 59 60 61 62 63 64 trang 31 sgk toán 7 tập 1

1. Giải bài 59 trang 31 sgk Toán 7 tập 1

Thay tỉ số giữa các số hữu tỉ bằng tỉ số giữa các số nguyên:

a) $2,04 : (-3,12)$

b) (-1$\frac{1}{2}) : 1,25$

c) 4 : 5$\frac{3}{4}$

d) 10$\frac{3}{7}$ : 5$\frac{3}{14}$

Bài giải:

a) $2,04 : (-3,12)= \frac{204}{100} : \frac{-312}{100}$

$= \frac{204}{-312}= \frac{12 . 17}{-12 . 26}= \frac{17}{-26}$

b) (-1$\frac{1}{2}$) : 1,25= $\frac{-3}{2}$ : $\frac{125}{100}$

= $\frac{-3}{2}$ . $\frac{100}{125}$= $\frac{-3 . 4 . 25}{2 . 5 . 25}$= $\frac{-6}{5}$

c) 4 : 5$\frac{3}{4}$= 4 : $\frac{23}{4}$= $\frac{16}{23}$

d) 10$\frac{3}{7}$ : 5$\frac{3}{14}$ = $\frac{20}{7}$ : $\frac{73}{14}$

= $\frac{20}{7}$ . $\frac{14}{73}$ = $\frac{40}{73}$

2. Giải bài 60 trang 31 sgk Toán 7 tập 1

Tìm x trong các tỉ lệ thức sau:

a) ($\frac{1}{3}$ . x) : $\frac{2}{3}$ = 1$\frac{3}{4}$ : $\frac{2}{5}$

b) $4,5 : 0,3 = 2,25 : (0,1 . x)$

c) $8 : (\frac{1}{4} . x) = 2 : 0,02$

d) $3 : 2\frac{1}{4} = \frac{3}{4} : (6 . x)$

Bài giải:

a) ($\frac{1}{3}$ . x) : $\frac{2}{3}$ = 1$\frac{3}{4}$ : $\frac{2}{5}$

⇔ $\frac{1}{3}$ . x = $\frac{7}{4}$ . $\frac{5}{2}$ . $\frac{2}{3}$

⇔ $\frac{1}{3}$ . x = $\frac{7}{12}$

⇔ x = $\frac{7}{12}$ . $\frac{3}{1}$

⇔ x = $\frac{7}{4}$

b) $4,5 : 0,3 = 2,25 : (0,1 . x)$

⇔ 15 = $\frac{225}{100}$ : $\frac{x}{10}$

⇔ 15 = $\frac{225}{10x}$ ⇔ x = $\frac{225}{15 . 10}$

⇔ x = $\frac{15}{10}$ = $\frac{3}{2}$

c) $8 : (\frac{1}{4} . x) = 2 : 0,02$

⇔ 8 . $\frac{4}{x}$ = 2 . $\frac{100}{2}$

⇔ x = $\frac{8 . 4}{100}$ = $\frac{8}{25}$

d) 3 : 2$\frac{1}{4}$ = $\frac{3}{4}$ : (6 . x)

⇔ 3 . $\frac{4}{9}$ = $\frac{3}{4}$ : 6x

⇔ 6x = $\frac{3}{4}$ : $\frac{4}{3}$

⇔ 6x = $\frac{9}{16}$ ⇔ x = $\frac{3}{32}$

3. Giải bài 61 trang 31 sgk Toán 7 tập 1

Tìm ba số x, y, x biết rằng:

$\frac{x}{2}$ = $\frac{y}{3}$, $\frac{y}{4}$ = $\frac{z}{5}$ và $x + y – z = 10$

Bài giải:

Theo đề ta cũng có thể viết: $\frac{x}{8}$ = $\frac{y}{12}$, $\frac{y}{12}$ = $\frac{z}{15}$

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{x}{8}$ = $\frac{y}{12}$ = $\frac{z}{15}$ = $\frac{x + y – z}{8 + 12 – 15}$ = $\frac{10}{5}$ = 2

