Hướng dẫn Giải bài 1 2 3 4 trang 18 sgk Hình học 12

Nội Dung

Hướng dẫn giải Bài §2. Khối đa diện lồi và khối đa diện đều, Chương I. Khối đa diện, sách giáo khoa Hình học 12. Nội dung bài giải bài 1 2 3 4 trang 18 sgk Hình học 12 bao gồm tổng hợp công thức, lý thuyết, phương pháp giải bài tập hình học có trong SGK để giúp các em học sinh học tốt môn toán lớp 12.

Lý thuyết

1. Khối đa diện lồi

Khối đa diện $H$ được gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của $H$ luôn thuộc $H$. Khi đó đa diện giới hạn $H$ được gọi là đa diện lồi.

Một khối đa diện là khối đa diện lồi khi và chỉ khi miền trong của nó luôn nằm về một phía đối với mỗi mặt phẳng đi qua một mặt của nó.

2. Khối đa diện đều

Một khối đa diện lồi được gọi là khối đa diện đều loại {p,q} nếu:

Mỗi mặt của nó là một đa giác đều p cạnh.

Mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng q mặt.

Các mặt của khối đa diện đều là những đa giác đều và bằng nhau.

Có năm loại khối đa diện đều. Đó là các khối đa diện đều loại {3,3}, loại {4,3}, loại {3,4}, loại {5,3}, và loại {3,5}.

Tùy theo số mặt của chúng, năm loại khối đa diện đều kể trên theo theo thứ tự được gọi là khối đa diện đều, khối lập phương, khối tám mặt đều, khối mười hai mặt đều, khối hai mươi mặt đều.

Bảng tóm tắt của năm loại khối đa diện đều

Hai khối đa diện đều có cùng số mặt và có cạnh bằng nhau thì bằng nhau.

Hai khối đa diện đều có cùng số mặt thì đồng dạng với nhau.

Dưới đây là phần Hướng dẫn trả lời các câu hỏi và bài tập trong phần hoạt động của học sinh trên lớp sgk Hình học 12.

Câu hỏi

1. Trả lời câu hỏi 1 trang 15 sgk Hình học 12

Tìm ví dụ về khối đa diện lồi và khối đa diện không lồi trong thực tế.

Trả lời:

Khối đa diện lồi trong thực tế: kim tự tháp Ai Cập, viên kim cương, rubic…

Khối đa diện không lồi trong thực tế: cái bàn

2. Trả lời câu hỏi 2 trang 16 sgk Hình học 12

Đếm số đỉnh, số cạnh của khối bát diện đều.

Trả lời:

Khối bát diện đều có $6$ đỉnh và $12$ cạnh

3. Trả lời câu hỏi 3 trang 17 sgk Hình học 12

Chứng minh rằng tam giác $IEF, IFM, IMN, INE$, $JEF, JFM, JMN$ và $JNE$ là những tam giác đều cạnh bằng $\frac{a}{2}$.

Trả lời:

$ABCD$ là tứ diện đều ⇒ tam giác $ABC$ đều $⇒ AB = BC = CA = a$

$I, E, F$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AC, AB, BC$ nên ta có $IE, IF, EF$ là các đường trung bình của tam giác $ABC$

$⇒ IE = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} a$

$IF = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} a$

$EF = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} a$

Nên tam giác $IEF$ là tam giác đều cạnh bằng $\frac{a}{2}$.

Chứng minh tương tự ta có: $IFM, IMN, INE, JEF, JFM, JMN$ và $JNE$ là những tam giác đều cạnh bằng $\frac{a}{2}$.

4. Trả lời câu hỏi 4 trang 18 sgk Hình học 12

Chứng minh rằng $AB’CD’.A’B’C’D’$ là một tứ diện đều. Tính các cạnh của nó theo $a$.

Trả lời:

$ABCD.A’B’C’D’$ là hình lập phương nên các mặt là các hình vuông cạnh $a$.

Tứ diện $AB’CD’$ có các cạnh là các đường chéo của các mặt bên hình lập phương $ABCD.A’B’C’D’$ nên tứ diện $AB’CD’$ có các cạnh bằng nhau ⇒ $AB’CD’$ là tứ diện đều

Cạnh của tứ diện đều $AB’CD’$ bằng độ dài đường chéo của hình vuông cạnh $a$ và bằng $a\sqrt 2$

Dưới đây là Hướng dẫn giải bài 1 2 3 4 trang 18 sgk Hình học 12. Các bạn hãy đọc kỹ đầu bài trước khi giải nhé!

Bài tập

Giaibaisgk.com giới thiệu với các bạn đầy đủ phương pháp giải bài tập hình học 12 kèm bài giải chi tiết bài 1 2 3 4 trang 18 sgk Hình học 12 của Bài §2. Khối đa diện lồi và khối đa diện đều trong Chương I. Khối đa diện cho các bạn tham khảo. Nội dung chi tiết bài giải từng bài tập các bạn xem dưới đây:

Giải bài 1 2 3 4 trang 18 sgk Hình học 12

1. Giải bài 1 trang 18 sgk Hình học 12

Cắt bìa theo mẫu dưới đây (h.1.23), gấp theo đường kẻ, rồi dán các mép lại để được các hình tứ diện đều, hình lập phương và hình bát diện đều.

