Hướng dẫn Giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 trang 119 120 sgk Hình học 11

Nội Dung

Hướng dẫn giải Bài §5. Khoảng cách, Chương III. Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc trong không gian, sách giáo khoa Hình học 11. Nội dung bài giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 trang 119 120 sgk Hình học 11 bao gồm tổng hợp công thức, lý thuyết, phương pháp giải bài tập hình học có trong SGK để giúp các em học sinh học tốt môn toán lớp 11.

Lý thuyết

1. Khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng, đến một mặt phẳng

Cho điểm $O$, đường thẳng $a$ và mặt phẳng $(α)$. Ta có:

$d(O;a) = OH$

$d(O; (α))= OH$

2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song

Khoảng cách giữa đường thẳng $a$ và mặt phẳng $(α)$ song song với a là khoảng cách từ một điểm nào đó của $a$ đến mặt phẳng $(α)$.

$d(a;(α)) = d(O,(α)) = AA’ = BB’$

3. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Cho $(α)$ và $(β)$ là hai mặt phẳng song song. Khoảng cách giữa $(α)$ và $(β)$ là khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

$d((α);(β)) = MM’$

4. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Cho $a$ và $b$ là hai đường thẳng chéo nhau. Khi đó khoảng cách giữa $a$ và $b$ là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó.

$d(a;b) = MN$

Dưới đây là phần trả lời các câu hỏi và bài tập trong mục hoạt động của học sinh trên lớp sgk Hình học 11.

Câu hỏi

1. Trả lời câu hỏi 1 trang 115 sgk Hình học 11

Cho điểm $O$ và đường thẳng $a$. Chứng minh rằng khoảng cách từ điểm $O$ đến đường thẳng $a$ là bé nhất so với các khoảng cách từ $O$ đến một điểm bất kì của đường thẳng $a$.

Trả lời:

Khoảng cách từ điểm $O$ đến đường thẳng $a$ là $OH$ ($H$ là hình chiếu vuông góc của $O$ trên đường thẳng $a$.)

Dựa vào quan hệ giữa đường xiên và đường vuông góc ⇒ khoảng cách từ điểm $O$ đến đường thẳng $a$ là bé nhất so với các khoảng cách từ $O$ đến một điểm bất kì của đường thẳng $a$.

2. Trả lời câu hỏi 2 trang 115 sgk Hình học 11

Cho điểm $O$ và mặt phẳng $(α)$. Chứng minh rằng khoảng cách từ điểm $O$ đến mặt phẳng $(α)$ là bé nhất so với các khoảng cách từ $O$ tới một điểm bất kì của mặt phẳng $(α)$.

Trả lời:

Gọi $H$ là hình chiếu của $O$ lên mặt phẳng $(α) ⇒ OH =$ khoảng cách từ điểm $O$ đến mặt phẳng $(α)$

$M$ là điểm bất kì thuộc mặt phẳng $(α)$, xét quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu $OH < OM$

Vậy khoảng cách từ điểm $O$ đến mặt phẳng $(α)$ là bé nhất so với các khoảng cách từ $O$ tới một điểm bất kì của mặt phẳng $(α)$.

3. Trả lời câu hỏi 3 trang 116 sgk Hình học 11

Cho đường thẳng $a$ song song với mặt phẳng $(α)$. Chứng minh rằng khoảng cách giữa đường thẳng $a$ và mặt phẳng $(α)$ là bé nhất so với khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc $a$ tới một điểm bất kì thuộc mặt phẳng $(α)$.

Trả lời:

Lấy điểm $A ∈ a, A’$ là hình chiếu của $A$ trên mặt phẳng $(α) ⇒ AA’ =$ khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(α)$

Mà khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(α)$ là bé nhất so với các khoảng cách từ $A$ tới một điểm bất kì của mặt phẳng $(α)$.

Vậy khoảng cách giữa đường thẳng $a$ và mặt phẳng $(α)$ là bé nhất so với khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc $a$ tới một điểm bất kì thuộc mặt phẳng $(α)$.

