Hướng dẫn Giải bài 1 2 3 4 5 6 trang 83 84 sgk Hình học 10

Nội Dung

Hướng dẫn giải Bài §2. Phương trình đường tròn, Chương III. Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng, sách giáo khoa Hình học 10. Nội dung bài giải bài 1 2 3 4 5 6 trang 83 84 sgk Hình học 10 bao gồm tổng hợp công thức, lý thuyết, phương pháp giải bài tập hình học có trong SGK để giúp các em học sinh học tốt môn toán lớp 10.

Lý thuyết

1. Phương trình đường tròn có tâm và bán kính cho trước

Phương trình đường tròn có tâm $I(a; b)\,\ $ bán kính $R$ là:

${(x – a)^2} + {(y – b)^2} = {R^2}$

2. Nhận xét

Phương trình đường tròn ${(x – a)^2} + {(y – b)^2} = {R^2}$ có thể được viết dưới dạng:

$${x^2} + {y^2} – 2ax – 2by + c = 0$$

trong đó $c = {a^2} + {b^2} + {R^2}$

Ngược lại, phương trình ${x^2} + {y^2} – 2ax – 2by + c = 0$ là phương trình của đường tròn $(C)$ khi và chỉ khi ${a^2} + {b^2}-c>0$. Khi đó đường tròn $(C)$ có tâm $I(a; b)$ và bán kính $R = \sqrt{a^{2}+b^{2} – c}$

3. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Cho điểm ${M_0}({x_0};{y_0})$ nằm trên đường tròn $(C)$ tâm $I(a; b)$. Gọi $∆$ là tiếp tuyến với $(C)$ tại $M_0$.

Ta có $M_0$ thuộc $∆$ và vectơ $\vec{IM_{0}}=({x_0} – a;{y_0} – b)$ là vectơ pháp tuyến cuả $ ∆$.

Do đó $∆$ có phương trình là : $({x_0} – a)(x – {x_0}) + ({y_0} – b)(y – {y_0}) = 0\,\ (1)$

Phương trình (1) là phương trình tiếp tuyến của đường tròn ${(x – a)^2} + {(y – b)^2} = {R^2}$ tại điểm $M_0$ nằm trên đường tròn.

Dưới đây là phần Hướng dẫn trả lời các câu hỏi và bài tập trong mục hoạt động của học sinh trên lớp sgk Hình học 10.

Câu hỏi

1. Trả lời câu hỏi 1 trang 82 sgk Hình học 10

Cho hai điểm $A(3; -4)$ và$ B(-3; 4)$.

Viết phương trình đường tròn $(C)$ nhận $AB$ là đường kính.

Trả lời:

Gọi $I$ là đường tròn nhận $AB$ là đường kính

⇒ $I$ là trung điểm của $AB ⇒ I(0; 0)$

⇒ $AB= \sqrt{(-3-3)^2+(4+4)^2} =10$

⇒ $R = \frac{AB}{2} = 5$

Phương trình đường tròn $(C)$ nhận $AB$ là đường kính là:

$x^2 + y^2 = 25$

2. Trả lời câu hỏi 2 trang 82 sgk Hình học 10

Hãy cho biết phương trình nào trong các phương trình sau đây là phương trình đường tròn:

$2x^2 + y^2 – 8x + 2y – 1 = 0;$

$x^2 + y^2 + 2x – 4y – 4 = 0;$

$x^2 + y^2 – 2x – 6y + 20 = 0;$

$x^2 + y^2 + 6x + 2y + 10 = 0.$

Trả lời:

– Phương trình: $2x^2 + y^2 – 8x + 2y – 1 = 0$ có:

$a = 4; b = -1; c = -1$ ⇒$ a^2 + b^2 – c = 18 > 0$

⇒ phương trình trên là phương trình đường tròn.

– Phương trình: $x^2 + y^2 + 2x – 4y – 4 = 0$ có:

$a = -1; b = 2; c = -4$ ⇒$ a^2 + b^2 – c = 9 > 0$

⇒ phương trình trên là phương trình đường tròn.

– Phương trình: $x^2 + y^2 – 2x – 6y + 20 = 0$ có:

$a = 1; b = 3; c = 20$ ⇒$ a^2 + b^2 – c = -10 < 0$

⇒ phương trình trên không là phương trình đường tròn.

