Hướng dẫn Giải bài 1 2 3 4 5 trang 82 83 sgk Đại số và Giải tích 11

Nội Dung

Hướng dẫn giải Bài §1. Phương pháp quy nạp toán học, Chương III. Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân, sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11. Nội dung bài giải bài 1 2 3 4 5 trang 82 83 sgk Đại số và Giải tích 11 bao gồm tổng hợp công thức, lý thuyết, phương pháp giải bài tập đại số và giải tích có trong SGK để giúp các em học sinh học tốt môn toán lớp 11.

Lý thuyết

Phương pháp quy nạp toán học

Để chứng minh một mệnh đề $P(n)$ là đúng với mọi $n \in \mathbb{N^*}$, ta thường dùng phương pháp quy nạp toán học, được tiến hành theo hai bước như sau:

– Bước 1 (bước cơ sở): Kiểm tra mệnh đề $P(n)$ đúng với $n = 1$.

– Bước 2 ( bước quy nạp): Giả thiết mệnh đề $P(n)$ đúng với một số tự nhiên bất kì $n = k, (k ≥ 1)$ (ta gọi là giả thiết quy nạp) và chứng minh rằng nó cũng đúng với $n = k + 1$.

Khi đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, ta kết luận mệnh đề $P(n)$ đùng với mọi $n \in \mathbb{N^*}$.

Trong trường hợp phải chứng minh một mệnh đề $P(n)$ đúng với mọi số tự nhiên $n ≥ p$ ($p$ là số tự nhiên) thì:

Ở bước 1, ta kiểm tra mệnh đề $P(n)$ đúng với $n = p$.

Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề $P(n)$ đúng với một số tự nhiên bất kì $n = k, (k ≥ p)$ và chứng minh rằng nó cũng đúng với $n = k + 1$.

Phép thử với một số hữu hạn số tự nhiên tuy không phải là chứng minh nhưng cho phép ta dự đoán được kết quả. Kết quả này chỉ là giá thuyết và để chứng minh ta có thể dùng phương pháp quy nạp toán học.

Một số bài toán thường gặp:

– Chứng minh các mệnh đề toán học liên quan đến lập luận lôgic.

– Chứng minh các đẳng thức, bất đẳng thức.

– Dự đoán kết quả và chứng minh.

Dưới đây là phần Hướng dẫn trả lời các câu hỏi và bài tập trong phần hoạt động của học sinh sgk Đại số và Giải tích 11.

Câu hỏi

1. Trả lời câu hỏi 1 trang 80 sgk Đại số và Giải tích 11

Xét hai mệnh đề chứa biến $P(n)$: “3ⁿ< $n + 100$” và $Q(n)$: “2ⁿ > nⁿ với $n ∈ N*$.

a) Với $n = 1, 2, 3, 4, 5$ thì $P(n), Q(n)$ đúng hay sai?

b) Với mọi $n ∈ N*$ thì $P(n), Q(n)$ đúng hay sai?

Trả lời:

a) Với $n = 1$thì $P\left( 1 \right):”{3^1} < 1 + 100”$ đúng, $Q\left( 1 \right):”{2^1} > 1”$ đúng.

Với $n = 2$ thì $P\left( 2 \right):”{3^2} < 2 + 100”$ đúng, $Q\left( 2 \right):”{2^2} > 2”$ đúng.

Với $n = 3$ thì $P\left( 3 \right):”{3^3} < 3 + 100”$ đúng, $Q\left( 3 \right):”{2^3} > 3”$ đúng.

Với $n = 4$ thì $P\left( 4 \right):”{3^4} < 4 + 100”$ đúng, $Q\left( 4 \right):”{2^4} > 4”$ đúng.

Với $n = 5$ thì $P\left( 5 \right):”{3^5} < 5 + 100”$ sai, $Q\left( 5 \right):”{2^5} > 5”$ đúng.

b) Với $P\left( n \right)$: Do với $n = 5$ thì $P\left( n \right)$ sai nên $P\left( n \right)$ không đúng với mọi $n \in {\mathbb{N}^*}$.

