Hướng dẫn Giải bài 1 2 3 4 5 6 7 trang 74 75 sgk Đại số và Giải tích 11

Nội Dung

Hướng dẫn giải Bài §5. Xác suất và biến cố, Chương II. Tổ hợp – Xác suất, sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11. Nội dung bài giải bài 1 2 3 4 5 6 7 trang 74 75 sgk Đại số và Giải tích 11 bao gồm tổng hợp công thức, lý thuyết, phương pháp giải bài tập đại số và giải tích có trong SGK để giúp các em học sinh học tốt môn toán lớp 11.

Lý thuyết

1. Định nghĩa cổ điển của xác suất

Cho T là một phép thử ngẫu nhiên với không gian mẫu $\Omega $ là một tập hữu hạn. Giả sử A là một biến cố được mô ta bằng ${\Omega _A} \subset \Omega $. Xác suất của biến cố A, kí hiệu bởi P(A), được cho bởi công thức:

$P(A) = \frac{{\left| {{\Omega _A}} \right|}}{{\left| \Omega \right|}} = $$\frac{{{\rm{Số \, kết\, quả\, thuận\, lợi\, cho\, A}}}}{{{\rm{Số\, kết\, quả\, có\, thể\, xảy\, ra}}}}$.

Chú ý:

$ \bullet $ Xác suất của biến cố A chỉ phụ thuộc vào số kết quả thuận lợi cho A, nên ta đồng nhất ${\Omega _A}$ với A nên ta có : $P(A) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}}$

$ \bullet $ $P(\Omega ) = 1,{\rm{ }}P(\emptyset ) = 0,{\rm{ }}0 \le P(A) \le 1$

Định nghĩa thống kê của xác suất:

Xét phép thử ngẫu nhiên T và một biến cố A liên quan tới phép thử đó. Nếu tiến hành lặp đi lặp lại N lần phép thử T và thống kê số lần xuất hiện của A

Khi đó xác suất của biến cố A được định nghĩa như sau:

$P(A) = $$\frac{{{\rm{Số \, lần \, xuất \, hiện \, của \, biến \, cố \, A}}}}{N}$.

2. Tính chất của xác suất

a) $P(\emptyset ) = \,0,P(\Omega ) = \,1$

b) $0 \le P(A) \le \,\,1$, với mọi biến cố A.

c) Nếu A và B xung khắc thì:

$P(A \cup B)\, = \,P(A)\, + \,P(B)\,$ (công thức cộng xác suất).

d) Với mọi biến cố A ta có:

${\rm{P(}}\overline {\rm{A}} {\rm{) = }}\,{\rm{1 – }}\,{\rm{P(A)}}$

3. Quy tắc cộng xác suất

Nếu hai biến cố A và B xung khắc thì $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$

$ \bullet $ Mở rộng quy tắc cộng xác suất

Cho $k$ biến cố ${A_1},{A_2},…,{A_k}$ đôi một xung khắc. Khi đó:

$P({A_1} \cup {A_2} \cup … \cup {A_k}) = P({A_1}) + P({A_2}) + … + P({A_k})$.

$ \bullet $ $P(\overline A ) = 1 – P(A)$

$ \bullet $ Giải sử A và B là hai biến cố tùy ý cùng liên quan đến một phép thử. Lúc đó: \[P(A \cup B) = P\left( A \right) + P\left( B \right) – P\left( {AB} \right)\].

4. Quy tắc nhân xác suất

$ \bullet $ Ta nói hai biến cố A và B độc lập nếu sự xảy ra (hay không xảy ra) của A không làm ảnh hưởng đến xác suất của B.

$ \bullet $ Hai biến cố A và B độc lập khi và chỉ khi $P\left( {AB} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right)$.

Dưới đây là phần trả lời các câu hỏi và bài tập trong phần hoạt động của học sinh sgk Đại số và Giải tích 11.

Câu hỏi

1. Trả lời câu hỏi 1 trang 66 sgk Đại số và Giải tích 11

Từ một hộp chứa bốn quả cầu ghi chứ $a$, hai quả cầu ghi chữ $b$ và hai quả cầu ghi chữ $c$ (h.34), lấy ngẫu nhiên một quả. Kí hiệu:

$A$: “Lấy được quả ghi chữ $a$”;

$B:$ “Lấy được quả ghi chữ $b$”;

$C$: “Lấy được quả ghi chữ $c$”.

Có nhận xét gì về khả năng xảy ra của các biến cố $A, B$ và $C$? Hãy so sánh chúng với nhau.

Trả lời

Khả năng xảy ra của biến cố $A$ là: ${4 \over 8}$ $= 0,5$

Khả năng xảy ra của biến cố $B$ là: ${2 \over 8}$ $= 0,25$

Khả năng xảy ra của biến cố $C$ là: ${2 \over 8}$ $= 0,25$

⇒ Khả năng xảy ra của biến cố $A$ lớn hơn khả năng xảy ra của biến cố $B$.

