Toán lớp 10

Giải bài 1 2 3 4 5 trang 87 88 sgk Đại số 10

Hướng dẫn giải Bài §2. Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn, Chương IV. Bất đẳng thức. Bất phương trình, sách giáo khoa Đại số 10. Nội dung bài giải bài 1 2 3 4 5 trang 87 88 sgk Đại số 10 cơ bản bao gồm tổng hợp công thức, lý thuyết, phương pháp giải bài tập đại số có trong SGK để giúp các em học sinh học tốt môn toán lớp 10.

Lý thuyết

1. Khái niệm bất phương trình một ẩn

Bất phương trình một ẩn là một mệnh đề chứa biến có một trong các dạng \(f(x) > g(x), f(x) < g(x),\)\( f(x) ≥ g(x), f(x) ≤ g(x)\), trong đó \(f(x), g(x)\) là các biểu thức chứa cùng một biến \(x\).

Điều kiện xác định của bất phương trình (ĐKXĐ) là điều kiện của biến số x để các biểu thức \(f(x), g(x)\) có nghĩa.

Giá trị \(x_0\) thỏa mãn ĐKXĐ làm cho \(f(x_0) < g(x_0)\) là một mệnh đề đúng thì \(x_0\) là một nghiệm của bất phương trình \(f(x) < g(x)\).

2. Giải và biện luận bất phương trình dạng \(ax + b < 0\).

Giải bất phương trình dạng \(ax + b < 0\) (1)

Nếu \(a = 0\) thì bất phương trình có dạng \(0.x + b < 0\)

– Với \(b < 0\) thì tập nghiệm BPT là S = Æ

– Với \(b \ge 0\) thì tập nghiệm BPT là \({\rm{S}} = \mathbb{R}\)

Nếu \(a > 0\) thì \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow x < – \frac{b}{a}\) suy ra tập nghiệm là \(S = \left( { – \infty ; – \frac{b}{a}} \right)\)

Nếu \(a < 0\) thì \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow x > – \frac{b}{a}\) suy ra tập nghiệm là \(S = \left( { – \frac{b}{a}; + \infty } \right)\)

Các bất phương trình dạng \(ax + b > 0,\,\,ax + b \le 0,\,\,ax + b \ge 0\) được giải hoàn toán tương tự

3. Hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn

Việc tìm tập hợp các nghiệm chung của một tập hợp các bất phương trình một ẩn, kí hiệu \(\left\{\begin{matrix} f_{1}(x)<g_{1}(x)\\ f_{2}(x)<g_{3}(x) \\………. \\ f_{n}(x)<g_{n}(x) \end{matrix}\right.\) là xét một hệ bất phương trình một ẩn.

Giải hệ bất phương trình bằng cách tìm giao các tập hơp nghiệm của bất phương trình của hệ.

4. Bất phương trình tương đương

Hai bất phương \({f_1}(x) < {g_1}(x)\) và \({f_2}(x) < {g_2}(x)\) được gọi là tương đương, kí hiệu:

\({f_1}(x) < {g_1}(x) \Leftrightarrow {f_2}(x) < {g_2}(x)\) nếu chúng có cùng một tập hợp nghiệm.

Định lí: Gọi \(D\) là ĐKXĐ của bất phương trình \(f(x) < g(x), h(x)\) là biểu thức xác định với \(∀ x ∈ D\) thì

a) \(f(x) + h(x) < g(x) + h(x)\)\( \Leftrightarrow f(x) < g(x)\).

Hệ quả \(f(x) < g(x) + p(x) \)\(\Leftrightarrow f(x) – g(x) < p(x)\)

b) \(f(x).h(x) < g(x).h(x) \)\(\Leftrightarrow f(x) < g(x)\) nếu \(h(x) > 0 ∀ x ∈ D\)

\(f(x).h(x) < g(x).h(x) \)\(\Leftrightarrow f(x) > g(x)\) nếu \(h(x) < 0 ∀ x ∈ D\).

Dưới đây là phần Hướng dẫn trả lời các câu hỏi và bài tập trong phần hoạt động của học sinh sgk Đại số 10.

Câu hỏi

1. Trả lời câu hỏi 1 trang 80 sgk Đại số 10

Cho một ví dụ về bất phương trình một ẩn, chỉ rõ vế trái và vế phải của bất phương trình này.

Trả lời:

Ví dụ bất phương trình một ẩn: $2x + 1 ≥ -4$

Vế trái của bất phương trình: $2x + 1$

Vế phải của bất phương trình: $-4$

2. Trả lời câu hỏi 2 trang 81 sgk Đại số 10

Cho bất phương trình 2x ≤ 3.

a) Trong các số \( – 2,\,\,2{1 \over 2};\,\pi ;\,\sqrt {10} \) số nào là nghiệm, số nào không là nghiệm của bất phương trình trên ?

b) Giải bất phương trình đó và biểu diễn tập nghiệm của nó trên trục số.

Trả lời:

a) Với \(x = – 2\) thì \(2.\left( { – 2} \right) = – 4 \le 3\) đúng nên \(x = – 2\) là nghiệm của bất phương trình.

