Toán lớp 9

Luyện tập: Giải bài 83 84 85 86 87 trang 99 100 sgk Toán 9 tập 2

Luyện tập Bài §10. Diện tích hình tròn, hình quạt tròn, Chương III – Góc với đường tròn, sách giáo khoa toán 9 tập hai. Nội dung bài giải bài 83 84 85 86 87 trang 99 100 sgk toán 9 tập 2 bao gồm tổng hợp công thức, lý thuyết, phương pháp giải bài tập phần hình học có trong SGK toán để giúp các em học sinh học tốt môn toán lớp 9.

Lý thuyết

1. Công thức tính diện tích hình tròn

Diện tích hình tròn với bán kính R được tính theo công thức: \(S=\pi R^2\)

2. Công thức tính diện tích hình quạt tròn

Diện tích hình quạt tròn bán kính R, cung n0 được tính theo công thức

\(S=\frac{\pi R^2n}{180}\) hay \(S=\frac{l R}{2}\) (với \(l\) là độ dài cung n0 của hình quạt tròn)

Dưới đây là Hướng dẫn giải bài 83 84 85 86 87 trang 99 100 sgk toán 9 tập 2. Các bạn hãy đọc kỹ đầu bài trước khi giải nhé!

Luyện tập

Giaibaisgk.com giới thiệu với các bạn đầy đủ phương pháp giải bài tập phần hình học 9 kèm bài giải chi tiết bài 83 84 85 86 87 trang 99 100 sgk toán 9 tập 2 của Bài §10. Diện tích hình tròn, hình quạt tròn trong Chương III – Góc với đường tròn cho các bạn tham khảo. Nội dung chi tiết bài giải từng bài tập các bạn xem dưới đây:

Giải bài 83 84 85 86 87 trang 99 100 sgk toán 9 tập 2
Giải bài 83 84 85 86 87 trang 99 100 sgk toán 9 tập 2

1. Giải bài 83 trang 99 sgk Toán 9 tập 2

a) Vẽ hình 62 (tạo bởi các cung tròn) với \(HI = 10cm\) và \(HO = 2cm\). Nêu cách vẽ.

b) Tính diện tích hình \(HOABINH\) (miền gạch sọc)

c) Chứng tỏ rằng hình tròn đường kính \(NA\) có cùng diện tích với hình \(HOABINH\) đó.

Bài giải:

a) Cách vẽ:

– Vẽ đoạn thẳng \(HI = 10cm\), trên đoạn \(HI\) lấy hai điểm \(O\) và \(B\) sao cho \(HO = BI = 2cm\). Lấy \(D\) là trung điểm đoạn thẳng \(HI.\)

– Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ \(HI\), vẽ các nửa đường tròn đường kính \(HI;HO;BI\)

– Trên nửa mặt phẳng còn lại ta vẽ nửa đường tròn đường kính \(OB.\)

– Vẽ đường trung trực của đoạn \(HI\), đường thẳng này cắt nửa đường tròn đường kính \(HI\) tại \(N\) và cắt nửa đường tròn đường kính \(OB\) tại \(A.\)

– Bỏ đi hai nửa hình tròn đường kính \(HO\) và \(BI\), gạch chéo phần hình còn lại vừa vẽ ta được hình theo yêu cầu.

b) Theo cách dựng ta có:

Nửa hình tròn đường kính \(HO\) và \(BI\) đều có bán kính \(r = 2:2 = 1cm\). Hai nửa hình tròn này có diện tích bằng nhau và bằng:

\({S_3} = \dfrac{1}{2}\pi .{r^2} = \dfrac{1}{2}\pi \,\left( {c{m^2}} \right)\)

Nửa hình tròn đường kính \(HI\) có bán kính \(R = 10:2 = 5cm\) và có tâm \(D.\) Nửa hình tròn này có diện tích:

\({S_1} = \dfrac{1}{2}\pi {R^2} = \dfrac{1}{2}\pi {.5^2} = 12,5\pi \,\left( {c{m^2}} \right)\)

Nửa hình tròn đường kính \(OB\) có tâm \(D\) và có bán kính:

\({r_2} = OB:2 = \left( {HI – HO – BI} \right):2 = \left( {10 – 2 – 2} \right):2 = 3cm\)

Nửa hình tròn này có diện tích bằng:

\({S_2} = \dfrac{1}{2}\pi r_2^2 = \dfrac{1}{2}\pi {.3^2} = 4,5\pi \left( {c{m^2}} \right)\)

Phần hình bị gạch chéo tạo bởi các nửa đường tròn bán kính \(5cm;3cm\) và \(1cm\).

