Hướng dẫn Giải bài 1 2 3 4 5 trang 148 sgk Đại số 10

Nội Dung

Hướng dẫn giải Bài §2. Giá trị lượng giác của một cung, Chương VI – Cung và góc lượng giác. Công thức lượng giác, sách giáo khoa Đại số 10. Nội dung bài giải bài 1 2 3 4 5 trang 148 sgk Đại số 10 bao gồm tổng hợp công thức, lý thuyết, phương pháp giải bài tập phần đại số có trong SGK để giúp các em học sinh học tốt môn toán lớp 10.

Lý thuyết

I. Giá trị lượng giác

1. Định nghĩa

Các giá trị $sin\,\alpha ; cos\,\alpha; tan\,\alpha; cot\,\alpha$ được gọi là các giá trị lượng giác của cung $\alpha$

Ta cũng gọi trục tung là trục sin, trục hoành là trục cos.

Chú ý:

Các định nghĩa trên cũng áp dụng cho các góc lượng giác.

Nếu $0^o \leq \alpha \leq 180^o$ thì các giá trị lượng giác của góc $\alpha$ chính là các giá trị lượng giác của góc đó đã nêu trong SGK Hình học 10.

2. Hệ quả

a) $-1 ≤ sinα ≤ 1, -1 ≤ cosα ≤ 1 ;$$∀α \in\mathbb R$

$\sin(α + k2π) = \sinα ;∀k \in \mathbb R$

$cos(α + k2π) = cosα ,∀k \in\mathbb R$

b) $tanα$ xác định với mọi \$α \ne {\pi\over 2} + kπ, k \in\mathbb Z$

$cotα$ xác định với mọi $α \ne kπ, k \in\mathbb Z$

$tan(α + kπ) = tanα ,∀k\in\mathbb R$

$ cot(α + kπ) = cotα ,∀k \in\mathbb R$

Bảng xác định dấu của các giá trị lượng giác:

Các hệ thức lượng giác cơ bản:

$si{n^2}\alpha {\rm{ }} + {\rm{ }}co{s^2}\alpha {\rm{ }} = {\rm{ }}1$; $tanα.cotα = 1$

$1 + {\tan ^2}\alpha = {1 \over {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha }}$

$1 + {\cot ^2}\alpha = {1 \over {{{\sin }^2}\alpha }}$

3. Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt

II. Ý nghĩa hình học của Tang và Côtang

1. Ý nghĩa hình học của $tan\,\alpha $

$tan\,\alpha $ được biểu diễn bởi độ dài đại số của vectơ $\overrightarrow{AT}$ trên trục $t’At$.

Trục $t’At$ được gọi là trục tang

2. Ý nghĩa hình học của $cot\,\alpha $

$cot\,\alpha $ được biểu diễn bởi độ dài đại số của vectơ $\overrightarrow{BS}$ trên trục $s’Bs$.

Trục $s’Bs$ được gọi là trục côtang

III. Quan hệ giữa các giá trị lượng giác

1. Công thức lượng giác cơ bản

2. Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt

a) Cung đối nhau: $\alpha $ và $-\alpha $

$cos\,(-\alpha)= cos\,\alpha$

$sin\,(-\alpha)= -sin\,\alpha$

$tan\,(-\alpha)= -tan\,\alpha$

$cot\,(-\alpha)= -cot\,\alpha$

b) Cung bù nhau: $\alpha $ và $\pi -\alpha $

$sin\,(\pi -\alpha)= sin\,\alpha$

$cos\,(\pi -\alpha)= -cos\,\alpha$

$tan\,(\pi -\alpha)= -tan\,\alpha$

$cot\,(\pi -\alpha)= -cot\,\alpha$

c) Cung hơn kém $\pi $:$\alpha $ và $\alpha +\pi $

$sin\,(\alpha +\pi )= -sin\,\alpha$

$cos\,(\alpha +\pi )= -cos\,\alpha$

$tan\,(\alpha +\pi )= tan\,\alpha$

$cot\,(\alpha +\pi )= cot\,\alpha$

d) Cung phụ nhau: $\alpha $ và $\left ( \frac{\pi }{2}-\alpha \right )$

$sin\,\left ( \frac{\pi }{2}-\alpha \right )=cos\,\alpha $

$cos\,\left ( \frac{\pi }{2}-\alpha \right )=sin\,\alpha $

$tan\,\left ( \frac{\pi }{2}-\alpha \right )=cot\,\alpha $

$cot\,\left ( \frac{\pi }{2}-\alpha \right )=tan\,\alpha $

Dưới đây là phần Hướng dẫn trả lời các câu hỏi và bài tập trong phần hoạt động của học sinh sgk Đại số 10.