4. Trả lời câu hỏi 4 trang 116 sgk Hình học 11

Cho hai mặt phẳng $(α)$ và $(β)$. Chứng minh rằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song $(α)$ và $(β)$ là nhỏ nhất trong các khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này tới một điểm bất kì của mặt phẳng kia.

Trả lời:

Hai mặt phẳng song song $(α)$ và $(β)$ nên có $1$ đường thằng $a ∈ (α)$ và $a // (β)$$

⇒ Khoảng cách giữa đường thẳng $a$ và mặt phẳng $(β)$ là bé nhất so với khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc $a$ tới một điểm bất kì thuộc mặt phẳng $(β)$.

Vậy khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song $(α)$ và $(β)$ là nhỏ nhất trong các khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này tới một điểm bất kì của mặt phẳng kia.

5. Trả lời câu hỏi 5 trang 116 sgk Hình học 11

Cho tứ diện đều $ABCD$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của cạnh $BC$ và $AD$. Chứng minh rằng: $MN ⊥ BC$ và $MN ⊥ AD$ (h.3.42)

Trả lời:

Tứ diện đều $ABCD$ nên các mặt của tứ diện là các tam giác đều bằng nhau

$NB = NC$ vì là trung tuyến của hai tam giác đều bằng nhau

$⇒ ΔBNC$ cân tại $B$

$NM$ là đường trung tuyến của tam giác cân $BNC ⇒ MN ⊥ BC$

Chứng minh tương tự $MN ⊥ AD.$

6. Trả lời câu hỏi 6 trang 118 sgk Hình học 11

Chứng minh rằng khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là bé nhất so với khoảng cách giữa hai điểm bất kì lần lượt nằm trên hai đường thẳng ấy.

Trả lời:

Ta có: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó đến mặt phẳng song song với nó và chứa đường thẳng còn lại.

Mà khoảng cách từ đường thẳng a song song với mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là bé nhất so với khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc a đến $\left( \alpha \right)$ nên ta có điều phải chứng minh.

Hoặc:

Theo nhận xét a) trang 117:

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó đến mặt phẳng song song với nó và chứa đường thẳng còn lại.

Áp dụng chứng minh câu 3 trang 116:

Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (α) là bé nhất so với khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc a tới một điểm bất kì thuộc mặt phẳng (α).

Áp dụng chứng minh câu 4 trang 116:

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó.

Vậy ta có đpcm.

Dưới đây là Hướng dẫn giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 trang 119 120 sgk Hình học 11. Các bạn hãy đọc kỹ đầu bài trước khi giải nhé!

Bài tập

Giaibaisgk.com giới thiệu với các bạn đầy đủ phương pháp giải bài tập hình học 11 kèm bài giải chi tiết bài 1 2 3 4 5 6 7 8 trang 119 120 sgk Hình học 11 của Bài §5. Khoảng cách trong Chương III. Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc trong không gian trong mặt phẳng cho các bạn tham khảo. Nội dung chi tiết bài giải từng bài tập các bạn xem dưới đây:

Giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 trang 119 120 sgk Hình học 11

1. Giải bài 1 trang 119 sgk Hình học 11

Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng?

a) Đường thẳng $∆$ là đường thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng $a$ và $b$ nếu $∆$ vuông góc với $a$ và $∆$ vuông góc với $b$;

b) Gọi $(P)$ là mặt phẳng song song với cả hai đường thẳng $a, b$ chéo nhau. Khi đó đường vuông góc chung $∆$ của $a$ và $b$ luôn luôn vuông góc với $(P)$;

c) Gọi $∆$ là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau $a$ và $b$ thì $∆$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $(a, ∆)$ và $(b, ∆)$;

d) Cho hai đường thẳng chéo nhau $a$ và $b$. Đường thẳng nào đi qua một điểm $M$ trên $a$ đồng thời cắt $b$ tại $N$ và vuông góc với $b$ thì đó là đường vuông góc chung của $a$ và $b$;

e) Đường vuông góc chung $∆$ của hai đường thẳng chéo nhau $a$ và $b$ nằm trong mặt phẳng chứa đường này và vuông góc với đường kia.

