Hướng dẫn Giải bài 1 2 3 4 5 6 7 trang 54 55 sgk Đại số và Giải tích 11

Nội Dung

Hướng dẫn giải Bài §2. Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp, Chương II. Tổ hợp – Xác suất, sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11. Nội dung bài giải bài 1 2 3 4 5 6 7 trang 54 55 sgk Đại số và Giải tích 11 bao gồm tổng hợp công thức, lý thuyết, phương pháp giải bài tập đại số và giải tích có trong SGK để giúp các em học sinh học tốt môn toán lớp 11.

Lý thuyết

1. Giai thừa

Với mọi số tự nhiên dương $n$, tích $1.2.3….n$ được gọi là $n$ – giai thừa và kí hiệu $n!$. Vậy $n! = 1.2.3…n$.

Ta quy ước $0! = 1$.

Tính chất:

$\begin{array}{l}{\rm{ }}n! = n(n – 1)!\\{\rm{ }}n! = n(n – 1)(n – 2)…(n – k – 1).k!\end{array}$.

2. Hoán vị

Cho tập $A$ gồm $n$ phần tử ($n \ge 1$). Khi sắp xếp $n$ phần tử này theo một thứ tự ta được một hoán vị các phần tử của tập A.

Kí hiệu số hoán vị của n phần tử là ${P_n}$.

Số hoán vị của tập n phần tử:

Định lí: Ta có ${P_n} = n!$

3. Chỉnh hợp

Cho tập A gồm n phần tử và số nguyên $k$ với $1 \le k \le n$. Khi lấy $k$ phần tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự ta được một chỉnh hợp chập $k$ của $n$ phần tử của A.

Số chỉnh hợp:

Kí hiệu $A_n^k$ là số chỉnh hợp chập $k$ của $n$ phần tử

Định lí: Ta có $A_n^k = \frac{{n!}}{{(n – k)!}}$.

4. Tổ hợp

Cho tập A có n phần tử và số nguyên k với $1 \le k \le n$. Mỗi tập con của A có k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A.

Số tổ hợp:

Kí hiệu $C_n^k$ là số tổ hợp chập k của n phần tử.

Định lí:Ta có: $C_n^k = \frac{{n!}}{{(n – k)!k!}}$.

Tính chất của các số $C_n^k$:

Tính chất 1: $C_n^k = C_n^{n – k}$ với $0 \le k \le n.$

Tính chất 2: (Công thức Pa-xcan) $C_{n – 1}^{k – 1} + C_{n – 1}^k = C_n^k$ với $1 \le k < n.$

Dưới đây là phần Hướng dẫn trả lời các câu hỏi và bài tập trong phần hoạt động của học sinh sgk Đại số và Giải tích 11.

Câu hỏi

1. Trả lời câu hỏi 1 trang 47 sgk Đại số và Giải tích 11

Hãy liệt kê tất cả các số gồm ba chữ số khác nhau từ các chữ số $1, 2, 3$.

Trả lời:

Các số có ba chữ số khác nhau là: $123; 132; 213; 231; 312; 321$.

2. Trả lời câu hỏi 2 trang 49 sgk Đại số và Giải tích 11

Trong giờ học môn Giáo dục quốc phòng, một tiểu đội học sinh gồm 10 người được xếp thành một hàng dọc. Hỏi có bao nhiêu cách xếp?

Trả lời:

Số cách xếp $10$ người thành 1 hàng dọc là: $10!$ (theo định lí).

3. Trả lời câu hỏi 3 trang 49 sgk Đại số và Giải tích 11

Trên mặt phẳng, cho bốn điểm phân biệt $A, B, C, D$. Liệt kê tất cả các vectơ khác vectơ – không mà điểm đầu và điểm cuối của chúng thuộc tập điểm đã cho.

Trả lời:

Ta có các vectơ sau:

4. Trả lời câu hỏi 4 trang 51 sgk Đại số và Giải tích 11

Cho tập $A =$ {$1, 2, 3, 4, 5$}. Hãy liệt kê các tổ hợp chập $3$, chập $4$ của $5$ phần tử của $A$.

Trả lời:

Các tổ hợp chập $3$ là:

{$1,2,3$}; {$1,2,4$}; {$1,2,5$}; {$1,3,4$}; {$1,3,5$}; {$1,4,5$}; {$2,3,4$}; {$2,3,5$}; {$2,4,5$}; {$3,4,5$}

Các tổ hợp chập $4$ là:

{$1,2,3,4$}, {$1,2,3,5$}, {$1,3,4,5$}, {$1,2,4,5$}, {$2,3,4,5$}

5. Trả lời câu hỏi 5 trang 52 sgk Đại số và Giải tích 11

Có $16$ đội bóng đá tham gia thi đấu. Hỏi cần phải tổ chức bao nhiêu trận đấu sao cho hai đội bất kì đề gặp nhau đúng một lần?

Trả lời:

Số trận đấu sao cho hai đội bất kì trong $16$ đội tham gia gặp nhau đúng một lần là:

C²₁₆ $= 120$ trận.