Câu hỏi

1. Trả lời câu hỏi 1 trang 141 sgk Đại số 10

Nhắc lại khái niệm giá trị lượng giác của góc $α$, 0^o ≤ α ≤ 180^o.

Ta có thể mở rộng khái niệm giá trị lượng giác cho các cung và góc lượng giác.

Trả lời:

Các số sin⁡α; cos⁡α; tan⁡α; cot⁡α được gọi là giá trị lượng giác của góc α, với 0^o ≤ α ≤ 180^o.

2. Trả lời câu hỏi 2 trang 142 sgk Đại số 10

Tính: $\sin {{25\pi } \over 4};\,\cos ( – {240^0});\,tan( – {405^0})$

Trả lời:

Ta có:

$\eqalign{
& \sin {{25\pi } \over 4} = \sin (6\pi + {\pi \over 4}) = \sin {\pi \over 4} = {{\sqrt 2 } \over 2} \cr
& \cos ( – {240^0}) = \cos ( – {180^0} – {60^0}) = \cos ( – {60^0}) = \cos {60^0} = {1 \over 2} \cr
& tan( – {405^0}) = tan( – {360^0} – {45^0}) = – \tan {45^0} = – 1 \cr} $

3. Trả lời câu hỏi 3 trang 143 sgk Đại số 10

Từ định nghĩa của $sinα$ và $cosα$, hãy phát biểu ý nghĩa hình học của chúng.

Trả lời:

Ta có:

♦ sinα được biểu diễn bởi độ dài đại số của vectơ $(OK)$ trên trục $Oy$. Trục $Oy$ là trục sin.

♦ cosα được biểu diễn bởi độ dài đại số của vectơ $(OH)$ trên trục $Ox$. Trục $Oy$ là trục cos.

4. Trả lời câu hỏi 4 trang 145 sgk Đại số 10

Từ ý nghĩa hình học của $tanα$ và $cotα$ hãy suy ra với mọi số nguyên $k$, $tan(α + kπ) = tanα$, $cot(α + kπ) = cotα$.

Trả lời:

– Khi $β = α + kπ$ thì điểm cuối của góc $β$ sẽ trùng với điểm $T$ trên trục tan.

Do đó: $tan(α + kπ) = tanα.$

– Khi $β = α + kπ$ thì điểm cuối của góc $β$ sẽ trùng với điểm $S$ trên trục cot.

Do đó: $cot(α + kπ) = cotα.$

5. Trả lời câu hỏi 5 trang 145 sgk Đại số 10

Từ định nghĩa của $sinα, cosα$. Hãy chứng minh hằng đẳng thức đầu tiên, từ đó suy ra các hằng đẳng thức còn lại.

Trả lời:

Ta có: $sinα = (OK); cosα = (OH)$

Do tam giác $OMK$ vuông tại $K$ nên:

sin² α + cos² α = OK² + OH² = OK² + MK² = OM² = 1.

Vậy sin² α + cos² α = 1.

Do đó suy ra:

$\eqalign{
& 1 + {\tan ^2}\alpha = 1 + {{{{\sin }^2}\alpha } \over {{{\cos }^2}\alpha }} = {{{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha } \over {{{\cos }^2}\alpha }} = {1 \over {{{\cos }^2}\alpha }} \cr
& 1 + {\cot ^2}\alpha = 1 + {{{{\cos }^2}\alpha } \over {{{\sin }^2}\alpha }} = {{{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha } \over {{{\sin }^2}\alpha }} = {1 \over {{{\sin }^2}\alpha }} \cr
& \tan \alpha .\cot \alpha = {{\sin \alpha } \over {\cos \alpha }}.{{\cos \alpha } \over {\sin \alpha }} = 1 \cr} $

6. Trả lời câu hỏi 6 trang 148 sgk Đại số 10

Tính: $\cos {{ – 11\pi } \over 4};\,\tan {{31\pi } \over 6};\,\sin ( – {1380^0})$

Trả lời:

Ta có:

$\eqalign{
& \cos {{ – 11\pi } \over 4} = \cos ( – 2\pi – {{3\pi } \over 4}) = \cos ( – {{3\pi } \over 4}) = \cos ({{3\pi } \over 4}) = {{ – \sqrt 2 } \over 2} \cr
& \tan {{31\pi } \over 6} = \tan (4\pi + \pi + {\pi \over 6}) = \tan {\pi \over 6} = {{\sqrt 3 } \over 3} \cr
& \sin ( – {1380^0}) = sin( – {4.360^0} + {60^0}) = \sin {60^0} = {{\sqrt 3 } \over 2} \cr} $

Dưới đây là phần Hướng dẫn giải bài 1 2 3 4 5 trang 148 sgk Đại số 10. Các bạn hãy đọc kỹ đầu bài trước khi giải nhé!