– Phương trình: $x^2 + y^2 + 6x + 2y + 10 = 0$ có:

$a = -3; b = -1; c = 10$ ⇒$ a^2 + b^2 – c = 0$

⇒ phương trình trên không là phương trình đường tròn.

Dưới đây là phần Hướng dẫn giải bài 1 2 3 4 5 6 trang 83 84 sgk Hình học 10. Các bạn hãy đọc kỹ đầu bài trước khi giải nhé!

Bài tập

Giaibaisgk.com giới thiệu với các bạn đầy đủ phương pháp giải bài tập hình học 10 kèm bài giải chi tiết bài 1 2 3 4 5 6 trang 83 84 sgk Hình học 10 của Bài §2. Phương trình đường tròn trong Chương III. Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng cho các bạn tham khảo. Nội dung chi tiết bài giải từng bài tập các bạn xem dưới đây:

Giải bài 1 2 3 4 5 6 trang 83 84 sgk Hình học 10

1. Giải bài 1 trang 83 sgk Hình học 10

Tìm tâm và bán kính của các đường tròn sau:

a) ${x^2} + {\rm{ }}{y^2} – 2x-2y – 2{\rm{ }} = 0$

b) $16{x^2} + {\rm{ }}16{y^2} + {\rm{ }}16x{\rm{ }}-{\rm{ }}8y{\rm{ }}-{\rm{ }}11{\rm{ }} = {\rm{ }}0$

c) ${x^{2}} + {\rm{ }}{y^{2}} – {\rm{ }}4x{\rm{ }} + {\rm{ }}6y{\rm{ }}-{\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0.$

Bài giải:

a) Với đường tròn có phương trình: ${x^2} + {\rm{ }}{y^2} – 2x-2y – 2{\rm{ }} = 0$

Ta có:

$-2a = -2 \Rightarrow a = 1$

$-2b = -2 \Rightarrow b = 1 $

⇒ Tọa độ tâm $I$ là: $I(1; 1)$.

Bán kính $R$ là: ${R^2} = {a^2} + {b^2} – c = {1^2} + {1^2} – ( – 2) = 4 \Rightarrow R = \sqrt 4 = 2$

b) Với đường tròn có phương trình: $16{x^2} + {\rm{ }}16{y^2} + {\rm{ }}16x{\rm{ }}-{\rm{ }}8y{\rm{ }}-{\rm{ }}11{\rm{ }} = {\rm{ }}0$

Chia cả 2 vế cho $16$ ta có: $ {x^2} + {y^2} + x – {1 \over 2}y – {{11} \over {16}} = 0$

$\eqalign{& – 2a = 1 \Rightarrow a = – {1 \over 2} \cr & – 2b = – {1 \over 2} \Rightarrow b = {1 \over 4} \cr & \Rightarrow I\left( { – {1 \over 2};{1 \over 4}} \right) \cr} $

Tọa độ tâm $I$ là: $I(\frac{-1}{2};\frac{1}{4})$.

Bán kính $R$ là: ${R^2} = {a^2} + {b^2} – c = {\left( { – {1 \over 2}} \right)^2} + {\left( {{1 \over 4}} \right)^2} – \left( { – {{11} \over {16}}} \right) = 1 \Rightarrow R = \sqrt 1 = 1$

c) Với đường tròn có phương trình là: ${x^{2}} + {\rm{ }}{y^{2}} – {\rm{ }}4x{\rm{ }} + {\rm{ }}6y{\rm{ }}-{\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0.$

$\eqalign{& – 2a = – 4 \Rightarrow a = 2 \cr & – 2b = 6 \Rightarrow b = – 3 \cr & \Rightarrow I\left( {2; – 3} \right) \cr} $

⇒ ${R^2} = {a^2} + {b^2} – c = {2^2} + {\left( { – 3} \right)^2} – \left( { – 3} \right) = 16 \Rightarrow R = \sqrt {16} = 4$

Vậy tọa độ tâm là $I(2;-3)$, bán kính là $R=4$.

