Hướng dẫn Giải bài 1 2 3 4 trang 12 sgk Hình học 12

Nội Dung

Hướng dẫn giải Bài §1. Khái niệm về khối đa diện, Chương I. Khối đa diện, sách giáo khoa Hình học 12. Nội dung bài giải bài 1 2 3 4 trang 12 sgk Hình học 12 bao gồm tổng hợp công thức, lý thuyết, phương pháp giải bài tập hình học có trong SGK để giúp các em học sinh học tốt môn toán lớp 12.

Lý thuyết

1. Khối lăng trụ và khối chóp

a) Khối lăng trụ

– Hình lăng trụ: 2 đáy là 2 đa giác bằng nhau. Các cạch bên song song và bằng nhau. Các mặt bên là các hình bình hành.

– Khối lăng trụ là phần không gian giới hạn bởi hình lăng trụ.

– Hình lăng trụ đứng: Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với mặt đáy.

Tính chất: Các mặt bên của hình lăng trụ đứng là các hình chữ nhật và vuông góc với mặt đáy.

– Hình lăng trụ đều: Hình lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.

Tính chất: Các mặt bên của hình lăng trụ đều là các hình chữ nhật bằng nhau.

b) Khối chóp

– Hình chóp: Đáy là đa giác. Các mặt bên là các tam giác chung đỉnh.

– Khối chóp là phần không gian được giới hạn được bởi hình chóp.

Đáy khối chóp là tam giác: khối chóp tam giác.

Đáy khối chóp là tứ giác: khối chóp tứ giác giác.

Đáy khối chóp là ngũ giác: khối chóp ngũ giác.

– Hình chóp đều: Hình chóp đều là hình chóp có các cạnh bên bằng nhau và mặt đáy là một đa giác đều.

Tính chất: Chân đường cao của hình chóp đều trùng với tâm của đa giác đáy.

♦ Phương pháp chứng minh hình chóp đều:

– Hình chóp là hình chóp đều khi và chỉ khi đáy của nó là đa giác đều và chân đường cao của nó trùng với tâm của đa giác đáy.

– Hình chóp là hình chóp đều khi và chỉ khi đáy của nó là đa giác đều và các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau.

2. Khối đa diện

– Hình đa diện (gọi tắt là đa diện) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác thỏa mãn hai điều kiện:

a) Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không giao nhau, hoặc chỉ có một đỉnh chung, hoặc chỉ có một cạnh chung.

b) Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác.

Mỗi đa giác như thế được gọi là một mặt của hình đa diện. Các đỉnh, cạnh của các đa giác ấy theo thứ tự gọi là các đỉnh, cạnh của hình đa diện.

– Khối đa diện là phần không gian được giới hạn bởi một hình đa diện, kể cả đa diện đó.

Mỗi đa diện chia các điểm còn lại của không gian thành hai miền không giao nhau: miền trong và miền ngoài. Trong đó chỉ có duy nhất miền ngoài là chứa hoàn toàn một đường thẳng nào đấy.

Các điểm thuộc miền trong là các điểm trong, các điểm thuộc miền ngoài là các điểm ngoài.

Khối đa diện là hợp của hình đa diện và miền trong của nó.

3. Hai đa diện bằng nhau

a) Trong không gian quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm $M$ với điểm $M’$ xác định duy nhất được gọi là một phép biến hình trong không gian.

b) Phép biến hình trong không gian được gọi là phép dời hình nếu nó bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm tùy ý.

c) Thực hiện liên tiếp các phép dời hình sẽ được một phép dời hình.

d) Phép dời hình biến một đa diện thành một đa diện, biến các đỉnh, cạnh, mặt của đa diện này thành đỉnh, cạnh, mặt tương ứng của đa diện kia.

e) Một số ví dụ về phép dời hình trong không gian :

– Phép dời hình tịnh tiến theo vectơ $\vec v$, là phép biến hình biến điểm $M$ thành $M’$ sao cho $\vec{MM’}=\vec v$.

– Phép đối xứng qua mặt phẳng $(P)$, là phép biến hình biến mọi điểm thuộc $(P)$ thành chính nó, biến điểm $M$ không thuộc $(P)$ thành điểm $M’$ sao cho $(P)$ là mặt phẳng trung trực của $MM’$.
Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng $(P)$ biến hình $(H)$ thành chính nó thì $(P)$ được gọi là mặt phẳng đối xứng của $(H)$.

– Phép đối xứng tâm $O$, là phép biến hình biến điểm $O$ thành chính nó, biến điếm $M$ khác $O$ thành điểm $M’$ sao cho $O$ là trung điểm của $MM’$.

