Hướng dẫn Giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 trang 80 81 sgk Hình học 12

Nội Dung

Hướng dẫn giải Bài §2. Phương trình mặt phẳng, Chương III. Phương pháp toạ độ trong không gian, sách giáo khoa Hình học 12. Nội dung bài giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 trang 80 81 sgk Hình học 12 bao gồm tổng hợp công thức, lý thuyết, phương pháp giải bài tập hình học có trong SGK để giúp các em học sinh học tốt môn toán lớp 12.

Lý thuyết

1. Tích có hướng giữa hai Vectơ

a) Biểu thức tọa độ tích có hướng

Cho hai vectơ $\vec{a}=(x_1;y_1;z_1)$ và $\vec{b}=(x_2;y_2;z_2)$, vectơ $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right]$ được gọi là tích có hướng của hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ được xác định như sau:

$\left[ {\vec a,\vec b} \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{y_1}\;{\mkern 1mu} \;{\mkern 1mu} \;{\mkern 1mu} {z_1}}\\
{{y_2}\;{\mkern 1mu} \;{\mkern 1mu} \;{\mkern 1mu} {z_2}}
\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{z_1}\;{\mkern 1mu} \;{\mkern 1mu} \;{\mkern 1mu} {x_1}}\\
{{z_2}\;{\mkern 1mu} \;{\mkern 1mu} \;{\mkern 1mu} {x_2}}
\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_1}\;{\mkern 1mu} \;{\mkern 1mu} \;{\mkern 1mu} {y_1}}\\
{{x_2}\;{\mkern 1mu} \;{\mkern 1mu} \;{\mkern 1mu} {y_2}}
\end{array}} \right|} \right) = ({y_1}{z_2} – {y_2}{z_1};{z_1}{x_2} – {z_2}{x_1};{x_1}{y_2} – {x_2}{y_1})$

b) Tính chất

Vectơ $\overrightarrow n$ vuông góc với cả hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b.$

c) Ứng dụng của tích có hướng

Chứng minh tính đồng phẳng của vectơ:

$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ không đồng phẳng khi và chỉ khi $\left [ \vec{a},\vec{b} \right ].\vec{c}\neq 0.$ Suy ra 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng khi và chỉ khi $\left [ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right ].\overrightarrow{AD}\neq 0$.

$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ đồng phẳng khi và chỉ khi $\left [ \vec{a},\vec{b} \right ].\vec{c}= 0$. Suy ra A, B, C, D đồng phẳng khi và chỉ khi $\left [ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} \right ].\overrightarrow{AD}=0$.

Tính diện tích tam giác và hình bình hành:

Diện tích hình bình hành ABCD: $S_{ABCD}=\left | \left [ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} \right ] \right |$.

Diện tích tam giác $\Delta ABC$: $S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}\left | \left [ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} \right ] \right |$.

2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng

a) Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

Cho mặt phẳng (P). Nếu vectơ $\vec n$ khác $\vec 0$ có giá vuông góc với (P) thì $\vec n$ được gọi là Vectơ pháp tuyến của của (P).

b) Phương trình tổng quát của mặt phẳng

Phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng:

$Ax+By+Cz+D=0, \,\, A^2+B^2+C^2\neq 0)$. Với $\overrightarrow{n}=(A;B;C)$ là Vectơ pháp tuyến (VTPT).

c) Viết phương trình mặt phẳng khi biết vectơ pháp tuyến và một điểm thuộc mặt phẳng đó

Mặt phẳng (P) đi qua điểm ${{M_0}({x_0};{y_0};{z_0})}$, nhận vectơ ${\vec n = (A;B;C)}$ làm VTPT có phương trình tổng quát là:

$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$

d) Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn

Mặt phẳng (P) đi qua A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) có phương trình tổng quát là:

$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$.

e) Một số cách xác định Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

Gọi $\vec n$ là VTPT của mặt phẳng (P), giải sử tồn tại $\vec u_1$ và $\vec u_2$ sao cho $\left.\begin{matrix} \vec{n}\perp \overrightarrow{u_1}\\ \vec{n}\perp \overrightarrow{u_2} \end{matrix}\right\}$ thì $\vec{n}=\left [ \overrightarrow{u_1}; \overrightarrow{u_2} \right ]$ là một VTPT của mặt phẳng (P).