Và khả năng xảy ra của biến cố $B$ bằng khả năng xảy ra của biến cố $C$.

2. Trả lời câu hỏi 2 trang 69 sgk Đại số và Giải tích 11

Chứng minh các tính chất a), b) và c).

a) $P(∅) = 0, P(Ω) = 1$.

b) $0 ≤ P(A) ≤ 1$, với mọi biến cố $A$.

c) Nếu $A$ và $B$ xung khắc, thì

$P(A ∪ B) = P(A) + P(B)$ (công thức cộng xác suất).

Trả lời

Theo định nghĩa xác suất của biến cố ta có:

$\eqalign{
& a)P(\emptyset ) = {{n(\emptyset )} \over {n(\Omega )}} = {0 \over {n(\Omega )}} = 0 \cr
& P(\Omega ) = {{n(\Omega )} \over {n(\Omega )}} = 1 \cr
& b)\,n(\emptyset ) \le n(A) \le n(\Omega ) \Rightarrow {{n(\emptyset )} \over {n(\Omega )}} \le {{n(A)} \over {n(\Omega )}} \le {{n(\Omega )} \over {n(\Omega )}} \cr
& \Rightarrow P(\emptyset ) \le P(A) \le P(\Omega ) \cr} $

hay $0 \le P(A) \le 1$ (từ chứng minh câu a)

c) Nếu $A$ và $B$ xung khắc, ta có:

$\eqalign{
& n(A \cup B) = n(A) + n(B) \cr
& \Rightarrow {{n(A \cup B)} \over {n(\Omega )}} = {{n(A)} \over {n(\Omega )}} + {{n(B)} \over {n(\Omega )}} \cr
& \Rightarrow P(A \cup B) = P(A) + P(B) \cr} $

Dưới đây là phần Hướng dẫn giải bài 1 2 3 4 5 6 7 trang 74 75 sgk Đại số và Giải tích 11. Các bạn hãy đọc kỹ đầu bài trước khi giải nhé!

Bài tập

Giaibaisgk.com giới thiệu với các bạn đầy đủ phương pháp giải bài tập đại số và giải tích 11 kèm bài giải chi tiết bài 1 2 3 4 5 6 7 trang 74 75 sgk Đại số và Giải tích 11 của Bài §5. Xác suất và biến cố trong Chương II. Tổ hợp – Xác suất cho các bạn tham khảo. Nội dung chi tiết bài giải từng bài tập các bạn xem dưới đây:

Giải bài 1 2 3 4 5 6 7 trang 74 75 sgk Đại số và Giải tích 11

1. Giải bài 1 trang 74 sgk Đại số và Giải tích 11

Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần.

a) Hãy mô tả không gian mẫu.

b) Xác định các biến cố sau:

$A:$ “Tổng số chấm xuất hiện trong hai lần gieo không bé hơn $10$”;

$B: $“Mặt % chấm xuất hiện ít nhất một lần”.

c) Tính $P(A), P(B).$

Bài giải:

a) Mô tả không gian mẫu: $\Omega =\left \{ (i,j) \setminus 1 \leq i, j \leq 6; i, j\in \mathbb{Z} \right \}$

b) Biến cố $A:$ “Tổng số chấm xuất hiện trong hai lần giao không bé hơn $10$″ là:

$A =$ {$(6, 4), (5, 6), (5, 5)$, $(6, 4), (5, 6), (6, 6)$},

Biến cố $B$: Mặt $5$ chấm xuất hiện ít nhất một lần” là:

$B =$ {$(1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5), (5, 5)$, $(6, 5), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 6)$}.

c) Ta có:

$n(A) = 6$ nên $P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega )}=\frac{1}{6}$

$n(B) = 11$ nên $P(B)=\frac{n(B)}{n(\Omega )}=\frac{11}{36}$

2. Giải bài 2 trang 74 sgk Đại số và Giải tích 11

Có bốn tấm bìa được đánh số từ $1$ đến $4$. Rút ngẫu nhiên ba tấm.

a) Hãy mô tả không gian mẫu.

b) Xác định các biến cố sau:

$A:$ “Tổng các số trên ba tấm bìa bằng 8”;

$B: $“Các số trên ba tấm bìa là ba số tự nhiên liên tiếp”.

c) Tính $P(A), P(B).$

Bài giải:

a) Không gian mẫu:

$Ω =$ {$(1, 2, 3), (1, 2, 4)$, $(1, 3, 4), (2, 3, 4)$}.

b) $A:$ “Tổng các số trên ba tầm bìa bẳng $8$” là $A =$ {$(1, 3, 4)$};

$B$: “Các số trên ba tầm bìa là các số tự nhiên liên tiếp” là: $B =$ {$(1, 2, 3), (2, 3, 4)$}

c) Từ trên ta có: $P(A)=\frac{1}{4};P(B)=\frac{1}{2}.$

3. Giải bài 3 trang 74 sgk Đại số và Giải tích 11

Một người chọn ngẫu nhiên hai chiếc giày từ bốn đôi giày cỡ khác nhau. Tính xác suất để hai chiếc chọn được tạo thành một đôi.