Bài giải:

Đây là bài tập thủ công các em tự thực hành.

2. Giải bài 2 trang 18 sgk Hình học 12

Cho hình lập phương $(H)$. Gọi $(H’)$ là hình bát diện đều có các đỉnh là tâm các mặt của $(H)$. Tính tỉ số diện tích toàn phần của $(H)$ và $(H’)$.

Bài giải:

Giả sử khối lập phương có cạnh bằng $a$.

Khi đó diện tích toàn phần của nó là: $S_1 = 6. a^2$

Gọi $M$ là tâm của hình vuông $AMCD$; $Q$ là tâm hình vuông $ADD’A’$; $P$ là tâm hình vuông $ABB’A’$; $N$ là tâm hình vuông $BCC’B’$; $E$ là tâm hình vuông $DCC’D’$ và $F$ là tâm hình vuông $A’B’C’D’$.

Xét bát diện đều thu được, khi đó diện tích toàn phần của nó là $8$ lần diện tích tam giác đều $MQE$ (hình vẽ)

Xét tam giác $ACD’$, ta có $M, Q$ lần lượt là trung điểm của $AC$ và $AD’$ nên $MQ$ là đường trung bình của tam giác $ACD’$, do đó $MQ = {1 \over 2}C{\rm{D}}’ = {1 \over 2}\sqrt 2a $

Ta có ${S_{AMQE}} = {1 \over 2}{\left( {{1 \over 2}\sqrt 2a } \right)^2}.{{\sqrt 3 } \over 2} = {1 \over 8}{a^2}\sqrt 3 $

Diện tích xung quanh của bát diện đều là: ${S_2} = 8.{1 \over 8}.{a^2}\sqrt 3 = {a^2}\sqrt 3 $

Do đó: ${{{S_1}} \over {{S_2}}} = {{6{{\rm{a}}^2}} \over {a\sqrt 3 }} = 2\sqrt 3 $

3. Giải bài 3 trang 18 sgk Hình học 12

Chứng minh rằng tâm của các mặt của hình tứ diện đều là các đỉnh của một hình tứ diện đều.

Bài giải:

Gọi $A’, B’, C’, D’$ lần lượt là trọng tâm của các tam giác đều $BCD, ACD, ABD, ABC$.

Gọi $M$ là trung điểm $BC$:

Ta có: ${{M{\rm{D}}’} \over {MA}} = {{MA’} \over {M{\rm{D}}}} = {1 \over 3}$ (tính chất đường trung tuyến).

$ \Rightarrow A’D’//A{\rm{D}}$ (định lý Ta-lét).

và $A’D’ = {1 \over 3}A{\rm{D}} = {a \over 3}$

Tương tự $A’B’ = B’C’ = C’A’ = B’D’ = C’D’ = {a \over 3}$

Vậy $A’B’C’D’$ là tứ diện đều.

4. Giải bài 4 trang 18 sgk Hình học 12

Cho hình bát diện đều ABCDEF (h.1.24). Chứng minh rằng:

a) Các đoạn thẳng AF, BD và CE đôi một vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

b) ABFD, AEFC và BCDE là những hình vuông.

Bài giải:

a) Do $B, C, D, E$ cách đều $A$ và $F$ nên chúng đồng phẳng (cùng thuộc mặt phẳng trung trực của $AF$).

Tương tự, $A, B, F, D$ đồng phẳng và $A, C, F, E$ đồng phẳng

Gọi $I$ là giao của $(AF)$ với $(BCDE)$. Khi đó $B, I, D$ là những điểm chung của hai mặt phẳng $(BCDE)$ và $(ABFD)$ nên chúng thẳng hàng. Tương tự, $E, I , C$ thẳng hàng.

Vậy $AF, BD, CE$ đồng quy tại $I$.

Vì $BCDE$ là hình thoi nên $EC$ vuông góc với $BC$ và cắt $BC$ tại $I$ là trung điểm của mỗi đường. $I$ là trung điểm của $AF$ và $AF$ vuông góc với $BD$ và $EC$, do đó các đoạn thẳng $AF, BD$, và $CE$ đôi một vuông góc với nhau cắt nhau tại trung điểm của chúng.

b) Ta có tứ giác $DCDE$ là hình thoi.

Do $AI$ vuông góc $(BCDE)$ và $AB = AC =AD = AE$ nên $IB = IC= ID = IE$.

Từ đó suy ra hình thoi $BCDE$ là hình vuông. Tương tự $ABFD, AEFC$ là những hình vuông.

Bài trước:

Giải bài 1 2 3 4 trang 12 sgk Hình học 12

Bài tiếp theo:

Giải bài 1 2 3 4 5 6 trang 25 26 sgk Hình học 12

Xem thêm:

Chúc các bạn làm bài tốt cùng giải bài tập sgk toán lớp 12 với giải bài 1 2 3 4 trang 18 sgk Hình học 12!

“Bài tập nào khó đã có giaibaisgk.com“