Mặt phẳng (ABC) có một VTPT $\vec{n}=\left [ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} \right ]$.

Mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q):

Gọi: $\overrightarrow{n}_P$ là một VTPT của (P), $\overrightarrow{n}_Q$ là một VTPT của (Q) khi đó: $\overrightarrow{n}_P=\overrightarrow{n}_Q.$

Cho đường thẳng AB và mặt phẳng (P):

$\bigg \lbrack \begin{matrix} AB\subset (P)\\ AB //(P) \end{matrix}$ thì $\vec{n_P}\perp \overrightarrow{AB}.$

Nếu $(P)\perp (Q)$ thì $\overrightarrow{n}_P\perp \overrightarrow{n}_Q$.

3. Vị trí tương đối giữa các mặt phẳng

Cho hai mặt phẳng $(\alpha _1) \ A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0$ có một VTPT $\vec{n_1}=(A_1;B_1;C_1)$ và $(\alpha _2) \ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0$ có một VTPT $\vec{n_2}=(A_2;B_2;C_2)$.

Khi đó vị trí tương đối giữa $(\alpha_1)$ và $(\alpha_2)$ được xác định như sau:

$(\alpha _1)//(\alpha _2)$ khi và chỉ khi $\left\{\begin{matrix} \vec{n_1}=k.\vec{n_2}\\ D_1\neq D_2 \end{matrix}\right.$.

Nếu $A_2, B_2, C_2, D_2 \neq 0$: $(\alpha _1)//(\alpha _2)\Leftrightarrow \frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}\neq \frac{D_1}{D_2}$.

$(\alpha _1)\equiv (\alpha _2)$ khi và chỉ khi $\left\{\begin{matrix} \vec{n_1}=k.\vec{n_2}\\ D_1=k. D_2 \end{matrix}\right.$.

Nếu $A_2, B_2, C_2, D_2 \neq 0$ thì $(\alpha _1)\equiv (\alpha _2)\Leftrightarrow \frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}= \frac{D_1}{D_2}$.

$(\alpha _1),(\alpha _2)$ cắt nhau khi và chỉ khi $\vec{n_1}\neq k.\vec{n_2}$.

Nếu $A_2,B_2,C_2\neq 0$ thì $(\alpha _1),(\alpha _2)$ cắt nhau $\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} \frac{A_1}{A_2} \neq \frac{B_1}{B_2}\\ \frac{A_1}{A_2} \neq \frac{C_1}{C_2}\\ \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2} \end{matrix}$.

4. Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng

Cho mặt phẳng (P): $Ax+By+Cz+D=0 \ \ (A^2+B^2+C^2\neq 0)$ và điểm $M(x_0,y_0,z_0)$. Khoảng cách từ M đến (P) được xác định bởi công thức:

$d(M;(P))=\frac{\left | Ax_0+Ay_0+Az_0+D \right |}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$.

5. Góc giữa hai mặt phẳng

Cho hai mặt phẳng $(P)\;{A_1}x + {B_1}y + {C_1}z + {D_1} = 0$ và $(Q)\;{A_2}x + {B_2}y + {C_2}z + {D_2} = 0$ có VTPT lần lượt là: $\vec{n}_P=(A_1;B_1;C_1)$ và $\vec{n}_Q=(A_2;B_2;C_2)$, khi đó:

$cos\widehat {(P,Q)} = \left| {cos({{\vec n}_P};{{\vec n}_Q})} \right| = \frac{{\left| {{{\vec n}_P}.{{\vec n}_Q}} \right|}}{{\left| {{{\vec n}_P}} \right|\left| {{{\vec n}_Q}} \right|}}$$=\frac{\left | A_1B_2+B_1B_2+C_1C_2 \right |}{\sqrt{A^2_1+B_1^2+C^2_1} .\sqrt{A^2_2+B_2^2+C^2_2}}$

Chú ý:

$0^0\leq (\widehat{P,Q})\leq 90^0$.

$(P)\perp (Q)\Leftrightarrow \vec{n}_P.\vec{n}_Q$$\Leftrightarrow A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2=0$.

Dưới đây là phần Hướng dẫn trả lời các câu hỏi và bài tập trong phần hoạt động của học sinh trên lớp sgk Hình học 12.

