Toán lớp 8

Giải bài 57 58 59 60 61 62 63 64 trang 61 62 sgk Toán 8 tập 1

Hướng dẫn giải Bài Ôn tập chương II – Phân thức đại số, sách giáo khoa toán 8 tập một. Nội dung bài giải bài 57 58 59 60 61 62 63 64 trang 61 62 sgk toán 8 tập 1 bao gồm tổng hợp công thức, lý thuyết, phương pháp giải bài tập phần đại số có trong SGK toán để giúp các em học sinh học tốt môn toán lớp 8.

Lý thuyết

I. Khái niệm về phân thức đại số và tính chất của phân thức đại số

1. Phân thức đại số là biểu thức có dạng $\frac{A}{B}$, với A, B là những đa thức và B khác đa thức 0.

2. Hai phân thức bằng nhua: $\frac{A}{B} = \frac{C}{D}$ nếu $A . D = B . C$

3. Tính chất cơ bản của phân thức: nếu$M\neq 0$ thì $\frac{A}{B}=\frac{A.M}{B.M}$

II. Các phép toán trên tập hợp các phân thức đại số

1. Phép cộng

a) Cộng hai phân thức cùng mẫu : $\frac{A}{M} + \frac{B}{M} = \frac{A+B}{M}$

b) Cộng hai phân thức khác mẫu thức:

– Quy đồng mẫu thức;

– Cộng hai phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.

2. Phép trừ

a) Phân thức đối của $\frac{A}{B}$ kí hiệu bởi $-\frac{A}{B}$

$-\frac{A}{B}=\frac{-A}{B}=\frac{A}{-B}$

b)$\frac{A}{B}-\frac{C}{D}= \frac{A}{B}+(-\frac{C}{D})$

3. Phép nhân

$\frac{A}{B}.\frac{C}{D}=\frac{A.C}{B.D} $

4. Phép chia

a) Phân thức nghịch đảo của phân thức $\frac{A}{B}$ khác 0 là $\frac{B}{A}$

b) $\frac{A}{B}:\frac{C}{D}=\frac{A}{B}.\frac{D}{C} (\frac{C}{D}\neq 0)$

Dưới đây là Hướng dẫn giải bài 57 58 59 60 61 62 63 64 trang 61 62 sgk toán 8 tập 1. Các bạn hãy đọc kỹ đầu bài trước khi giải nhé!

Bài tập

Giaibaisgk.com giới thiệu với các bạn đầy đủ phương pháp giải bài tập phần đại số 8 kèm bài giải chi tiết bài 57 58 59 60 61 62 63 64 trang 61 62 sgk toán 8 tập 1 của bài Ôn tập chương II – Phân thức đại số cho các bạn tham khảo. Nội dung chi tiết bài giải từng bài tập các bạn xem dưới đây:

Giải bài 57 58 59 60 61 62 63 64 trang 61 62 sgk toán 8 tập 1
Giải bài 57 58 59 60 61 62 63 64 trang 61 62 sgk toán 8 tập 1

1. Giải bài 57 trang 61 sgk Toán 8 tập 1

Chứng tỏ mỗi cặp phân thức sau bằng nhau:

a) $\frac{3}{2x – 3}$ và $\frac{3x + 6}{2x^2 + x – 6}$

b) $\frac{2}{x + 4}$ và $\frac{2x^2 + 6x}{x^3 + 7x^2 + 12x}$

Bài giải:

a) Ta có:

$\frac{3x + 6}{2x^2 + x – 6}$

= $\frac{3(x + 2)}{2x^2 + 4x – 3x – 6}$

= $\frac{3(x + 2)}{2x(x + 2) – 3(x + 2}$

= $\frac{3(x + 2)}{(x + 2)(2x – 3}$

= $\frac{3}{2x – 3}$

b) Ta có:

$\frac{2x^2 + 6x}{x^3 + 7x^2 + 12x}$

= $\frac{2x(x + 3)}{x(x^2 + 7x + 12}$

= $\frac{2(x + 3)}{(x^2 + 3x + 4x + 12}$

= $\frac{2(x + 3)}{(x(x + 3) + 4(x + 3)}$

= $\frac{2(x + 3)}{(x + 3)(x + 4)}$

= $\frac{2}{x + 4}$

2. Giải bài 58 trang 62 sgk Toán 8 tập 1

Thực hiện các phép tính sau:

a) ($\frac{2x + 1}{2x – 1} – \frac{2x – 1}{2x + 1}$): $\frac{4x}{10x – 5}$

b) ($\frac{1}{x^2 + x} – \frac{2 – x}{x + 1}$):($\frac{1}{x}$ + x – 2)

c) $\frac{1}{x – 1} – \frac{x^3 – x}{x^2 + 1}$($\frac{1}{x^2 – 2x + 1} + \frac{1}{1 – x^2}$)

