Hướng dẫn Giải bài 1 2 3 4 5 trang 162 163 sgk Đại số và Giải tích 11

Nội Dung

Hướng dẫn giải Bài §2. Quy tắc tính đạo hàm, Chương V. Đạo hàm, sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11. Nội dung bài giải bài 1 2 3 4 5 trang 162 163 sgk Đại số và Giải tích 11 bao gồm tổng hợp công thức, lý thuyết, phương pháp giải bài tập đại số và giải tích có trong SGK để giúp các em học sinh học tốt môn toán lớp 11.

Lý thuyết

1. Đạo hàm của một số hàm số thường gặp

– Định lí 1:

Hàm số $y = {x^n}(n \in \mathbb{N},n > 1$) có đạo hàm với mọi $x \in\mathbb{R}$ và: ${\left( {{x^n}} \right)’} = n{x^{n – 1}}.$

Nhận xét:

a) Đạo hàm của hàm hằng bằng 0: (c)’=0.

b) Đạo hàm của hàm số $y= x$ bằng 1:(x)’=1.

– Định lí 2:

Hàm số $y= \sqrt x$ có đạo hàm với mọi x dương và: $\left( {\sqrt x } \right)’ = \frac{1}{{2\sqrt x }}.$

2. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương

– Định lí 3:

Giả sử $u = u\left( x \right)$ và $v = v\left( x \right)$ là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. Ta có:

${\left( {u + v} \right)’} = {u’} + {v’}$

${\left( {u – v} \right)’} = {u’} – {v’}$

${\left( {u.v} \right)’} = {u’}.v + u.{v’}$

$\left ( \frac{u}{v} \right )’=\frac{u’v-uv’}{v^2},(v(x) \ne 0)$

Mở rộng:

$({u_1} + {u_2} + … + {u_n})’ = {u_1}’ + {u_2}’ + … + {u_n}’.$

– Hệ quả 1: Nếu k là một hằng số thì: $(ku)’=ku’.$

– Hệ quả 2:

${\left( {\frac{1}{v}} \right)’} = – \frac{{ – v’}}{{{v^2}}}$ , $(v(x)\ne 0)$

$(u.v.{\rm{w}})’ = u’.v.{\rm{w}} + u.v’.{\rm{w}} + u.v.{\rm{w}}’$

3. Đạo hàm của hàm hợp

– Định lí 4:

Cho hàm số $y=f(u)$ với $u=u(x)$ thì ta có: $y’_u=y’_u.u’_x.$

– Hệ quả:

$({u^n}) = n.{u^{n – 1}}.u’,n \in \mathbb{N}^*.$

$\left( {\sqrt u } \right)’ = \frac{{u’}}{{2\sqrt u }}.$

– Bảng tóm tắt:

Dưới đây là phần Hướng dẫn trả lời các câu hỏi và bài tập trong phần hoạt động của học sinh sgk Đại số và Giải tích 11.

Câu hỏi

1. Trả lời câu hỏi 1 trang 157 sgk Đại số và Giải tích 11

Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số $y = x^3$ tại điểm $x$ tùy ý.

Dự đoán đạo hàm của hàm số $y = {x^{100}}$ tại điểm $x$.

Trả lời:

Giả sử $Δx$ là số gia của đối số tại $x_0$ bất kỳ. Ta có:

$\eqalign{
& \Delta y = f({x_0} + \Delta x) – f({x_0}) \cr
& = {({x_0} + \Delta x)^3} – {x_0}^3 = 3{x_0}^2\Delta x + 3{x_0}{(\Delta x)^2} + {(\Delta x)^3} \cr
& \Rightarrow y'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{\Delta y} \over {\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} (3{x_0}^2 + 3{x_0}\Delta x + {(\Delta x)^2}) = 3{x_0}^2 \cr} $

Dự đoán đạo hàm của $y = {x^{100}}$ tại điểm $x$ là $y = 100{x^{99}}$

2. Trả lời câu hỏi 2 trang 158 sgk Đại số và Giải tích 11

Chứng minh khẳng định trong nhận xét trên.

a) Đạo hàm của hàm hằng bằng $0: (c)’ = 0.$

b) Đạo hàm của hàm số $y = x$ bằng $1: (x)’ = 1.$

Trả lời:

a) Hàm hằng $⇒ Δy = 0$

$ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{\Delta y} \over {\Delta x}} = 0$

b) Theo định lí 1

$y = x$ hay y = x¹ ⇒ y’= (x¹)’= 1. x^1-1 = 1. x^o = 1.1 =1

3. Trả lời câu hỏi 3 trang 158 sgk Đại số và Giải tích 11

Có thể trả lời ngay được không, nếu yêu cầu tính đạo hàm của hàm số $f(x) = √x$ tại $x = – 3; x = 4$?