Câu hỏi

1. Trả lời câu hỏi 1 trang 70 sgk Hình học 12

Trong không gian $Oxyz$ cho ba điểm $A(2; -1; 3), B(4; 0; 1), C(-10; 5; 3)$. Hãy tìm tọa độ một vecto pháp tuyến của mặt phẳng $(ABC)$.

Trả lời:

Ta có:

$\eqalign{
& \overrightarrow {AB} = (2,1, – 2) \cr
& \overrightarrow {AC} = ( – 12,6,0) \cr
& \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = (12,24,24) \cr} $

⇒ Một vecto pháp tuyến của mặt phẳng $(ABC)$ là $\overrightarrow n (1,2,2)$.

Chú ý: Cũng có thể chọn vectơ pháp tuyến khác chứ không nhất thiết phải chọn $\overrightarrow n (1,2,2)$, chẳng hạn $\overrightarrow n (-1,-2,-2)$ hay $\overrightarrow n (12,24,24)$ nhưng để tiện cho tính toán ta nên chọn tọa độ đơn giản nhất.

2. Trả lời câu hỏi 2 trang 72 sgk Hình học 12

Hãy tìm một vecto pháp tuyến của mặt phẳng $(α): 4x – 2y – 6z +7 = 0$.

Trả lời:

Một vecto pháp tuyến của mặt phẳng $(α) $ là: $\overrightarrow n (4, – 2, – 6)$

3. Trả lời câu hỏi 3 trang 72 sgk Hình học 12

Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng $(MNP)$ với $M(1; 1; 1), N(4; 3; 2), P(5; 2; 1)$.

Trả lời:

Ta có:

$\eqalign{
& \overrightarrow {MN} = (3,2,1);\,\,\overrightarrow {NP} = (1, – 1, – 1) \cr
& \left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {NP} } \right] = ( – 1,4, – 5) \cr} $

⇒ Một vecto pháp tuyến của mặt phẳng $(MNP)$ là $\overrightarrow n (1, – 4,5)$

Phương trình tổng quát của mặt phẳng $(MNP)$ với $M(1; 1; 1), N(4; 3; 2), P(5; 2; 1)$ là: $(x-1)-4(y-1)+5(z-1)=0$

Hay $x – 4y + 5z – 2 = 0$.

4. Trả lời câu hỏi 4 trang 73 sgk Hình học 12

Nếu $B = 0$ hoặc $C = 0$ thì mặt phẳng $(α)$ có đặc điểm gì ?

Trả lời:

Nếu $B = 0$ thì mặt phẳng $(α) //$ hoặc chứa trục $Oy$ ;

Nếu $C = 0$ thì mặt phẳng $(α) //$ hoặc chứa trục $Oz$.

5. Trả lời câu hỏi 5 trang 74 sgk Hình học 12

Nếu $A = C = 0$ và $B ≠ 0$ hoặc nếu $B = C = 0$ và $A ≠ 0$ thì mặt phẳng $(α)$ có đặc điểm gì?

Trả lời:

Nếu $A = C = 0$ và $B ≠ 0$ thì mặt phẳng $(α) //$ hoặc trùng với $(Oxz)$

Nếu $B = C = 0$ và $A ≠ 0$ Thì mặt phẳng $(α) //$ hoặc trùng với $(Oyz)$

6. Trả lời câu hỏi 6 trang 74 sgk Hình học 12

Cho hai mặt phẳng $(α)$ và $(β)$ có phương trình

$(α): x – 2y + 3z + 1 = 0$;

$(β): 2x – 4y + 6z + 1 = 0$.

Có nhận xét gì về vecto pháp tuyến của chúng?

Trả lời:

Ta có:

$\eqalign{
& \overrightarrow {{n_\alpha }} = (1, – 2,3) \cr
& \overrightarrow {{n_\beta }} = (2, – 4,6) \cr} $

Ta thấy $\overrightarrow {{n_\beta }}=2\overrightarrow {{n_\alpha }}$ nên chúng cùng phương.

