Hướng dẫn giải Giải bài 1 2 3 4 trang 71 sgk Hình học 11

Nội Dung

Hướng dẫn giải Bài §4. Hai mặt phẳng song song, Chương II. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song, sách giáo khoa Hình học 11. Nội dung bài giải bài 1 2 3 4 trang 71 sgk Hình học 11 bao gồm tổng hợp công thức, lý thuyết, phương pháp giải bài tập hình học có trong SGK để giúp các em học sinh học tốt môn toán lớp 11.

Lý thuyết

1. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng phân biệt

Cho 2 mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right).$ Căn cứ vào số đường thẳng chung của 2 mặt phẳng ta có ba trường hợp sau:

Hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ không có đường thẳng chung, tức là:

$\left( P \right) \cap \left( Q \right) = \emptyset \Leftrightarrow \left( P \right)\parallel \left( Q \right).$

Hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ chỉ có một đường thẳng chung, tức là:

$\left( P \right) \cap \left( Q \right) = a \Leftrightarrow \left( P \right)$ cắt $\left( Q \right)\,.$

Hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ có 2 đường thẳng chung phân biệt, tức là:

$\left( P \right) \cap \left( Q \right) = \left\{ {a,\,\,b} \right\} \Leftrightarrow \left( P \right) \equiv \left( Q \right).$

2. Điều kiện để hai mặt phẳng song song

Định lí 1: Nếu mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa hai đường thẳng $a,\,\,b$ cắt nhau và cùng song song với mặt phẳng $\left( Q \right)$ thì $\left( P \right)$ song song $\left( Q \right).$

Tức là: $\left\{ \begin{array}{l}a,\,\,b \in \left( P \right)\\a \cap b = \left\{ I \right\}\\a\parallel \left( P \right),\,\,b\parallel \left( Q \right)\end{array} \right. \Rightarrow \,\,\left( P \right)\parallel \left( Q \right).$

3. Tính chất

Tính chất 1: Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng, có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đó.

Tức là: $O \notin \left( P \right) \Rightarrow \,\,\exists !\,\,\left( Q \right):\left\{ \begin{array}{l}O \in \left( Q \right)\\\left( P \right)\parallel \left( Q \right)\end{array} \right.\,.$

Cách dựng:

Trong $\left( P \right)$ dựng $a,\,\,b$ cắt nhau.

Qua $O$ dựng ${a_1}\parallel a,\;{b_1}\parallel b.$

Mặt phẳng $\left( {{a_1},\,\,{b_1}} \right)$ là mặt phẳng qua $O$ và song song với $\left( P \right).$

Hệ quả 1: Nếu đường thẳng $a$ song song với mặt phẳng $\left( Q \right)$ thì qua $a$ có một và chỉ một mặt phẳng $\left( P \right)$ song song với $\left( Q \right).$

Hệ quả 2: Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.

Tính chất 2: Nếu hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ song song thì mặt phẳng $\left( R \right)$ đã cắt $\left( P \right)$ thì phải cắt $\left( Q \right)$ và các giao tuyến của chúng song song.

Tức là: $\left\{ \begin{array}{l}\left( P \right)\parallel \left( Q \right)\\a = \left( P \right) \cap \left( R \right)\\b = \left( Q \right) \cap \left( R \right)\end{array} \right. \Rightarrow \,\,a\parallel b.$

Định lí Ta – lét trong không gian: Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kì các đoạn thẳng tương ứng tỷ lệ.

Tức là: $\left\{ \begin{array}{l}\left( P \right)\parallel \left( Q \right)\parallel \left( R \right)\\a \cap \left( P \right) = {A_1};\,\,a \cap \left( Q \right) = {B_1};\,\,a \cap \left( R \right) = {C_1}\\b \cap \left( P \right) = {A_2};\,\,b \cap \left( Q \right) = {B_2};\,\,b \cap \left( P \right) = {C_2}\end{array} \right.$

$ \Rightarrow \,\,\frac{{{A_1}{B_1}}}{{{B_1}{C_1}}} = \frac{{{A_2}{B_2}}}{{{B_2}{C_2}}}\,.$

Dưới đây là phần Hướng dẫn trả lời các câu hỏi và bài tập trong mục hoạt động của học sinh trên lớp sgk Hình học 11.

