Hướng dẫn Giải bài 1 2 3 4 5 6 trang 79 sgk Đại số 10

Nội Dung

Hướng dẫn giải Bài §1. Bất đẳng thức, Chương IV. Bất đẳng thức. Bất phương trình, sách giáo khoa Đại số 10. Nội dung bài giải bài 1 2 3 4 5 6 trang 79 sgk Đại số 10 cơ bản bao gồm tổng hợp công thức, lý thuyết, phương pháp giải bài tập đại số có trong SGK để giúp các em học sinh học tốt môn toán lớp 10.

Lý thuyết

1. Định nghĩa

Cho $a,\,\,b$ là hai số thực. Các mệnh đề $a > b,\,\,a < b,\,\,a \ge b,\,\,a \le b$ được gọi là những bất đẳng thức.

Chứng minh bất đẳng thức là chứng minh bất đẳng thức đó đúng (mệnh đề đúng).

Với $A,\,\,B$ là mệnh đề chứa biến thì “$A > B$” là mệnh đề chứa biến. Chứng minh bất đẳng thức $A > B$ (với điều kiện nào đó) nghĩa là chứng minh mệnh đề chứa biến “A>B” đúng với tất cả các giá trị của biến (thỏa mãn điều kiện đó). Khi nói ta có bất đẳng thức $A > B$ mà không nêu điều kiện đối với các biến thì ta hiểu rằng bất đẳng thức đó xảy ra với mọi giá trị của biến là số thực.

2. Tính chất

$a > b$ và $b > c \Rightarrow a > c$

$a > b \Leftrightarrow a + c > b + c$

$a > b$ và $c > d \Rightarrow a + c > b + d$

Nếu $c > 0$ thì $a > b \Leftrightarrow ac > bc$; Nếu $c < 0$ thì $a > b \Leftrightarrow ac < bc$

$a > b \ge 0 \Rightarrow \sqrt a > \sqrt b $

$a \ge b \ge 0 \Leftrightarrow {a^2} \ge {b^2}$

$a > b \ge 0 \Rightarrow {a^n} > {b^n}$

3. Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối

$ – \left| a \right| \le a \le \left| a \right|$ với mọi số thực $a$ .

$\left| x \right| < a \Leftrightarrow – a < x < a$ ( Với $a > 0$)

$\left| x \right| > a \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > a\\x < – a\end{array} \right.$ ( Với $a > 0$)

4. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (Bất đẳng thức Cô-si)

a) Đối với hai số không âm

Cho $a \ge 0,\,\,b \ge {\rm{0}}$, ta có $\frac{{a + b}}{2} \ge \sqrt {ab} $. Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi $a = b$

Hệ quả:

Hai số dương có tổng không đổi thì tích lớn nhất khi hai số đó bằng nhau.

Hai số dương có tích không đổi thì tổng nhỏ nhất khi hai số đó bằng nhau.

b) Đối với ba số không âm

Cho $a \ge 0,\,\,b \ge 0,\,\,c \ge 0$, ta có $\frac{{a + b + c}}{3} \ge \sqrt[3]{{abc}}$. Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi $a = b = c$

Dưới đây là phần Hướng dẫn trả lời các câu hỏi và bài tập trong phần hoạt động của học sinh sgk Đại số 10.

Câu hỏi

1. Trả lời câu hỏi 1 trang 74 sgk Đại số 10

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng

$\begin{array}{l}a)\,3,25 < 4\\b)\, – 5 > – 4\dfrac{1}{4}\\c)\, – \sqrt 2 \le 3\end{array}$

Trả lời:

Mệnh đề đúng là $3,25 < 4$ và $ – \sqrt 2 < 3$

Mệnh đề sai là $ – 5 > – 4\dfrac{1}{4}$ vì: $ – 4\dfrac{1}{4} = – \dfrac{{17}}{4} > – \dfrac{{20}}{4} = – 5$

2. Trả lời câu hỏi 2 trang 74 sgk Đại số 10

Chọn dấu thích hợp (=, <, >) để khi điền vào chỗ trống ta được một mệnh đề đúng.