7. Trả lời câu hỏi 7 trang 80 sgk Hình học 12

Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (α) và (β) cho bởi các phương trình sau đây:

$(α): x – 2 = 0; (β): x – 8 = 0.$

Trả lời:

Ta thấy: $\left( \alpha \right)$ và $\left( \beta \right)$ cùng có VTPT $\overrightarrow n = \left( {1;0;0} \right)$.

Dễ thấy điểm $M\left( {2;0;0} \right) \in \left( \alpha \right)$ nhưng $M\left( {2;0;0} \right) \notin \left( \beta \right)$ nên $\left( \alpha \right)//\left( \beta \right)$.

Từ đó $d\left( {\left( \alpha \right),\left( \beta \right)} \right) = d\left( {M,\left( \beta \right)} \right) = \dfrac{{\left| {2 – 8} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {0^2} + {0^2}} }} = 6$

Vậy khoảng cách giữa hai mặt phẳng bằng $6$.

Dưới đây là Hướng dẫn giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 trang 80 81 sgk Hình học 12. Các bạn hãy đọc kỹ đầu bài trước khi giải nhé!

Bài tập

Giaibaisgk.com giới thiệu với các bạn đầy đủ phương pháp giải bài tập hình học 12 kèm bài giải chi tiết bài 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 trang 80 81 sgk Hình học 12 của Bài §2. Phương trình mặt phẳng trong Chương III. Phương pháp toạ độ trong không gian cho các bạn tham khảo. Nội dung chi tiết bài giải từng bài tập các bạn xem dưới đây:

Giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 trang 80 81 sgk Hình học 12

1. Giải bài 1 trang 80 sgk Hình học 12

Viết phương trình mặt phẳng:

a) Đi qua điểm M(1; -2; 4) và nhận $\overrightarrow{n}=(2;3;5)$ làm vectơ pháp tuyến.

b) Đi qua điểm A(0 ; -1 ; 2) và song song với giá của các vectơ $\overrightarrow{u}=(3;2;1)$ và $\overrightarrow{u}=(-3;0;1)$

c) Đi qua ba điểm A(-3 ; 0 ; 0), B(0 ; -2 ; 0) và C(0 ; 0 ; -1).

Bài giải:

a) Mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $M(1; -2; 4)$ và nhận $\overrightarrow{n}= (2; 3; 5)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình:

$(P) :2(x – 1) + 3(x +2) + 5(z – 4) = 0$ $⇔ 2x + 3y + 5z -16 = 0$.

b) Gọi $(Q)$ là mặt phẳng cần lập. Theo đề bài ta có: $(Q)$ song song với $\overrightarrow u ;\;\;\overrightarrow v.$

Khi đó ta có VTPT của $(Q)$ là:

$\overrightarrow {{n_P}} = \left[ {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right].$ $ \Rightarrow \overrightarrow {{n_Q}} = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&1\\0&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&3\\1&{ – 3}\end{array}} \right|;\;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&2\\{ – 3}&0\end{array}} \right|} \right) \\= \left( {2;\; – 6;\;6} \right) = 2\left( {1; – 3;\;3} \right).$

Phương trình mặt phẳng $(Q)$ có dạng: $(Q) 1(x – 0) – 3(y + 1) + 3(z – 2) = 0$

$ ⇔ x – 3y + 3z – 9 = 0$

c) Gọi $R)$ là mặt phẳng qua $A, \, B, \, C$ khi đó $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ là cặp vectơ chỉ phương của $(R)$.

Ta có: $ \overrightarrow{AB} = (3;-2;0)$ và $\overrightarrow{AC}= (3;\, 0; \, -1).$

Khi đó:

$\overrightarrow{n_R}=\left [\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right ] $ $= \left( \begin{vmatrix} -2 &0 \\ 0 & -1 \end{vmatrix};\begin{vmatrix} 0 & 3\\ -1& 3 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} 3 & -2\\ 3& 0 \end{vmatrix} \right)\\ = (2 ; 3 ; 6).$

Vậy phương trình mặt phẳng $(R)$ có dạng: $2x + 3y + 6(z+1)=0 $

$ \Leftrightarrow 2x + 3y +6z + 6 = 0.$

2. Giải bài 2 trang 80 sgk Hình học 12

Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB với A(2; 3; 7), B(4; 1; 3).