Diện tích phần bị gạch chéo là:

\(S = {S_1} – 2{S_3} + {S_2} = 12,5\pi – 2.\dfrac{1}{2}\pi + 4,5\pi = 16\pi \left( {c{m^2}} \right)\)

c) Ta có \(DN = R = 5cm;\,DA = {r_2} = 3cm \Rightarrow NA = 5 + 3 = 8cm\)

Đường tròn đường kính \(NA\) có bán kính là \(R’ = 8:2 = 4cm\)

Diện tích hình tròn đường kính \(NA\) là:

\(S’ = \pi {R’^2} = \pi {.4^2} = 16\pi \left( {c{m^2}} \right)\)

Vậy \(S = S’\) (đpcm).

2. Giải bài 84 trang 99 sgk Toán 9 tập 2

a) Vẽ lại hình tạo bởi các cung tròn xuất phát từ đỉnh \(C\) của tam giác đều \(ABC\) cạnh \(1 cm\). Nêu cách vẽ (h.63)

b) Tính diện tích miền gạch sọc

Bài giải:

a) Cách vẽ:

– Vẽ tam giác đều \(ABC\) cạnh \(1cm\)

– Vẽ \(\dfrac{1}{3}\) đường tròn tâm \(A\), bán kính \(1cm\), ta được cung \(\overparen{CD}\)

– Vẽ \(\dfrac{1}{3}\) đường tròn tâm \(B\), bán kính \(2cm\), ta được cung \(\overparen{DE}\)

– Vẽ \(\dfrac{1}{3}\) đường tròn tâm \(C\), bán kính \(3cm\), ta được cung \(\overparen{EF}\)

b) Diện tích hình quạt \(CAD\) là: \(\dfrac{1}{3}\) \(π.1^2\)

Diện tích hình quạt \(DBE\) là: \(\dfrac{1}{3}\) \(π.2^2\)

Diện tích hình quạt \(ECF\) là: \(\dfrac{1}{3}\) \(π.3^2\)

Diện tích phần gạch sọc là:

\(\dfrac{1}{3}.π.1^2+ \dfrac{1}{3}.π.2^2 +\dfrac{1}{3}.π.3^2\)

\(=\dfrac{1}{3}\) \(π (1^2 + 2^2 + 3^2) = \dfrac{14}{3}π\) (\(cm^2\))

3. Giải bài 85 trang 100 sgk Toán 9 tập 2

Hình viên phân là hình tròn giới hạn bởi một cung tròn và dây căng cung ấy. Hãy tính diện tích hình viên phân \(AmB\), biết góc ở tâm \(\widehat {AOB} = {60^0}\) và bán kính đường tròn là \(5,1 cm\) (h.64).

Bài giải:

Gọi H là chân đường vuông góc từ O đến AB.

Vậy H là trung điểm AB

OAB là tam giác đều có cạnh bằng \(\small R = 5,1cm\)

\(\Rightarrow AH=\frac{5,1}{2}=2,55(cm)\)

\(\Rightarrow OH=\sqrt{OA^2-AH^2}=2,55\sqrt{3}(cm)\)

Vậy diện tích của tam giác AOB đều là:

\(S_{AOB}=\frac{1}{2}OH.AB=2,55.5,1\sqrt{3}.\frac{1}{2}=\approx 11,26(cm^2)\)

Diện tích quạt tròn AOB là:

\(S_q=\frac{\pi 5,1^2}{6}\approx 13,62(cm^2)\)

Diện tích viên phân cần tính là:

\(S=S_q-S_{ABC}\approx2,35(cm^2)\)

4. Giải bài 86 trang 100 sgk Toán 9 tập 2

Hình vành khăn là phần hình tròn nằm giữa hai đường tròn đồng tâm (h.65).

a) Tính diện tích \(S\) của hình vành khăn theo \({R_1}\) và \({R_2}\) (giả sử \({R_1}>{R_2}\)).

b) Tính diện tích hình vành khăn khi \({R_1} = 10,5 cm\), \({R_2} = 7,8 cm\).