Nếu phép đối xứng tâm $O$ biến hình $(H)$ thành chính nó thì $O$ được gọi là tâm đối xứng của $(H)$.

– Phép đối xứng qua đường thẳng $d$, là phép biến hình mọi điểm thuộc $d$ thành chính nó, biến điểm $M$ không thuộc $d$ thành điểm $M’$ sao cho $d$ là trung trực của $MM’$. Phép đối xứng qua đường thẳng $d$ còn được gọi là phép đối xứng qua trục $d$.
Nếu phép đối xứng qua đường thẳng $d$ biến hình $(H)$ thành chính nó thì $d$ được gọi là trục đối xứng của $(H)$.

g) Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia.

h) Hai tứ diện có các cạnh tương ứng bằng nhau thì bằng nhau.

4. Phân chia và lắp ghép các khối đa diện

Nếu khối đa diện $(H)$ là hợp của hai khối đa diện $(H_{1}),(H_{2})$, sao cho $(H_{1})$ và $(H_{2})$ không có điểm trong chung thì ta nói có thể chia được khối đa diện $(H)$ thành hai khối đa diện $(H_{1})$ và $(H_{2})$, hay có thể lắp ghép được hai khối đa diện $(H_{1})$ và $(H_{2})$ với nhau để được khối đa diện $(H)$.

Nhận xét: Một khối đa diện bất kì luôn có thể phân chia được thành các khối tứ diện.

Ví dụ: Cho khối chóp tứ giác S.ABCD. Ta xét 2 khối chóp tam giác S.ABC và S.ACD.

Dễ thấy rằng: Hai khối chóp đó không có điểm trong chung, nghĩa là điểm trong của khối chóp này không phải điểm trong của khối chóp kia.

Hợp của 2 khối chóp S.ABC và S.ACD chính là khối chóp S.ABCD.

Trong trường hợp đó ta nói rằng: Khối đa diện S.ABCD được phân chia thành 2 khối đa diện S.ABC và S.ACD.

Ta cũng nói: Hai khối đa diện S.ABC và S.ACD được ghép lại thành khối đa diện S.ABCD.

Dưới đây là phần Hướng dẫn trả lời các câu hỏi và bài tập trong phần hoạt động của học sinh trên lớp sgk Hình học 12.

Câu hỏi

1. Trả lời câu hỏi 1 trang 4 sgk Hình học 12

Nhắc lại định nghĩa hình lăng trụ và hình chóp.

Trả lời:

– Hình lăng trụ là hình gồm có hai đáy là hai đa giác bằng nhau và nằm trên hai mặt phẳng song song, các mặt bên là hình bình hành, các cạnh bên song song hoặc bằng nhau.

– Hình chóp là một hình không gian gồm có một đa giác gọi là mặt đáy, các tam giác chung đỉnh gọi là mặt bên, đỉnh chung của các mặt bên đó gọi là đỉnh của hình chóp.

2. Trả lời câu hỏi 2 trang 6 sgk Hình học 12

Kể tên các mặt của hình lăng trụ $ABCDE.A’B’C’D’E’$ và hình chóp $S.ABCDE$ (h.1.4 ).

Trả lời:

– Các mặt của hình lăng trụ $ABCDE.A’B’C’D’E’$ là:

$ABB’A’, BCC’B’, CDD’C’$, $DEE’D’, EAA’E’, ABCDE, A’B’C’D’E’$.

– Các mặt của hình chóp $S.ABCDE$ là:

$SAB, SBC, SCD, SDE, SAE, ABCDE$.

3. Trả lời câu hỏi 3 trang 8 sgk Hình học 12

Giải thích tại sao hình 1.8c không phải là một khối đa diện?

Trả lời:

Hình đa diện có tính chất: Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác. Nhưng hình 1.8c) có cạnh $AB$ là cạnh chung của $4$ đa giác (không thỏa mãn tính chất)

4. Trả lời câu hỏi 4 trang 10 sgk Hình học 12

Cho hình hộp $ABCD.A’B’C’D’$. Chứng minh rằng hai lăng trụ $ABD.A’B’D’$ và $BCD.B’C’D’$ bằng nhau.

Trả lời:

Phép đối xứng qua mặt phẳng $(BDD’B’)$ biến lăng trụ $ABD.A’B’D’$ thành $BCD.B’C’D’$

⇒ Hai lăng trụ $ABD.A’B’D’$ và $BCD.B’C’D’$ bằng nhau.