Với $Q\left( n \right)$: Quan sát ${2^n}$ ta thấy ${2^n}$ tăng rất nhanh so với $n$ nên ${2^n} > n$ với mọi $n \in {\mathbb{N}^*}$ hay $Q\left( n \right)$ đúng với $n \in {\mathbb{N}^*}$

2. Trả lời câu hỏi 2 trang 81 sgk Đại số và Giải tích 11

Chứng minh rằng với $n ∈ N*$ thì

$\displaystyle 1 + 2 + 3 + … + n = {{n(n + 1)} \over 2}$

Trả lời:

– Khi $n = 1, VT = 1$

$\displaystyle VP = {{1(1 + 1)} \over 2} = 1$

– Giả sử đẳng thức đúng với $n = k ≥ 1$, nghĩa là:

$\displaystyle{S_k} = 1 + 2 + 3 + … + k = {{k(k + 1)} \over 2}$

Ta phải chứng minh rằng đẳng thức cũng đúng với $n = k + 1$, tức là:

$\displaystyle {S_{k + 1}} = 1 + 2 + 3 + … + k + (k + 1)$ $\displaystyle = {{(k + 1)(k + 2)} \over 2}$

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có:

$\displaystyle{S_{k + 1}} = {S_k} + (k + 1) $ $\displaystyle = {{k(k + 1)} \over 2} + (k + 1)$

$\displaystyle = {{k(k + 1) + 2(k + 1)} \over 2}$ $\displaystyle ={{(k + 1)(k + 2)} \over 2}$

Vậy đẳng thức đúng với mọi n ∈ N*

3. Trả lời câu hỏi 3 trang 82 sgk Đại số và Giải tích 11

Cho hai số 3ⁿ và 8n với $n ∈ N*$.

a) So sánh 3ⁿ và 8n khi $n = 1, 2, 3, 4, 5$.

b) Dự đoán kết quả tổng quát và chứng minh bằng phương pháp quy nạp.

Trả lời:

a) Ta có: Với:

$n = 1 ⇒$ 3¹ $= 3 < 8 = 8.1$

$n = 2 ⇒$ 3² $= 9 < 16 = 8.2$

$n = 3 ⇒$ 3³ $= 27 > 24 = 8.3$

$n = 4 ⇒$ 3⁴ $= 81 > 32 = 8.4$

$n = 5 ⇒$ 3⁵ $= 243 > 40 = 8.5$

b) Dự đoán kết quả tổng quát: 3ⁿ > 8n với mọi $n ≥ 3$

– Với $n = 3$, bất đẳng thức đúng.

– Giả sử bất đẳng thức đúng với $n = k ≥ 3$, nghĩa là: 3^k $> 8k$

Ta phải chứng minh rằng bất đẳng thức cũng đúng với $n = k + 1$, tức là: 3^{(k + 1)} $> 8(k + 1)$

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có:

3^{(k + 1)} = 3^k.3 $> 8k.3 = 24k = 8k + 16k$

$k ≥ 3 ⇒ 16k ≥ 16.3 = 48 > 8$

Suy ra: 3^{(k + 1)} $> 8k + 8 = 8(k + 1)$

Vậy bất đẳng thức đúng với mọi $n ≥ 3.$

Dưới đây là phần Hướng dẫn giải bài 1 2 3 4 5 trang 82 83 sgk Đại số và Giải tích 11. Các bạn hãy đọc kỹ đầu bài trước khi giải nhé!