Câu hỏi

1. Trả lời câu hỏi 1 trang 64 sgk Hình học 11

Cho hai mặt phẳng song song $α$ và $β$. Đường thẳng $d$ nằm trong $α$ (h.2.47). Hỏi $d$ và $β$ có điểm chung không?

Trả lời:

Hai mặt phẳng song song $α$ và $β ⇒ α$ và $β$ không có điểm chung.

Đường thẳng $d$ nằm trong $α ⇒$ Đường thẳng $d$ không nằm trong $β$

Vậy $d$ và $β$ không có điểm chung

2. Trả lời câu hỏi 2 trang 65 sgk Hình học 11

Cho tứ diện $SABC$. Hãy dựng mặt phẳng $(α)$ qua trung điểm $I$ của đoạn $SA$ và song song với mặt phẳng $(ABC)$.

Trả lời:

Mặt phẳng $(α)$ là mặt phẳng đi qua 3 trung điểm $I, K, L$ của $SA, SB, SC$

Thật vậy, do $I, K, L$ lần lượt là trung điểm của $SA, SB, SC$ nên $IK, KL$ lần lượt là đường trung bình trong tam giác $SAB$ và $SBC$

$IK // AB ∈ (ABC) ⇒ IK // (ABC)$

$KL // BC ∈ (ABC) ⇒ KL // (ABC)$

$IK$ và $KL$ cắt nhau và cùng $// (ABC)$

⇒ Mặt phẳng chứa $IK$ và $KL // (ABC)$ hay $(α) // (ABC)$

3. Trả lời câu hỏi 3 trang 68 sgk Hình học 11

Phát biểu định lý Ta-lét trong hình học phẳng.

Trả lời:

Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

Dưới đây là giải bài 1 2 3 4 trang 71 sgk Hình học 11. Các bạn hãy đọc kỹ đầu bài trước khi giải nhé!

Bài tập

Giaibaisgk.com giới thiệu với các bạn đầy đủ phương pháp giải bài tập hình học 11 kèm bài giải chi tiết bài 1 2 3 4 trang 71 sgk Hình học 11 của Bài §4. Hai mặt phẳng song song trong Chương II. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song cho các bạn tham khảo. Nội dung chi tiết bài giải từng bài tập các bạn xem dưới đây:

Giải bài 1 2 3 4 trang 71 sgk Hình học 11

1. Giải bài 1 trang 71 sgk Hình học 11

Trong mặt phẳng $(\alpha )$ cho hình bình hành $ABCD$. Qua $A, B, C, D$ lần lượt vẽ bốn đường thẳng $a, b, c, d$ song song với nhau và không nằm trên $(\alpha )$. Trên $a, b, c$ lần lượt lấy ba điểm $A’, B’, C’ $ tùy ý:

a) Hãy xác định giao điểm $D’$ của đường thẳng $d$ với mặt phẳng $(A’B’C’).$

b) Chứng minh $A’B’C’D’$ là hình bình hành.

Bài giải:

Theo giả thiết ta có hình vẽ sau:

a) Ta có:

$\left.\begin{matrix} a // b\\ AD // BC\\ a\cap AD= A \end{matrix}\right\}\Rightarrow (a,d) // (b, c)$

Tương tự ta có: $(a, b) // (c, d).$

Vì hai mặt phẳng $(a, b)$ và $(c, d)$ song song với nhau nên $mp(A’B’C)$ cắt 2 mặt phẳng này lần lượt theo 2 giao tuyến $A’B’$ và $C’D’$ song song với nhau.

⇒ $D’$ là giao điểm của đường thẳng qua $C’$ và song song với $A’B’$.

b) Theo câu a) ta có:

$A’B’ // C’D’$

Tương tự vì $(a, b) // (c, d) ⇒ A’D’ // B’C’$

Vậy tứ giác $A’B’C’D’$ là hình bình hành.