Bài giải:

a) ($\frac{2x + 1}{2x – 1} – \frac{2x – 1}{2x + 1}$): $\frac{4x}{10x – 5}$

= [$\frac{(2x + 1)^2 – (2x – 1)^2}{(2x – 1)(2x + 1)}$].$\frac{10x – 5}{4x}$

= [$\frac{(4x^2 + 4x + 1) – (4x^2 – 4x + 1)}{(2x – 1)(2x + 1)}$].$\frac{10x – 5}{4x}$

= $\frac{8x}{(2x – 1)(2x + 1)}$.$\frac{10x – 5}{4x}$

= $\frac{10}{2x + 1}$

b) ($\frac{1}{x^2 + x} – \frac{2 – x}{x + 1}$):($\frac{1}{x}$ + x – 2)

= [$\frac{1}{x(x + 1)} – \frac{2 – x}{x + 1}$]:[$\frac{1 + x^2 – 2x}{x}$]

= $\frac{1 – x(2 – x)}{x(x + 1)}$.$\frac{x}{x^2 – 2x + 1}$

= $\frac{x^2 – 2x + 1}{x(x + 1)}$.$\frac{x}{x^2 – 2x + 1}$

= $\frac{1}{x + 1}$

c) $\frac{1}{x – 1} – \frac{x^3 – x}{x^2 + 1}$.($\frac{1}{x^2 – 2x + 1} + \frac{1}{1 – x^2}$)

= $\frac{1}{x – 1} – \frac{x(x^2 – 1)}{x^2 + 1}$.[$\frac{1}{(x – 1)^2} + \frac{1}{1 – x^2}$]

= $\frac{1}{x – 1} – \frac{x(x – 1)(x + 1)}{x^2 + 1}$.[$\frac{(x + 1) – (x – 1)}{(x – 1)^2(x + 1)}$]

= $\frac{1}{x – 1} – \frac{x(x – 1)(x + 1)}{x^2 + 1}$.$\frac{2}{(x – 1)^2(x + 1)}$

= $\frac{1}{x – 1} – \frac{2x}{(x^2 + 1)( x – 1)}$ = $\frac{x^2 + 1 – 2x}{(x^2 + 1)( x – 1)}$

= $\frac{(x – 1)^2}{(x^2 + 1)( x – 1)}$

= $\frac{x – 1}{x^2 + 1}$

3. Giải bài 59 trang 62 sgk Toán 8 tập 1

a) Cho biểu thức $\frac{xP}{x + P} – \frac{yP}{y + P}$. Thay P = $\frac{xy}{x – y}$ vào biểu thức đã cho rồi rút gọn biểu thức.

b) Cho biểu thức $\frac{P^2Q^2}{P^2 – Q^2}$. Thay P = $\frac{2xy}{x^2 – y^2}$ và Q = $\frac{2xy}{x^2 + y^2}$ vào biểu thức đã cho rồi rút gọn biểu thức.

Bài giải:

a) Thay P = $\frac{xy}{x – y}$ vào biểu thức, ta có:

$\frac{xP}{x + P} – \frac{yP}{y + P}$

= $\frac{x.\frac{xy}{x – y}}{x + \frac{xy}{x – y}} – \frac{y.\frac{xy}{x – y}}{y + \frac{xy}{x – y}}$

= $\frac{\frac{x^2y}{x – y}}{\frac{x(x – y) + xy}{x – y}} – \frac{\frac{xy^2}{x – y}}{\frac{y(x – y)- xy}{x – y}}$

= $\frac{x^2y}{x – y}.\frac{x – y}{x^2} – \frac{xy^2}{x – y}.\frac{x – y}{(- y)^2}$

$= x + y$

b) Để đơn giản ta tính tử $P^2Q^2$, rồi tính mẫu $P^2 – Q^2$, xong lấy hai kết quả chia cho nhau.