Bài giải:

Gọi $I$ là trung điểm của $AB$

$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = 3\\
{y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2} = 2\\
{z_I} = \frac{{{z_A} + {z_B}}}{2} = 5
\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {3;\;2;\;5} \right).$

Khi đó mặt phẳng $(P)$ cần lập đi qua $I$ và nhận $\overrightarrow{AB}$ làm VTPT.

Có $\overrightarrow{AB}(2 ; -2; -4)$ và $I(3 ; 2 ; 5)$ nên phương trình mặt phẳng $(P)$ là: $2(x – 3) – 2(y – 2) – 4(z – 5) = 0$

$ \Leftrightarrow x -y -2z + 9 = 0.$

3. Giải bài 3 trang 80 sgk Hình học 12

a) Lập phương trình của các mặt phẳng tọa độ $Oxy, Oyz$ và $Ozx$

b) Lập phương trình của các mặt phẳng đi qua điểm $M(2; 6; -3)$ và lần lượt song song với các mặt phẳng tọa độ.

Bài giải:

a) Mặt phẳng $(Oxy)$ qua điểm $O(0 ; 0 ; 0)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{k}(0 ; 0 ; 1)$ và là vectơ chỉ phương của trục $Oz$. Phương trình mặt phẳng $(Oxy)$ có dạng:

$ 0.(x – 0) +0.(y – 0) +1.(z – 0) = 0$ hay $z = 0$.

Tương tự phương trình mặt phẳng $(Oyz)$ là : $x = 0$ và phương trình mặt phẳng $(Ozx)$ là: $y = 0$.

b) Mặt phẳng $(P)$ qua điểm $M(2; 6; -3)$ song song với mặt phẳng $Oxy$ nhận $\overrightarrow{k}(0 ; 0 ; 1)$ làm vectơ pháp tuyến. Phương trình mặt phẳng $(P)$ có dạng:

$0\left( {x – 2} \right) + 0\left( {y – 6} \right) + 1\left( {z + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow z +3 = 0$.

Tương tự mặt phẳng $(Q)$ qua $M$ và song song với mặt phẳng $Oyz$ có phương trình:

$1\left( {x – 2} \right) + 0\left( {y – 6} \right) + 0\left( {z + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow x – 2 = 0$.

Mặt phẳng qua $M$ song song với mặt phẳng $Oxz$ có phương trình:

$0\left( {x – 2} \right) + 1\left( {y – 6} \right) + 0\left( {z + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow y – 6 = 0$.

4. Giải bài 4 trang 80 sgk Hình học 12

Lập phương trình mặt phẳng :

a) Chứa trục $Ox$ và điểm $P(4 ; -1 ; 2)$;

b) Chứa trục $Oy$ và điểm $Q(1 ; 4 ;-3)$;

c) Chứa trục $Oz$ và điểm $R(3 ; -4 ; 7)$;

Bài giải:

a) Gọi $(α)$ là mặt phẳng qua $P$ và chứa trục $Ox$, thì $(α)$ qua điểm $O(0 ; 0 ; 0)$ và chứa giá của các vectơ $\overrightarrow{OP} (4 ; -1 ; 2)$ và $\overrightarrow{i}( 1 ; 0 ;0)$. Khi đó $\overrightarrow{n}=\left [\overrightarrow{OP},\overrightarrow{i} \right ] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ – 1}&2\\0&0\end{array}} \right|;\;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&4\\0&1\end{array}} \right|;\;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}4&{ – 1}\\1&0\end{array}} \right|} \right)=(0 ; 2 ; 1)$ là vectơ pháp tuyến của $(α)$.

Phương trình mặt phẳng $(α)$ có dạng: $2y + z = 0$.

b) Mặt phẳng $(β)$ qua điểm $Q(1 ; 4 ; -3)$ và chứa trục $Oy$ thì $(β)$ qua điểm $O( 0 ; 0 ; 0)$ có $\overrightarrow{OQ} (1 ; 4 ; -3)$ và $\overrightarrow{j}(0 ; 1 ; 0)$ là cặp vectơ chỉ phương.