2. Giải bài 2 trang 83 sgk Hình học 10

Lập phương trình đường tròn $(C)$ trong các trường hợp sau:

a) $(C)$ có tâm $I(-2; 3)$ và đi qua $M(2; -3)$;

b) $(C)$ có tâm $I(-1; 2)$ và tiếp xúc với đường thẳng $d : x – 2y + 7 = 0$;

c) $(C)$ có đường kính $AB$ với $A(1; 1)$ và $B(7; 5)$.

Bài giải:

a) Ta tìm bán kính.

Vì đường tròn $(C)$ đi qua điểm $M$ nên $R=IM$

⇒ ${R^2} = {\rm{ }}I{M^2} \Rightarrow {R^{2}} = {\rm{ }}IM{\rm{ }} = {\rm{ }}{\left( {2{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right)^2} + {\rm{ }}( – 3{\rm{ }} – {3^2}){\rm{ }} = {\rm{ }}52$

⇒ Phương trình đường tròn $(C)$ có tâm $I$, đi qua $M$ là:

${\left( {x{\rm{ }} + 2} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right)^2} = 52$

b) Đường tròn $(C)$ tiếp xúc với đường thẳng $d$ nên khoảng cách từ tâm $I$ tới đường thẳng $d$ bằng bán kính đường tròn hay:

$d(I; d) = R$

Ta có: $d: x – 2y + 7 = 0\,\ I(-1;2)$

⇒ Khoảng cách từ $I$ đến $d$ là:

$d(I;d)=\frac{|-1-2.2+7|}{\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}}}=\frac{2}{\sqrt{5}}$

⇒ $ R = d(I, d) = \frac{2}{\sqrt{5}}$

Phương trình đường tròn cần tìm là:

${\left( {x{\rm{ }} + 1} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}2} \right)^2}= \left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right )^{2}$

$ \Leftrightarrow {\left( {x{\rm{ }} + 1} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}2} \right)^2} = {4 \over 5}$

c) Đường tròn $(C)$ có đường kính $AB$ ⇒ tâm đường tròn $(C)$ là trung điểm của $AB$.

⇒ Tâm $I$ là trung điểm của $AB$, có tọa độ:

$\left\{\begin{matrix} x &= \frac{1+7}{2}=4\\ y &= \frac{1+5}{2}=3 \end{matrix}\right.$

suy ra $I(4; 3)$

Ta có: $AB = 2\sqrt {13}$ suy ra $ R = \sqrt {13}$

Phương trình đường tròn cần tìm là:

${\left( {x{\rm{ }} – 4{\rm{ }}} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right)^2} = 13$

3. Giải bài 3 trang 84 sgk Hình học 10

Lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm:

a) $A(1; 2); B(5; 2); C(1; -3)$

b) $M(-2; 4); N(5; 5); P(6; -2)$

Bài giải:

Sử dụng phương trình đường tròn có dạng: $x^2+y^2-2 ax-2by +c = 0$

a) Đường tròn đi qua điểm $A(1; 2)$ nên ta có:

$1^2+ 2^2– 2a -4b + c = 0 \Leftrightarrow 2a + 4b – c = 5$

Đường tròn đi qua điểm $B(5; 2)$ nên ta có:

$5^2+ 2^2– 10a -4b + c = 0 \Leftrightarrow 10a + 4b – c = 29$

Đường tròn đi qua điểm $C(1; -3)$ nên ta có:

$1^2+ (-3)^2 – 2a + 6b + c = 0 \Leftrightarrow 2a – 6b – c = 10$

Để tìm $a, b, c$ ta giải hệ: $\left\{\begin{matrix} 2a + 4b- c = 5 \,\ (1) & & \\ 10a +4b – c= 29 \,\ (2) & & \\ 2a- 6b -c =10 \,\ (3) & & \end{matrix}\right.$

Lấy $(1)-(3)$ ta được: $10b=-5 \Leftrightarrow b=-0,5$

Láy $(2)-(1)$ ta được: $8a=24 \Leftrightarrow a=3$

Thay $a,b$ vừa tìm được vào $(1)$ ta có: $6-2-c=5 \Leftrightarrow c=-1$

Giải hệ ta được: $\left\{ \matrix{a = 3 \hfill \cr b = – 0,5 \hfill \cr c = – 1 \hfill \cr} \right.$