Trả lời:

$x = – 3 < 0$ nên $f(x)$ không có đạo hàm tại $x = – 3$

$x = 4$, đạo hàm của $f(x)$ là:

${1 \over {2\sqrt 4 }} = {1 \over 4}$

4. Trả lời câu hỏi 4 trang 159 sgk Đại số và Giải tích 11

Áp dụng các công thức trong Định lí 3, hãy tính đạo hàm của các hàm số

$y = 5{x^3} – 2{x^5}$; $y = – {x^3}\sqrt x $

Trả lời:

Hàm số: y = 5x³ – 2x⁵;

⇒ y’ = (5x³ – 2x⁵ )’ = (5x³ )’ – (2x⁵ )’

= (5′.x³ + 5(x³ )’ )-(2′.x⁵ + 2.(x⁵ )’)

= (0.x³ + 5.3x² )-(0.x⁵ + 2.5x⁴ )

= (0 + 15x² )-(0 + 10x⁴ )

= 15x² – 10x⁴

Hàm số: y = -x³ √x.

⇒ y’ = (-x³√x)’

= (-x³ )’.√x + (-x³ ).(√x)’

= -3x².√x – x³ .1/(2√x)

5. Trả lời câu hỏi 5 trang 160 sgk Đại số và Giải tích 11

Hãy chứng minh các công thức trên và lấy ví dụ minh họa.

Trả lời:

Nếu $k$ là một hằng số thì $ (ku)’ = ku’$

Thật vậy, ta có: $(ku)’ = k’u + ku’ = 0.u + ku’ = ku’$ (do đạo hàm của hàm hằng bằng $0$)

Ví dụ: $\left( {3{x^2}} \right)’ = 3.\left( {{x^2}} \right)’ = 3.2x = 6x$

$\displaystyle \left( {{1 \over v}} \right)’ = -{{v’} \over {{v^2}}}\,(v = v(x) \ne 0)$

Thật vậy, ta có:

$\displaystyle \left( {{1 \over v}} \right)’ = {{1’v – 1.v’} \over {{v^2}}}\, = {{0.v – v’} \over {{v^2}}} = – {{v’} \over {{v^2}}}$

Ví dụ: $\left( {\dfrac{1}{{2x + 1}}} \right)’ = – \dfrac{{\left( {2x + 1} \right)’}}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}} = – \dfrac{2}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}$

6. Trả lời câu hỏi 6 trang 161 sgk Đại số và Giải tích 11

Hàm số $y = \sqrt {{x^2} + x + 1} $ là hàm hợp của hàm số nào ?

Trả lời:

Hàm số $y = \sqrt {{x^2} + x + 1} $ là hàm hợp của hàm số $y = \sqrt u \,( với u = {x^2} + x + 1)$

Dưới đây là phần Hướng dẫn giải bài 1 2 3 4 5 trang 162 163 sgk Đại số và Giải tích 11. Các bạn hãy đọc kỹ đầu bài trước khi giải nhé!

Bài tập

Giaibaisgk.com giới thiệu với các bạn đầy đủ phương pháp giải bài tập đại số và giải tích 11 kèm bài giải chi tiết bài 1 2 3 4 5 trang 162 163 sgk Đại số và Giải tích 11 của Bài §2. Quy tắc tính đạo hàm trong Chương V. Đạo hàm cho các bạn tham khảo. Nội dung chi tiết bài giải từng bài tập các bạn xem dưới đây:

Giải bài 1 2 3 4 5 trang 162 163 sgk Đại số và Giải tích 11

1. Giải bài 1 trang 162 sgk Đại số và Giải tích 11

Bằng định nghĩa, tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y = 7 + x – x^2$ tại $x_0 = 1$;

b) $y = x^3- 2x + 1$ tại $x_0= 2$.

Bài giải:

a) $y = 7 + x – x^2$ tại $x_0 = 1$

Giả sử $∆x$là số gia của đối số tại $x_0= 1$.

Ta có: $∆y = f(1 + ∆x) – f(1) $

$= 7 + (1 + ∆x) – (1 + ∆x)^2- (7 + 1 – 1^2) $

$= -(∆x)^2- ∆x$

$ \frac{\Delta y}{\Delta x} =\frac{-(∆x)^2- ∆x}{∆x}= – ∆x – 1$

$\mathop {\lim}\limits_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\mathop {\lim}\limits_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{- (∆x)^2 – ∆x}{\Delta x}$

$= \mathop{\lim}\limits_{\Delta x\rightarrow 0} (- ∆x – 1) = -1$.