Bài tập

Giaibaisgk.com giới thiệu với các bạn đầy đủ phương pháp giải bài tập đại số và giải tích 11 kèm bài giải chi tiết bài 1 2 3 4 5 trang 82 83 sgk Đại số và Giải tích 11 của Bài §1. Phương pháp quy nạp toán học trong Chương III. Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân cho các bạn tham khảo. Nội dung chi tiết bài giải từng bài tập các bạn xem dưới đây:

Giải bài 1 2 3 4 5 trang 82 83 sgk Đại số và Giải tích 11

1. Giải bài 1 trang 82 sgk Đại số và Giải tích 11

Chứng minh rằng với n Є N^*, ta có đẳng thức:

a) $2 + 5+ 8+…. + 3n – 1 =$ $ \frac{n(3n+1)}{2}$;

b) $ \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+…+\frac{1}{2^{n}}=\frac{2^{n}-1}{2^{n}}$;

c) 1² + 2² + 3² +….+ n^{2 = $ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.}

Bài giải:

a) Giả sử đẳng thức a) đúng với $n = k ≥ 1,$

S_k= $2 + 5 + 8 + …+ 3k – 1 $= $ \frac{k(3k+1)}{2}$

Xét với $n = k + 1$, ta có:

S_k+1 $= 2 + 5 + 8 + ….+ 3k -1 + (3(k + 1) – 1) $= $ \frac{(k+1)(3(k+1)+1)}{2}$

S_k+1 = S_k + $3k + 2 = \frac{k(3k+1)}{2} + 3k + 2 $= $ \frac{3k^{2}+k+6k+4}{2}$

$=\frac{3(k^{2}+2k+1)+k+1}{2} = \frac{(k+1)(3(k+1)+1)}{2}$ (đpcm)

Theo phương pháp quy nạp ⇒ hệ thức đúng với mọi n Є N^*

b) Với $n = 1, 2$ về của hệ thức bằng nhau.

Đặt vế trái bằng S_n.

Giả sử $n = k ≥ 1$, tức là:

$ S_{k}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+…+\frac{1}{2^{k}}=\frac{2^{k}-1}{2^{k}}$

Xét với $n = k + 1$ ta có

$ S_{k+1}=S_{k}+\frac{1}{2^{k+1}}=\frac{2^{k}-1}{2^{k}}+\frac{1}{2^{k+1}}$

= $ \frac{2^{k+1}-2+1}{2^{k+1}}=\frac{2^{k+1}-1}{2^{k+1}}$ (đpcm)

⇒ hệ thức b) đúng với mọi n ε N^*

c) Với $n = 1$, vế trái bằng về phải. Đặt vế trái bằng S_n.

Giả sử hệ thức đúng với $n = k ≥ 1$, hay

S_k = 1² + 2² + 3² + …+ k² = $ \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$

Xét $n = k + 1$ ta có

S_k+1 = S_k + (k + 1)² = $ \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k+1)^{2}$ = (k + 1).$ \frac{k(2k+1)+6(k+1)}{6}$ = (k + 1)$ \frac{2k^{2}+k+6k+6}{6}$

$ =\frac{(k+1)(2k(k+2)+3)+3(k+2)}{6}=\frac{(k+1)(k+2)(2(k+1)+1)}{6}$ (đpcm)

⇒ hệ thức c) đúng với mọi n ε N^*

2. Giải bài 2 trang 82 sgk Đại số và Giải tích 11

Chứng minh rằng với n ε N^* ta luôn có:

a) n³ + 3n² $+ 5n$ chia hết cho $3$;

b) 4ⁿ $+ 15n – 1$ chia hết cho $9$;

c) n³ $+ 11n$ chia hết cho $6$.

Bài giải:

a) Đặt S_n = n³ + 3n² + 5n

Với $n = 1$ thì S₁ $= 9$ chia hết cho $3$

Giả sử với $n = k ≥ 1$, có S_k = (k³ + 3k² + 5k) $ \vdots$ $3$

Xét với $n = k + 1$

S_k+1 = (k + 1)³ + 3(k + 1)² + 5(k + 1)

= k³ + 3k² + 3k + 1 + 3k² + 6k + 3 + 5k + 5

= k³ + 3k² + 5k + 3k² + 9k + 9

hay S_k+1 = S_k + 3(k² + 3k + 3)

mà S_k $ \vdots$ 3, 3(k² + 3k + 3) $ \vdots$ 3 nên S_k+1 $ \vdots$ 3.