Phương trình đường tròn cần tìm là:

${{x^2} + {\rm{ }}{y^2} – {\rm{ }}6x{\rm{ }} + {\rm{ }}y{\rm{ }} – {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0} $

b) Đường tròn đi qua điểm $M(-2; 4)$ nên ta có:

$(-2)^2+ 4^2+4a -8b + c = 0 \Leftrightarrow 4a – 8b + c = -20\,\ (4)$

Đường tròn đi qua điểm $N(5; 5)$ nên ta có:

$5^2+ 5^2– 10a -10b + c = 0 \Leftrightarrow 10a +10b – c = 50\,\ (5)$

Đường tròn đi qua điểm $P(6; -2)$ nên ta có:

$6^2+ (-2)^2 – 12a + 4b + c = 0 \Leftrightarrow 12a – 4b – c = 40\,\ (6)$

Ta có hệ phương trình:

$$\left\{ \matrix{4a – 8b + c = – 20 \hfill \cr 10a + 10b – c = 50 \hfill \cr 12a – 4b – c = 40 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{a = 2 \hfill \cr b = 1 \hfill \cr c = – 20 \hfill \cr} \right.$$

Phương trình đường tròn đi qua ba điểm $M(-2; 4); N(5; 5); P(6; -2)$ là:

$x^2+ y^2- 4x – 2y – 20 = 0$

4. Giải bài 4 trang 84 sgk Hình học 10

Lập phương trình đường tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ $Ox, Oy$ và đi qua điểm $M(2 ; 1)$

Bài giải:

Gọi $(C)$ là đường tròn cần tìm với tâm $I(a;b)$, bán kính $R$.

Vì $(C)$ tiếp xúc với hai trục tọa độ nên tâm $I$ của nó phải cách đều hai trục tọa độ.

⇒ $R=d(I;Ox)=d(I;Oy) \Leftrightarrow \frac{|b|}{\sqrt{1}}=\frac{|a|}{\sqrt{1}} \Leftrightarrow |a|=|b|$

⇒ $a=b$ hoặc $a=-b$ (1)

Vì $(C)$ tiếp xúc 2 trục tọa độ nên $(C)$ nằm trong 1 trong 4 góc phần tư. Vì $(C)$ đi qua $M(2;1)$ thuộc góc phần tư thứ nhất nên $(C)$ nằm trong góc phần tư thứ nhất.

⇒ Tọa độ tâm $I$ dương tức là: $a>0,b>0$ kết hợp (1) ⇒ $a=b$

Thay vào phương trình đường tròn (C) ta có: $(x-a)^2+(y-a)^2=a^2$

mà $M(2;1)$ thuộc $(C)$ nên thay tọa độ $M$ vào phương trình $(C)$ ta có: $(2-a)^2+(1-a)^2=a^2$

$\Leftrightarrow 4-4a+a^2+1-2a+a^2=a^2 \Leftrightarrow a^2-6a+5=0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{a= \hfill 1 \cr a= \hfill 5 \cr} \right.$

Phương trình đường tròn cần tìm là:

$(x-1)^2+(y-1)^2=1\,\ (C_1)$

$(x-5)^2+(y-5)^2=25\,\ (C_2)$

5. Giải bài 5 trang 84 sgk Hình học 10

Lập phương trình của đường tròn tiếp xúc với các trục tọa độ và có tâm ở trên đường thẳng $d : 4x – 2y – 8 = 0$

Bài giải:

Gọi $(C)$ là đường tròn cần tìm với tâm $I(a;b)$, bán kính $R$.

Vì $(C)$ tiếp xúc với hai trục tọa độ nên tâm $I$ của nó phải cách đều hai trục tọa độ.