Vậy $f'(1) = -1$.

b) $y = x^3- 2x + 1$ tại $x_0= 2$

Giả sử $∆x$ là số gia của số đối tại $x_0= 2$.

Ta có: $∆y = f(2 + ∆x) – f(2) $

$= (2 + ∆x)^3-2(2 + ∆x) + 1- (2^3- 2.2 + 1) $

$= (∆x)^3+ 6(∆x)^2+ 10∆x$;

$ \frac{\Delta y}{\Delta x} = (∆x)^2+ 6∆x + 10$;

$\mathop{ \lim}\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} =\mathop{\lim}\limits_{\Delta x\rightarrow 0}[(∆x)^2+ 6∆x + 10] = 10$.

Vậy $f'(2) = 10$.

2. Giải bài 2 trang 163 sgk Đại số và Giải tích 11

Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y = x^5- 4 x^3+ 2x – 3$;

b) $y = \frac{1}{4} – \frac{1}{3}x + x^2 – 0,5x^4$;

c) $y = \frac{x^{4}}{2}$ – $ \frac{2x^{3}}{3}$ + $ \frac{4x^{2}}{5} – 1$ ;

d) $y = 3x^5(8 – 3x^2)$.

Bài giải:

a) $y = x^5- 4 x^3+ 2x – 3$

$\Rightarrow y’ = 5x^4- 4.3x^2+ 2=5x^4- 12x^2+ 2$

b) $y = \frac{1}{4} – \frac{1}{3}x + x^2 – 0,5x^4$

$\Rightarrow y’ = – \frac{1}{3} + 2x – 0,5.4x^3 = – \frac{1}{3} + 2x – 2x^3$

c) $y = \frac{x^{4}}{2}- \frac{2x^{3}}{3}+ \frac{4x^{2}}{5} – 1$

$\Leftrightarrow y = \frac{1}{2}x^4 – \frac{2}{3}x^{3}+ \frac{4}{5}x^{2} – 1$

$\Rightarrow y’ = 4.\frac{1}{2}x^3- 3.\frac{2}{3}x^2+ 2.\frac{4}{5}x$

$\Rightarrow y’ = 2x^3- 2x^2+ \frac{8}{5}x$

d) $y = 3x^5(8 – 3x^2)$.

$\Leftrightarrow y = 24x^5- 9x^7$

$\Rightarrow y’ = 5.24x^4-9.7x^6=120x^4- 63x^6$.

3. Giải bài 3 trang 163 sgk Đại số và Giải tích 11

Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y = {({x^{7}} – 5{x^2})^3}$;

b) $y = ({x^2} + 1)(5 – 3{x^2})$;

c) $y = \frac{2x}{x^{2}-1}$;

d) $y = \frac{3-5x}{x^{2}-x+1}$;

e) $y = \left ( m+\frac{n}{x^{2}} \right )^{3}$ ($m, n$ là các hằng số).

Bài giải:

a) $y = {({x^{7}} – 5{x^2})^3}$

$y’ = 3.{({x^7} – 5{x^2})^2}.({x^7} – 5{x^2})’ $

$y’ = 3.{({x^{7}} – 5{x^2})^2}.(7{x^6} – 10x)$

$y’ = 3x^5.{({x^{5}} – 5)^2}(7{x^5} – 10)$

b) $y = ({x^2} + 1)(5 – 3{x^2})$

$y’ = 5{x^2} – 3{x^4} + 5 – 3{x^2} $

$y’ = – 3{x^4} + 2{x^2} + 5$

$y’ = – 12{x^3} + 4x = – 4x.(3{x^2} – 1)$.

c) $y = \frac{2x}{x^{2}-1}$

$y’ = \frac{\left ( 2x \right )’.\left ( x^{2}-1 \right )-2x\left ( x^{2}-1 \right )’}{\left ( x^{2}-1 \right )^{2}}$

$y’ = \frac{2.\left ( x^{2}-1 \right )-2x.2x}{\left ( x^{2}-1 \right )^{2}}$

$y’ = \frac{-2\left ( x^{2}+1 \right )}{\left ( x^{2}-1 \right )^{2}}$

d) $y = \frac{3-5x}{x^{2}-x+1}$

$y’ = \frac{\left ( 3-5x \right )’\left ( x^{2}-x+1 \right )-\left ( 3-5x \right ).\left ( x^{2}-x+1 \right )’}{\left ( x^{2}-x+1 \right )^{2}}$

$y’ = \frac{-5\left ( x^{2}-x+1 \right )-\left ( 3-5x \right ).\left ( 2x-1 \right )}{\left ( x^{2}-x+1 \right )^{2}}$