Bài giải:

Để đơn giản ta ký hiệu: T_i, P_i là hai chiếc giày của một đôi giày cỡ $i(1\leq 1,i\in \mathbb{Z})$. Khi đó không gian mẫu sẽ là:

$\Omega =\bigg \{ (T_1,P_1);(T_1,T_2);(T_1,P_2);(T_1,T_3);$ $(T_1,P_3);(T_1,T_4);(T_1,P_4);(P_1;T_2); (P_1,P_2)$

$;(P_1;T_3); (P_1,P_3);(P_1;T_4); (P_1,P_4);….\bigg \}$

Khi đó $n(\Omega )=28$

Biến cố $A$ lấy được một đôi giày là: $A=\left \{ (T_1,P_1);(T_2,P_2);(T_3,P_3);(T_4,P_4) \right \}$

Do đó $n(A) = 4.$

Vì vậy $P(A)=\frac{4}{28}=\frac{1}{7}.$

4. Giải bài 4 trang 74 sgk Đại số và Giải tích 11

Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất. Giả sử con súc sắc xuất hiện mặt $b$ chấm. Xét phương trình $x^2 + bx + 2 = 0$. Tính xác suất sao cho:

a) Phương trình có nghiệm;

b) Phương trình vô nghiệm;

c) Phương trình có nghiệm nguyên.

Bài giải:

Xét phương trình: $x^2+bx+2=0 (*)$ có $\Delta =b^2-8$ (b nguyên dương).

(*) có nghiệm $\Leftrightarrow b\in \left \{ 3,4,5,6 \right \}=A_1$

(*) vô nghiệm $\Leftrightarrow b\in \left \{ 1,2 \right \}=A_2$

(*) có nghiệm $\Leftrightarrow b\in \left \{ 3 \right \}=A_3$

Khi gieo con súc sắc ta có không gian mẫu là: $\Omega =\left \{ 1,2,3,4,5.6 \right \}$

Xác suất của biến cố A₁ là: $P(A_1)=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\Leftrightarrow (*)$ có nghiệm với xác suất là $\frac{2}{3}.$

Xác suất của biến cố A₂ là $P(A_2)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\Leftrightarrow (*)$ vô nghiệm với xác suất là $\frac{1}{3}$.

Xác suất của biến cố A₃ là $P(A_3)=\frac{1}{6}\Leftrightarrow (*)$ có nghiệm nguyên với xác suất là $\frac{1}{6}$

5. Giải bài 5 trang 74 sgk Đại số và Giải tích 11

Từ cỗ bài tứ lơ khơ $52$ con, rút ngẫu nhiên cùng một lúc bốn con. Tính xác suất sao cho:

a) Cả bốn con đều là át;

b) Được ít nhất một con át;

c) Được hai con át và hai con $K$.

Bài giải:

Số cách rút $4$ con bài trong cỗ bài $52$ con là: $C_{52}^{4}=270725$

a) Vì cả cỗ bài $52$ con chỉ có $4$ con át nên số cách rút ra $4$ con đều là át là $1$, do đó xác suất của biến cố này là:

$P_1=\frac{1}{270 725}.$

b) Gọi $A$ là biến cố trong $4$ con bài rút ra có ít nhất $1$ con là át. Khi đó $\overline{A}$ là biến cố cả $4$ con rút ra đều không phải là át.

Khi đó $n(\overline{A})=C^{4}_{48}$ (bằng số cách bỏ $4$ con át ra ngoài cỗ bài sau đó rút bất kỳ cùng một lúc $4$ con bài).

Do đó $P(\overline{A})=\frac{C^{4}_{48}}{C^{4}_{52}}$

$\Rightarrow P(A)=1-\frac{C^{4}_{48}}{C^{4}_{52}}= \frac{C^4_{52}-C^4_{48}}{C_{52}^{4}}\Rightarrow P(A)\approx 0,28126.$

c) Số cách rút được $2$ con át và $2$ con $K$ là:

C²₄ C²₄ $= 6 . 6 = 36$.

Suy ra $P(C) =\frac{36}{270725}\approx 0,000133.$

6. Giải bài 6 trang 74 sgk Đại số và Giải tích 11

Hai bạn nam và hai bạn nữ được xếp ngồi ngẫu nhiên vào bốn ghế xếp thành hai dãy đối diện nhau. Tính xác suất sao cho:

a) Nam, nữ ngồi đối diện nhau;

b) Nữ ngồi đối diện nhau.