Ta có VTPT của $(β)$ là:$\overrightarrow {{n_\beta }} = \left[ {\overrightarrow {OQ} ,\;\overrightarrow j } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}4&{ – 3}\\1&0\end{array}} \right|;\;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ – 3}&1\\0&0\end{array}} \right|;\;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&4\\0&1\end{array}} \right|} \right) = \left( {3;\;0;\;1} \right).$

Phương trình mặt phẳng $(β)$ có dạng : $3x + z = 0$.

c) Mặt phẳng $(ɣ)$ qua điểm $R(3 ; -4 ; 7)$ và chứa trục $Oz$ nên nó đi qua $O(0;0;0)$ và nhận cặp vectơ $\overrightarrow{OR}(3 ; -4 ; 7)$ và $\overrightarrow{k}(0 ; 0 ; 1)$ làm vectơ chỉ phương.

Khi đó VTPT của $(ɣ)$ là: $ \overrightarrow {{n_\gamma }} = \left[ {\overrightarrow {OR} ,\;\overrightarrow k } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ – 4}&7\\0&1\end{array}} \right|;\;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}7&3\\1&0\end{array}} \right|;\;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&{ – 4}\\0&0\end{array}} \right|} \right)\\ = \left( { – 4;\; – 3;\;0} \right) = – \left( {4;\;3;\;0} \right).$

Phương trình mặt phẳng $(ɣ)$ có dạng: $4x + 3y = 0$.

5. Giải bài 5 trang 80 sgk Hình học 12

Cho tứ diện có các đỉnh là $A(5 ; 1 ; 3), B(1 ; 6 ; 2), C(5 ; 0 ; 4), D(4 ; 0 ; 6).$

a) Hãy viết các phương trình mặt phẳng $(ACD)$ và $(BCD)$

b) Hãy viết phương trình mặt phẳng $(α)$ đi qua cạnh $AB$ và song song với cạnh $CD$.

Bài giải:

a) Mặt phẳng $(ADC)$ đi qua $A(5 ; 1 ; 3)$ và chứa giá của các vectơ $\overrightarrow{AC}(0 ; -1 ; 1)$ và $\overrightarrow{AD}(-1 ; -1 ; 3)$.

Khi đó VTPT của mặt phẳng $(ADC)$ là: $\overrightarrow{n}=\left [\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD} \right ]$ $ = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ – 1}&1\\{ – 1}&3\end{array}} \right|;\;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\3&{ – 1}\end{array}} \right|;\;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ – 1}\\{ – 1}&{ – 1}\end{array}} \right|} \right)= (-2 ; -1 ; -1).$

Do đó ta chọn một véc tơ pháp tuyến có tọa độ $(2;1;1)$.

Phương trình $(ACD)$ có dạng: $2(x – 5) + (y – 1) + (z – 3) = 0$ hay $2x + y + z – 14 = 0$.

Tương tự: Mặt phẳng $(BCD)$ qua điểm $B(1 ; 6 ; 2)$ và nhận vectơ $\overrightarrow{m}=\left [\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD} \right ]$ làm vectơ pháp tuyến.

Ta có :$\overrightarrow{BC}(4 ; -6 ; 2)$, $\overrightarrow{BD}(3 ; -6 ; 4)$ và

$\overrightarrow{m}=\left (\begin{vmatrix} -6 & 2\\ -6 & 4 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} 2 &4 \\ 4& 3 \end{vmatrix};\begin{vmatrix} 4 & -6\\ 3& -6 \end{vmatrix} \right )$

$= (-12 ; -10 ; -6)=-2(6; 5; 3).$

Xét $\overrightarrow{m_{1}} (6 ; 5 ; 3)$ thì $\overrightarrow{m}=-2\overrightarrow{m_{1}}$ nên $\overrightarrow{m_{1}}$ cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(BCD)$. Phương trình mặt phẳng $(BCD)$ có dạng: $6(x – 1) + 5(y – 6) +3(z – 2) = 0$ hay $6x + 5y + 3z – 42 = 0$.

b) Mặt phẳng $( α )$ qua cạnh $AB$ và song song với $CD$ thì $( α )$ qua $A$ và nhận $\overrightarrow{AB} (-4 ; 5 ; -1)$ , $\overrightarrow{CD}(-1 ; 0 ; 2)$ làm vectơ chỉ phương.

