Giải bài 1 2 3 4 5 trang 88 sgk Hình học 10

Hướng dẫn giải Bài §3. Phương trình đường Elip, Chương III. Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng, sách giáo khoa Hình học 10. Nội dung bài giải bài 1 2 3 4 5 trang 88 sgk Hình học 10 bao gồm tổng hợp công thức, lý thuyết, phương pháp giải bài tập hình học có trong SGK để giúp các em học sinh học tốt môn toán lớp 10.


Lý thuyết

1. Định nghĩa đường elip

Trong mặt phẳng, cho hai điểm cố định \(F_1\) và \(F_2\)

Elip là tập hợp các điểm \(M\) sao cho tổng \(F_1M +F_2M = 2a\) không đổi.

Các điểm \(F_1\) và \(F_2\) gọi là tiêu điểm của elip.

Khoảng cách \(F_1F_2= 2c\) gọi là tiêu cự của elip.

2. Phương trình chính tắc của elip

Cho elip có tiêu điểm \(F_1\) và \(F_2\) chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) sao cho \(F_1(-c ; 0)\) và \(F_2(c ; 0)\). Khi đó người ta chứng minh được:

\(M(x ; y) \in\) elip \(\Rightarrow\frac{x^{2}}{a^{2}}\) + \(\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1\) (1)

trong đó: \(b^2= a^2– c^2\)

Phương trình (1) gọi là phương trình chính tắc của elip

3. Hình dạng của elip

Xét elip \((E)\) có phương trình (1):

a) Nếu điểm \(M(x; y)\) thuộc \((E)\) thì các điểm \(M_1(-x ; y) M_2(x ;- y)\) và \(M_3(-x ; -y)\) cũng thuộc \((E)\).

Vậy \((E)\) có các trục đối xứng là \(Ox, Oy\) và có tâm đối xứng là gốc \(O\).

b) Thay \(y = 0\) vào (1) ta có \(x = ±a\) suy ra \((E)\) cắt \(Ox\) tại hai điểm \(A_1(-a ; 0) A_2(a ;0)\).

Tương tự thay \(x = 0\) vào (1) ta được \(y = ±b\), vậy \((E)\) cắt \(Oy\) tại hai điểm \( B_1(0 ; -b) B_2(0 ;b)\).

Các điểm \(A_1, A_2, B_1, B_2\) gọi là các đỉnh của elip

Đoạn thẳng \(A_1A_2\) gọi là trục lớn, đoạn thẳng \(B_1,B_2\) gọi là trục nhỏ của elip.

4. Liên hệ giữa đường tròn và đường elip

Nếu tiêu cự của elip càng nhỏ thì $b$ càng gần $a$, tức là trục nhỏ của elip càng gần bằng trục lớn. Lúc đó elip có dạng gần như hình tròn.

Dưới đây là phần Hướng dẫn trả lời các câu hỏi và bài tập trong mục hoạt động của học sinh trên lớp sgk Hình học 10.


Câu hỏi

1. Trả lời câu hỏi 1 trang 85 sgk Hình học 10

Quan sát mặt nước trong cốc nước cầm nghiêng (h.3.18a). Hãy cho biết đường được đánh dấu bởi mũ tên có phải là đường tròn hay không ?

Trả lời:

Đường được đánh dấu bởi mũ tên không phải là đường tròn.


2. Trả lời câu hỏi 2 trang 85 sgk Hình học 10

Hãy cho biết bóng của một đường tròn trên một mặt phẳng (h.3.18b) có phải là một đường tròn hay không?

Trả lời:

Bóng của đường tròn trên mặt phẳng không phải là đường tròn.


3. Trả lời câu hỏi 3 trang 86 sgk Hình học 10

Trong phương trình (1) hãy giải thích vì sao ta luôn đặt được ${b^2} = {a^2} – {c^2}$

Trả lời:

Ta có: B1 $(b;0)$, B2 $(-b;0)$

\( \Rightarrow {B_2}{F_1} = {B_2}{F_2} = \sqrt {{b^2} + {c^2}} \)

Do B2 thuộc elip nên:

\(\eqalign{
& {B_2}{F_1} + {B_2}{F_2} = 2a \Rightarrow 2\sqrt {{b^2} + {c^2}} = 2a \cr
& \Rightarrow {b^2} + {c^2} = {a^2} \Leftrightarrow {b^2} = {a^2} – {c^2} \cr} \)


4. Trả lời câu hỏi 4 trang 87 sgk Hình học 10

Hãy xác định tọa độ các tiêu điểm và hình vẽ elip trong ví dụ trên.

Trả lời:

Ta có:

\(\eqalign{
& {{{x^2}} \over 9} + {{{y^2}} \over 1} = 1 \cr
& {a^2} = 9;\,{b^2}\, = 1 \Rightarrow c = \sqrt {{a^2} – {b^2}} = 2\sqrt 2 \cr
& \Rightarrow \left\{ \matrix{
{F_1}( – 2\sqrt 2 ;\,0) \hfill \cr
{F_2}(2\sqrt 2 ;\,0) \hfill \cr} \right. \cr} \)

Dưới đây là phần Hướng dẫn giải bài 1 2 3 4 5 trang 88 sgk Hình học 10. Các bạn hãy đọc kỹ đầu bài trước khi giải nhé!