Vậy (n³ + 3n² + 5n) $ \vdots$ $3$ với mọi n ε N^{* .}

b) Đặt S_n = 4ⁿ $+ 15n – 1$

Với $n = 1$, thì S₁ $ \vdots$ $9$

Giả sử với $n = k ≥ 1$ có S_k= 4^k $+ 15k – 1$ chia hết cho $9$.

Xét với $n = k + 1$

S_k+1 = 4^{k + 1} + 15(k + 1) – 1

= 4(4^k + 15k – 1) – 45k + 18 = 4S_k – 9(5k – 2)

mà Sk $ \vdots$ 9 và 9(5k – 2) $ \vdots$ 9 ⇒ S_k+1 $ \vdots$ $9$

Vậy (4ⁿ + 15n – 1) $ \vdots$ 9 với mọi n ε N^*

c) Đặt S_n = n³ $+ 11n$

Với $n = 1$ thì S₁ $ \vdots$ $6$

Giả sử với $n = k ≥ 1$ có S_k= k³ + 11k $ \vdots$ $6$

Xét với $n = k + 1$ ta có:

S_k+1 = (k + 1)3 + 11(k + 1) = k³ + 3k + 3k + 1 + 11k + 11

= ( k³ + 11k) + 3(k² + k + 4) = S_k + 3(k² + k + 4)

mà S_k $ \vdots$ 6, mặt khác k² + k + 4 = k(k + 1) + 1 là số chẵn nên 3(k² + k + 4) $ \vdots$ 6

⇒ S_k+1 $ \vdots$ $6$

Vậy n³ $+ 11n$ chia hết cho 6 với mọi n ε N^*

3. Giải bài 3 trang 82 sgk Đại số và Giải tích 11

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n ≥ 2$, ta có các bất đẳng thức:

a) 3ⁿ > 3n + 1;

b) 2^{n + 1} > 2n + 3

Bài giải:

a) Với $n = 2$ ta thấy bất đẳng thức đúng

Giả sử bất đẳng thức đúng với $n = k ≥ 2$, hay 3^k > 3k + 1 (*)

Nhân hai vế của (*) với 3, ta được:

3^{k + 1} > 9k + 3 ⇔ 3^{k + 1} > 3k + 4 + 6k -1.

Vì 6k – 1 > 0 ⇒ 3^{k + 1} > 3k + 4 hay 3^{k + 1} > 3(k + 1) + 1.

⇒ bất đẳng thức đúng với n = k + 1.

Vậy 3ⁿ $> 3n + 1$ với mọi số tự nhiên $n ≥ 2.$

b) Ta thấy với $n = 2$ thì bất đẳng thức đúng

Giả sử bất đẳng thức đúng với $n = k ≥ 2$ hay 2^{k + 1} > 2k + 3 (**)

Nhân hai vế của bất đẳng thức (**) với 2, ta được:

2^{k + 2} > 4k + 6 <⇒ 2^{k + 2} > 2k +5 + 2k + 1.

Vì 2k + 1> 0 nên 2^{k + 2} > 2k + 5

Vậy 2^{n + 1} > 2n + 3 với mọi số tự nhiên n ≥ 2.

4. Giải bài 4 trang 83 sgk Đại số và Giải tích 11

Cho tổng $S_n=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+…+\frac{1}{n(n+1)}$với n ε N^{* .}

a) Tính $S_1, S_2, S_3$;

b) Dự đoán công thức tính tổng $S_n$ và chứng minh bằng quy nạp.