$\begin{array}{l}a)\,2\sqrt 2 …3;\\b)\,\dfrac{4}{3}…\dfrac{2}{3};\\c)\,3 + 2\sqrt 2 …{\left( {1 + \sqrt 2 } \right)^2}\end{array}$

$d)\,{a^2} + 1…0$ với $a$ là một số đã cho.

Trả lời:

Ta điền như sau:

$\begin{array}{l}a)\,2\sqrt 2 < 3;\\b)\,\dfrac{4}{3}>\dfrac{2}{3};\\c)\,3 + 2\sqrt 2 ={\left( {1 + \sqrt 2 } \right)^2}\end{array}$

$d)\,{a^2} + 1>0$ với $a$ là một số đã cho.

3. Trả lời câu hỏi 3 trang 75 sgk Đại số 10

Chứng minh rằng $a < b ⇔ a – b < 0.$

Trả lời:

Ta có:

$a < b ⇔ a + (-b) < b +(-b) ⇔ a – b ≤ 0$

4. Trả lời câu hỏi 4 trang 75 sgk Đại số 10

Nêu ví dụ áp dụng một trong các tính chất trên.

Trả lời:

Ví dụ:

$ – 5x \le 10$ $ \Leftrightarrow \left( { – 5x} \right).\left( { – \dfrac{1}{5}} \right) \ge 10.\left( { – \dfrac{1}{5}} \right) $ $\Leftrightarrow x \ge – 2$

Hoặc: $x < 3 ⇔ -2x > -6$

5. Trả lời câu hỏi 5 trang 78 sgk Đại số 10

Hãy chứng minh hệ quả 3.

Trả lời:

Với $x > 0,y > 0$ và $xy = P$ không đổi.

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có: $\sqrt {xy} \le \dfrac{{x + y}}{2} \Leftrightarrow x + y \ge 2\sqrt {xy} = 2\sqrt P $

Hay $x + y \ge 2\sqrt P $ không đổi.

Dấu “=” xảy ra khi $x = y$.

$ \Rightarrow x + y$ nhỏ nhất bằng $2\sqrt P $ khi $x = y$.

6. Trả lời câu hỏi 6 trang 78 sgk Đại số 10

Nhắc lại định nghĩa giá trị tuyệt đối và tính giá trị tuyệt đối của các số sau:

$\begin{array}{l}a)\,0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,b)\,1,25\\c)\, – \dfrac{3}{4}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,d)\, – \pi \end{array}$

Trả lời:

Giá trị tuyệt đối của một số là khoảng cách của số đó đến điểm 0 trên trục số nằm ngang.

$\begin{array}{l}a)\,\left| 0 \right| = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,b)\,\left| {1,25} \right| = 1,25\\c)\,\left| { – \dfrac{3}{4}} \right| = \dfrac{3}{4}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,d)\,\left| { – \pi } \right| = \pi \end{array}$

Dưới đây là phần Hướng dẫn giải bài 1 2 3 4 5 6 trang 79 sgk Đại số 10 cơ bản. Các bạn hãy đọc kỹ đầu bài trước khi giải nhé!

Bài tập

Giaibaisgk.com giới thiệu với các bạn đầy đủ phương pháp giải bài tập đại số 10 kèm bài giải chi tiết bài 1 2 3 4 5 6 trang 79 sgk Đại số 10 cơ bản của Bài §1. Bất đẳng thức trong Chương IV. Bất đẳng thức. Bất phương trình cho các bạn tham khảo. Nội dung chi tiết bài giải từng bài tập các bạn xem dưới đây:

Giải bài 1 2 3 4 5 6 trang 79 sgk Đại số 10

1. Giải bài 1 trang 79 sgk Đại số 10

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng với mọi giá trị của $x$?

a) $8x > 4x$

b) $4x > 8x$

c) $8x^2 > 4x^2$

d) $8 + x > 4 + x$

Bài giải:

Ta có:

a) 8x > 4x ⇔ x > 0

b) 4x > 8x ⇔ x < 0

c) 8x² > 4x² ⇔ x # 0

d) 8 + x > 4 + x Đúng với mọi giá trị của $x$.

Ví dụ: x = 0 thì bất đẳng thức luôn đúng.