Bài tập

Giaibaisgk.com giới thiệu với các bạn đầy đủ phương pháp giải bài tập hình học 10 kèm bài giải chi tiết bài 1 2 3 4 5 trang 88 sgk Hình học 10 của Bài §3. Phương trình đường Elip trong Chương III. Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng cho các bạn tham khảo. Nội dung chi tiết bài giải từng bài tập các bạn xem dưới đây:

Giải bài 1 2 3 4 5 trang 88 sgk Hình học 10
Giải bài 1 2 3 4 5 trang 88 sgk Hình học 10

1. Giải bài 1 trang 88 sgk Hình học 10

Xác đinh độ dài các trục, tọa độ tiêu điểm, tọa độ các đỉnh và vẽ các elip có phương trình sau:

a) \(\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9}= 1\)

b) \(4x^2+ 9y^2= 1\)

c) \(4x^2+ 9y^2= 36\)

Bài giải:

a) Ta có: \(a^2= 25 \Rightarrow a = 5\) độ dài trục lớn \(2a = 10\)

\( b^2= 9 \Rightarrow b = 3\) độ dài trục nhỏ \(2a = 6\)

\(c^2= a^2– b^2= 25 – 9 = 16 \Rightarrow c = 4\)

Vậy hai tiêu điểm là: \(F_1(-4 ; 0)\) và \(F_2(4 ; 0)\)

Tọa độ các đỉnh: \(A_1(-5; 0), A_2(5; 0), B_1(0; -3), B_2(0; 3)\).

b) Ta có:

\(4x^2+ 9y^2= 1\Leftrightarrow \frac{x^{2}}{\frac{1}{4}} + \frac{y^{2}}{\frac{1}{9}} = 1\)

\(a^2 =\frac{1}{4}\Rightarrow a = \frac{1}{2}\) \(\Rightarrow\) độ dài trục lớn \(2a = 1\)

\(b^2= \frac{1}{9}\Rightarrow b = \frac{1}{3}\) \(\Rightarrow\) độ dài trục nhỏ \(2b = \frac{2}{3}\)

\(c^2= a^2– b^2= \frac{1}{}4- \frac{1}{9} = \frac{5}{36}\Rightarrow c = \frac{\sqrt{5}}{6}\)

Vậy hai tiêu điểm là: \(F_1(-\frac{\sqrt{5}}{6} ; 0)\) và \(F_2(\frac{\sqrt{5}}{6} ; 0)\)

Tọa độ các đỉnh: \(A_1(-\frac{1}{2}; 0), A_2(\frac{1}{2}; 0),B_1(0; -\frac{1}{3} ), B_2(0; \frac{1}{3} )\).

c) Chia \(2\) vế của phương trình cho \(36\) ta được: \(\frac{x^{2}}{9}+ \frac{y^{2}}{4}= 1\)

Từ đây suy ra: \(2a = 6, 2b = 4, c = \sqrt5\)

Suy ra tọa độ hai tiêu điểm là: \(F_1(-\sqrt5 ; 0)\) và \(F_2(\sqrt5 ; 0)\)

Tọa độ các đỉnh là: \(A_1(-3; 0), A_2(3; 0), B_1(0; -2), B_2(0; 2)\).


2. Giải bài 2 trang 88 sgk Hình học 10

Lập phương trình chính tắc của elip, biết:

a) Độ dài trục lớn và trục nhỏ lần lươt là \(8\) và \(6\)

b) Độ dài trục lớn bằng \(10\) và tiêu cự bằng \(6\)

Bài giải:

Phương trình chính tắc của elip có dạng: \(\frac{x^{2}}{a^{2}}\) + \(\frac{y^{2}}{b^{2}}\) = 1

a) Ta có:

\(2a = 8 \Rightarrow a = 4 \Rightarrow a^2= 16\)

\(2b = 6 \Rightarrow b = 3 \Rightarrow b^2= 9\)

Vậy phương trình chính tắc của elip có dạng \(\frac{x^{2}}{16}\) + \(\frac{y^{2}}{9}\) = 1

b) Ta có: \(2a = 10 \Rightarrow a = 5 \Rightarrow a^2= 25\)

\(2c = 6 \Rightarrow c = 3 \Rightarrow c^2= 9\)

\(\Rightarrow b^2=a^2-c^2 \Rightarrow b^2= 25 – 9 = 16\)

Vậy phương trình chính tắc của elip có dạng \(\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16}= 1\)


3. Giải bài 3 trang 88 sgk Hình học 10

Lập phương trình chính tắc của elip trong các trường hợp sau:

a) Elip đi qua các điểm \(M(0; 3)\) và \(N( 3; \frac{-12}{5})\)

b) Elip có một tiêu điểm là \(F_1( -\sqrt3; 0)\) và điểm \(M(1; \frac{\sqrt{3}}{2})\) nằm trên elip.