Dưới đây là phần Hướng dẫn giải bài 1 2 3 4 5 6 7 trang 54 55 sgk Đại số và Giải tích 11. Các bạn hãy đọc kỹ đầu bài trước khi giải nhé!

Bài tập

Giaibaisgk.com giới thiệu với các bạn đầy đủ phương pháp giải bài tập đại số và giải tích 11 kèm bài giải chi tiết bài 1 2 3 4 5 6 7 trang 54 55 sgk Đại số và Giải tích 11 của Bài §2. Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp trong Chương II. Tổ hợp – Xác suất cho các bạn tham khảo. Nội dung chi tiết bài giải từng bài tập các bạn xem dưới đây:

Giải bài 1 2 3 4 5 6 7 trang 54 55 sgk Đại số và Giải tích 11

1. Giải bài 1 trang 54 sgk Đại số và Giải tích 11

Từ các số $1, 2, 3, 4, 5, 6$, lập các số tự nhiên gồm sáu chữ số khác nhau. Hỏi:

a) Có tất cả bao nhiêu số?

b) Có bao nhiêu số chẵn, bao nhiêu số lẻ?

c) Có bao nhiêu số bé hơn $432 000$?

Bài giải:

Ta có thể coi mỗi một số có $6$ chữ số được thành lập từ các chữ số đã cho là một sự sắp xếp thứ tự $6$ số đó.

a) Từ đó ta có mỗi một số thoả mãn yêu cầu bài toán chính là một hoán vị của $6$ phần tử đó. Số các số có $6$ chữ số thành lập các chữ số trên:

P₆ $= 6! = 720$ (số).

b) Gọi số có $6$ chữ số được thành lập từ các chữ số trên có dạng $\overline{abcdeg}$ và là số chẵn (các chữ số đôi một khác nhau).

Có $3$ cách chọn $g$ (có thể chọn $g$ là $2, 4, 6$) $5$ cách chọn $e, 4$ cách chọn $d, 3$ cách chọn $c, 2$ cách chọn $b, 1$ cách chọn $a,$ do đó theo quy tắc nhân có tất cả: $3.5! = 360$ (số)

Hoàn toàn tương tự số các số lẻ thoả mãn yêu cầu là $360$ số.

Chú ý: Có thể lấy tổng tất cả các số là $720$ số trừ đi số các số chẵn là $360$ số ta có số các số lẻ.

c) Ta cần tìm tất cả các số thoả mãn yêu cầu, ta có thể tìm lần lượt từng số các chữ số hàng trăm nghìn là $1,2,3,4$ và số đó nhỏ hơn $432000$.

Số các số có hàng trăm nghìn là $1$ có dạng $\overline{1abcde}$.

Có $5$ cách chọn $e, 4$ cách chọn $d, 3$ cách chọn $c, 2$ cách chọn $b, 1$ cách chọn $a$, do đó có $5! = 120$ số.

Hoàn toàn tương tự các số có chữ số hàng trăm nghìn là $2$ và $3$ là: $120 + 120 = 240$ số.

Số có $6$ chữ số có hàng trăm nghìn là $4$ và nhỏ hơn $432 000$ có dạng:

$\overline{41abcd}$ hoặc $\overline{42abcd}$ hoặc $\overline{431abc}$.

Số các số có dạng $\overline{41abcd}$ là $4! = 24$ số.

Số các số có dạng $\overline{42abcd}$ là $4! = 24$ số.

Số các số có dạng $\overline{431abc}$ là $3! = 6$ số.

Vậy có tất cả: $24 + 24 + 6 = 54$ (số)

Do đó có tất cả là: $120 + 240 + 54 = 414$ số thoả mãn yêu cầu.

2. Giải bài 2 trang 54 sgk Đại số và Giải tích 11

Có bao nhiêu cách để sắp xếp chỗ ngồi cho mười người khách vào mười ghế kê thành một dãy?

Bài giải:

Mỗi một cách sắp xếp $10$ người khác ngồi vào ghế kê thành một dãy chính là một hoán vị của $10$ phần tử.

Do đó số cách sắp xếp chỗ ngồi cho $10$ khách là:

$10! = 3628800$ (cách)

3. Giải bài 3 trang 54 sgk Đại số và Giải tích 11

Giả sử có bảy bông hoa màu khác nhau và ba lọ khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách cắm ba bông hoa vào ba lọ đã cho (mỗi lọ cắm một bông) ?

Bài giải:

Mỗi một cách lấy ba bông hoa trong $7$ bông hoa đã cho và cắm vào $3$ các lọ chính là một chỉnh hợp chập $3$ của $7$ phần tử.

Do đó số các cách cắm hoa là: $A^3_7 = 210$ (cách).

4. Giải bài 4 trang 55 sgk Đại số và Giải tích 11

Có bao cách mắc nối tiếp $4$ bóng đèn được chọn từ $6$ bóng đèn khác nhau?

Bài giải:

Mỗi cách mắc nối tiếp $4$ bóng đèn được chọn từ $6$ bóng đen khác nhau đã cho là một chỉnh hợp chập $4$ của $6$ bóng đèn đã cho.