Với \(x = 2\dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{2}\) thì \(2.\left( {\dfrac{5}{2}} \right) = 5 \le 3\) là mệnh đề sai nên \(x = 2\dfrac{1}{2}\) không là nghiệm của bất phương trình.

Với \(x = \pi \) thì \(2\pi \le 3\) là mệnh đề sai nên \(x = \pi \) không là nghiệm của bất phương trình.

Với \(x = \sqrt {10} \) thì \(2\sqrt {10} \le 3\) là mệnh đề sai nên \(x = \sqrt {10} \) không là nghiệm của bất phương trình.

Vậy trong các giá trị đã cho chỉ có \(x = – 2\) là nghiệm.

b) \(2x \le 3 \Leftrightarrow x \le {3 \over 2}\)

Biểu diễn tập nghiệm trên trục số là:

3. Trả lời câu hỏi 3 trang 82 sgk Đại số 10

Hai bất phương trình trong ví dụ 1 có tương đương hay không? Vì sao?

Trả lời:

Hai bất phương trình trong ví dụ 1 không tương đương do chúng không có cùng tập nghiệm.

Dưới đây là phần Hướng dẫn giải bài 1 2 3 4 5 trang 87 88 sgk Đại số 10 cơ bản. Các bạn hãy đọc kỹ đầu bài trước khi giải nhé!

Bài tập

Giaibaisgk.com giới thiệu với các bạn đầy đủ phương pháp giải bài tập đại số 10 kèm bài giải chi tiết bài 1 2 3 4 5 trang 87 88 sgk Đại số 10 cơ bản của Bài §2. Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn trong Chương IV. Bất đẳng thức. Bất phương trình cho các bạn tham khảo. Nội dung chi tiết bài giải từng bài tập các bạn xem dưới đây:

Giải bài 1 2 3 4 5 trang 87 88 sgk Đại số 10
Giải bài 1 2 3 4 5 trang 87 88 sgk Đại số 10

1. Giải bài 1 trang 87 sgk Đại số 10

Tìm các giá trị x thỏa mãn điều kiện của mỗi bất phương trình sau:

a) \(\frac{1}{x}< 1-\frac{1}{x+1};\)

b) \(\frac{1}{x^{2}-4}< \frac{2x}{x^{2}-4x+3};\)

c) \(2|x| – 1 +\sqrt[3]{x-1}<\frac{2x}{x+1};\)

d) \(2\sqrt{1-x}> 3x + \frac{1}{x+4}.\)

Bài giải:

a) ĐKXĐ: \(D = \left\{ {x \in\mathbb R|x \ne 0,x + 1 \ne 0} \right\} \)\(=\mathbb R\backslash \left\{ {0; – 1} \right\}\)

b) ĐKXĐ: \(D =\)\( \left\{ {x \in\mathbb R|{x^2} – 4 \ne 0,{x^2} – 4x + 3 \ne 0} \right\}\)\( =\mathbb R\backslash \left\{ { \pm 2;1;3} \right\}\)

c) ĐKXĐ: \(D =\mathbb R\backslash {\rm{\{ }} – 1\} \)

d) ĐKXĐ: \(D = \left\{ {x \in \mathbb R|x + 4 \ne 0,1 – x \ge 0} \right\} \)\(= ( – \infty ; – 4) \cup ( – 4;1]\)

2. Giải bài 2 trang 88 sgk Đại số 10

Chứng minh các bất phương trình sau vô nghiệm.

a) \(x^2 +\sqrt{x+8}\leq 3;\)

b) \(\sqrt{1+2(x-3)^{2}}+\sqrt{5-4x+x^{2}}< \frac{3}{2};\)

c) \(\sqrt{1+x^{2}}-\sqrt{7+x^{2}}> 1.\)

Bài giải:

a) \(x^2+ \sqrt{x+8}\leq -3\)

Gọi \(D\) là điều kiện xác định của biểu thức vế trái \(D = [- 8; +∞)\).

Vế trái luôn dương với mọi \(x ∈ D\) trong khi vế phải là số âm.

Mệnh đề sai với mọi \(x ∈ D\). Vậy bất phương trình vô nghiệm.

b) \(\sqrt{1+2(x-3)^{2}}+\sqrt{5-4x+x^{2}}< \frac{3}{2}\)

Vế trái có \(\sqrt{1+2(x-3)^{2}}≥ 1 \) \(∀x ∈\mathbb R\),

\(\sqrt{5-4x+x^{2}}=\sqrt{1+(x-2)^{2}}≥ 1\) \(∀x ∈\mathbb R\)

Suy ra: \(\sqrt{1+2(x-3)^{2}}\) + \(\sqrt{5-4x+x^{2}} ≥ 2, ∀ x ∈\mathbb R\)

Mệnh đề sai \(∀x ∈\mathbb R\).