Thay P = $\frac{2xy}{x^2 – y^2}$ và Q = C vào tử $P^2Q^2$, ta có:

$P^2Q^2$ = $(\frac{2xy}{x^2 – y^2})^2$.$(\frac{2xy}{x^2 – y^2})^2$

= $\frac{16x^4y^4}{(x^2 – y^2)^2.(x^2 + y^2)^2}$ (1)

Thay P = $\frac{2xy}{x^2 – y^2}$ và Q = C vào mẫu $P^2 – Q^2$, ta có:

$P^2 – Q^2$ = $(\frac{2xy}{x^2 – y^2})^2$ – $(\frac{2xy}{x^2 – y^2})^2$

= $(\frac{2xy}{x^2 – y^2} – \frac{2xy}{x^2 + y^2})$.$(\frac{2xy}{x^2 – y^2} + \frac{2xy}{x^2 + y^2})$

= 4$x^2y^2$.$(\frac{1}{x^2 – y^2} – \frac{1}{x^2 + y^2})$.$(\frac{2xy}{x^2 – y^2} + \frac{2xy}{x^2 + y^2})$

= 4$x^2y^2$.[$\frac{(x^2 + y^2) – (x^2 – y^2)}{(x^2 + y^2)(x^2 – y^2)}$].[$\frac{(x^2 + y^2) + (x^2 – y^2)}{(x^2 + y^2)(x^2 – y^2)}$]

= 4$x^2y^2$.$\frac{2y^2}{(x^2 + y^2)(x^2 – y^2)}$.$\frac{2x^2}{(x^2 + y^2)(x^2 – y^2)}$ = $\frac{16x^4y^4}{(x^2 – y^2)^2.(x^2 + y^2)^2}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $P^2Q^2 = P^2 – Q^2$ nên $\frac{P^2Q^2}{P^2 – Q^2} = 1$

4. Giải bài 60 trang 62 sgk Toán 8 tập 1

Cho biểu thức ($\frac{x + 1}{2x – 2} + \frac{3}{x^2 – 1} – \frac{x + 3}{2x + 2}$).$\frac{4x^2 – 4}{5}$

a) Hãy tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức được xác định

b) Chứng minh rằng khi giá trị của biểu thức được xác định thì nó không phụ thuộc vào giá trị của biến x.

Bài giải:

a) Giá trị của biểu thức ($\frac{x + 1}{2x – 2} + \frac{3}{x^2 – 1} – \frac{x + 3}{2x + 2} $).$\frac{4x^2 – 4}{5}$ được xác định khi:

$\begin{cases}2x – 2 \neq 0\\x^2 – 1 \neq 0\\2x + 2 \neq 0 \end{cases}$ <⇒ $\begin{cases}x \neq 1\\x \neq \pm1\\x \neq -1 \end{cases}$

Vậy khi $x \neq \pm1$ thì giá trị của biểu thức đã cho xác định.

b) Khi $x \neq \pm1$, ta có:

($\frac{x + 1}{2x – 2} + \frac{3}{x^2 – 1} – \frac{x + 3}{2x + 2}$)

= ($\frac{x + 1}{2(x – 1)} + \frac{3}{(x – 1)(x + 1)} – \frac{x + 3}{2(x + 1)} $)

= $\frac{(x + 1)^2 + 6 – (x + 3)(x – 1)}{2(x – 1)(x + 1)}$

= $\frac{x^2 + 2x + 1+ 6 – (x^2 + 2x – 3)}{2(x – 1)(x + 1)}$

= $\frac{x^2 + 2x + 1+ 6 – x^2 – 2x + 3}{2(x – 1)(x + 1)}$

= $\frac{5}{(x – 1)(x + 1)}$

= $\frac{5}{x^2 – 1}$

Khi đó biểu thức đã cho sẽ bằng:

$\frac{5}{x^2 – 1}.\frac{4x^2 – 4}{5} = 4$

Như vậy khi biểu thức được xác định thì giá trị của nó là một hằng số, không phụ thuộc vào biến $x$.

5. Giải bài 61 trang 62 sgk Toán 8 tập 1

Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức

($\frac{5x + 2}{x^2 – 10x} – \frac{5x – 2}{x^2 + 10x}$). $\frac{x^2 – 100}{x^2 + 4}$ được xác định. Tính giá trị của biểu thức tại $x = 20040$

Bài giải:

Giá trị của biểu thức ($\frac{5x + 2}{x^2 – 10x} – \frac{5x – 2}{x^2 + 10x}$). $\frac{x^2 – 100}{x^2 + 4}$ được xác định khi:

$\begin{cases}x^2 – 10x \neq 0\\x^2 + 10x \neq 0\\x^2 + 4 \neq 0 \end{cases}$ <⇒ $\begin{cases}x(x – 10) \neq 0\\x(x + 10) \neq 0\end{cases}$ <⇒ $\begin{cases}x \neq 0\\x \neq \pm10\end{cases}$

Ta rút gọn biểu thức:

($\frac{5x + 2}{x^2 – 10x} – \frac{5x – 2}{x^2 + 10x}$). $\frac{x^2 – 100}{x^2 + 4}$

= [$\frac{5x + 2}{x(x – 10)} – \frac{5x – 2}{x(x + 10)}$].$\frac{(x – 10)(x + 10)}{x^2 + 4}$

= [$\frac{(5x + 2)(x + 10) + (x – 10)(5x – 2)}{x(x – 10)(x + 10)}$].$\frac{(x – 10)(x + 10)}{x^2 + 4}$

= $\frac{10x^2 + 40}{x(x – 10)(x + 10)}$.$\frac{(x – 10)(x + 10)}{x^2 + 4}$

= $\frac{10(x^2 + 4)}{x(x^2 + 4)}$

= $\frac{10}{x}$.