VTPT của mặt phẳng $(α): \overrightarrow{n}=\left [\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD} \right ] $ $= \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}5&{ – 1}\\0&2\end{array}} \right|;\;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ – 1}&{ – 4}\\2&{ – 1}\end{array}} \right|;\;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ – 4}&5\\{ – 1}&0\end{array}} \right|} \right)= (10 ; 9 ; 5).$

Phương trình mặt phẳng $( α )$ có dạng : $10x + 9y + 5z – 74 = 0$.

6. Giải bài 6 trang 80 sgk Hình học 12

Viết phương trình mặt phẳng $(α)$ đi qua điểm $M(2 ; -1 ; 2)$ và song song với mặt phẳng $( β)$ có phương trình: $2x – y + 3z + 4 = 0$.

Bài giải:

Ta có vectơ $\overrightarrow{n}(2 ; -1 ; 3)$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(β)$ .

Vì $(α) // ( β)$ nên $\overrightarrow{n}$ cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(α)$ .

Phương trình mặt phẳng $(α)$ có dạng: $2(x – 2) – (y + 1) + 3(z – 2) = 0$ hay $2x – y + 3z -11 = 0$.

7. Giải bài 7 trang 80 sgk Hình học 12

Lập phương trình mặt phẳng $( α)$ đi qua hai điểm $A( 1; 0 ; 1), B(5 ; 2 ; 3)$ và vuông góc với mặt phẳng $(\beta)$: $2x – y + z – 7 = 0$.

Bài giải:

Ta có: $\overrightarrow {{n_\beta }} = \left( {2; – 1;\;1} \right);\;\;\overrightarrow {AB} = \left( {4;\;2;\;2} \right).$

Theo đề bài ta có: $ (\alpha) \bot (\beta) \Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }} \bot \overrightarrow {{n_\beta }} .$

Mặt phẳng $ (\alpha)$ đi qua hai điểm $A,\, \, B$ thì: $\overrightarrow {{n_\alpha }} \bot \overrightarrow {{AB }} .$

$ \Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {{n_\beta }} ,\;\overrightarrow {AB} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ – 1}&1\\2&2\end{array}} \right|;\;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&2\\2&4\end{array}} \right|;\;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ – 1}\\4&2\end{array}} \right|} \right) \\= \left( { – 4;0;\;8} \right) = – 4\left( {1;\;0;\;-2} \right). $

Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua $A(1;\, 0;\,1)$ và nhận vecto $ \overrightarrow {{n_\alpha }} =\left( {1;\;0;\;-2} \right)$ làm VTPT có phương trình: $x-1-2(z-1)=0 $

$\Leftrightarrow x-2z+1=0.$

8. Giải bài 8 trang 81 sgk Hình học 12

Xác định giá trị của $m$ và $n$ để mỗi cặp mặt phẳng sau đây là một cặp mặt phẳng song song với nhau:

a) $2x + my + 3z – 5 = 0$ và $nx – 8y – 6z + 2 = 0$;

b) $3x – 5y + mz – 3 = 0$ và $2x + ny – 3z + 1 = 0$;

Bài giải:

a) Nếu $n=0$ thì $\dfrac{0}{2} \ne \dfrac{{ – 6}}{3}$ nên hai mặt phẳng không song song.

Xét $n\ne 0$ thì hai mặt phẳng $2x + my + 3z – 5 = 0$ và $nx – 8y – 6z + 2 = 0$ song song với nhau khi và chỉ khi:

$\dfrac{2}{n}=\dfrac{m}{-8}=\dfrac{3}{-6}\neq \dfrac{-5}{2} $ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3n = – 12\\- 6m = – 24\end{array} \right.⇔ \left\{\begin{matrix} n= -4 & \\ m=4& \end{matrix}\right.$

b) Nếu $n=0$ thì $\dfrac{2}{3} \ne \dfrac{0}{{ – 5}}$ nên hai mặt phẳng không song song.