Bài giải:

a) Sai. Vì câu đúng phải là “Đường thẳng $Δ$ là đường thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau $a$ và $b$ nếu $Δ$ cắt cả $a$ và $b$, đồng thời $\Delta \perp a$ và $\Delta \perp b$”

b) Đúng.

c) Đúng.

d) Sai. Vì Không phải đường thẳng nào đi qua một điểm M trên a cũng vuông góc với a.

e) Sai. Vì: Nếu hai đường thẳng chéo nhau mà nằm trên hai mặt phẳng song song với nhau thì đường vuông góc chung không thể nằm trên mặt phẳng chứa một đường thẳng nào trong hai đường thẳng đã cho.

2. Giải bài 2 trang 119 sgk Hình học 11

Cho tứ diện $S.ABC$ có $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$. Gọi $H, K$ lần lượt là trực tâm của tam giác $ABC$ và $SBC$.

a) Chứng minh ba đường thẳng $AH, SK, BC$ đồng quy.

b) Chứng minh rằng $SC$ vuông góc với mặt phẳng $(BHK)$ và $HK$ vuông góc với mặt phẳng $(SBC)$.

c) Xác định đường vuông góc chung của $BC$ và $SA$.

Bài giải:

a) Chứng minh $AH, SK, BC$ đồng quy.

Trong $(ABC)$, gọi $E = AH ∩ BC$.

$H$ là trực tâm của tam giác $ABC$ nên $AE\bot BC$ (1)

$SA\bot (ABC)\Rightarrow SA\bot BC$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $BC ⊥ (SAE)$$\Rightarrow BC ⊥ SE$.

Vì $K$ là trực tâm của tam giác $SBC(gt)\Rightarrow SE $ đi qua $K$ $\Rightarrow AH, BC, SK$ đồng quy tại $E$.

b) Chứng minh $SC\perp (BHK)$

Vì H là trực tâm tam giác ABC nên $BH\perp AC$. (3)

Mà $AC$ là hình chiếu vuông góc của $SA$ lên $(ABC)$ (do $SA\perp (ABC)-gt$)

⇒ $BH\perp SC$ (định lý ba đường vuông góc) (4)

Từ (3)(4) suy ra: $SC \perp (BHK)$.

Chứng minh $HK \perp (SBC)$

Ta có: $SC \perp (BHK),SC\subset (SBC)$⇒$(BHK)\perp (SBC)$ (5)

Vì: $BC\perp (SAE) – cmt,BC\subset (SBC)⇒(SAE)\perp (SBC)$ (6)

Từ (5) (6) và $(SAE)\cap (BHK)=HK$ ⇒ $HK\perp (SBC)$

c) Xác định đường vuông góc chung của $BC,SA$

Ta có: $AE\bot BC$ (tính chất trực tâm H của tam giác ABC)

Mặt khác: $SA \perp (ABC)\Rightarrow SA\perp AE$

$\Rightarrow AE$ là đường vuông góc chung của $BC$ và $SA$.

3. Giải bài 3 trang 119 sgk Hình học 11

Cho hình lập phương $ABCD.A’B’C’D’$ cạnh $a$. Chứng minh rằng các khoảng cách từ các điểm $B, C, D, A’, B’, D’$ đến đường chéo $AC’$ đều bằng nhau. Tính khoảng cách đó.

Bài giải:

Gọi $K$ là hình chiếu của $B$ trên $AC’$.

Xét tam giác $ABC’$ vuông tại $B$, ta có: $BK \perp AC’$

⇒ $\frac{1}{BK^{2}}=\frac{1}{BA^{2}}+\frac{1}{BC^{2}}=\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{(a\sqrt{2})^{2}}=\frac{3}{2a^{2}}$

$\Rightarrow BK=\frac{a\sqrt{6}}{3}.$

Ta có:

$\Delta ABC’ = \Delta C’CA = \Delta ADC’ = \Delta AA’C’ = \Delta C’B’A = \Delta C’D’A(c.g.c)$

Do đó khoảng cách từ $B, C, D, A’, B’, D’$ tới $AC’$ đều bằng $ \frac{a\sqrt{6}}{3}$ vì chúng đều là chiều cao của các tam giác vuông bằng nhau.