Tại $x = 20040$, giá trị của biểu thức bằng:

$\frac{10}{20040} = \frac{10}{2004}$

6. Giải bài 62 trang 62 sgk Toán 8 tập 1

Tìm giá trị của $x$ để phân thức $\frac{x^2 – 10x + 25}{x^2 – 5x}$ bằng $0$.

Bài giải:

Giá trị của phân thức được xác định khi:

$x^2 – 5x \neq 0 ⇔ x(x – 5) \neq 0$ ⇒ $x \neq 0$ và $x \neq 5$

Ta có:

$\frac{x^2 – 10x + 25}{x^2 – 5x} = 0$

⇔ $x^2 – 10x + 25 = 0$

⇔ $(x – 5)^2$ ⇒ $x = 5$

Với $x = 5$ giá trị của phân thức không được xác định nên không có giá trị nào của $x$ để phân thức đã cho bằng $0$.

7. Giải bài 63 trang 62 sgk Toán 8 tập 1

Viết mỗi phân thức sau đây dưới dạng tổng của một đa thức và một phân thức với tử thức là một hằng số, rồi tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của phân thức cũng là số nguyên.

a) $\frac{3x^2 – 4x – 17}{x + 2}$

b) $\frac{x^2 – x + 2}{x – 3}$

Bài giải:

a) Ta có:

$ P = \frac{3x^2 – 4x – 17}{x + 2}$ = 3x – 10 + $\frac{3}{x + 2}$

Để $x \in Z, P \in Z$ thì $3 \vdots (x + 2)$, tức là $x + 2$ là ước của $3$

Ta có $Ư(3) =$ {$-3; -1; 1; 3$}. Khi đó ta có:

$\begin{cases}x + 2 = -3 \\x + 2 = -1 \\x + 2 = 1\\x + 2 = 3 \end{cases}$ <⇒ $\begin{cases}x = -5 \\x = -3 \\x = -1\\x = 1 \end{cases}$

Vậy $x \in$ {$-5; -3; -1; 1$}

b) Ta có

$Q = \frac{x^2 – x + 2}{x – 3}$ = x + 2 + $\frac{8}{x – 3}$

Để $x \in Z, P \in Z$ thì $8 \vdots (x – 3)$, tức là $x – 3$ là ước của $8$

Ta có $Ư(8) =$ {$-4; -2; -1; 1; 2; 4$}. Khi đó ta có:

$\begin{cases}x – 3 = -8\\x – 3 = -4\\x – 3 = -2 \\x – 3 = -1 \\x – 3 = 1\\x – 3 = 2\\ x – 3 = 4\\x – 3 = 8\end{cases}$ ⇔ $\begin{cases}x = -5\\x = -1\\x = 1 \\x = 2 \\x = 4\\x = 5\\ x = 7\\x = 11\end{cases}$

Vậy $x \in $ {$-5; -1; 1; 2; 4; 5; 7; 11$}

8. Giải bài 64 trang 62 sgk Toán 8 tập 1

Tính giá trị của phân thức trong bài tập 62 tại $x = 1,12$ và làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ ba.

Bài giải:

Phân thức trong bài tập 62 là:

$\frac{x^2 – 10x + 25}{x^2 – 5x}$ = $\frac{(x – 5)^2}{x(x – 5)}$ = $\frac{x – 5}{x}$

Ta đã biết giá trị của biểu thức xác định khi $x \neq 5$ nên tại $x = 1,12$, ta có giá trị của biểu thức bằng:

$\frac{1,12 – 5}{1,12}$ = -$\frac{3,88}{1,12}$ = -$\frac{97}{28} \approx -3,464$

Bài trước:

Xem thêm:

Chúc các bạn làm bài tốt cùng giải bài tập sgk toán lớp 8 với giải bài 57 58 59 60 61 62 63 64 trang 61 62 sgk toán 8 tập 1!

“Bài tập nào khó đã có giaibaisgk.com“