Hai mặt phẳng $3x – 5y + mz – 3 = 0$ và $2x + ny – 3z + 1 = 0$ song song khi và chỉ khi: $\dfrac{3}{2}=-\dfrac{5}{n}=\dfrac{m}{-3}\neq -\dfrac{3}{1}$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3n = – 10\\2m = – 9\end{array} \right.$ $⇔ \left\{\begin{matrix} n=-\dfrac{10}{3} & \\ m=-\dfrac{9}{2} & \end{matrix}\right..$

9. Giải bài 9 trang 81 sgk Hình học 12

Tính khoảng cách từ điểm A(2; 4; -3) lần lượt đến các mặt phẳng sau:

a) $2x – y + 2z – 9 = 0 (\alpha)$

b) $12x – 5z + 5 = 0 ( \beta)$

c) $x=0$

Bài giải:

a) $(P): \, 2x – y + 2z – 9 = 0$

$d(A,(P))=\frac{|2.2-4+2.(-3)-9|}{\sqrt{4+1+4}}=\frac{15}{3}=5$.

b) $ (Q): \, 12x – 5z + 5 = 0$

$d(A,(Q))=\frac{|12.2-5.(-3)+5|}{\sqrt{144+25}}=\frac{44}{13}.$

c) $ (R): \, x = 0$

$d(A,(R)) = 2$.

10. Giải bài 10 trang 81 sgk Hình học 12

Giải bài toán sau đây bằng phương pháp tọa độ.

Cho hình lập phương $ABCD.A’B’C’D’$ cạnh bằng $1$.

a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng $(AB’D’)$ và $(BC’D)$ song song với nhau.

b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng nói trên.

Bài giải:

Xét hệ trục tọa độ $Oxyz$ trong không gian sao cho $A(0 ; 0 ; 0), B(1 ; 0 ; 0), D(0 ; 1 ; 0)$,$(A'(0 ; 0 ; 1)$. Khi đó $B'(1 ; 0 ; 1), D'(0 ; 1 ; 1), C'(1 ; 1 ; 1)$.

a) Mặt phẳng $(AB’D’)$ qua điểm $A$ và nhận vevtơ $\overrightarrow{n}=\left [\overrightarrow{AB’},\overrightarrow{AD’} \right ]$ làm vectơ pháp tuyến.

Ta có $\overrightarrow{AB’} = (1 ; 0 ; 1)$, $\overrightarrow{AD’} = (0 ; 1 ; 1)$ và $\overrightarrow{n} = (-1 ; -1 ; 1)$.

Phương trình mặt phẳng $(AB’D’)$ có dạng:

$x + y – z = 0$. (1)

Tương tự, mặt phẳng $(BC’D)$ qua điểm $B$ nhận vectơ $\overrightarrow{m}=\left [\overrightarrow{BD},\overrightarrow{BC’} \right ]$ làm vectơ pháp tuyến.

Ta có $\overrightarrow{BD} = (-1 ; 1 ; 0)$, $\overrightarrow{BC’} = (0 ; 1 ; 1)$ và $\overrightarrow{m} = (1 ; 1 ; -1)$.

Phương trình mặt phẳng $(BC’D)$ có dạng:

$ x + y – z – 1 = 0$. (2)

So sánh hai phương trình (1) và (2), ta thấy hai mặt phẳng $(AB’D’)$ và $(BC’D)$ song song với nhau.

Chú ý: Bài này có thể làm không cần phương pháp tọa độ như sau:

Xét hai mặt phẳng $(AB’D’)$ và $(BC’D)$, ta có $BD // B’D’$ vì $BB’D’D$ là hình chữ nhật, $AD’ // BC’$ vì $ABC’D’$ là hình chữ nhật.

Do đó mặt phẳng $(AB’D’)$ có hai đường thẳng cắt nhau $B’D’$ và $AD’$ lần lượt song song với hai đường thẳng cắt nhau $BD$ và $BC’$ của mặt phẳng $(BC’D)$. Vì vậy $(AB’D’) // (BC’D)$

b) Vì $(AB’D’) // (BC’D)$ nên khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(BC’D)$ chính là khoảng cách giữa hai mặt phẳng.

Ta có: $h=d(A,(BC’D))=\frac{|-1|}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Bài trước:

Giải bài 1 2 3 4 5 6 trang 68 sgk Hình học 12

Bài tiếp theo:

Giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 trang 89 90 91 sgk Hình học 12

Xem thêm:

Chúc các bạn làm bài tốt cùng giải bài tập sgk toán lớp 12 với giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 trang 80 81 sgk Hình học 12!

“Bài tập nào khó đã có giaibaisgk.com“