Bài giải:

Phương trình chính tắc của elip có dạng: \(\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1\)

a) Elip đi qua \(M(0; 3)\) nên thay tọa độ $M$ vào phương trình elip ta có:

\(\frac{0^{2}}{a^{2}} + \frac{3^{2}}{b^{2}}= 1 \Rightarrow b^2= 9\)

Elip đi qua \(N( 3; \frac{-12}{5})\) nên thay tọa độ $N$ vào phương trình elip ta có:

\(\frac{3^{2}}{a^{2}} + \frac{\left(\frac{-12}{5}\right)^{2}}{9} = 1 \Rightarrow a^2= 25\)

Phương trình chính tắc của elip là: \(\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1\)

b) Ta có: \(c = \sqrt3 \Rightarrow c^2= 3\)

Elip đi qua điểm \(M(1; \frac{\sqrt{3}}{2})\) nên thay tọa đọ $M$ vào phương trình elip ta có:

\(\frac{1}{a^{2}} + \frac{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}{b^{2}}= 1 \Rightarrow \frac{1}{a^{2}}+ \frac{3}{4b^{2}}= 1\) (1)

Mặt khác: \( c^2=a^2-b^2\)

\(\Rightarrow 3 = a^2-b^2\Rightarrow a^2=b^2 + 3\)

Thế vào (1) ta được : \(\frac{1}{b^{2}+ 3} + \frac{3}{4b^{2}} = 1\)

\(\Rightarrow a^2= 4b^2+ 5b^2- 9 = 0 \)

\(\Rightarrow b^2 =1\) hoặc \( b^2= \frac{-9}{4}\)( loại)

Với \( b^2= 1\Rightarrow a^2= 4\)

Phương trình chính tắc của elip là: \(\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{1}= 1\)


4. Giải bài 4 trang 88 sgk Hình học 10

Để cắt một bảng hiệu quảng cáo hình elip có các trục lớn là \(80cm\) và trục nhỏ là \(40 cm\) từ một tấm ván ép hình chữ nhật có kích thước \(80cm \times 40cm\), người ta vẽ một hình elip lên tấm ván như hình 3.19. Hỏi phải ghim hai cái đinh cách các mép tấm ván ép bao nhiêu và lấy vòng dây có độ dài là bao nhiêu?

Bài giải:

Ta có: \(2a = 80 \Rightarrow a = 40\)

\(2b = 40\Rightarrow b = 20\)

\( c^2= a^2– b^2= 1200 \Rightarrow c = 20\sqrt 3\)

Phải đóng đinh tại các điểm \(F_1, F_2\) và cách mép ván.

\(F_2A_2 = OA_2 – OF_2= 40 – 20\sqrt3\)

\(\Rightarrow F_2A = 20(2 – \sqrt3) ≈ 5,4cm\)

Chu vi vòng dây bằng: \(F_1F_2+ 2a = 40\sqrt 3 + 80\)

\(\Rightarrow F_1F_2+2a = 40(2 + \sqrt 3)\)

\( F_1F_2+ 2a ≈ 149,3cm\)


5. Giải bài 5 trang 88 sgk Hình học 10

Cho hai đường tròn \({C_1}({F_1};{R_1})\) và \({C_2}({F_2};{R_2})\). \(C_1\) nằm trong \(C_2\) và \(F_1≠ F_2\). Đường tròn \((C)\) thay đổi luôn tiếp xúc ngoài với \(C_1\) và tiếp xúc trong với \(C_2\).Hãy chứng tỏ rằng tâm \(M\) của đường tròn \((C)\) di động trên một elip.

Bài giải:

Gọi \(R\) là bán kính của đường tròn \((C)\).

Vì \((C)\) và \(C_1\) tiếp xúc ngoài với nhau, cho ta:

\(MF_1= R_1+ R\) (1)

Vì \((C)\) và \(C_2\) tiếp xúc trong với nhau, cho ta:

\(MF_2= R_2- R\) (2)

Từ (1) và (2) ta được:

\(M{F_1} + M{F_2} = {R_1} + {R_2} = R\) không đổi.

Điểm M có tổng các khoảng cách \(M{F_1} + M{F_2} \) đến hai điểm cố định \(F_1\) và \(F_2\) bằng một độ dài không đổi \({R_1} + {R_2}\).

Vậy tập hợp điểm \(M\) là đường elip, có các tiêu điểm \(F_1\) và \(F_2\) và có tiêu cự \(F_1F_2= R_1+R_2\).


Bài trước:

Bài tiếp theo:


Xem thêm:

Chúc các bạn làm bài tốt cùng giải bài tập sgk toán lớp 10 với giải bài 1 2 3 4 5 trang 88 sgk Hình học 10!


“Bài tập nào khó đã có giaibaisgk.com