Do đó số các cách mắc là:$A^4_6 = 360$ (cách).

5. Giải bài 5 trang 55 sgk Đại số và Giải tích 11

Có bao nhiêu cách cắm $3$ bông hoa vào $5$ lọ khác nhau (mỗi lọ cắm không quá một bông) nếu:

a) Các bông hoa khác nhau?

b) Các bông hoa như nhau?

Bài giải:

a) Mỗi một cách cắm $3$ bông hoa khác nhau vào $3$ lọ trong $5$ lọ hoa chính là một chỉnh hợp chập $3$ của $5$ phần tử. Do đó số cách cắm $3$ bông hoa vào $5$ cái lọ (mỗi lọ cắm không quá $1$ bông) là:

A³₅ $= 60$ (cách).

b) Nếu $3$ bông hoa là như nhau thì mỗi cách cắm $3$ bông hoa vào $5$ cái lọ chỉ là một tổ hợp chập $3$ của $5$ phần tử. Do vậy số các cách cắm hoa trong trường hợp này là:

$C_{5}^{3}=\frac{5!}{3!2!}= 10$ (cách).

6. Giải bài 6 trang 55 sgk Đại số và Giải tích 11

Trong mặt phẳng, cho sáu điểm phân biệt sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng. Hỏi có thể lập được bao nhiêu tam giác mà các đỉnh của nó thuộc tập điểm đã cho?

Bài giải:

Vì không có $3$ điểm nào thẳng hàng nên mỗi một tập gồm $3$ điểm từ $6$ điểm đã cho tạo thành một tam giác. Do vậy số các tam giác chính là số các tổ hợp chập $3$ của $6$ phần tử và bằng:

$C_{6}^{3}=\frac{6!}{3!3!}= 20$ (tam giác)

7. Giải bài 7 trang 55 sgk Đại số và Giải tích 11

Trong mặt phẳng có bao nhiêu hình chữ nhật được tạo thành từ bốn đường thẳng song song với nhau và năm đường thẳng vuông góc với bốn đường thằng song song đó ?

Bài giải:

♦ Cách 1:

Ta bố trí các đường thẳng nói trong đề bài như hình vẽ.

Trước hết ta tìm số hình chữ nhật được tạo thành từ cặp (d₁, d₂) và các đường $\Delta _1,\Delta _2,\Delta _3,\Delta _4.$

Với cặp (d₁, d₂) và 2 đường $\Delta _1,\Delta _2$ ta có một hình chữ nhật (phần gạch chéo) $1=C_{2}^{2}$

Với cặp (d₁, d₂) và 3 đường $\Delta _1,\Delta _2,\Delta _3$ ta có 3 hình chữ nhật $3=C_{2}^{2}+1+1=C_{3}^{2}$

Với cặp (d₁, d₂) và 4 đường $\Delta _1,\Delta _2,\Delta _3,\Delta _4$ ta có 6 hình chữ nhật $6=C_{3}^{2}+1+1+1=C_{4}^{2}$

Như vậy cặp (d₁, d₂) và các đường thẳng $\Delta _1,\Delta _2,\Delta _3,\Delta _4$ tạo ra “một lớp” gồm 6 hình chữ nhật. Hoàn toàn tương tự, với cặp ($\Delta _1,\Delta _2$) và 5 đường thẳng d₁,d₂,d₃,d₄,d₆ ta có: $C_{5}^{2}=10$ hình chữ nhật.

Tóm lại có $C_{5}^{2}$ lớp các hình chữ nhật, mỗi lớp gồm $C_{4}^{2}$ hình chữ nhật, nên ta có: $C_{5}^{2}.C_{4}^{2} =10.6=60$ hình chữ nhật.

♦ Cách 2:

Để lập được một hình chữ nhật, phải thực hiện liên tiếp hai hành động sau đây:

Hành động 1: Chọn $2$ đường thẳng (không phân biệt thứ tự) từ nhóm $4$ đường thẳng song song đã cho. Số các cách để thực hiện hành động này là: $C_4^2 = 6 $ (cách)

Hành động 2: Chọn $2$ đường thẳng (không phân biệt thứ tự) từ nhóm $5$ đường thẳng đã cho, vuông góc với $4$ đường thẳng song song. Số các cách để thực hiện hành động này là: $C_5^2 = 10$ (cách).

Theo quy tắc nhân suy ra số các cách để lập thành một hình chữ nhật từ các đường thẳng đã cho là $6 . 10 = 60$ (cách).

Qua trên suy ra từ các đường thẳng đã cho có thể lập được $60$ hình chữ nhật.

Bài trước:

Giải bài 1 2 3 4 trang 46 sgk Đại số và Giải tích 11

Bài tiếp theo:

Giải bài 1 2 3 4 5 6 trang 57 58 sgk Đại số và Giải tích 11

Xem thêm:

Chúc các bạn làm bài tốt cùng giải bài tập sgk toán lớp 11 với giải bài 1 2 3 4 5 6 7 trang 54 55 sgk Đại số và Giải tích 11!

“Bài tập nào khó đã có giaibaisgk.com“