$y’ = \frac{-5x^2+5x-5-6x+3+10x^2-5x}{( x^{2}-x+1)^{2}}$

$y’ = \frac{5x^{2}-6x-2}{\left ( x^{2}-x+1 \right )^{2}}$.

e) $y = \left ( m+\frac{n}{x^{2}} \right )^{3}$ ($m, n$ là các hằng số)

$y’ = 3. \left ( m+\frac{n}{x^{2}} \right )^{2} . \left ( m+\frac{n}{x^{2}} \right )’$

$y’ =3. \left ( m+\frac{n}{x^{2}} \right )^{2} \left ( -\frac{2n}{x^{3}} \right )$

$y’ =- \frac{6n}{x^{3}} . \left ( m+\frac{n}{x^{2}} \right )^{2}$.

4. Giải bài 4 trang 163 sgk Đại số và Giải tích 11

Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y = x^2 – x\sqrt x + 1$;

b) $y = \sqrt {(2 – 5x – x^2)}$;

c) $y = \frac{x^{3}}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}$ ( $a$ là hằng số);

d) $y = \frac{1+x}{\sqrt{1-x}}$.

Bài giải:

a) $y = x^2 – x\sqrt x + 1$

$y’ = 2x-[x’\sqrt{x}+x(\sqrt{x})’]=2x – \left ( \sqrt{x}+x.\frac{1}{2\sqrt{x}} \right )= 2x – \frac{3}{2}\sqrt{x}$

b) $y = \sqrt {(2 – 5x – x^2)}$

$y’ =\frac{\left ( 2-5x-x^{2} \right )’}{2.\sqrt{2-5x-x^{2}}}= \frac{-5-2x}{2\sqrt{2-5x-x^{2}}}$

c) $y = \frac{x^{3}}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}$ ( $a$ là hằng số)

$y’ = \frac{( x^{3})’.\sqrt{a^{2}-x^{2}}-x^{3}.\left ( \sqrt{a^{2}-x^{2}} \right )}{a^{2}-x^{2}}$

$y’ = \frac{3x^{2}.\sqrt{a^{2}-x^{2}}-x^{3}.\frac{-2x}{2\sqrt{a^{2}-x^{2}}}}{a^{2}-x^{2}}$

$y’ =\frac{3x^{2}.\sqrt{a^{2}-x^{2}}+\frac{x^{4}}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}}{a^{2}-x^{2}}$

$y’ = \frac{x^{2}\left ( 3a^{2}-2x^{2} \right )}{\left ( a^{2} -x^{2}\right )\sqrt{a^{2}-x^{2}}}$

d) $y = \frac{1+x}{\sqrt{1-x}}$

$y’ = \frac{\left ( 1+x \right )’.\sqrt{1-x}-\left ( 1+x \right ).\left ( \sqrt{1-x} \right )’}{1-x}$

$y’ = \frac{\sqrt{1-x}-\left ( 1+x \right )\frac{-1}{2\sqrt{1-x}}}{1-x}$

$y’ =\frac{2\left ( 1-x \right )+1+x}{2\left ( 1-x \right )\sqrt{1-x}}$

$y’ =\frac{3-x}{2\left ( 1-x \right )\sqrt{1-x}}$

5. Giải bài 5 trang 163 sgk Đại số và Giải tích 11

Cho $y = x^3-3x^2+ 2$. Tìm $x$ để:

a) $y’ > 0$;

b) $y’ < 3$.

Bài giải:

Ta tính được $y’ = 3x^2- 6x$.

a) $y’ > 0 \Rightarrow 3x^2- 6x >0 \Leftrightarrow 3x(x – 2) > 0$

$\Leftrightarrow x-2$ cùng dấu với $3x$

Vậy $x>2$ hoặc $x<0$.

b) $y’ < 3 \Rightarrow 3x^2- 6x -3 < 0 \Leftrightarrow x^2- 2x -1 < 0$

$\Leftrightarrow 1-\sqrt 2 < x < 1+\sqrt 2$.

Vậy $x \in \left ( 1-\sqrt 2; 1+\sqrt 2 \right )$

Bài trước:

Giải bài 1 2 3 4 5 6 7 trang 156 157 sgk Đại số và Giải tích 11

Bài tiếp theo:

Giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 trang 168 169 sgk Đại số và Giải tích 11

Xem thêm:

Chúc các bạn làm bài tốt cùng giải bài tập sgk toán lớp 11 với giải bài 1 2 3 4 5 trang 162 163 sgk Đại số và Giải tích 11!

“Bài tập nào khó đã có giaibaisgk.com“