Dưới đây là Hướng dẫn giải bài 1 2 3 4 trang 12 sgk Hình học 12. Các bạn hãy đọc kỹ đầu bài trước khi giải nhé!

Bài tập

Giaibaisgk.com giới thiệu với các bạn đầy đủ phương pháp giải bài tập hình học 12 kèm bài giải chi tiết bài 1 2 3 4 trang 12 sgk Hình học 12 của Bài §1. Khái niệm về khối đa diện trong Chương I. Khối đa diện cho các bạn tham khảo. Nội dung chi tiết bài giải từng bài tập các bạn xem dưới đây:

Giải bài 1 2 3 4 trang 12 sgk Hình học 12

1. Giải bài 1 trang 12 sgk Hình học 12

Chứng minh rằng một đa diện có các mặt là những tam giác thì tổng sô các mặt của nó phải là một số chẵn. Cho ví dụ.

Bài giải:

♦ Cách 1:

Giả sử đa diện $(H)$ có $m$ mặt. Vì mỗi mặt của $(H)$ có 3 cạnh, nên $m$ mặt có $3m$ cạnh. Nhưng mỗi cạnh của $(H)$ là cạnh chung của đúng hai mặt nên số cạnh của $(H)$ bằng $c ={{3m} \over 2}$. Do $c$ là số nguyên dương nên $m$ phải là số chẵn.

♦ Cách 2:

Gọi số các mặt của đa diện là $n$ $(n\in \mathbb{Z},n\geq 4)$. Vì mỗi mặt của khối đa diện có 3 cạnh và mỗi cạnh chỉ là cạnh chung của đúng hai mặt nên số cạnh của nó là: $\frac{3n}{2}$. Vì số cạnh phải là số tự nhiên, nên ta có $3n$ chia hết cho $2$, từ đây ta suy ra $r$ chia hết cho $2$.

Ví dụ: Hình chóp tam giác có số cạnh bằng sáu.

2. Giải bài 2 trang 12 sgk Hình học 12

Chứng minh rằng một đa diện mà mỗi đỉnh của nó đều là đỉnh chung của số lẻ mặt thì tổng số các đỉnh của nó là một số chẵn. Cho ví dụ.

Bài giải:

Giả sử đa diện $(H)$ có các đỉnh là $A_1, … A_d$ gọi $m_1, … m_d$ lần lượt là số các mặt của $(H)$ nhận chúng là đỉnh chung. Như vậy mỗi đỉnh $A_k$ có $mk$ cạnh đi qua. Do mỗi cạnh của $(H)$ là cạnh chung của đúng hai mặt nên tổng số các cạnh của $H$ bằng

$c = {1 \over 2}({m_1} + {m_2} + … + {m_d})$

Vì $c$ là số nguyên, $m_1, … m_d$ là những số lẻ nên $d$ phải là số chẵn.

Ví dụ: Hình chóp ngũ giác.

Đỉnh $S$ là đỉnh chung của $5$ mặt, tất cả các đỉnh còn lại là đỉnh chung của $3$ mặt, hình chóp ngũ giác có $6$ đỉnh.

3. Giải bài 3 trang 12 sgk Hình học 12

Chia một khối lập phương thành năm khối tứ diện.

Bài giải:

Chia khối lập phương $ABCD.A’B’C’D’$ thành năm khối tứ diện như sau:

$A’B’CD’, A’AB’D’, BACB’, C’B’CD’, DACD’$.

4. Giải bài 4 trang 12 sgk Hình học 12

Chia một khối lập phương thành sáu khối tứ diện bằng nhau.

Bài giải:

Chia lăng trụ $ABD.A’B’D’$ thành ba tứ diện: $DABD’, A’ABD’, A’B’BD’$.

Phép đối xứng qua $(ABD’)$ biến $DABD’$ thành $A’ABD’$.

Phép đối xứng qua $(BA’D’)$ biến $A’ABD’$ thành $A’B’BD’$ nên ba tứ diện $DABA’, A’ABD’, A’B’BD’$ bằng nhau

Làm tương tự đối với lăng trụ $BCD.B’C’D’$ ta sẽ chia được hình lập phương thành sáu tứ diện bằng nhau.

Bài tiếp theo:

Giải bài 1 2 3 4 trang 18 sgk Hình học 12

Xem thêm:

Chúc các bạn làm bài tốt cùng giải bài tập sgk toán lớp 12 với giải bài 1 2 3 4 trang 12 sgk Hình học 12!

“Bài tập nào khó đã có giaibaisgk.com“