2. Giải bài 2 trang 71 sgk Hình học 11

Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A’B’C’$. Gọi $M$ và $M’$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC$ và $B’C$’.

a) Chứng minh rằng $AM$ song song với $A’M’$

b) Tìm giao điểm của mặt phẳng $(AB’C’)$ với đường thẳng $A’M$

c) Tìm giao tuyến $d$ của hai mặt phẳng $(AB’C’)$ và $(BA’C’)$

d) Tìm giao điểm $G$ của đường thẳng $d$ với mặt phẳng $(AM’M)$

Chứng minh $G$ là trọng tâm của tam giác $AB’C’$

Bài giải:

Theo giả thiết ta có hình vẽ sau:

a) Ta có:

$(ABC) // (A’B’C’) ⇒ mp(AA’M’M)$ cắt hai mặt phẳng $(ABC)$ và $(A’B’C’)$ theo hai giao tuyến $AM$ và $A’M’$.

$\Rightarrow AM // A’M’$

b) Trên $mp(AA’M’M)$, gọi $I$ là giao điểm của $AM’$ và $A’M$

Vì $AM’\subset (AB’C’)\Rightarrow I$ là giao điểm của $A’M$ và mặt phẳng $(AB’C’)$

c) Gọi $O$ là giao điểm của $AB’$ và $A’B$ (trên mặt phẳng $(ABB’A’)$)

Khi đó: $O$ và $C’$ là $2$ điểm chung của $(AB’C’)$ và $(BA’C’)$

$\Rightarrow (AB’C’)\cap (BA’C’)=OC’$

⇒ giao tuyến $d$ của $2$ mặt phẳng $(AB’C’)$ và $(BA’C’)$ là đường thẳng $OC’$.

d) Trong $mp(AM’M)$ gọi $G$ là giao điểm của $OC’$ và $mp (AM’M)$

⇒ $G$ là giao điểm của đường thẳng $OC’$ và mặt phẳng $(AM’M)$

⇒ $G$ là giao điểm của đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(AM’M)$

Vì $C’O$ và $AM’$ là trung tuyến của tam giác $AB’C’$

⇒ $G$ là trọng tâm của tam giác $AB’C’$.

3. Giải bài 3 trang 71 sgk Hình học 11

Cho hình hộp $ABCD.A’B’C’D’$

a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng $(BDA’)$ và $(B’D’C)$ song song với nhau.

b) Chứng minh rằng đường chéo $AC’$ đi qua trọng tâm ${G_{1}, {G_{2}}^{}}^{}$ của hai tam giác $BDA’$ và $B’D’C$

c) Chứng minh ${G_{1}, {G_{2}}^{}}^{}$ chia đoạn $AC’$ thành ba phần bằng nhau.

d) Gọi $O$ và $I$ lần lượt là tâm của các hình bình hành $ABCD$ và $AA’C’C$. Xác định thiết diện của mặt phẳng $(A’IO)$ với hình hộp đã cho.

Bài giải:

Theo giả thiết ta có hình vẽ sau:

a) Ta có:

$BB’D’D$ và $A’B’CD$ là các hình bình hành nên:

$BD // B’D’$ và $DA’ // B’C$

⇒ Hai mặt phẳng $(BDA’)$ và $(B’D’C)$ có các cặp đường thẳng cắt nhau và song song với nhau từng đôi một.

$⇒ (BDA’) // (B’D’C)$

b) Gọi $O, O’$ lần lượt là tâm của hình bình hành $ABCD$ và $A’B’C’D’.$

Trong mặt phẳng $(AA’C’C)$, gọi $G_1, G_2$ lần lượt là trọng tâm của $AC’$ với $A’O$ và $O’C$.

Ta chứng minh $G_1, G_2$lần lượt là trọng tâm của tam giác $A’BD$ và tam giác $CB’D’.$

Thật vậy ta có: $\Delta G_1OA\sim G_1A’C’$ (vì $AC // A’C’$)

$\frac{G_1O}{G_1A’}=\frac{OA}{A’C’}=\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{AG_1}{A’O}=\frac{2}{3}\Rightarrow G_1$ là trọng tâm của tam giác A’BD.