$x = 1$ thì ta có: $ 8 + 1 = 9 > 4 + 1 = 5$

$x = -1$ thì ta có: $ 8 + (-1) = 7 > 4 + (-1) = 3$

Vậy khẳng định d) là đúng với mọi giá trị của x.

Hoặc:

Nếu $x < 0$ thì a) sai; Ví dụ: $x = -1$ thì : $8.(-1) = -8 < 4.(-1) = -4$

Nếu $x > 0$ thì b) sai; Ví dụ: $x = -1$ thì : $8.1 = 8 > 4.1 = 4$

Nếu $x = 0$ thì c) sai; vì khi $x = 0$ thì 2 vế của bất đẳng thức bằng nhau.

d) Đúng. Vì $8 > 4$ nên $8 + x > 4 + x$ với mọi $x$ (cộng cả hai vế của bất đằng thức với số thực $x$).

2. Giải bài 2 trang 79 sgk Đại số 10

Cho số $x > 5$, số nào trong các số sau đây là nhỏ nhất?

$A=\frac{5}{x};$ $B=\frac{5}{x}+1;$

$C=\frac{5}{x}-1;$ $D=\frac{x}{5}$

Bài giải:

Với $x > 5$ thì $0<\frac{5}{x}<1$

Suy ra $\frac{5}{x}-1<0$

Trong khi:

$\frac{5}{x}>0$ nên $\frac{5}{x}+1>0$,

$x > 5$ thì $\frac{x}{5}>0$.

Vậy với cùng số $x > 5$ thì biểu thức $C=\frac{5}{x}-1;$ có giá trị nhỏ nhất.

3. Giải bài 3 trang 79 sgk Đại số 10

Cho $a, b, c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác.

a) Chứng minh $(b – c)^2 < a^2$

b) Từ đó suy ra $a^2 + b^2 + c^2 < 2(ab + bc +ca).$

Bài giải:

a) Ta biết trong một tam giác thì một cạnh luôn nhỏ hơn tổng hai cạnh kia.

$a + b > c \Rightarrow a + b – c > 0$ $\Rightarrow a + (b – c) > 0$

$a + c > b \Rightarrow a + c – b > 0$ $\Rightarrow a – (b – c) > 0$

$\Rightarrow [a + (b – c)](a – (b – c)) > 0$

$ \Rightarrow {a^2} – {(b – c)^2} > 0 \Rightarrow {a^2} > {(b – c)^2}$ (điều phải chứng minh).

b) Từ kết quả câu a), ta có:

$\begin{array}{l}
{a^2} > {\left( {b – c} \right)^2}\\
{b^2} > {\left( {a – c} \right)^2}\\
{c^2} > {\left( {a – b} \right)^2}
\end{array}$

${a^2} + {\rm{ }}{b^2} + {\rm{ }}{c^2} > {\rm{ }}{\left( {b – c} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {a{\rm{ }}-{\rm{ }}c} \right)^2} $$+ {\rm{ }}{\left( {a{\rm{ }} – {\rm{ }}b} \right)^2}$

$ \Leftrightarrow {a^2} + {\rm{ }}{b^2} + {\rm{ }}{c^2} > {\rm{ }}{b^2} + {\rm{ }}{c^2}-{\rm{ }}2bc{\rm{ }} + {\rm{ }}{a^2} $$+ {\rm{ }}{c^2}-{\rm{ }}2ac{\rm{ }} + {\rm{ }}{a^2} + {\rm{ }}{b^2}-{\rm{ }}2ab$

$ \Leftrightarrow 2\left( {ab{\rm{ }} + {\rm{ }}bc{\rm{ }} + {\rm{ }}ac} \right){\rm{ }} > {a^2} + {\rm{ }}{b^2} + {\rm{ }}{c^2}$

hay: $a^2+ b^2+ c^2< 2(ab + bc +ca)$ (điều phải chứng minh).