⇒ Bất phương trình vô nghiệm.

c) \(\sqrt{1+x^{2}}-\sqrt{7+x^{2}}> 1\)

\(\eqalign{
& 1 + {x^2} < 7 + {x^2} \cr&\Rightarrow \sqrt {1 + {x^2}} < \sqrt {7 + {x^2}} \cr
& \Rightarrow \sqrt {1 + {x^2}} – \sqrt {7 + {x^2}} < 0 \cr} \)

\( \Rightarrow \sqrt {1 + {x^2}} – \sqrt {7 + {x^2}} > 1\) ⇒ Bất phương trình vô nghiệm.

3. Giải bài 3 trang 88 sgk Đại số 10

Giải thích vì sao các cặp bất phương trình sau tương đương?

a) \(- 4x + 1 > 0\) và \(4x – 1 <0;\)

b) \(2x^2 +5 \leq 2x – 1\) và \(2x^2 – 2x + 6 \leq 0\);

c) \(x + 1 > 0\) và \(x + 1 +\frac{1}{x^{2}+1}>\frac{-1}{x^{2}+1};\)

d) \(\sqrt{x-1} \geq x\) và \((2x +1)\sqrt{x-1} \geq x(2x + 1).\)

Bài giải:

a) Nhân hai vế bất phương trình thứ nhất với $-1$ và đổi chiều ta được bất phương trình thứ hai (tương đương).

b) Chuyển vế và đổi dấu các hạng tử ta được bất phương trình tương đương.

c) Cộng vào hai vế bất phương trình với biểu thức \(\frac{1}{{{x^2} + 1}}\) không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình ta được bất phương trình tương đương.

d) Hai bất phương trình có điều kiện chung là \(x \ge 1\). Trên tập các giá trị này của x thì biểu thức $2x + 1 > 0$ nên nhân hai vế bất phương trình thứ nhất với biểu thức $2x + 1$ ta được bất phương trình thứ hai (tương đương).

4. Giải bài 4 trang 88 sgk Đại số 10

Giải các phương trình sau

a) \(\frac{3x+1}{2}-\frac{x-2}{3}< \frac{1-2x}{4};\)

b) \((2x – 1)(x + 3) – 3x + 1 \leq (x – 1)(x + 3) + x^2 – 5.\)

Bài giải:

a) \(\frac{3x+1}{2}-\frac{x-2}{3}< \frac{1-2x}{4}\)

\( \Leftrightarrow \frac{3x+1}{2}-\frac{x-2}{3}-\frac{1-2x}{4}<0\)

\( \Leftrightarrow 12\left [ \frac{3x+1}{2}-\frac{x-2}{3}-\frac{1-2x}{4}\right ]<0\)

\( \Leftrightarrow 6(3x + 1) – 4(x – 2) – 3(1 – 2x) \)\(< 0\)

\( \Leftrightarrow 20x + 11 < 0\)

\( \Leftrightarrow20x < – 11\)

\( \Leftrightarrow x < -\frac{11}{20}.\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \(T = \left( { – \infty ; – {{11} \over {20}}} \right)\)

b) \((2x – 1)(x + 3) – 3x + 1 \)\(≤ (x – 1)(x + 3) + x^2– 5\)

\( \Leftrightarrow 2x^2+ 5x – 3 – 3x + 1 \)\(≤ x^2+ 2x – 3 + x^2- 5\)

\( \Leftrightarrow 0x ≤ -6\) ( Vô nghiệm).

Vậy bất phương trình vô nghiệm.

5. Giải bài 5 trang 88 sgk Đại số 10

Giải các hệ bất phương trình

a) \(\left\{\begin{matrix} 6x+\frac{5}{7}<4x+7\\ \frac{8x+3}{2}< 2x+5; \end{matrix}\right.\)

b) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{15x – 2 > 2x + \frac{1}{3}}\\{2(x – 4) < \frac{{3x – 14}}{2}.}\end{array}} \right.\)

Bài giải:

a) Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}
6x + \frac{5}{7} < 4x + 7\\
\frac{{8x + 3}}{2} < 2x + 5
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2x < 7 – \frac{5}{7}\\
8x + 3 < 4x + 10
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2x < \frac{{44}}{7}\\
4x < 7
\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x < \frac{{22}}{7}\\
x < \frac{7}{4}
\end{array} \right. \Leftrightarrow x < \frac{7}{4}\)

Vậy \(S = \left( { – \infty ;\frac{7}{4}} \right)\)

b) Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}
15x – 2 > 2x + \frac{1}{3}\\
2(x + 4) < \frac{{3x – 14}}{2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
13x > \frac{7}{3}\\
4x – 16 < 3x – 14
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x > \frac{7}{{39}}\\
x < 2
\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \frac{7}{{39}} < x < 2\)

Vậy \(S = \left( {\frac{7}{{39}};2} \right)\)

Bài trước:

Bài tiếp theo:

Xem thêm:

Chúc các bạn làm bài tốt cùng giải bài tập sgk toán lớp 10 với giải bài 1 2 3 4 5 trang 87 88 sgk Đại số 10!

“Bài tập nào khó đã có giaibaisgk.com“