4. Giải bài 4 trang 119 sgk Hình học 11

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A’B’C’D’$ có $AB = a, BC= b, CC’ = c$.

a) Tính khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $(ACC’A’)$.

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $BB’$ và $AC’$.

Bài giải:

a) Trong $(ABCD)$ kẻ $BH$ vuông góc với $AC$ (1)

Vì: $CC’\bot (ABCD)\Rightarrow CC’\bot BH$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $BH\bot (ACC’A’)$.

$BH$ là đường cao trong tam giác vuông $ABC$ nên ta có:

${1 \over {B{H^2}}} = {1 \over {A{B^2}}} + {1 \over {B{C^2}}}$ (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

$\Rightarrow BH=\frac{ab}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}.$

b) $AC’\subset (ACC’A’)$, mà $BB’ // (ACC’A’)$ $\Rightarrow d(BB’, AC’) = d(B,(ACC’A’))$

Vì: $BH\bot (ACC’A’)$ nên $d(B,(ACC’A’)=BH=\frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}.$

⇒ $d(BB’, AC’) =\frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Chú ý: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau $a$ và $b$ bằng khoảng cách giữa $a$ và $mp (P)$ chứa $b$ đồng thời song song với $a$.

5. Giải bài 5 trang 119 sgk Hình học 11

Cho hình lập phương $ABCD.A’B’C’D’$ cạnh $a$.

a) Chứng minh rằng $B’D$ vuông góc với mặt phẳng $(BA’C’)$.

b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng $(BA’C’)$ và $(ACD’)$.

c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $BC’$ và $CD’$.

Bài giải:

a) Có $B’A’ = B’B = B’C’ \Rightarrow B’$ thuộc trục của tam giác $A’BC’$. (1)

$DA’ = DB = DC’$ (đường chéo các hình vuông bằng nhau) $\Rightarrow D$ cũng thuộc trục của tam giác $A’BC’ $ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $B’D$ thuộc trục của $(A’BC’)$

$\Rightarrow B’D$ vuông góc với $(A’BC’)$.

b) Chứng minh tương tự ta được $B’D\bot (ACD’)$

Hai mặt phẳng $(BA’C’)$ và $(ACD’)$ cùng vuông góc với $B’D$ (tại $I$ và $H$) nên chúng song song với nhau và khoảng cách giữa chúng bằng $IH$.

Ta có:

$O’I//D’H$, $O’$ là trung điểm của $B’D’$ nên theo định lí Ta lét thì $I$ là trung điểm của $B’H$ hay $IB’=IH$ (3)

$OH//IB$, $O$ là trung điểm của $BD$ nên theo định lí Ta lét thì $H$ là trung điểm của $DI$ hay $HI=HD$ (4)

Từ (3) và (4) suy ra: $IH=\frac{B’D}{3}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$

c) $BC’ ⊂ (BA’C’)$; $CD’ ⊂ (ACD’)$, mà hai mặt phẳng này song song

Do đó, $d(BC’, CD’) = d((BA’C’),(ACD’))= \frac{a\sqrt{3}}{3}.$

(Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó).

6. Giải bài 6 trang 119 sgk Hình học 11

Chứng minh rằng nếu đường thẳng nối trung điểm hai cạnh $AB$ và $CD$ của tứ diện $ABCD$ là đường vuông góc chung của $AB$ và $CD$ thì $AC = BD$ và $AD = BC$.

Bài giải:

Gọi $I$ là trung điểm $AB, J$ là trung điểm $CD.$

Qua $I$ kẻ đường thẳng $d // CD$, lấy trên $d$ điểm $E, F$ sao cho $IE = IF = \frac{CD}{2}$ ($I$ là trung điểm của $EF$). $IJ$ vuông góc với $CD$ $\Rightarrow IJ$ vuông góc với $EF$, mà $IJ$ cũng vuông góc với $AB\Rightarrow IJ \bot (AEBF)$.