⇒ $R=d(I;Ox)=d(I;Oy) \Leftrightarrow \frac{|b|}{\sqrt{1}}=\frac{|a|}{\sqrt{1}} \Leftrightarrow |a|=|b|$

⇒ $a=b$ hoặc $a=-b$

♦ Trường hợp $a=b$ ⇒ Tọa độ $I(a;a)$

Vì $I(a;a)$ nằm trên đường thẳng $d : 4x – 2y – 8 = 0$ nên thay tọa độ $I$ vào $d$ ta có:

$4.a-2.a-8=0 \Leftrightarrow 2a=8 \Leftrightarrow a=4$

⇒ $I(4;4)$ và bán kính $R=4$

⇒ phương trình đường tròn cần tìm:

$(x-4)^2+(y-4)^2=16\,\ (C_1)$

♦ Trường hợp $a=-b$ ⇒ Tọa độ $I(a;-a)$

Vì $I(a;-a)$ nằm trên đường thẳng $d : 4x – 2y – 8 = 0$ nên thay tọa độ $I$ vào $d$ ta có:

$4.a+2.a-8=0 \Leftrightarrow 6a=8 \Leftrightarrow a=\frac{4}{3}$

⇒ $I(\frac{4}{3};\frac{-4}{3})$ và bán kính $R=\frac{4}{3}$

⇒ phương trình đường tròn cần tìm:

$(x-\frac{4}{3})^2+(y+\frac{4}{3})^2=\frac{16}{9}\,\ (C_2)$

6. Giải bài 6 trang 84 sgk Hình học 10

Cho đường tròn $(C)$ có phương trình:

${x^2} + {\rm{ }}{y^2} – {\rm{ }}4x{\rm{ }} + {\rm{ }}8y{\rm{ }} – {\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0$

a) Tìm tọa độ tâm và bán kính của $(C)$

b) Viết phương trình tiếp tuyến với $(C)$ đi qua điểm $A(-1; 0)$

c) Viết phương trình tiếp tuyến với $(C)$ vuông góc với đường thẳng $3x – 4y + 5 = 0$

Bài giải:

a) ${x^2} + {\rm{ }}{y^2} – {\rm{ }}4x{\rm{ }} + {\rm{ }}8y{\rm{ }} – {\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0$

$ \Leftrightarrow {x^2} – 2.x.2 + {2^2} + {y^2} + 2.y.4 + {4^2} = 25 $

$\Leftrightarrow {\left( {x – 2} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} = {5^2}$

Tâm $I(2 ; -4)$, bán kính $R = 5$

b) Phương trình $(C)$ là: ${\left( {x – 2} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} = {5^2}$

Thay tọa độ $A(-1 ; 0)$ vào vế trái, ta có :

$(-1- 2 )^2 + (0 + 4)^2 = 3^2+4^2= 25$

Vậy $A(-1 ;0)$ là điểm thuộc đường tròn $(C)$.

⇒ Tiếp tuyến với $(C)$ đi qua $A$ chính là tiếp tuyến với $(C)$ tại $A$.

Ta có: $\overrightarrow {IA} ( – 3;4)$

Phương trình tiếp tuyến với đường tròn tại $A$ là:

$-3(x +1) +4(y -0) =0 \Leftrightarrow 3x – 4y + 3 = 0$

c) Đường thẳng $d:3x – 4y + 5 = 0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n=(3;-4)$ ⇒ $d$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u=(4;3)$

Theo giả thiết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng $d$ nên tiếp tuyến có vectơ pháp tuyến chính là vectơ chỉ phương của $d$

⇒ Vectơ pháp tuyến của tiếp tuyến là: $\overrightarrow {n’}=(4;3)$

Phương trình tiếp tuyến có dạng là: $4x+3y+c=0$.

Khoảng cách từ tâm $I$ đến tiếp tuyến bằng bán kính $R=5$ do đó ta có:

${{|4.2 + 3.( – 4) + c|} \over {\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} = 5 \Leftrightarrow |c – 4| = 25$

$\Leftrightarrow \left[ \matrix{
c – 4 = 25 \hfill \cr
c – 4 = – 25 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
c = 29 \hfill \cr
c = – 21 \hfill \cr} \right.$

Vậy có hai phương trình tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là:

$4x+3y+29=0$ và $4x+3y-21=0$.

Bài trước:

Giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 9 trang 80 81 sgk Hình học 10

Bài tiếp theo:

Giải bài 1 2 3 4 5 trang 88 sgk Hình học 10

Xem thêm:

Chúc các bạn làm bài tốt cùng giải bài tập sgk toán lớp 10 với giải bài 1 2 3 4 5 6 trang 83 84 sgk Hình học 10!

“Bài tập nào khó đã có giaibaisgk.com“