Do đó: $\frac{x}{8} = 2 ⇔ x = 16$

$\frac{y}{12} = 2 ⇔ y = 24$

$\frac{z}{15} = 2 ⇔ z = 30$

Vậy $x = 16, y = 24, z = 30.$

4. Giải bài 62 trang 31 sgk Toán 7 tập 1

Tìm hai số x và y, biết rằng:

$\frac{x}{2}$ = $\frac{y}{5}$ và $x.y = 10$

Bài giải:

Nhân cả hai vế của tỉ lệ thức $\frac{x}{2}$ = $\frac{y}{5}$ với x (x $\neq$ 0), ta được: $\frac{x^2}{2}$ = $\frac{xy}{5}$

Thay xy = 10, ta được: $\frac{x^2}{2}$ = $\frac{10}{5}$ = 2 ⇔ $x^2 = 4$

Do đó $x = 2$ hoặc $x = -2$

Khi $x = 2$ thì $y = 5$

Khi $x = -2$ thì $y = -5$

5. Giải bài 63 trang 31 sgk Toán 7 tập 1

Chứng minh rằng từ tỉ lệ thức $\frac{a}{b}$ = $\frac{c}{d}$ (a – b $\neq$ 0, c – d $\neq$ 0) ta có thể suy ra tỉ lệ thức $\frac{a + b}{a – b}$ = $\frac{c + d}{c – d}$

Bài giải:

Gọi k là giá trị chung của các tỉ số trong tỉ lệ thức $\frac{a}{b}$ = $\frac{c}{d}$.

Ta có $\frac{a}{b}$ = $\frac{c}{d}$ = k

Suy ra: $a = k . b; c = k . d$

Ta có: $\frac{a + b}{a – b}$ = $\frac{k .b + b}{k . b – b}$ = $\frac{b(k + 1)}{b(k – 1)}$ = $\frac{k + 1}{k – 1}$ (1) (a – b $\neq$ 0, k $\neq$ 1)

$\frac{c + d}{c – d}$ = $\frac{k. d + d}{k . d – d}$ = $\frac{d(k + 1)}{d(k – 1)}$ = $\frac{k + 1}{k – 1}$ (2) (c – d $\neq$ 0, k $\neq$ 1)

Từ (1), (2) suy ra: $\frac{a + b}{a -b}$ = $\frac{c + d}{c – d}$

6. Giải bài 64 trang 31 sgk Toán 7 tập 1

Số học sinh bốn khối 6, 7, 8, 9 tỉ lệ với các số 9; 8; 7; 6. Biết rằng số học sinh khối 9 ít hơn số học sinh khối 7 là 70 học sinh. Tính số học sinh mỗi khối.

Bài giải:

Gọi $a, b, c, d$ lần lượt là số học sinh của các khối $6; 7; 8; 9$

Theo đề bài ta có: $\frac{a}{9}$ = $\frac{b}{8}$ = $\frac{c}{7}$ = $\frac{d}{6}$ và $b – d = 70$

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{b}{8}$ = $\frac{d}{6}$ = $\frac{b – d}{8 – 6}$ = $\frac{70}{2} = 35$

Do đó: $\frac{b}{8} = 35 ⇔ b = 35 . 8 = 280$

$\frac{d}{6} = 35 ⇔ d = 35 . 6 = 210$

$\frac{a}{9}$ = $\frac{b}{8}$ ⇔ a = $\frac{9 . b}{8}$ = $\frac{9 . 280}{8}$ = 315

$\frac{b}{8}$ = $\frac{c}{7}$ ⇔ c = $\frac{b . 7}{8}$ = $\frac{280 . 7}{8}$ = 245

Vậy số học sinh của khối 6 là 315, khối 7 là $280$, khối 8 là $245$, khối 9 là $210$.

Bài trước:

Giải bài 54 55 56 57 58 trang 30 sgk toán 7 tập 1

Bài tiếp theo:

Giải bài 65 66 67 trang 34 sgk toán 7 tập 1

Xem thêm:

Chúc các bạn làm bài tốt cùng giải bài tập sgk toán lớp 7 với giải bài 59 60 61 62 63 64 trang 31 sgk toán 7 tập 1!

“Bài tập nào khó đã có giaibaisgk.com“