4. Giải bài 4 trang 79 sgk Đại số 10

Chứng minh rằng:

$x^3 + y^3 \geq x^2y + xy^2, \forall x \geq 0, \forall y \geq 0.$

Bài giải:

Xét hiệu: $({x^3} + {y^3}) – ({x^2}y + x{y^2}) = (x + y)({x^2} – xy + {y^2}) – xy(x + y)$

$ = (x + y)({x^2} – 2xy + {y^2}) = (x + y){(x – y)^2} \ge 0,\forall x \ge 0,\forall y \ge 0$

Do đó: ${x^3} + {y^3} \ge {x^2}y + x{y^2},\forall x \ge 0,\forall y \ge 0$

Đẳng thức chỉ xảy ra khi $x = y \ge 0.$

5. Giải bài 5 trang 79 sgk Đại số 10

Chứng minh rằng: $x^4 – \sqrt{x^5} + x – \sqrt{x} + 1 > 0, \forall x \geq 0.$

Bài giải:

Ta có:

${x^4} – {x^5} + {x^2} – x + 1 = {x^8} – 2.{x^4}.\frac{x}{2} + \frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{{x^2}}}{4} – x + 1$

$ = {({x^4} – \frac{x}{2})^2} + \frac{{{x^2}}}{4} + {(\frac{x}{2} – 1)^2}$

Mà ${({x^4} – \frac{x}{2})^2} \ge 0;\frac{{{x^2}}}{4} \ge 0;{(\frac{x}{2} – 1)^2} \ge 0$

$ \Rightarrow {x^8} – {x^5} + {x^2} – x + 1 \ge 0\,\,\,\,(1)$

Dấu “=” xảy ra $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {{x^4} – \frac{x}{2}} \right)^2} = 0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{{{x^4}}}{4} \,\,\,\,\,\, = 0\,\,(vô\,\,lý)\,\,\,\,\,\,\,(2)\\{\left( {\frac{x}{2} – 1} \right)^2} = 0\end{array} \right.$

Từ (1) và (2), ta có: ${x^8} – {x^5} + {x^2} – x + 1 > 0\,\,\forall x.$

6. Giải bài 6 trang 79 sgk Đại số 10

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, trên các tia $Ox, Oy$ lần lượt lấy các điểm $A$ và $B$ thay đổi sao cho đường thẳng $AB$ luôn tiếp xúc với đường tròn tâm $O$ bán kính $1$. Xác định tọa độ của $A$ và $B$ để đoạn $AB$ có độ dài nhỏ nhất.

Bài giải:

Gọi $A(a; 0), B(0;b) (a, b > 0)$

$\begin{array}{l} \Rightarrow AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \\OA = \left| {\overrightarrow {OA} } \right| = a;OB = \left| {\overrightarrow {OB} } \right| = b\end{array}$

Do $AB$ tiếp xúc với đường tròn tâm $O$, bán kính $R = 1,$

Suy ra: diện tích $(\Delta OAB) = \frac{1}{2}AB.{h_0} = \frac{1}{2}AB.1 = \frac{1}{2}\sqrt {{a^2} + {b^2}} $

Mặt khác: Diện tích $(\Delta OAB) = \frac{1}{2}OA.OB = \frac{1}{2}a.b$

$ \Rightarrow \frac{1}{2}\sqrt {{a^2} + {b^2}} = \frac{1}{2}ab \Leftrightarrow ab = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \,\,(1)$

Lại có theo bất đẳng thức Cô–si:

$\sqrt {{a^2} + {b^2}} \ge \sqrt 2 .\sqrt {ab} $

Nên từ (1) $ \Rightarrow ab \ge \sqrt 2 .\sqrt {ab} \Leftrightarrow \sqrt {ab} (\sqrt {ab} – \sqrt 2 ) \ge 0$

$ \Leftrightarrow \sqrt {ab} – \sqrt 2 \ge 0 \Leftrightarrow \sqrt {ab} \ge \sqrt 2 $

Do đó $AB$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {ab} = \sqrt 2 \\a = b\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = \sqrt 2 $

Vậy $AB$ nhỏ nhất khi $A(\sqrt 2 ;0),B(0;\sqrt 2 )$

Bài tiếp theo:

Giải bài 1 2 3 4 5 trang 87 88 sgk Đại số 10

Xem thêm:

Chúc các bạn làm bài tốt cùng giải bài tập sgk toán lớp 10 với giải bài 1 2 3 4 5 6 trang 79 sgk Đại số 10!

“Bài tập nào khó đã có giaibaisgk.com“