Tương tự $G_2$ là trọng tâm của $\Delta CB’D’.$

Vậy $AC’$ đi qua $G_1, G_2$ là trọng tâm của hai tam giác $BDA’$ và $B’D’C$.

c) Theo câu b) ta có:

$\frac{AG_1}{G_1C’}=\frac{AO}{A’C’}=\frac{1}{2} \ (vì \ \Delta G_1OA\sim \Delta G_1A’C’)$

$\Rightarrow AG_1=\frac{1}{3}AC’ \ (1)$

Tương tự:

$\frac{C’G_2}{G_2A}=\frac{C’O’}{CA}=\frac{1}{2}$ (vì $\Delta G_2C’O’ \sim \Delta G_2AC$)

$\Rightarrow C’G_2=\frac{1}{3}AC'(2)$

Từ (1) và (2) $\Rightarrow AG_1=G_1G_2=G_2C’$

Vậy $G_1, G_2$ chia đoạn $AC’$ thành 3 phần bằng nhau.

d) Ta có:

$O\in AC\Rightarrow O\in (ACC’A’)$

$I \in (ACC’A’)$ và $A’ \in (ACC’A’)$

⇒ Hai mặt phẳng $(A’IO)$ và $(ACC’A’)$ trùng nhau.

⇒ Thiết diện của mặt phẳng $(A’IO)$ với hình hộp là hình bình hành $ACC’A’$.

4. Giải bài 4 trang 71 sgk Hình học 11

Cho hình chóp $S.ABCD$. Gọi ${A_{1}}^{}$ là trung điểm của cạnh SA và ${A_{2}}^{}$ là trung điểm của đoạn $A{A_{1}}^{}$. Gọi $(\alpha )$ và $(\beta )$ là hai mặt phẳng song song với mặt phẳng $(ABCD)$ và lần lượt đi qua ${A_{1}}^{}$, ${A_{2}}^{}$. Mặt phẳng $(\alpha )$ cắt các cạnh $SB, SC, SD$ lần lượt tại ${B_{1}, {C_{1}, {D_{1}}^{}}^{}}^{}$. Mặt phẳng $(\beta )$ cắt các cạnh $SB, SC, SD$ lần lượt tại ${B_{2}, {C_{2},{D_{2}}^{}}^{}}^{}$. Chứng minh:

a) ${B_{1}, {C_{1}, {D_{1}}^{}}^{}}^{}$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $SB, SC, SD$

b) $B_1B_2 = B_2B, C_1C_2 = C_2C, D_1D_2 = D_2D$.

c) Chỉ ra các hình chóp cụt có một đáy là tứ giác $ABCD.$

Bài giải:

Theo giả thiết ta có hình vẽ sau:

a) Vì mặt phẳng $(SAB)$ cắt hai mặt phẳng song song $(\alpha )$ và (ABCD) theo hai giao tuyến lần lượt $A_1B_1$ và $AB$.

$⇒ $A_1B_1 // AB.$

⇒ $A_1B_1$ là đường trung bình của tam giác $SAB.$

⇒ $B_1$ là trung điểm của $SB$.

Tương tự ta có:

$B_1C_1$ là đường trung bình của tam giác $SBC$.

⇒ $C_1$ là trung bình của $SC$.

$C_1D_1$ là đường trung bình của tam giác $SCD$.

⇒ $D_1$ là trung điểm của $SD$.

b) Vì $mp(SAB)$ cắt hai mặt phẳng song song $(\beta )$ và $(ABCD)$ theo $2$ giao tuyến lần lượt là $A_2B_2$ và $AB$.

⇒ $A_2B_2 // AB$

⇒ $A_2B_2$ là trung bình của hình thang $A_1B_1BA$

⇒ $B_1B_2 = B_2B$

Tương tự: $B_2C_2$ là đường trung bình của hình thang $B_1C_1CB$

⇒ $C_1C_2 = C_2C$

$C_2D_2$ là đường trung bình của hình thang $C_1D_1DC$

⇒ $D_1D_2 = D_2D$

c) Có $2$ hình chóp cụt có đáy là tứ giác $ABCD$ đó là:

$A_1B_1C_1D_1.ABCD$ và $A_2B_2C_2D_2.ABCD$

Bài trước:

Giải bài 1 2 3 trang 63 sgk Hình học 11

Bài tiếp theo:

§5. Phép chiếu song song. Hình biểu diễn của một hình không gian sgk Hình học 11

Xem thêm:

Chúc các bạn làm bài tốt cùng giải bài tập sgk toán lớp 11 với giải bài 1 2 3 4 trang 71 sgk Hình học 11!

“Bài tập nào khó đã có giaibaisgk.com“