Bài tập

Giaibaisgk.com giới thiệu với các bạn đầy đủ phương pháp giải bài tập phần đại số 10 kèm bài giải chi tiết bài 1 2 3 4 5 trang 148 sgk Đại số 10 của Bài §2. Giá trị lượng giác của một cung trong Chương VI – Cung và góc lượng giác. Công thức lượng giác cho các bạn tham khảo. Nội dung chi tiết bài giải từng bài tập các bạn xem dưới đây:

Giải bài 1 2 3 4 5 trang 148 sgk Đại số 10

1. Giải bài 1 trang 148 sgk Đại số 10

Có cung $α$ nào mà $\sinα$ nhận các giá trị tương ứng sau đây không?

a) $-0,7$	b) $ \frac{4}{3}$
c) $-\sqrt2$	d)$ \frac{\sqrt{5}}{2}$

Bài giải:

Ta có $-1 ≤ sin\,\alpha ≤1$

a) Ta thấy $-1 ≤ -0,7 ≤ 1$

Vậy có cung $α$ sao cho $sin α = -0,7$

b) Ta thấy $ \frac{4}{3}> 1$.

Vậy không tồn tại cung $\alpha $ thỏa mãn.

c) Ta thấy $-\sqrt2 < -1$

Vậy không tồn tại cung $\alpha $ thỏa mãn.

d) Ta thấy $ \frac{\sqrt{5}}{2} > 1$

Vậy không tồn tại cung $\alpha $ thỏa mãn.

2. Giải bài 2 trang 148 sgk Đại số 10

Các đẳng thức sau có thể đồng thời xảy ra không?

a) $\sin α = \frac{\sqrt{2}}{3}$ và $\cos α = \frac{\sqrt{3}}{3}$;

b) $\sinα = -\frac{4}{5}$ và $\cosα = -\frac{3}{5}$

c) $\sinα = 0,7$ và $\cosα = 0,3$

Bài giải:

Ta có: $sin^2\alpha + cos^2\alpha =1$

a) Ta thấy:

$ sin^2\alpha + cos^2\alpha =\left ( \frac{\sqrt{2}}{3} \right )^{2} +\left ( \frac{\sqrt{3}}{3} \right )^{2}< 1$

Vậy đẳng thức không thể đồng thời xảy ra.

b) Ta thấy:

$sin^2\alpha + cos^2\alpha = \left ( -\frac{4}{5} \right )^{2}+\left ( -\frac{3}{5} \right )^{2} = 1$

Vậy đẳng thức có thể đồng thời xảy ra.

c) Ta thấy:

$sin^2\alpha + cos^2\alpha =(0,7)^2+(0,3)^2=0,58<1$

Vậy đẳng thức không thể đồng thời xảy ra.

3. Giải bài 3 trang 148 sgk Đại số 10

Cho $0 < α < \frac{\pi }{2}$. Xác định dấu của các giá trị lượng giác

a) $\sin(α – π)$	b) $\cos\left( \frac{3\pi }{2}- α\right)$
c) $\tan(α + π)$	d) $\cot\left(α + \frac{\pi }{2}\right)$

Bài giải:

Với $0 < α < \frac{\pi}{2}$

a) Ta có $\alpha – \pi <0 \Rightarrow \sin(α – π) < 0$

b) Đặt $x=\frac{3\pi }{2}-\alpha \Leftrightarrow \alpha =\frac{3\pi }{2}-x$

Ta lại có:

$0 < α < \frac{\pi}{2}\Rightarrow 0<\frac{3\pi }{2}-x<\frac{\pi}{2}\Rightarrow \pi <x<\frac{3\pi }{2}$

$\Rightarrow x $ là số đo của $\overparen{AM} $

Vậy M thuộc góc phần tư thứ III.

$\Rightarrow \cos\left( \frac{3\pi }{2}- α\right)< 0$

c) $\tan(α + π) =tan \alpha > 0$

d) Đặt $x=\alpha + \frac{\pi }{2}\Rightarrow \alpha = x – \frac{\pi }{2}$

Ta lại có

$0 < α < \frac{\pi}{2}\Rightarrow 0 < x – \frac{\pi }{2} < \frac{\pi}{2}\Leftrightarrow \frac{\pi }{2}<x<\pi$

$\Rightarrow x $ là số đo của $\overparen{AM} $

Vậy M thuộc góc phần tư thứ II.