Bài giải:

a) Diện tích hình tròn \((O;{R_1})\) là \({S_1 }= \pi{R_1}^2\).

Diện tích hình tròn \((O;{R_2})\) là \({S_2 }= \pi{R_2}^2\).

Diện tích hình vành khăn là:

\(S = {S_1} – {S_2} = \pi R_1^2 – \pi R_2^2 = \pi \left( {R_1^2 – R_2^2} \right).\)

b) Thay thế các giá trị, ta nhận được diện tích hình vành khăn là:

\(S = 3,14. (10,5^2 – 7,8^2) = 155,1\, \, (cm^2).\)

5. Giải bài 87 trang 100 sgk Toán 9 tập 2

Lấy cạnh \(BC\) của một tam giác đều làm đường kính, vẽ một nửa đường tròn về cùng một phía với tam giác ấy đối với đường thẳng \(BC\). Cho biết cạnh \(BC = a\), hãy tính diện tích hình viên phân được tạo thành.

Bài giải:

Gọi \(D,E\) lần lượt là giao của hai cạnh \(AB,AC\) với nửa đường tròn đường kính \(BC\) có tâm \(O\) là trung điểm \(BC.\)

Bán kính nửa đường tròn này là \(R = \dfrac{{BC}}{2} = \dfrac{a}{2}\)

Nối \(OE;OD.\) Xét tam giác \(OBE\) có \(OE = OB = R = \dfrac{{BC}}{2} = \dfrac{a}{2}\) và \(\widehat B = 60^\circ \Rightarrow \Delta OBE\) là tam giác đều cạnh \(\dfrac{a}{2}\)

Tương tự ta có \(\Delta OCD\) đều cạnh \(\dfrac{a}{2}.\)

Diện tích hình viên phân thứ nhất là:

\({S_1} = {S_{qBOE}} – {S_{\Delta BOE}}\)

Diện tích hình quạt \(BOE\) có bán kính \(R = OB = \dfrac{a}{2}\) và số đo cung \(BE = \widehat {BOE} = 60^\circ \) là:

\({S_{qBOE}} = \dfrac{{\pi {R^2}n}}{{360}} = \dfrac{{\pi {{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2}.60}}{{360}} = \dfrac{{\pi {a^2}}}{{24}}\)

Kẻ \(EH \bot OB\) tại \(H\) suy ra \(H\) là trung điểm của \(OB\) (vì tam giác \(OEB\) đều nên \(EH\) vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến). Suy ra \(OH = \dfrac{{OB}}{2} = \dfrac{{\dfrac{a}{2}}}{2} = \dfrac{a}{4}.\)

Xét tam giác \(EHO\) vuông tại \(H,\) theo định lý Pytago ta có:

\(EH = \sqrt {E{O^2} – O{H^2}} = \sqrt {{{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2} – {{\left( {\dfrac{a}{4}} \right)}^2}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{4}a\)

Diện tích tam giác \(EOB\) là:

\({S_{\Delta BOE}} = \dfrac{1}{2}EH.OB = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}.\dfrac{a}{2} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{{16}}\)

Từ đó diện tích hình viên phân thứ nhất là:

\({S_1} = {S_{qBOE}} – {S_{\Delta BOE}} = \dfrac{{\pi {a^2}}}{{24}} – \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{{16}} = \dfrac{{{a^2}\left( {2\pi – 3\sqrt 3 } \right)}}{{48}}\)

Tương tự ta có diện tích hình viên phân thứ hai là:

\({S_2} = {S_{qDOC}} – {S_{\Delta OCD}} = \dfrac{{{a^2}\left( {2\pi – 3\sqrt 3 } \right)}}{{48}}.\)

Vậy diện tích hai hình viên phân bên ngoài tam giác là:

\(S=S_1+S_2=\dfrac{a^{2}}{24}\left ( 2\pi -3\sqrt{3} \right ).\)

Bài trước:

Bài tiếp theo:

Xem thêm:

Chúc các bạn làm bài tốt cùng giải bài tập sgk toán lớp 9 với giải bài 83 84 85 86 87 trang 99 100 sgk toán 9 tập 2!

“Bài tập nào khó đã có giaibaisgk.com“