Bài giải:

a) Giả sử hai bạn nam là T₁, T₂; hai bạn nữa là G₁, G₂. Mỗi một cách xếp $4$ bạn ngồi vào $4$ ghế chính là một hoán vị vủa $4$ phần tử T₁, T₂, G₁, G₂. Do đó số phần tử của không gian mẫu là $4! = 24$.

Ta quy ước dãy ghế thứ nhất gồm hai ghế được đánh số là ghế $1$ và ghế $2$. Dãy thứ hai gồm hai ghế còn lại được đánh số là ghế $3$ và ghế $4.$ Trong đó người ngồi ở ghế $1$ đối diện người ngồi ghế $3$, người ngồi ghế $2$ đối diện với người ngồi ghế $4$. Khi đó biến cố nam, nữ ngồi đối diện nhau sẽ có $16$ phần tử:

(T₁, T₂,G₁,G₂); (T₁,T₂,G₂,G₁); (T₁,G₁,G₂,T₂); (T₁,G₂,G₁,T₂)

(T2, T1,G1,G2); (T2,T1,G2,G1); (T2,G1,G2,T1); (T2,G2,G1,T1)

(G₁,G₂,T₁,T₂); (G₁,G₂,T₂,T₁); (G₁,T₁,T₂,G₂);(G₁,T₂,T₁,G₂)

(G2,G1,T1,T2); (G2,G1,T2,T1); (G2,T1,T2,G1);(G2,T2,T1,G1)

Vì thế xác suất của biến cố này là: $P_1=\frac{16}{24}=\frac{2}{3}.$

b) Nhận thấy biến cố nữ ngồi đối diện nhau chính là biến cố nữ ngồi đối diện nhau và nam ngồi đối diện nhau. Đây chính là biến cố đối của biến cố nam và nữ ngồi đối diện nhau. Vì vậy xác suất của biến cố nữ ngồi đối diện nhau là P₂ và $P_2=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}.$

7. Giải bài 7 trang 75 sgk Đại số và Giải tích 11

Có hai hộp chứa các quả cầu. Hộp thứ nhất chứa $6$ quả trằng, $4$ quả đen. Hộp thứ hai chứa $4$ quả trằng, $6$ quả đen. Từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên một quả. Kí hiệu:

$A$ là biến cố: “Quả lấy từ hộp thứ nhất trắng”;

$B$ là biến cố: “Quả lấy từ hộp thứ hai trắng”.

a) Xét xem $A$ và $B$ có độc lập không.

b) Tính xác suất sao cho hai quả cầu lấy ra cùng màu.

c) Tính xác suất sao cho hai quả cầu lấy ra khác màu.

Bài giải:

a) Rõ ràng sự xảy ra của biến cố lấy ở hộp thứ nhất của quả cầu trắng không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra biến cố lấy ở hộp thứ hai quả cầu màu trắng nên hai biến cố này là độc lập.

b) Ta có số khả năng lấy được quả cầu trắng từ hộp thứ nhất là $6$.

Do đó, ta có $P(A)=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}.$ Tương tự như vậy ta tính được $P(B)=\frac{2}{5}$.

Vì $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập nên đặt $C=A\cap B$, ta có $P(C)=P(A), P(B)=\frac{6}{25}$

Như vậy xác suất để lấy được hai quả đều màu trắng là $\frac{6}{25}$

Tương tự như vậy, xác suất lấy được hai quả cùng màu đen (mỗi quả ở mỗi hộp) cùng là $\frac{6}{25}$

Vì các biến cố “hai quả cùng màu đen”, “hai quả cùng màu trắng” là xung khắc nên theo công thức xác suất ta có: xác suất để hai quả cầu cùng màu là:

$P=\frac{6}{25}+\frac{6}{25}=\frac{12}{25}$

c) Biến cố “$2$ quả cầu lấy ra khác màu” là biến cố đổi của biến cố “$2$ quả cầu lấy ra cùng màu” nên xác suất của biến cố này là:

$P=1-\frac{12}{25}=\frac{13}{25}.$

Bài trước:

Giải bài 1 2 3 4 5 6 7 trang 63 64 sgk Đại số và Giải tích 11

Bài tiếp theo:

Ôn tập chương II: Giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 trang 76 77 78 sgk Đại số và Giải tích 11

Xem thêm:

Chúc các bạn làm bài tốt cùng giải bài tập sgk toán lớp 11 với giải bài 1 2 3 4 5 6 7 trang 74 75 sgk Đại số và Giải tích 11!

“Bài tập nào khó đã có giaibaisgk.com“