$\Rightarrow \cot\left(α + \frac{\pi }{2}\right) < 0$

4. Giải bài 4 trang 148 sgk Đại số 10

Tính các giá trị lượng giác của góc $α$, nếu:

a) $\cosα = \frac{4}{13}$ và $0 < α < \frac{\pi }{2}$;

b) $\sinα = -0,7$ và $π < α < \frac{3\pi }{2}$;

c) $\tan α = -\frac{15}{7}$ và $ \frac{\pi }{2} < α < π$;

d) $\cotα = -3$ và $ \frac{3\pi }{2} < α < 2π$.

Bài giải:

a) Vì $0 < α < \frac{\pi}{2}$ nên $\sinα > 0, \tanα > 0, \cotα > 0$

$\sinα = \sqrt{1-(\frac{4}{13})^{2}}=\frac{\sqrt{153}}{13}=\frac{3\sqrt{17}}{13}$

$\cotα = \left ( \frac{4}{13} \right )\div \frac{3\sqrt{17}}{13}=\frac{4\sqrt{17}}{51}$

$\tanα =\frac{1}{cot\,\alpha}= \frac{3\sqrt{17}}{4}$

b) Vì $π < α < \frac{3\pi }{2}$ nên $\sinα < 0, \cosα < 0, \tanα > 0, \cotα > 0$

$\cosα = -\sqrt{(1 – sin^2 α)} = -\sqrt{(1 – 0,49) }= -\sqrt{0,51} ≈ -0,7141$

$\tanα ≈ 0,9802$

$\cotα ≈ 1,0202$

c) Vì $ \frac{\pi }{2} < α < π$ nên $\sinα > 0, \cosα < 0, \tanα < 0, \cotα < 0 $

$\cosα = -\sqrt{\frac{1}{1+tan^{2}\alpha }}=-\sqrt{\frac{1}{1+(\frac{15}{7})^{2}}}=-\frac{7}{274}≈ -0,4229$

$\sinα = \sqrt{\frac{1}{1+cot^{2}\alpha }}=\sqrt{\frac{1}{1+(\frac{7}{15})^{2}}}=\frac{15}{\sqrt{274}}≈0,9062$

$\cotα = – \frac{7}{15}$

d) Vì $ \frac{3\pi}{2} < α < 2π$ nên $\sinα < 0, \cosα > 0, \tanα < 0, \cotα < 0$

$\tanα = \frac{1}{\cot\alpha }=-\frac{1}{3}$

$\sinα = -\sqrt{\frac{1}{1+cot^{2}\alpha }}=-\sqrt{\frac{1}{10}}≈-0,3162$

$\cosα = \sqrt{\frac{1}{1+tan^{2}\alpha }}=\sqrt{\frac{1}{1+(\frac{1}{3}^{2})}}=\frac{3}{\sqrt{10}}≈0,9487$

5. Giải bài 5 trang 148 sgk Đại số 10

Tính $α$, biết:

a) $\cosα = 1$	b) $\cosα = -1$
c) $\cosα = 0$	d) $\sinα = 1$
e) $\sinα = -1$	f) $\sinα = 0$

Bài giải:

Ta có:

a) $\cosα = 1$ ⇒ $α = k2π, k \in \mathbb Z$

b) $\cosα = -1$ ⇒ $α = (2k + 1)π, k \in \mathbb Z$

c) $\cosα = 0$ ⇒ $α = \frac{\pi}{2}+ kπ, k \in\mathbb Z$

d) $\sinα = 1$ ⇒ $α = \frac{\pi }{2} + k2π, k\in \mathbb Z$

e) $\sinα = -1$ ⇒ $α = \frac{3\pi }{2}+ k2π, k \in\mathbb Z$

f) $\sinα = 0$ ⇒ $α = kπ, k \in\mathbb Z$

Bài trước:

Giải bài 1 2 3 4 5 6 7 trang 140 sgk Đại số 10

Bài tiếp theo:

Giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 trang 153 154 155 sgk Đại số 10

Xem thêm:

Chúc các bạn làm bài tốt cùng giải bài tập sgk toán lớp 10 với giải bài 1 2 3 4 5 trang 148 sgk Đại số 10!

“Bài tập nào khó đã có giaibaisgk.com“

a) \(-0,7\)	b) \( \frac{4}{3}\)
c) \(-\sqrt2\)	d)\( \frac{\sqrt{5}}{2}\)

a) \(\sin(α – π)\)	b) \(\cos\left( \frac{3\pi }{2}- α\right)\)
c) \(\tan(α + π)\)	d) \(\cot\left(α + \frac{\pi }{2}\right)\)

a) \(\cosα = 1\)	b) \(\cosα = -1\)
c) \(\cosα = 0\)	d) \(\sinα = 1\)
e) \(\sinα = -1\)	f) \(\sinα = 0\)