Bài giải:

a) Ta có: $S_1=\frac{1}{1.2}=\frac{1}{2}$

$S_2=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}=\frac{2}{3}$

$S_3=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}=\frac{3}{4}$

b) Từ câu a) ta dự đoán $S_n=\frac{n}{n+1} (1)$, với mọi n ε N^{* .}

Ta sẽ chứng minh đẳng thức (1) bằng phương pháp quy nạp

Theo a) ta thấy (1) đúng khi n = 1, n=2,n=3.

Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 1, tức là

$S_k=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+…+\frac{1}{k(k+1)}=\frac{k}{k+1}$ (2)

Ta phải chứng minh (1) đúng đến khi n = k + 1, tức là

$S_k+1=\frac{k+1}{k+2}$ (3)

Thật vậy ta có:

$S_{k+1}=\left [ \frac{1}{1.2}+ \frac{1}{2.3}+…+ \frac{1}{k.(k+1)} \right ]+ \frac{1}{(k+1)(k+2)}$

$=S_k+\frac{1}{(k+1)(k+2)}=\frac{k}{k+1}+\frac{1}{(k+1)(k+2)}= \frac{k^2+2k+1}{(k+1)(k+2)}$

$=\frac{k+1}{k+2}$

⇒ (3) đúng ⇒ (đpcm)

5. Giải bài 5 trang 83 sgk Đại số và Giải tích 11

Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi $n$ cạnh là $\frac{n(n-3)}{2}$

Bài giải:

♦ Cách 1:

Số đoạn thẳng (cả cạnh và đường chéo) trong một đa giác lồi n cạnh là $C_{n}^{2}$ đoạn thẳng. Suy ra số đường chéo của đa giác lồi có n cạnh là:

♦ Cách 2: Ta chứng minh khẳng định đúng với mọi $n \in{\mathbb N}^*$, $n ≥ 4$.

Với $n = 4$, ta có tứ giác nên nó có hai đường chéo.

Mặt khác thay $n = 4$ vào công thức, ta có số đường chéo của tứ giác theo công thức là: ${{4(4 – 3)} \over 2} = 2$

Vậy khẳng định đúng với $n= 4$.

Giả sử khẳng định đúng với $n = k ≥ 4$, tức là đa giác lồi $k$ cạnh có số đường chéo là ${{k(k – 3)} \over 2}$

Ta phải chứng minh khẳng định đúng với $n = k + 1$.Nghĩa là phải chứng minh đa giác lồi $k + 1$ cạnh có số đường chéo là ${{(k + 1)((k + 1) – 3)} \over 2}$Xét đa giác lồi $k + 1$ cạnhNối $A_1$ và $A_k$, ta được đa giác $k$ cạnh $A_1A_2…A_k$ có ${{k(k – 3)} \over 2}$ đường chéo (giả thiết quy nạp).
Nối $A_{k+1}$ với các đỉnh $A_1,A_2,…,A_{k-1}$, ta được thêm $k -2$ đường chéo, ngoài ra $A_1A_k$ cũng là một đường chéo.

Vậy số đường chéo của đa giác $k + 1$ cạnh là

${{k(k – 3)} \over 2}+ k – 2 + 1 ={{{k^2} – k – 2} \over 2} = {{(k + 1)((k + 1) – 3)} \over 2}$

Như vậy, khẳng định cũng đúng với đa giác $k + 1$ cạnh

Vậy bài toán đã được chứng minh.

Bài trước:

Ôn tập chương II: Giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 trang 76 77 78 sgk Đại số và Giải tích 11

Bài tiếp theo:

Giải bài 1 2 3 4 5 trang 92 sgk Đại số và Giải tích 11

Xem thêm:

Chúc các bạn làm bài tốt cùng giải bài tập sgk toán lớp 11 với giải bài 1 2 3 4 5 trang 82 83 sgk Đại số và Giải tích 11!

“Bài tập nào khó đã có giaibaisgk.com“