Ta có $CDFE$ là hình bình hành có $IJ$ là đường trung bình

Do đó $CE$ và $DF$ cùng song song với $IJ$

Vì $IJ \perp (AEBF)-cmt$

Suy ra $CE$ và $DF$ cùng vuông góc với mp $(AEBF)$

$\Rightarrow DF ⊥ AF, CE ⊥ IE$.

$\Delta AIF = \Delta BIE(c.g.c)$ suy ra: $AF=BE$

Xét $∆DFA$ và $∆CEB$ có:

$\widehat E = \widehat F( = {90^0})$

$AF=BE$

$DF=CE$

$\Rightarrow ∆DFA=∆CEB(c.g.c)$

$\Rightarrow AD = BC$.

Chứng minh tương tự ta được $BD = AC$.

7. Giải bài 7 trang 120 sgk Hình học 11

Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có cạnh đáy bằng $3a$, cạnh bên bằng $2a$. Tính khoảng cách từ $S$ tới mặt đáy $(ABC)$.

Bài giải:

Gọi $H$ là trực tâm tam giác $ABC$.

Vì chóp $S.ABC$ đều nên $SH\perp (ABC)$

⇒ $d(S,(ABC))=SH$

Gọi $I$ là trung điểm của $BC$.

Tam giác $ABC$ đều nên $AI={{3a\sqrt 3 } \over 2}$

$AH={2 \over 3}AI = a\sqrt 3 $

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông $SAH$ ta có:

$S{A^2} = S{H^2} + A{H^2}$

⇒ $SH = \sqrt{SA^{2}-AH^{2}}=\sqrt{4a^{2}-(a\sqrt{3})^{2}}=a.$

Vậy khoảng cách từ $S$ đến mặt phẳng $(ABC)$ bằng $a$.

8. Giải bài 8 trang 120 sgk Hình học 11

Cho tứ diện đều $ABCD$ cạnh $a$. Tính khoảng cách giữa hai cạnh đối diện của tứ diện.

Bài giải:

Gọi $I$ là trung điểm $AB$ và $K$ là trung điểm $CD$.

$\Delta CBA$ và $\Delta DBA$ là hai tam giác đều cạnh a, có $CI,DI$ lần lượt là trung tuyến ứng với cạnh $AB$

⇒ $CI=DI$ (trung tuyến tương ứng của hai tam giác bằng nhau)

⇒ $\Delta ICD$ cân tại $I$ có $IK$ là trung tuyến ứng với cạnh $CD$

⇒ $IK$ đồng thời là đường cao ⇒ $IK \perp CD$. (1)

Chứng minh tương tự: $KB=KA ⇒ \Delta KAB$ cân tại $K$

⇒ $KI$ vừa là trung tuyến ứng với cạnh $AB$ vừa là đường cao

⇒ $KI\perp AB$. (2)

Từ (1) và (2) suy ra $IK$ là đoạn vuông góc chung của $AB,CD$.

Xét tam giác $IKC$ vuông tại $K$ có:

$CI^2=IK^2+CK^2$ (định lý Pitago)

⇒ $IK=\sqrt{CI^2-CK^2}=$$\sqrt {{{3{a^2}} \over 4} – {{{a^2}} \over 4}} = {{a\sqrt 2 } \over 2}$

Vậy khoảng cách giữa hai cạnh đối diện của tứ diện của tứ diện đều cạnh à là: $a\sqrt 2 \over 2$

Bài trước:

Giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 trang 113 114 sgk Hình học 11

Bài tiếp theo:

Ôn tập chương III: Trả lời câu hỏi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 trang 120 sgk Hình học 11

Xem thêm:

Chúc các bạn làm bài tốt cùng giải bài tập sgk toán lớp 11 với giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 trang 119 120 sgk Hình học 11!

“Bài tập nào khó đã có giaibaisgk.com“